指數(shù)對(duì)數(shù)課件

指數(shù)、對(duì)數(shù)

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)太和二中高一2班【復(fù)習(xí)引入】

⑴在初中,我們學(xué)習(xí)過(guò)的整數(shù)指數(shù)冪是怎樣定義的？即an=?a0=?a-n=?

a0=

an=1a-n=(a≠0,n∈N*).（a≠0）(n∈N*)答：零的零次冪沒(méi)有意義零的負(fù)整數(shù)次冪沒(méi)有意義

(2)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是：

①am·an=am+n(m,n∈Z)

②(am)n=amn(m,n∈Z)；

③(ab)n=an

bn(n∈Z).注意：

①--③都要遵守零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不能等于0的規(guī)定.【練一練】1.回答下列各題（口答）：①a2·a3=②(b4)2=③(m·

n)3=.a5b8m3×n31.如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的

；2.如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的

.

一般地，如果一個(gè)數(shù)的n（n>1,n∈N*）次方等于a，那么這個(gè)數(shù)又叫做什么呢？

叫做a的n次方根平方根立方根平方根立方根例如，若32=9，則3是9的

；若53=125，則5是125的

.答：【想一想】1.根式的概念

一般地，如果一個(gè)數(shù)的n次方（n>1,n∈N*）等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根.式子叫做根式，其中

n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)

注意：若xn=a，則x叫做a的n次方根，其中n>1,且n∈N*.也就是說(shuō)：當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的n次方根用符號(hào)表示；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根用符號(hào)±表示.

【練一練】1、填空：

(1)27的3次方根表示為

，(2)－32的5次方根表示為

,

(3)a6的3次方根表示為

；(4)16的4次方根表示為

，概念的理解（1）、25的平方根是________（2）、27的立方根是________（3）、--32的五次方根是_____（4）、16的四次方根是_______（5）、a6的三次方根是________（6）、0的七次方根是_______⒉方根的性質(zhì)奇次方根的性質(zhì)：

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).

偶次方根的性質(zhì)：

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的偶次方根是兩個(gè)絕對(duì)值相等符號(hào)相反的數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次方根沒(méi)有意義.

0的任何次方根都是0，記作=0.

例1、求下列各式的值問(wèn)題：（1）、的含義是什么？結(jié)果呢？（2）、的含義是什么？結(jié)果呢？三、根式的運(yùn)算性質(zhì)：用語(yǔ)言敘述上面三個(gè)公式：⑴非負(fù)實(shí)數(shù)a的n次方根的n次冪是它本身.⑵n為奇數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的n次冪的n次方根是a本身；n為偶數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的n次冪的n次方根是a的絕對(duì)值.⑶若一個(gè)根式(算術(shù)根)的被開(kāi)方數(shù)是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的冪，那么這個(gè)根式的根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)都乘以或者除以同一個(gè)正整數(shù)，根式的值不變.()3=，()5=,()2=43

|-3|=3-2

2

27-32【課堂練習(xí)】1、下列根式的值為：2、求下列各式的值：|-10|

＝10|3-|=-3|a-b|=a-b(a>b)解：3.化簡(jiǎn)下列各式：⑴⑵⑶⑷⑸

－294.計(jì)算解：當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，原式=（a-b）+（a+b）=2a.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),原式=所以,n是奇數(shù)n是偶數(shù)5?；?jiǎn)6。求值⑴.當(dāng)n為任意正整數(shù)時(shí)，()n=a;⑵.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=a；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，=|a|=;⑶.（a≥0）.

【小結(jié)】作業(yè)：2：已知:3a=2，3b=5.則32a-b=_____1：3：化簡(jiǎn)：4：求的值§3.3.2指數(shù)函數(shù)規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：規(guī)定正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：0的正數(shù)次冪等于0，0的負(fù)數(shù)次冪無(wú)意義，0的0次冪無(wú)意義。①am·an=am+n(a>0,m,n∈R)；②(am)n=amn

(a>0,m,n∈R)；③(ab)n=anbn(a>0,b>0,n∈R);④am÷an=am-n(a>0,m,n∈R)；⑤(a/b)n=an/bn(a>0,b>0,且n∈R).性質(zhì)：題型一將根式轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式。（a>0,b>0)1，當(dāng)有多重根式是，要由里向外層層轉(zhuǎn)化。

2、對(duì)于有分母的，可以先把分母寫(xiě)成負(fù)指數(shù)冪。3、要熟悉運(yùn)算性質(zhì)。題型二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪求值，

關(guān)鍵先求a的n次方根題型三分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算1、系數(shù)先放在起運(yùn)算。2、同底數(shù)冪進(jìn)行運(yùn)算，乘的指數(shù)相加，除的指數(shù)相減。2.100例4計(jì)算例5計(jì)算題型四根式運(yùn)算，先把每個(gè)根式用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示；題目便轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算。注意：結(jié)果可以用根式表示，也可以用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示。但同一結(jié)果中不能既有根式又有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，并且分母中不能含有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。例1：化簡(jiǎn)2。1。例2：化簡(jiǎn)1。2。計(jì)算1。2。題型五利用代數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)：例1：化簡(jiǎn)例2：237183、化簡(jiǎn)：解：原式=4、已知x

－3+1=a，求a2

－2ax

－3+x

－6

的值。解法一：a2－2ax－3+x－6

=(x－3+1)2－2(x－3+1)x－3+x－6=x－6+2x－3+1－2x－6－2x－3+x－6=1解法二：由x

－3+1=a得x－3=a－1x－6=(x－3)2=(a－1)2故原式=1由題a－x

－3=1原式=(a－x

－3)2解法3：=1=a2－2a2+2a+a2－2a+1=a2－2a(a－1)+(a－1)2

a2－2ax－3+x－6

學(xué)生練習(xí)：化簡(jiǎn)與求值：（1）（2）(a2

－2+a

－2)÷(a2

－a

－2)（3）已知，求的值題型六分?jǐn)?shù)指數(shù)冪或根式中x的定義域問(wèn)題。例：求下列各式中x的范圍測(cè)試題

1.

已知那么x等于

（A）8（B）（C）（D）2.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,下列等式正確的是（A）（B）（C）（D）

3.6.已知,其中a>0，,將下列各式分別用u表示出來(lái)：（1）（2）5.4.9.設(shè)求的值

10.

已知且a>0，

求的值．

7.8.11.12.對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)什么是對(duì)數(shù)?學(xué)會(huì)指數(shù)和對(duì)數(shù)互化.對(duì)數(shù)的公式有那些?利用對(duì)數(shù)的公式計(jì)算引例:假設(shè)1995年我國(guó)的國(guó)民生產(chǎn)總值為1億元，如每年平均增長(zhǎng)8%，那么經(jīng)過(guò)多少年國(guó)民生產(chǎn)總值是1995年的2倍？對(duì)數(shù)的概念:一般地，如果a（a>0且a1）的b次冪等于N,

就是ab=N，那么數(shù)b叫做a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN=b，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。ab=N底數(shù):a>0且a1冪:N>0指數(shù):bRlogaN=b底數(shù):a>0且a1真數(shù):N>0對(duì)數(shù)性質(zhì):(1)負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù);(2)1的對(duì)數(shù)是0;即loga1=0(3)底數(shù)的對(duì)數(shù)是1,即logaa=1(4)兩個(gè)特殊對(duì)數(shù)：

以無(wú)理數(shù)e（e=2.71828‥‥‥)為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，N的自然對(duì)數(shù)記作lnN.以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，即N的常用對(duì)數(shù)記作lgN；指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化:例1:將下列指數(shù)式寫(xiě)成對(duì)數(shù)式：

（1）54=625（2）；（3）3a=27；（4）

．例2．將下列對(duì)數(shù)式寫(xiě)成指數(shù)式：（1）；

（2）；

（3）；（4）

例3:求下列各式的值:(1)log749=____(2)lg100=________(3)log0.351=____(4)(5)log=________(6)lne=_______(8)(9)log2(sin300)=_______積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：如果a>0，a1，M>0，N>0

有：證明：①設(shè)由對(duì)數(shù)的定義可以得：∴MN=即證得上述證明是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，先通過(guò)假設(shè)，將對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式，并利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形；然后再根據(jù)對(duì)數(shù)定義將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式。①簡(jiǎn)易語(yǔ)言表達(dá)：“積的對(duì)數(shù)=對(duì)數(shù)的和”……②有時(shí)逆向運(yùn)用公式③真數(shù)的取值范圍必須是④對(duì)公式容易錯(cuò)誤記憶，要特別注意：其他重要公式1:證明：設(shè)由對(duì)數(shù)的定義可以得：∴即證得其他重要公式2:證明：設(shè)由對(duì)數(shù)的定義可以得：即證得這個(gè)公式叫做換底公式其他重要公式3:證明:由換底公式取以b為底的對(duì)數(shù)得：還可以變形,得例4

計(jì)算（1）（2）講解范例

解

:=5+14=19解

:講解范例

（3）解

:=3例5

講解范例

解（1）解（2）

用表示下列各式：（1）例6計(jì)算：講解范例

解法一：解法二：（2）例3計(jì)算：講解范例

解：練習(xí)

（1）（4）（3）（2）求下列各式的值：對(duì)數(shù)定義：一般地，如果a（a>0且a1）的b次冪等于N,

就是ab=N，那么數(shù)b叫做a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN=b，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。性質(zhì):(1)負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù);(2)1的對(duì)數(shù)是0;即loga1=0(3)底數(shù)的對(duì)數(shù)是1,即logaa=1(4)小結(jié):積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：如果a>0，a1，M>0，N>0

有：其他重要公式:預(yù)習(xí)提綱對(duì)數(shù)函數(shù)?對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象?對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?

對(duì)數(shù)函數(shù)一定義：函數(shù)y=logax(a>0,a≠,定義域是(0,+，叫對(duì)數(shù)函數(shù)。判斷：以下函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（）Ay=log2(3x-2)By=log(x-1)xCy=log1/3x2Dy=lnx二.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象:1.描點(diǎn)畫(huà)圖.的變量x,y的對(duì)應(yīng)值對(duì)調(diào)即可得到y(tǒng)=logax(0<a≠1)的變量對(duì)應(yīng)值表.注意只要把指數(shù)函數(shù)y=ax(0<a≠1)xY=log2x……1/81/41/21248……-3-2-10123xY=log1/2x…………-31/81/41/21248-2-10123xY=log10x…………0.10.3211.785.6210-1-1/201/41/21xyo12345678123-1-2-3Y=log2x-1112345678910xyY=log10x-1112345678910xyxyo12345678123-1-2-3Y=log1/2x因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax(0<a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)2.利用對(duì)稱性畫(huà)圖.y=logax(0<a≠1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

XYO112233445567Y=log2xY=XY=2x-1-1-2●●●●●●●●●●OXY123456789123-1-2-3Y=log2xY=lgxY=log1/2x三.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):觀察圖象,總結(jié)性質(zhì).a>10<a<1圖象性質(zhì)x>0x=1時(shí),y=0x>1時(shí),y>00<x<1時(shí),y<00<x<1時(shí),y>0x>1時(shí),y<0在(0,+上是增函數(shù)在(0,+上是減函數(shù)x1YOY=logaxxYO1Y=logax其它性質(zhì)：（1）隨著底數(shù)a的增大，圖象在同一象限內(nèi)的位置按順時(shí)針轉(zhuǎn)。（2）y=logax與y=log1/ax的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱。（3）對(duì)數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。

例一:求下列函數(shù)的定義域:(1)y=logax2(2)y=loga(4-x)解:(1)因?yàn)閤2>0,所以x≠,即函數(shù)y=logax2的定義域?yàn)?(0,+

(2)因?yàn)?-x>0,所以x<4,即函數(shù)y=loga(4-x)的定義域?yàn)?-4)

(3)y=log(x-1)(3-x)(4)y=log0.5(4x-3)(3)因?yàn)?-x>0x-1>0x-1≠所以1<x<3,x≠2即函數(shù)y=log(x-1)(3-x)的定義域?yàn)?1,2)(4)因?yàn)?x-3>0log0.5(4x-3)0x>3/44x-3≤定義域?yàn)?3/4,1]例2:比較下列各組中兩個(gè)值的大小:

(1)log23,log23.5(2)log0.71.6,logo.71.8解:(1)考察對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x,因?yàn)?>1,3<3.5所以log23<log23.5(2)考察對(duì)數(shù)函數(shù)y=log0.7x,因?yàn)?.7<1,1.6<1.8所以

log0.71.6>log0.71.8思考題比較大小:(1)log35和log45

(2)log35和log0.50.6

小結(jié)

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).(3)性質(zhì)的應(yīng)用.(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義.注意（2）看見(jiàn)函數(shù)式想圖象，結(jié)合圖象記性質(zhì)。(1)類比記憶指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)。

1.

反函數(shù)定義域

A值域

C定義域

C值域

A確定唯一確定唯一yxyx方法：反解

逆運(yùn)算反函數(shù)概念2.求反函數(shù)反函數(shù)概念2.求反函數(shù)交換

x，y.復(fù)習(xí)91

2.

互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系xy0y=xy=2x+1函數(shù)y=f(x)的圖象與它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱若函數(shù)y=f(x)的圖象上有點(diǎn)（a,b),則反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上必然有點(diǎn)（b,a)

·(a,b)·(b,a)復(fù)習(xí)?互為反函數(shù)的圖象關(guān)于什么對(duì)稱？?互為反函數(shù)的圖象上，對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？提供了畫(huà)反函數(shù)圖象的一種方法。92

3.

指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系底數(shù)底數(shù)指數(shù)對(duì)數(shù)冪真數(shù)可互化

b叫以a為底N的對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記復(fù)習(xí)93指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互換例如復(fù)習(xí)94

1.

指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是什么？定義域是（-∞，+∞）值域是（0,+∞)