曲邊梯形的面積,定積分的概念

1.5.1曲邊梯形的面積這些圖形的面積該怎樣計(jì)算？說教學(xué)設(shè)想

1.曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線y=f(x)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。Ox

y

a

b

y=f(x)一.

求曲邊梯形的面積x=ax=b

①、只有一邊是曲線

②、其他三邊是特殊直線

y=f(x)bax

yO

A1AA1.用一個(gè)矩形的面積A1近似代替曲邊梯形的面積A，得AA1+A2用兩個(gè)矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)bax

yOA1A2AA1+A2+A3+A4用四個(gè)矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)bax

yOA1A2A3A4

y=f(x)bax

yOAA1+A2++An將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，于是曲邊梯形的面積A近似為A1AiAn——以直代曲,無限逼近

2．曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積即求下的面積——分成很窄的小曲邊梯形，然后用矩形面積代后求和。若“梯形”很窄，可近似地用矩形面積代替在不很窄時(shí)怎么辦？——以直代曲

例1.求拋物線y=x2、直線x=1和x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

解:把底邊[0,1]分成n等份,然后在每個(gè)分點(diǎn)作底邊的垂線,這樣曲邊三角形被分成n個(gè)窄條,用矩形來近似代替,然后把這些小矩形的面積加起來,得到一個(gè)近似值:因此,我們有理由相信,這個(gè)曲邊三角形的面積為:1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取極限1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取極限用黃色部分的面積來代替曲邊梯形的面積，當(dāng)曲邊梯形分割的越細(xì)，藍(lán)色部分面積就越小，就越接近曲邊梯形的面積.1、分割將曲邊梯形分割為等高的小曲邊梯形分割梯形分割x軸分割定義域“等分”“等分”“等分”區(qū)間長(zhǎng)度：2、近似代替第i個(gè)小曲邊梯形…3、求和4、取極限第i個(gè)小曲邊梯形第i個(gè)小直邊“梯形”思考2、近似代替…3、求和4、取極限從小于曲邊梯形的面積來無限逼近從大于曲邊梯形的面積來無限逼近第i個(gè)小曲邊梯形求曲邊梯形的面積；其中曲邊為函數(shù)y=x2練習(xí)小結(jié):求由連續(xù)曲線y=f(x)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法有理由相信，分點(diǎn)越來越密時(shí)，即分割越來越細(xì)時(shí)，矩形面積和的極限即為曲邊形的面積。（1）分割

（2）求面積的和

把這些矩形面積相加作為整個(gè)曲邊形面積S的近似值。

（3）取極限

小結(jié)汽車行駛的路程引入思考結(jié)論一、定積分的定義如果當(dāng)n∞時(shí)，S的無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出,通過“四步曲”:分割---近似代替----求和------取極限得到解決.定積分的定義：定積分的相關(guān)名稱：

———叫做積分號(hào)，

f(x)——叫做被積函數(shù)，

f(x)dx—叫做被積表達(dá)式，

x———叫做積分變量，

a———叫做積分下限，

b———叫做積分上限，

[a,b]—叫做積分區(qū)間。被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分下限積分上限按定積分的定義，有

(1)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)0)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為

(2)設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度v=v(t)，則此物體在時(shí)間區(qū)間[a,b]內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s為定積分的定義：1x

yOf(x)=x2Ov

t12

說明：

(1)定積分是一個(gè)數(shù)值,

它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即òbaf(x)dx

=òbaf

(x)dx

-(3)(2)定積分的幾何意義：Ox

yab

yf(x)

x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。當(dāng)f(x)0時(shí)，由yf(x)、xa、xb

與x

軸所圍成的曲邊梯形位于x

軸的下方，x

yO=-．a(chǎn)b

yf(x)

y-f(x)=-S上述曲邊梯形面積的負(fù)值。

定積分的幾何意義：=-Sab

yf(x)Ox

y探究:根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的面積?ab

yf(x)Ox

y三:定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1.性質(zhì)2.三:定積分的基本性質(zhì)定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性性質(zhì)3.Ox

yab

yf(x)Ｃ

性質(zhì)3

不論a，b，c的相對(duì)位置如何都有ab

y=f(x)cOx

y例1：利用定積分的定義,計(jì)算的值.

例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例3：解：xyf(x)=sinx1-1

利用定積分的幾何意義，判