線性代數(shù)-N階行列式

線性代數(shù)

南京工業(yè)大學(xué)理學(xué)院

信息與計(jì)算科學(xué)系程浩

線性代數(shù)是研究在日常生活里、在工程技術(shù)的許多領(lǐng)域以及在各項(xiàng)科學(xué)研究中經(jīng)常出現(xiàn)的代數(shù)問題的一門學(xué)科。介紹

這些代數(shù)問題包括：矩陣的運(yùn)算，線性方程組的求解理論與方法，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，線性空間與線性變換等。1什么全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽？2數(shù)學(xué)建模競賽在我校的情況？3該怎樣參加數(shù)學(xué)建模競賽？

線性代數(shù)是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。例如，在計(jì)算機(jī)圖形處理中，通常將圓錐曲線寫成下列矩陣形式簡記為

如果將該圓錐曲線作（繞原點(diǎn)的）旋轉(zhuǎn)變換（坐標(biāo)系不變），設(shè)變換矩陣則變換后的圓錐曲線其方程即為

用矩陣方法來表示圓錐曲線的旋轉(zhuǎn)變換，不僅表達(dá)簡明，而且更便于計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)。線性代數(shù)這一門學(xué)科各章內(nèi)容之間有較強(qiáng)的漸進(jìn)關(guān)系；概念具有多樣性；有些理論比較抽象；解決問題的方法富于變化；對(duì)本課程的這些特點(diǎn)，在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)予以注意。章節(jié)內(nèi)容

第一章.行列式

第二章.矩陣

第三章.向量組

第四章.線性方程組

第五章.矩陣的對(duì)角化

第六章.二次型*第七章.線性空間與線性變換第一章行列式

§1.1n階行列式的定義

§1.2n階行列式的性質(zhì)§1.4克萊姆(Cramer)法則

§1.3n階行列式的計(jì)算n階行列式的定義、性質(zhì)與計(jì)算

行列式是線性代數(shù)中的一個(gè)基本工具。在初等數(shù)學(xué)里已經(jīng)介紹二階、三階行列式，現(xiàn)在為了研究n元線性方程組需要進(jìn)一步討論n階行列式。討論二階、三階行列式進(jìn)一步介紹n階行列式解決一類n元線性方程組求解問題本章邏輯順序性質(zhì)與計(jì)算為重點(diǎn)第一節(jié)n階行列式

一.二階、三階行列式

研究二元線性方程組：

利用消元法，得兩式相減消去2x

從二元線性方程組解的形式可以發(fā)現(xiàn)，如果引入記號(hào)（叫做二階行列式）：

同理則其解可簡潔地表示為：

其中解線性方程組由于方程組的系數(shù)行列式

又所以方程組的解為

解例1．類似地，如果在求解三元方程組

的過程中引入下列三階行列式的記號(hào)

其實(shí)，這個(gè)三階行列式的展開式的值也可以用下面的所謂主、副對(duì)角線法則得到：

＋－并規(guī)定其值為：

時(shí)，用消元法同樣可得這個(gè)方程組的解其中

Dj（j=1,2,3）是用常數(shù)項(xiàng)b1,b2,b3替換系數(shù)行列式

D中的第j列所得的三階行列式。

而且當(dāng)三元線性方程組的系數(shù)行列式

例2．解

D==計(jì)算行列式

但應(yīng)當(dāng)指出的是：主、副對(duì)角線法則不易于向一般n階行列式推廣。＋－事實(shí)上，三階行列式的計(jì)算，除了主、副對(duì)角線法則還可以按照依第一行展開的方法得到行列式的值。即的代數(shù)余子式：A11=其中A11,A12,A13

分別是第一行元素A12=A13=同理和＋－＋－＋－＋－＋而且不難看到，這與用主、副對(duì)角線法則得到的結(jié)果是一致的。例如，對(duì)例2中的行列式，有

A11=－1A12=10A13=－7從而行列式的值=1×(－1)+0×10+1×(－7)=－8與對(duì)角線法結(jié)果相同。1）可以用低階行列式的值去定義高階行列式的值；

即，從而從二、三階行列式出發(fā)去定義一般的n階行列式。

2）這樣的定義方式應(yīng)該具有某種內(nèi)在的一致性。即，這樣定義的各階行列式應(yīng)該有統(tǒng)一的性質(zhì)。這一展開的規(guī)律啟示我們：

二.n階行列式

由n×n個(gè)數(shù)(i,j=1,2,…,n)組成的具有n行n列的式子并且規(guī)定其值為：1）當(dāng)n=1時(shí)，D=定義1.叫做n階行列式（Determinant），2）當(dāng)n2時(shí)，D=其中

為行列式D的元素

的為行列式D的元素

并稱

的

余子式，

代數(shù)余子式。

可知：n階行列式的定義展式中，一定包含有n！個(gè)項(xiàng)，并且每一項(xiàng)都是來自于不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積。（容易證明）從二、三階行列式例3．計(jì)算n階上三角行列式由行列式定義，按第一行展開時(shí)，第一行的以此類推，得

解

皆等于零，所以

的余子式

元素

？特別地，對(duì)主對(duì)角行列式，有

對(duì)上三角行列式與主對(duì)角行列式值的結(jié)論，我們以后常會(huì)用到。例4．計(jì)算n階（副對(duì)角、下三角）行列式

解由n階行列式的定義，可以得到

是n-1階行列式，其中的余子式

它與n階行列式

同樣的形式，行列式的定義，有=等于

這個(gè)n行列式

的值并不總值得注意的是：反復(fù)利用（n階）！??！例5．計(jì)算4階數(shù)字行列式

解

==如果再將上述行列式按第四行元素展開，又得到

這個(gè)結(jié)果與按定義展開是一樣的。

實(shí)際上，行列式不但可以按第一行元素展開，而且也可以按第一行以后的任一行或者任一列去展開，其結(jié)果都是相同的。即有下面的定理：n階行列式D等于它的任一行（列）的元素與它們所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，和定理證明略去。

定理