機(jī)器人靜力學(xué)

機(jī)器人學(xué)戰(zhàn)強(qiáng)北京航空航天大學(xué)機(jī)器人研究所第四章、機(jī)器人靜力學(xué)第四章、機(jī)器人靜力學(xué)機(jī)器人與外界接觸會(huì)有力和力矩的作用，如靈巧手抓取雞蛋時(shí)；雙足機(jī)器人上下樓梯時(shí)。問(wèn)題1：各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力（廣義力）與末端的作用力之間的關(guān)系？？問(wèn)題

本章主要討論機(jī)器人在靜止?fàn)顟B(tài)下的受力分析和平衡關(guān)系。17.6m如果外界的作用力太大，如機(jī)器人抓持的物體太重，則機(jī)器人操作臂會(huì)發(fā)生變形。問(wèn)題2：外界作用力與操作臂各連桿變形之間的關(guān)系？？4.1連桿的受力和平衡方程機(jī)器人是由連桿和關(guān)節(jié)（低副機(jī)構(gòu)）組成，這里將機(jī)器人的連桿當(dāng)成剛體，以其中一個(gè)連桿為對(duì)象對(duì)其進(jìn)行靜力分析，連桿i及其相鄰連桿之間的作用力和作用力矩關(guān)系如下圖。：連桿i-1作用在連桿i上的力；：連桿i-1作用在連桿i上的力矩；：連桿i的重力，作用在質(zhì)心上；：連桿i上的質(zhì)心位置；{i＋1}{i}MifimigMi+1fi+1-fi+1-Mi+1連桿i處于平衡態(tài)時(shí)，受合力為零，力矩平衡方程為：表示坐標(biāo)系{i+1}的原點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系{i}的表示；{i}Mifimig-fi+1-Mi+1{i＋1}Mi+1fi+1（4-1）（4-2）在坐標(biāo)系{i}中，以為支點(diǎn)，力平衡方程為通常需要根據(jù)末端連桿上的外界作用力和力矩，依次計(jì)算出每個(gè)連桿上的受力情況，從末端連桿遞推到基座。如果忽略掉連桿本身的重量，上兩式可寫成反向迭代的形式將表示在其所在的坐標(biāo)系{i+1}中采用旋轉(zhuǎn)矩陣寫成靜力從一連桿向另一連桿傳遞的形式根據(jù)此式可進(jìn)一步求出每關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力和力矩！若不考慮關(guān)節(jié)中的摩擦，旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)除了繞轉(zhuǎn)軸的扭矩外，其余各方向的力和力矩都由機(jī)械構(gòu)件承受，為保持連桿平衡，i關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩應(yīng)等于對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)，除了沿Z軸方向的力之外，其余方向的力和力矩都由機(jī)械構(gòu)件承受，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力為例：2自由度平面機(jī)器人末端對(duì)外施加的作用力為F3，求各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩。X3Y3F3連桿2連桿1X2X1Y2Y1l2l1X3Y3F3連桿2連桿1X2X1Y2Y1l2l1將外界作用力從坐標(biāo)系{2}表示轉(zhuǎn)換到基坐標(biāo)系{0}中力雅可比力雅可比剛好是運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置力雅可比XY12l1l24.2等效關(guān)節(jié)力和力雅可比將操作臂末端所受到的力和力矩組成六維矢量將各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩組成n維矢量將關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩看成操作臂驅(qū)動(dòng)裝置的輸入，末端產(chǎn)生的廣義力作為操作臂的輸出。采用虛功原理推導(dǎo)它們之間的關(guān)系。令各關(guān)節(jié)的虛位移為，末端的虛位移為D。終端廣義力矢量虛位移是滿足機(jī)械系統(tǒng)的幾何約束條件的無(wú)限小位移。各關(guān)節(jié)所做的虛功之和為末端操作器所做的虛功為根據(jù)虛功原理，操作臂平衡情況下，由任意虛位移產(chǎn)生的虛功和為零。即關(guān)節(jié)空間虛位移產(chǎn)生的虛功等于操作空間虛位移產(chǎn)生的虛功.由于？上式表明：不考慮關(guān)節(jié)之間的摩擦力，在外力F的作用下，操作臂平衡的條件是關(guān)節(jié)力矩滿足上式。注意：如果雅可比J不滿秩，則末端操作器在某些方向上處于失控，不能施加所需的力和力矩，即沿這些方向的廣義力可隨意變化，而不會(huì)對(duì)關(guān)節(jié)力矩的大小產(chǎn)生影響。力雅可比力雅可比是運(yùn)動(dòng)雅可比的轉(zhuǎn)置F連桿2連桿1雅可比J不滿秩奇異狀態(tài)如右圖所示的平面兩桿機(jī)器人處于近奇異狀態(tài)，則此時(shí)可以很小的關(guān)節(jié)力矩克服非常大的外界作用力。4.3微分運(yùn)動(dòng)與靜力傳播的對(duì)偶性由力雅可比和運(yùn)動(dòng)雅可比之間的關(guān)系可知操作臂的靜力傳遞關(guān)系和速度傳遞關(guān)系緊密相關(guān)。J映射零空間N(J)操作速度空間關(guān)節(jié)速度空間值域空間J的值域空間表示關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)能產(chǎn)生的全部操作速度的集合J映射N(J)零空間值域空間JTN(JT)值域空間零空間靜力映射是從m維矢量空間向n維關(guān)節(jié)空間的映射；因此關(guān)節(jié)力矩矢量總是由末端操作力F唯一確定。但對(duì)于給定的關(guān)節(jié)力矩，與之平衡的末端操作力不一定存在。速度：靜力：J映射N(J)零空間值域空間JTN(JT)值域空間零空間零空間：代表不需要任何關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩而能承受的所有末端操作力的集合；這時(shí)末端操作力完全由操作臂機(jī)構(gòu)本身承受。值域空間：代表操作力能平衡的所有關(guān)節(jié)力矩矢量的集合。N(JT)S1S3S4S2速度：靜力：J映射N(J)零空間值域空間JTN(JT)值域空間零空間S1S3S4S2根據(jù)線性代數(shù)：零空間N(J)是值域空間在Rn的正交補(bǔ)，即對(duì)于任何非空的n維矢量則S1:N(J)在Rn的正交補(bǔ)S3:R(JT)在Rn的正交補(bǔ)這意味著在不產(chǎn)生末端操作速度的這些關(guān)節(jié)速度方向上，關(guān)節(jié)力矩不能被末端操作力所平衡。為了保持操作臂末端靜止不動(dòng)，在零空間的關(guān)節(jié)力矩矢量必須為零。在操作空間中，值域空間是零空間N(JT)的正交補(bǔ)。不能由關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)產(chǎn)生的這些操作運(yùn)動(dòng)方向正是不需關(guān)節(jié)力矩平衡的末端操作力的方向。反之，當(dāng)外力作用方向沿著末端操作器能夠運(yùn)動(dòng)的方向時(shí)，外力完全可以由關(guān)節(jié)力矩來(lái)平衡。J映射N(J)零空間值域空間JTN(JT)值域空間零空間S1S3S4S2運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)的對(duì)偶性4.4力與力矩的坐標(biāo)變換利用靜力和瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)的對(duì)偶關(guān)系，可以把靜力學(xué)問(wèn)題歸結(jié)為相應(yīng)的微分運(yùn)動(dòng)問(wèn)題來(lái)研究。J映射N(J)零空間值域空間JTN(JT)值域空間零空間S1S3S4S2運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)的對(duì)偶性假設(shè)6維廣義力矢量力和力矩的坐標(biāo)變換與微分運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)變換之間同樣存在對(duì)偶關(guān)系利用虛功原理推導(dǎo)從坐標(biāo)系{B}的描述變換到{A}中的描述坐標(biāo)系{A}中的虛位移、作用力坐標(biāo)系{B}中的虛位移、作用力根據(jù)虛功原理：外力和等效力所做的虛功之和為零，可得：由微分運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)變換公式兩坐標(biāo)系的微運(yùn)動(dòng)變換反對(duì)稱矩陣將上式轉(zhuǎn)置得從坐標(biāo)系{B}的描述變換到坐標(biāo)系{A}中的描述為：兩坐標(biāo)系的力和力矩變換公式例：腕力傳感器測(cè)出手腕上的六維廣義力，計(jì)算工具頂端的作用力令坐標(biāo)系{W}到坐標(biāo)系{T}的齊次變換矩陣為根據(jù)靜力傳遞的關(guān)系XTYTZTZTYWXW則工具端的廣義力為：4.5靜力學(xué)的逆問(wèn)題關(guān)節(jié)力和外界作用力之間的關(guān)系：J：可能不是方陣，也可能沒(méi)有逆F=？F的值不確定Dim(F)<Dim(τ)|J|!=0(最小二乘法)主要應(yīng)用：由關(guān)節(jié)力矩確定操作臂的負(fù)荷量。4.6剛度和柔度操作臂在外力作用下會(huì)產(chǎn)生變形，變形大小與操作臂剛度和作用力的大小有關(guān)。操作臂的剛度影響它的動(dòng)態(tài)特性和定位精度。操作臂變形的部位：連桿連桿支撐關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)裝置對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿的操作臂，如CANADAARM，連桿變形是主因；對(duì)于工業(yè)機(jī)器人，變形的主因是傳動(dòng)、減速裝置和伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)關(guān)節(jié)i的各個(gè)變形的主因都可用剛度描述，為簡(jiǎn)便，可將驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的剛度用彈簧系數(shù)ki表示，即關(guān)節(jié)力矩/靜態(tài)誤差力矩附加變形假設(shè)連桿是剛性的，推導(dǎo)關(guān)節(jié)剛度和操作臂末端剛度之關(guān)系：假設(shè)D是基系下末端變形關(guān)節(jié)i的等效剛度操作臂末端的柔度矩陣：表示操作力F和產(chǎn)生末端變形D之間的線性關(guān)系如果J是方陣且滿秩，則C是可逆的末端剛度矩陣A、當(dāng)J退化時(shí)，C不可逆，則剛度至少在一個(gè)方向上變?yōu)闊o(wú)窮大，操作力作用在這些方向上不會(huì)產(chǎn)生任何關(guān)節(jié)力矩，也不會(huì)產(chǎn)生變形。結(jié)論：B、操作臂末端的剛度和柔度矩陣取決于各關(guān)節(jié)的剛度和雅可比矩陣，與操作臂的形位有關(guān)。操作臂末端的變形與形位和作用力的方向都有關(guān)。F連桿2連桿1如圖所示的平面機(jī)器人，末端柔度矩陣為：為求出單位作用力引起的極大變形和極小變形的數(shù)值和方向，令利用拉格朗日乘子λ，定義拉格朗日函數(shù)相對(duì)極值的必要條件為拉格朗日乘子λ就是平方柔度矩陣C2的特征值解平方柔度矩陣C2的特征方程得最大和最小特征值為注意：因每個(gè)關(guān)節(jié)剛度為正，兩特征值