高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：第6章《不等式、推理與證明》6

第六節(jié)直接證明和間接證明[主干知識(shí)梳理]一、直接證明內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論從要

出發(fā)，逐步尋求使它成立的

，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.成立證明的結(jié)論充分條件二、間接證明

反證法：假設(shè)原命題

(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出

，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法．不成立矛盾

[基礎(chǔ)自測自評]1．(教材習(xí)題改編)用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)(

) A．三個(gè)內(nèi)角都不大于60° B．三個(gè)內(nèi)角都大于60° C．三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60° D．三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60° B

[假設(shè)為“三個(gè)內(nèi)角都大于60°”．]2．設(shè)a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，則a與b大小關(guān)系為(

) A．a(chǎn)＞b

B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≤b A

[a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，b＝ex＜1，則a＞b.]

[關(guān)鍵要點(diǎn)點(diǎn)撥]1．證明方法的合理選擇

(1)當(dāng)題目條件較多，且都很明確時(shí)，由因?qū)Ч^容易，一般用綜合法．

(2)當(dāng)題目條件較少

，可逆向思考時(shí)，執(zhí)果索因，使用分析法解決．但在證明過程中，注意文字語言的準(zhǔn)確表述．

2．使用反證法的注意點(diǎn)

(1)用反證法證明問題的第一步是“反設(shè)”，這一步一定要準(zhǔn)確，否則后面的部分毫無意義；

(2)應(yīng)用反證法證明問題時(shí)必須導(dǎo)出矛盾．綜合法

(2)給出命題：“已知P是橢圓E上異于A1、A2的一點(diǎn)，直線A1P、A2P分別交直線l：x＝t(t為常數(shù))于不同的兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)Q在直線l上．若直線PQ與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，則Q為線段MN的中點(diǎn)”，寫出此命題的逆命題，判斷你所寫出的命題的真假，并加以證明；(3)試研究(2)的結(jié)論，根據(jù)你的研究心得，在圖2中作出與該雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)S的直線m，并寫出作圖步驟．注意：所作的直線不能與雙曲線的漸近線平行．

(3)如圖，①任作一條不過點(diǎn)S的直線n垂直于雙曲線的實(shí)軸；②作直線A1S、A2S分別交直線n于I、J兩點(diǎn)；③作線段IJ的中點(diǎn)V，連接SV，則直線SV即為所求的直線m.

[規(guī)律方法]綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法，即由已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的等式或不等式成立．因此，綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Чǎ溥壿嬕罁?jù)是三段論式的演繹推理方法，這就要保證前提正確，推理合乎規(guī)律，才能保證結(jié)論的正確性．分析法

[規(guī)律方法]分析法的特點(diǎn)與思路分析法的特點(diǎn)是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”(或定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等)．通常采用“欲證——只需證——已知”的格式，在表達(dá)中要注意敘述形式的規(guī)范．反證法

[規(guī)律方法]反證法證明問題的一般步驟(1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面(否定命題)成立；(否定結(jié)論)(2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的定義、公理、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；(推導(dǎo)矛盾)(3)立論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤．既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立．(命題成立)

[跟蹤訓(xùn)練]3．實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)． 證明假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)，則由a＋b＝c＋d＝1， 得1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， 即ac＋bd≤1，這與ac＋bd＞1矛盾， 故假設(shè)不成立．即a，b，c，d中至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)．【高手支招】