曲邊梯形的面積,定積分的概念

1.5.1曲邊梯形的面積這些圖形的面積該怎樣計(jì)算？說(shuō)教學(xué)設(shè)想

1.曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線y=f(x)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。Ox

y

a

b

y=f(x)一.

求曲邊梯形的面積x=ax=b

①、只有一邊是曲線

②、其他三邊是特殊直線

y=f(x)bax

yO

A1AA1.用一個(gè)矩形的面積A1近似代替曲邊梯形的面積A，得AA1+A2用兩個(gè)矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)bax

yOA1A2AA1+A2+A3+A4用四個(gè)矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)bax

yOA1A2A3A4

y=f(x)bax

yOAA1+A2++An將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，于是曲邊梯形的面積A近似為A1AiAn——以直代曲,無(wú)限逼近

2．曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積即求下的面積——分成很窄的小曲邊梯形，然后用矩形面積代后求和。若“梯形”很窄，可近似地用矩形面積代替在不很窄時(shí)怎么辦？——以直代曲

例1.求拋物線y=x2、直線x=1和x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

解:把底邊[0,1]分成n等份,然后在每個(gè)分點(diǎn)作底邊的垂線,這樣曲邊三角形被分成n個(gè)窄條,用矩形來(lái)近似代替,然后把這些小矩形的面積加起來(lái),得到一個(gè)近似值:因此,我們有理由相信,這個(gè)曲邊三角形的面積為:1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取極限1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取極限用黃色部分的面積來(lái)代替曲邊梯形的面積，當(dāng)曲邊梯形分割的越細(xì)，藍(lán)色部分面積就越小，就越接近曲邊梯形的面積.1、分割將曲邊梯形分割為等高的小曲邊梯形分割梯形分割x軸分割定義域“等分”“等分”“等分”區(qū)間長(zhǎng)度：2、近似代替第i個(gè)小曲邊梯形…3、求和4、取極限第i個(gè)小曲邊梯形第i個(gè)小直邊“梯形”思考2、近似代替…3、求和4、取極限從小于曲邊梯形的面積來(lái)無(wú)限逼近從大于曲邊梯形的面積來(lái)無(wú)限逼近第i個(gè)小曲邊梯形求曲邊梯形的面積；其中曲邊為函數(shù)y=x2練習(xí)小結(jié):求由連續(xù)曲線y=f(x)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法有理由相信，分點(diǎn)越來(lái)越密時(shí)，即分割越來(lái)越細(xì)時(shí)，矩形面積和的極限即為曲邊形的面積。（1）分割

（2）求面積的和

把這些矩形面積相加作為整個(gè)曲邊形面積S的近似值。

（3）取極限

小結(jié)汽車行駛的路程引入思考結(jié)論一、定積分的定義如果當(dāng)n∞時(shí)，S的無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出,通過“四步曲”:分割---近似代替----求和------取極限得到解決.定積分的定義：定積分的相關(guān)名稱：

———叫做積分號(hào)，

f(x)——叫做被積函數(shù)，

f(x)dx—叫做被積表達(dá)式，

x———叫做積分變量，

a———叫做積分下限，

b———叫做積分上限，

[a,b]—叫做積分區(qū)間。被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分下限積分上限按定積分的定義，有

(1)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)0)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為

(2)設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度v=v(t)，則此物體在時(shí)間區(qū)間[a,b]內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s為定積分的定義：1x

yOf(x)=x2Ov

t12

說(shuō)明：

(1)定積分是一個(gè)數(shù)值,

它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān)，即òbaf(x)dx

=òbaf

(x)dx

-(3)(2)定積分的幾何意義：Ox

yab

yf(x)

x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。當(dāng)f(x)0時(shí)，由yf(x)、xa、xb

與x

軸所圍成的曲邊梯形位于x

軸的下方，x

yO=-．a(chǎn)b

yf(x)

y-f(x)=-S上述曲邊梯形面積的負(fù)值。

定積分的幾何意義：=-Sab

yf(x)Ox

y探究:根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的面積?ab

yf(x)Ox

y三:定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1.性質(zhì)2.三:定積分的基本性質(zhì)定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性性質(zhì)3.Ox

yab

yf(x)Ｃ

性質(zhì)3

不論a，b，c的相對(duì)位置如何都有ab

y=f(x)cOx

y例1：利用定積分的定義,計(jì)算的值.

例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例3：解：xyf(x)=sinx1-1

利用定積分的幾何意義，判