不等式解法探究論文

..不等式解法探究摘要：不等式可以求最大值、最小值,給我們的日常生活帶來(lái)了效率。不等式在高中數(shù)學(xué)中不是孤立存在的,在函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、平面向量……,幾乎所有的章節(jié)都有不等式的知識(shí),可以說(shuō)不等式貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué),由此可見(jiàn)不等式的重要性。不等式題目呈現(xiàn)不同形式,包括函數(shù)定義域、解不等式、與簡(jiǎn)易邏輯相結(jié)合、與圓錐曲線相結(jié)合、與數(shù)列相結(jié)合、求取值范圍、均值不等式……。本文針對(duì)各種不等式,給出一些解法供大家學(xué)習(xí)參考。關(guān)鍵詞：不等式；解法；探究Abstract:Inequalitycanbemaximum,minimum,bringtoourdailylifeefficiency.Inequalityinthehighschoolmathdonotexistinisolation,infunctionandsequence,analyticgeometry,planevectorandsoon,almostallthechaptershavetheknowledgeoftheinequality,tosaytheinequalitythroughoutthehighschoolmathematics,theimportanceofthisinequality.Inequalitypresentdifferentforms,includingfunctiondomain,inequality,combinedwithasimplelogic,combinedwithaconic,combinedwithaprogression,scope,andthemeaninequality.Thispaperinviewofthevariouskindsofinequality,Igivesomesolutiontoconsultforeverybodytolearn.Keywords:inequation;solutio;explore引言不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要內(nèi)容,也是一大難點(diǎn)。論文歸納了高中不等式的類型,并以具體題目為例來(lái)分析和探究不等式的解題方法,以促進(jìn)高中不等式的學(xué)習(xí)。在論文中,作者將會(huì)介紹一元二次不等式、絕對(duì)值不等式、分式不等式、簡(jiǎn)單高次不等式、指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、無(wú)理數(shù)不等式這七種不等式的具體解法,讓讀者建立起基本的不等式思維。一元二次不等式的解法1.1一元二次不等式的定義含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是或〔其中是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式。1.2一元二次不等式解法的步湊第一步、將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；第二步、判斷相應(yīng)的一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根；第三步、根據(jù)根的情況寫出相應(yīng)的解集。1.3一元二次不等式四種解法例題講解解法一〔十字相乘法當(dāng)時(shí),一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根,那么可分解為如的形式。這樣,解一元二次不等式就可歸結(jié)為解兩個(gè)一元一次不等式組。一元二次不等式的解集就是這兩個(gè)一元一次不等式組的解集的交集。例1、試解一元二次不等式解：利用十字相乘法：得然后,分兩種情況討論。1得〔不成立2得得最終不等式的解集為：解法二〔配方法此外,亦可用配方法解一元二次不等式。如上面例題中：兩邊開(kāi)平方,得：且且得不等式的解集為解法三〔圖像法一元二次不等式也可通過(guò)一元二次函數(shù)圖象進(jìn)行求解。通過(guò)觀察圖象可知,二次函數(shù)圖象與X軸的兩個(gè)交點(diǎn),然后根據(jù)題中所需求"<0"或">0"而推出答案。求一元二次不等式的解集實(shí)際上是將這個(gè)一元二次不等式的所有項(xiàng)移到不等式一側(cè)并進(jìn)行因式分解分類討論求出解集。解一元二次不等式,可將一元二次方程不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的形式,求出函數(shù)與X軸的交點(diǎn),將一元二次不等式,二次函數(shù),一元二次方程聯(lián)系起來(lái),并利用圖象法進(jìn)行解題,使得問(wèn)題簡(jiǎn)化。解法四〔數(shù)軸穿根數(shù)軸穿根：用穿根法解高次不等式時(shí),就是先把不等式一端化為零,再對(duì)另一端分解因式,并求出它的零點(diǎn),把這些零點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上,再用一條光滑的曲線,從x軸的右端上方起,依次穿過(guò)這些零點(diǎn),這大于零的不等式的解對(duì)應(yīng)這曲線在x軸上方部分的實(shí)數(shù)x得起值集合,小于零的這相反。這種方法叫做序軸穿根法,又叫"穿根法"。口訣是"從右到左,從上到下,奇穿偶不穿。"步驟:1.把二次項(xiàng)系數(shù)變成正的<不用是1,但是得出者為正解>；2.畫(huà)數(shù)軸,在數(shù)軸上從小到大依次標(biāo)出所有根；3.從右上角開(kāi)始,一上一下依次穿過(guò)不等式的根,奇過(guò)偶不過(guò)<即遇到含X的項(xiàng)是奇次冪就穿過(guò),偶次冪就跨過(guò)。后文有詳細(xì)介紹>；4.注意看看題中不等號(hào)有沒(méi)有等號(hào),沒(méi)有的話還要注意寫結(jié)果時(shí)舍去使不等式為0的根。例如：不等式〔最高次項(xiàng)系數(shù)一定要為正,不為正要化成正的>⒈分解因式:；⒉找方程的根:或；⒊畫(huà)數(shù)軸,并把根所在的點(diǎn)標(biāo)上去；⒋注意,此時(shí)從最右端開(kāi)始,從2的右上方引出一條曲線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,繼續(xù)向左繪制,類似于拋物線,再經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,向點(diǎn)1的左上方無(wú)限延伸；⒌看題求解,題中要求求小于等于0的解,那么只需在數(shù)軸上觀察哪一段在數(shù)軸及數(shù)軸以下即可,觀察可以得到：。

2、絕對(duì)值不等式的解法2.1絕對(duì)值不等式的性質(zhì)在不等式應(yīng)用中,經(jīng)常涉及質(zhì)量、面積、體積等,也涉及某些數(shù)學(xué)對(duì)象〔如實(shí)數(shù)、向量的大小或絕對(duì)值。它們都是通過(guò)非負(fù)數(shù)來(lái)度量的。表示數(shù)軸上的點(diǎn)a與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值。兩個(gè)重要性質(zhì)：1.2.可逆推出,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)左邊等號(hào)成立,時(shí)右邊等號(hào)成立。2.2絕對(duì)值不等式的幾何意義1.當(dāng)同號(hào)時(shí)它們位于原點(diǎn)的同一邊,此時(shí)與的距離等于它們到原點(diǎn)的距離之和。2.當(dāng)異號(hào)時(shí)它們分別位于原點(diǎn)的兩邊,此時(shí)與的距離小于它們到原點(diǎn)的距離之和。<表示與原點(diǎn)的距離,也表示與之間的距離>2.3 絕對(duì)值不等式三種解法例題講解表2.3絕對(duì)值不等式的三種解法同解變形不等式解法討論法,就是令絕對(duì)值中的式子等于0,分出x的段,然后根據(jù)每段討論得出的x值,取交集,綜上所述即可數(shù)形結(jié)合法,即在數(shù)軸上將各點(diǎn)畫(huà)出,將數(shù)轉(zhuǎn)換為長(zhǎng)度的概念求解平方法,就是在不等式左右兩邊同時(shí)平方同解變形或例2、解不等式.解：原不等式轉(zhuǎn)化為,即,得.所以原不等式的解集為.例3、解不等式.解：原不等式轉(zhuǎn)化為,則,得.所以原不等式的解集為.例4、解不等式.〔注：此題提供了另外一種解絕對(duì)值不等式的方法。解：分、兩種情況討論。當(dāng)時(shí),絕對(duì)值直接去掉,在原不等式兩邊同乘以得,解得.當(dāng)時(shí),原不等式轉(zhuǎn)化為,兩邊同乘以得,即,解得.所以原不等式的解集為.例5、不等式組的解集是A.B.C.D.解：從各選項(xiàng)來(lái)看,只需解方程或.前者解得,后者解得.于是選C.〔注：絕對(duì)值不等式的解集的端點(diǎn)值必為方程的解。例6、解不等式.解〔方法一：原不等式等價(jià)于或.解之得或,即或.所以原不等式的解集為.解〔方法二：原不等式轉(zhuǎn)化為或,解之得原不等式的解集為.分式不等式的解法3.1 分式不等式的定義3.2 分式不等式解法的核心思想表3.2分式不等式的解法不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化如上表中,將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式,然后運(yùn)用整式不等式的方法求解。這就是分式不等式解法的核心思想。3.3分式不等式例題講解例6、解不等式.解〔方法一：分與兩種情況討論。當(dāng)時(shí),原不等式轉(zhuǎn)化為,解之得,但前提是,所以此時(shí)不等式的解為；當(dāng)時(shí),原不等式轉(zhuǎn)化為,解之得,但前提是,所以此時(shí)解為.綜上所述,原不等式的解集為.解〔方法二：把不等式右邊的移到左邊并通分得,再等價(jià)轉(zhuǎn)化為,解此一元二次不等式得到原不等式的解集為.例7、解不等式.解〔方法一：原不等式等價(jià)于或或.解之得.解〔方法二：原不等式等價(jià)于,解之得.簡(jiǎn)單高次不等式的解法4.1簡(jiǎn)單高次不等式的概念解不等式是初等數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一,高中數(shù)學(xué)常出現(xiàn)高次不等式,其類型通常為一元高次不等式。常用的解法有化為不等式組法、列表法和根軸法〔串根法或穿針引線法來(lái)求解。4.2簡(jiǎn)單高次不等式三種解法例題講解方法一〔列表法解題步驟：①將不等式化為形式〔各項(xiàng)x的符號(hào)化"+",令,求出各根,不妨稱之為分界點(diǎn),一個(gè)分界點(diǎn)把〔實(shí)數(shù)數(shù)軸分成兩部分,n個(gè)分界點(diǎn)把數(shù)軸分成n+1部分……；②按各根把實(shí)數(shù)分成的n+1部分,由小到大橫向排列,相應(yīng)各因式縱向排列〔由對(duì)應(yīng)較小根的因式開(kāi)始依次自上而下排列；③計(jì)算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號(hào),下面是乘積的符號(hào)；④看下面積的符號(hào)寫出不等式的解集.例9、解不等式：<x-1><x+2><x-3>>0；解：①檢查各因式中x的符號(hào)均正；②求得相應(yīng)方程的根為：-2,1,3；③列表如下：表4.2<x-1><x+2><x-3>>0各因式積各因式積④由上表可知,原不等式的解集為：方法二〔分組法此種方法的本質(zhì)是分類討論,強(qiáng)化了"或"與"且",進(jìn)一步滲透了"交"與"并"的思想方法。方法三〔根軸法又叫穿針引線法,串根法①將不等式化為形式,并將各因式x的系數(shù)化"+"；<為了統(tǒng)一方便>②求根,并在數(shù)軸上表示出來(lái)；③由右上方穿線,經(jīng)過(guò)數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)〔為什么？原因?yàn)椋寒?dāng)

時(shí)不等式左側(cè)恒為正。；④若不等式〔的系數(shù)化"+"后是"",則找"線"在軸上方的區(qū)間；若不等式是"",則找"線"在軸下方的區(qū)間.注意：奇穿偶不穿例10、解不等式解：解方程得根分別為,在數(shù)軸上標(biāo)根如下：圖4-1數(shù)軸上標(biāo)根然后穿針引線,記住穿針口訣〔從右到左、從上到下、奇穿偶回如下：圖4-2數(shù)軸上穿針引線不等式大于零取數(shù)軸上方的部分,如下：圖4-3數(shù)軸上取值于是原不等式的解集為例11、解不等式.解：解方程得根分別為,在數(shù)軸上標(biāo)根如下：圖4-4數(shù)軸上標(biāo)根然后穿針引線,記住穿針口訣〔從右到左、從上到下、奇穿偶回,注意到此題與上題的區(qū)別,根為的那一項(xiàng)的指數(shù)為,為偶數(shù)；根為的那兩項(xiàng)的指數(shù)均為奇數(shù)；其余根所在項(xiàng)的指數(shù)均為,為奇數(shù)。于是此題穿針引線的方法與上題略有不同,指數(shù)為奇數(shù)的穿過(guò)數(shù)軸,指數(shù)為偶數(shù)的不能穿過(guò)數(shù)軸,應(yīng)該迂回。此題只有要迂回,具體過(guò)程如下：圖4-5數(shù)軸上穿針引線不等式大于零取數(shù)軸上方的部分,如下：圖4-6數(shù)軸上取值于是原不等式的解集為.例12、解不等式.解：根據(jù)分式不等式的解法,原不等式等價(jià)于,即,畫(huà)數(shù)軸標(biāo)根及穿針引線如下：圖4-7數(shù)軸標(biāo)根及穿針引線于是解得,所以原不等式的解集為指數(shù)不等式的解法5.1 指數(shù)不等式的解法歸納表5.1指數(shù)不等式的解法5.2指數(shù)不等式例題講解例13、解不等式.解：原不等式轉(zhuǎn)化為,等價(jià)于,解得.例14、解不等式.解：注意到,令,則原不等式轉(zhuǎn)化為,解一元二次不等式得,即,解得6、對(duì)數(shù)不等式的解法6.1對(duì)數(shù)不等式的定義對(duì)數(shù)不等式是一種兩邊由對(duì)數(shù)構(gòu)成的不等式.6.2對(duì)數(shù)不等式例題講解例15、解不等式.解：原不等式即,則有,解得.例16、解不等式.解：原不等式即,則有,解得..例17、解不等式.解：原不等式即,解得無(wú)理數(shù)不等式的解法7.1 無(wú)理數(shù)不等式的解法歸納表7.1.1無(wú)理不等式的解法不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化表7.1.2無(wú)理數(shù)不等式解法的等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化7.2 無(wú)理數(shù)不等式例題講解例18、解不等式.解：原不等式等價(jià)于,解得,即.例19、解不等式.解〔方法一：原不等式等價(jià)于,解得,即.例20、解不等式.解：原不等式等價(jià)于,解得.補(bǔ)充：此處提供例19與例200的另一種方法：數(shù)形結(jié)合法。該法簡(jiǎn)單又直觀,宜首選。在很多解不等式的題中都能用此法。大致步驟為先識(shí)別是哪兩個(gè)函數(shù)在比較函數(shù)值,再在同一個(gè)坐標(biāo)系中把這兩個(gè)函數(shù)的圖象畫(huà)出來(lái),最后只需觀察哪個(gè)函數(shù)在哪些范圍內(nèi)圖象高,在哪些范圍內(nèi)圖象低,圖象高的說(shuō)明函數(shù)值越大,圖象低的說(shuō)明函數(shù)值越小。比如,此題中涉及的兩個(gè)函數(shù)分別是與,在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象如下：圖7-1與的圖象從圖象可以得知〔圖象高,函數(shù)值大；圖象低,函數(shù)值小：當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.綜合型不等式例題講解例21、解不等式..解：原不等式即,可等價(jià)轉(zhuǎn)化為解之得解得即.例22、解不等式.解：原不等式即,可等價(jià)轉(zhuǎn)化為,整理得,即,因恒成立,所以不等式轉(zhuǎn)化為,即,繼續(xù)轉(zhuǎn)化為,解得.9、總結(jié)在上面的論文中,我們了解到了不等式的各種解法,那么我們?nèi)绾伟阉鼈冞\(yùn)用到實(shí)際生活中去呢？這是一個(gè)實(shí)踐的過(guò)程,正所謂"學(xué)以致用"。高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)的基本理念是注重高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性,與時(shí)俱進(jìn)信息時(shí)代的到來(lái),使數(shù)學(xué)得到更廣泛的應(yīng)用,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科,它是人類文化的重要組成部分之一,不僅是研究其它學(xué)科,以及人們參加社會(huì)生產(chǎn)和生活的必不可少的工具,還具有極高的美學(xué)價(jià)值。本論文的內(nèi)容很好的實(shí)現(xiàn)了新課標(biāo)的要求,通過(guò)與現(xiàn)實(shí)生活中資源利用問(wèn)題相結(jié)合,不僅將基本不等式的知識(shí)再次鞏固,將基礎(chǔ)知識(shí)落實(shí)到位,還讓讀者通過(guò)基本不等式模型去解決實(shí)際生活中的最值問(wèn)題,感受到數(shù)學(xué)之美,數(shù)學(xué)之價(jià)值,并意識(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)可以幫助我們解決一些生活中的難題,在增強(qiáng)讀者對(duì)于資源節(jié)約的使命感、責(zé)任感的同時(shí),還幫助讀者樹(shù)立了資源節(jié)約意識(shí)的美德,很好的培養(yǎng)了讓讀者愛(ài)數(shù)學(xué)、愛(ài)資源、愛(ài)社會(huì)的思想情操。參考文獻(xiàn)[1]童美亞.新疆內(nèi)地高中班預(yù)科自編教材《方程與不等式》編寫及實(shí)施跟蹤研究[D].華東師范大學(xué),2011.[2]楊慶華.淺談矛盾轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].XX師專學(xué)