信息光學(xué)理論與應(yīng)用(第2版)

北京郵電大學(xué)出版社（最新修改版）《信息光學(xué)》課件本課件所用教材：《信息光學(xué)理論與應(yīng)用》

第2版王仕璠編著北京郵電大學(xué)出版社

2009年2月該書曾被教育部評(píng)為2009年度全國精品教材信息光學(xué)北京郵電大學(xué)出版社課件系列第2章標(biāo)量衍射理論第1章二維傅里葉分析第3章光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性

第4章部分相干理論

第5章光學(xué)全息照相

第7章相干光學(xué)處理

第6章空間濾波

第8章非相干光學(xué)處理

第9章信息光學(xué)在計(jì)量學(xué)中的應(yīng)用

第10章信息光學(xué)在光通信中的應(yīng)用

目錄第一章二維傅里葉分析

自20世紀(jì)40年代后期起，由于通信理論中“系統(tǒng)”的觀點(diǎn)和數(shù)學(xué)上的傅里葉分析方法被引入光學(xué)，更新了傳統(tǒng)光學(xué)的概念，豐富了光學(xué)學(xué)科的內(nèi)容，并形成現(xiàn)代光學(xué)的一個(gè)重要分支—傅里葉光學(xué)。傅里葉光學(xué)促進(jìn)了圖像科學(xué)、光電子學(xué)、光纖通信和應(yīng)用光學(xué)的發(fā)展，也是信息光學(xué)在各種應(yīng)用領(lǐng)域中的數(shù)理基礎(chǔ)。本章的重點(diǎn)是介紹傅里葉光學(xué)中廣泛用到的一些數(shù)學(xué)知識(shí)。本章講授內(nèi)容第一講光學(xué)中常用的幾種非初等函數(shù)第二講卷積與相關(guān)第三講傅里葉變換的基本概念及基本定理第四講傅里葉-貝塞爾變換第五講線性系統(tǒng)與線性空間不變系統(tǒng)第六講二維采樣定理習(xí)題課其他一維情形:

本講先介紹在光學(xué)中廣泛使用的一些非初等函數(shù)和函數(shù),為以后的討論打下基礎(chǔ)。表示照相機(jī)快門、單縫透過率（故也稱為門函數(shù)）。同時(shí)，它與某函數(shù)相乘后，可起到截取函數(shù)的作用。1.矩形函數(shù)其中

圖1.1.1一維矩形函數(shù)第一講光學(xué)中常用的幾種非初等函數(shù)一.幾種非初等函數(shù)●表示矩孔透過率。

其中圖1.1.2二維矩形函數(shù)二維情形:●其中圖1.1.3一維sinc函數(shù)函數(shù)在原點(diǎn)處有極大值1，而在處等于0。表示單縫夫瑯和費(fèi)衍射的光場(chǎng)振幅分布,其平方表示衍射圖樣。2.sinc函數(shù)1●一維情形：●圖1.1.4二維sinc函數(shù)二維情形:表示矩孔夫瑯和費(fèi)衍射的光場(chǎng)振幅分布，其平方表示衍射圖樣。

零點(diǎn)位置在處。其中二維情形：

圖1.1.5一維階躍函數(shù)圖1.1.6二維階躍函數(shù)

其中

3.階躍函數(shù)一維情形：

●開關(guān)功能：可在某點(diǎn)開啟或關(guān)閉另一函數(shù)，或描述光學(xué)直邊（或刀口）的透過率。●表示函數(shù)極性發(fā)生翻轉(zhuǎn)。(位相板)其中4.符號(hào)函數(shù)圖1.1.7符號(hào)函數(shù)

階躍函數(shù)與符號(hào)函數(shù)的關(guān)系：

●

其中5.三角形函數(shù)圖1.1.8(a)一維三角形函數(shù)一維情形:●1+x/a1-x/a表示光瞳為矩形的非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)(詳見第三章)。其中圖1.1.8(b)二維三角形函數(shù)二維情形:●圖1.1.9(a)一維高斯函數(shù)高斯函數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域中經(jīng)常遇到。在光學(xué)領(lǐng)域中,它常用來描述激光器發(fā)出的高斯光束,有時(shí)也用于光學(xué)信息處理中的“切趾術(shù)”(詳見第8章)。6.高斯函數(shù)一維情況:●其中其中高斯函數(shù)的特點(diǎn):1.是光滑函數(shù);2.其傅里葉變換也是高斯函數(shù)。圖1.1.9(b)二維高斯函數(shù)二維情形:●圖1.1.10圓域函數(shù)

表示圓孔透過率。7.圓域函數(shù)或●函數(shù)發(fā)生位移或常數(shù)取負(fù)值時(shí)的圖示舉例：圖1.1.11函數(shù)發(fā)生位移后的情況

如果這些圖形的位置、寬度或高度發(fā)生變化時(shí)，則可看作是前述標(biāo)準(zhǔn)圖形的相應(yīng)位移或相應(yīng)坐標(biāo)比例尺縮放。二. 函數(shù)(重點(diǎn))1.定義定義1(積分表達(dá)式)定義2(函數(shù)序列表達(dá)式)表1.2.1幾種表示函數(shù)的函數(shù)序列圖1.2.1兩種表示函數(shù)的函數(shù)序列圖形隨著N的增大，函數(shù)曲線變得越來越窄，峰值則越來越高，而曲線覆蓋的面積始終保持等于1。圖1.2.2函數(shù)表示

注意:δ函數(shù)是廣義函數(shù)，其屬性完全由它在積分中的作用表現(xiàn)出來。它不能象普通函數(shù)那樣全由數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系確定。圖示時(shí)可簡單地用一個(gè)箭頭表示函數(shù)。（左圖中取單位長度，相應(yīng)于函數(shù)的體積。）

表示一類脈沖狀態(tài)的物理量:單位光通量的點(diǎn)光源的面發(fā)光度或平行光通過透鏡后,在后焦面上的照度分布。

圖1.2.3所示后焦面上的照度分布A(x,y)滿足以下兩個(gè)方程:定義式一致。歸一化后，上式與函數(shù)圖1.2.3用后焦面上的照度分布函數(shù)表示函數(shù)的物理意義2.(1)篩選特性(3)乘法性質(zhì)

(5)積分形式

3.函數(shù)的性質(zhì)(2)可分離變量極坐標(biāo)形式(4)坐標(biāo)縮放

推論：

表示光柵透過率?！褚痪S情形：4.梳狀函數(shù)

圖1.2.4一維梳狀函數(shù)上述積分形式表明：函數(shù)可由等振幅的所有頻率的正弦波(用余弦函數(shù)表示）來合成，換言之，函數(shù)可分解成包含所有頻率的等振幅的無數(shù)正弦波。4.梳狀函數(shù)(續(xù))●二維情形:表示點(diǎn)源面陣、針孔面陣透過率。圖1.2.5二維梳狀函數(shù)表示對(duì)圖像函數(shù)的等間隔采樣?！袷釥詈瘮?shù)與普通函數(shù)的乘積:

如何理解函數(shù)是一個(gè)“廣義函數(shù)”？它與梳狀函數(shù)有何關(guān)聯(lián)?課后思考：下一節(jié)課內(nèi)容：

卷積與相關(guān)(重點(diǎn)).請(qǐng)注意預(yù)覽…請(qǐng)注意回顧和預(yù)習(xí)...一.卷積圖1.3.1線光源的夫瑯和費(fèi)衍射

第二講卷積與相關(guān)

首先考查線光源經(jīng)過狹縫后的夫瑯和費(fèi)衍射。1.卷積概念的引入卷積既是一個(gè)由含參變量的無窮積分定義的函數(shù)，又代表一種運(yùn)算。其運(yùn)算性質(zhì)在信息光學(xué)中經(jīng)常用到。由基礎(chǔ)光學(xué)知：而對(duì)處的一小段光源，相應(yīng)有強(qiáng)度分布為，通過系統(tǒng)后的像處一小段光源對(duì)在近軸條件下，上式化為

其中各小段光源的像強(qiáng)度非相干疊加，取極限最后得處單位強(qiáng)度點(diǎn)光源對(duì)應(yīng)的像強(qiáng)度分布。代表3.卷積的物理意義和幾何意義物理意義：像強(qiáng)度分布是物強(qiáng)度分布與單位強(qiáng)度點(diǎn)光源對(duì)應(yīng)的像強(qiáng)度分布的卷積.幾何意義：可采用圖解分析法幫助理解卷積運(yùn)算的含(1).折疊;(2).位移;(3).相乘;(4).積分一維情形：二維情形：義。其運(yùn)算過程分為下列4個(gè)步驟（見下頁圖示）:2.卷積的定義

圖1.3.2函數(shù)f(x)與h(x)卷積的幾何解釋●卷積運(yùn)算的兩個(gè)效應(yīng)：(1).展寬效應(yīng).即卷積的非零值范圍等于被卷積兩函數(shù)的非零值范圍之和。

(2).平滑效應(yīng).是以某區(qū)段內(nèi)的積分值來表示卷積函數(shù)在某點(diǎn)的值。4.卷積的運(yùn)算性質(zhì)

⑴

線性特性(2)復(fù)函數(shù)的卷積(由（1）可歸結(jié)為實(shí)函數(shù)的卷積)其中⑶

可分離變量

若則⑸卷積符合結(jié)合律⑷卷積符合交換律

⑹

坐標(biāo)縮放性質(zhì)若則⑺卷積位移不變性

若則⑻函數(shù)

與δ函數(shù)的卷積[例1].設(shè)有二函數(shù)，分別為:圖1.3.3例1中的二函數(shù)圖形5.卷積運(yùn)算舉例(難點(diǎn))

求:[解]:按照前述卷積運(yùn)算過程，求解步驟如下：（1）改變兩函數(shù)的自變量：

（2）將函數(shù)h()翻轉(zhuǎn)：（3）函數(shù)平移：（4）最后將兩函數(shù)乘積、積分。采用圖解分析法將有助于確定卷積運(yùn)算中的積分限。同時(shí)，根據(jù)

的可能取值范圍，即分別畫出乘積曲線下面的面積,如圖1.3.4(a)~(h)中的陰影區(qū)域(重疊面積部分)。圖1.3.4例1一維卷積過程

(圖d,e)

(1)x≤0，(圖a,b)

(2)0＜x≤1，(圖c)

(3)1＜x≤2，(4)2＜x

＜3，(圖f)

(5)x≥3，(圖g,h)

各分段計(jì)算結(jié)果：綜合上述各式,可知所求二函數(shù)的卷積為:

據(jù)此畫出g(x)=f(x)*h(x)的完整曲線，如圖1-3-4(i)。

[例2].求解[解]:5.卷積運(yùn)算舉例(續(xù))

其中(1.3.19)(1.3.20)(a)-2≤x≤0(b)0≤x≤2圖1.3.5例2卷積運(yùn)算過程

;當(dāng)時(shí)，有。故只有時(shí)，有由上述積分限知：。當(dāng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)乘積曲線下的積分面積不等于0，而當(dāng)超出上述界限時(shí)，積分面積都等于0，如圖1.3.5所示。各分段運(yùn)算結(jié)果如下：(1.3.21)故最后結(jié)果可表示成：

其函數(shù)圖形如圖1.3.6所示

圖1.3.6例2卷積運(yùn)算結(jié)果(1.3.22)[例3].求下列卷積：[解]:由卷積定義和梳狀函數(shù)表達(dá)式，有表示Ronchi光柵的強(qiáng)度透過率(見教材P.18圖1.3.7)。二.相關(guān)1.互相關(guān)

互相關(guān)是兩個(gè)信號(hào)間存在多少相似性或關(guān)聯(lián)性的量度。(1).定義

(1.4.1)或(1.4.2)相關(guān)既是一個(gè)由含參變量的無窮積分定義的函數(shù)，又代表一種運(yùn)算。在光學(xué)圖像特征識(shí)別中有重要應(yīng)用。(2).互相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)(1.4.3)

(1.4.5)

（1.4.4）但有：取復(fù)共軛，但圖形不需要翻轉(zhuǎn)，而位移、相乘和積分三個(gè)過程是共通的。故兩者之間會(huì)有一定的聯(lián)系。

互相關(guān)與卷積的聯(lián)系:●互相關(guān)不滿足交換律:

●應(yīng)相關(guān)與卷積的區(qū)別僅在于相關(guān)運(yùn)算中，函數(shù)2.自相關(guān)

自相關(guān)是兩個(gè)相同函數(shù)圖像重疊程度的量度。當(dāng)兩個(gè)相同函數(shù)圖像完全重疊時(shí)，自相關(guān)有一個(gè)極大峰值，稱為自相關(guān)峰。

(1)定義或（1.4.6a）(1.4.6b)(2)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)(1.4.7)

自相關(guān)函數(shù)具有厄米特對(duì)稱性

(1.4.9)

當(dāng)f(x,y)是實(shí)函數(shù)時(shí)，其自相關(guān)是實(shí)偶函數(shù)。可以用Schwarz不等式予以證明。自相關(guān)函數(shù)的模在原點(diǎn)處有最大值三.相關(guān)運(yùn)算舉例（仍采用圖解分析法）[例1].試計(jì)算下面二函數(shù)的相關(guān)，并繪圖表示所得結(jié)果

[解]:由定義式（1.4.2）有：(1.4.11)

。其中(1.4.12)

當(dāng)ξ=0時(shí)有:0≤x≤2；當(dāng)ξ=2時(shí)有

(1)當(dāng)時(shí),遂得：由式(1.4.11)的積分限知:,再由式(1.4.12),圖1.4.1例1相關(guān)運(yùn)算過程(3)當(dāng)2≤x<4(圖b),

(2)當(dāng)0<x≤2(圖a),其函數(shù)圖形如圖1.4.2所示。上述結(jié)果與前面的卷積運(yùn)算結(jié)果相比較，相關(guān)運(yùn)算后的函數(shù)圖形保持不變，但圖形發(fā)生了一定的位移。圖1.4.2例1計(jì)算結(jié)果的函數(shù)圖形(1.4.14)故可將計(jì)算結(jié)果表達(dá)成：[例2].試計(jì)算[解]:(1.4.15)其中圖1.4.3例2相關(guān)運(yùn)算過程再由圖解分析法（見圖1.4.3）由式（1.4.15）中的積分限知:,當(dāng)(1.4.16)(1.4.17)有：故得：其函數(shù)圖形如圖1.4.4所示。圖1.4.4例2計(jì)算結(jié)果

但有些函數(shù)（例如周期函數(shù)、平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)等），并不滿足這一條件，卻滿足下述極限：此類函數(shù)稱為有限功率函數(shù)。(1.4.19）（1.4.18）四.有限功率函數(shù)的相關(guān)在前述互相關(guān)定義中,函數(shù)和應(yīng)是有限能量函數(shù)，即(1.4.20)當(dāng)兩復(fù)函數(shù)都是有限功率函數(shù)時(shí)，其互相關(guān)定義為式中，符號(hào)表示求平均。（1.4.21）定義式（1.4.21)適用于功率有限的信號(hào)，而定義式(1.4.6)適用于能量有限的信號(hào)。而有限功率函數(shù)的自相關(guān)便定義為：課后思考：

卷積與相關(guān)各表示甚么意義？彼此的聯(lián)系和區(qū)別如何？在運(yùn)算上有什么差異？下一節(jié)課內(nèi)容：

傅里葉變換的基本概念及其基本定理，請(qǐng)注意預(yù)覽…請(qǐng)注意回顧和預(yù)習(xí)...一.基本概念第三講傅里葉變換的基本概念及基本定理1.定義式復(fù)函數(shù)的傅里葉變換定義：稱為像函數(shù)（或頻譜），稱為原函數(shù)，兩者構(gòu)成傅里葉變換對(duì)：可寫成：叫的振幅譜，叫位相譜。2.存在條件(充分條件)⑵函數(shù)在xoy全平面上每一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)局部連續(xù),

僅存在有限個(gè)間斷點(diǎn)。⑶函數(shù)沒有無限大間斷點(diǎn)。

但是常用的某些函數(shù)（如sgn(x)、(x)、step(x)、cos(2f0x)等）卻不滿足上述存在條件中的某一條或多條，因此有必要對(duì)上述傅里葉變換定義作推廣。⑴函數(shù)在xoy全平面上絕對(duì)可積

廣義傅里葉變換就是極限意義下的普通傅里葉變換。3.廣義傅里葉變換設(shè)存在函數(shù)和函數(shù)序列,且有換言之，函數(shù)不存在傅里葉變換，但卻是在N時(shí)的極限，則定義N時(shí)序列

的極限為

的廣義傅里葉變換。則令[解]:計(jì)算過程分為三個(gè)步驟：顯然有

(1)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)序列例如(1.5.6)

廣義傅里葉變換計(jì)算示例：●[例1].求(2)求函數(shù)序列的變換:(1.5.7)(3)求極限:上式就是符號(hào)函數(shù)的廣義傅里葉變換.(1.5.8)(2)求函數(shù)序列的變換[例2].求[解]:(1)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)序列顯然有：例如選取令并利用積分公式：

容易求得:(3)求極限:由上式取極限最后得到

這種基元函數(shù)具有下述性質(zhì)：

只不過是一個(gè)權(quán)重因子。4.傅里葉變換作為分解式的指數(shù)基元函數(shù)的線性組合，其頻譜

由逆變換式，可以把函數(shù)

分解成形式為

(1).代表傳播方向?yàn)榈膯挝徽穹钠矫娌?。?).當(dāng)時(shí)，有在這些直線上位相為零或的整數(shù)倍，其法線與軸的夾角圖1.5.1函數(shù)

的零位相直線族

(3).引入了空間頻率的概念空間頻率表示特定波形在單位間距內(nèi)重復(fù)的次數(shù)，也表示透鏡和照相底片等的分辨率。沿等位相線法線方向:

綜合上述分析，逆傅里葉變換的物理意義是：物函數(shù)

可以看成是無數(shù)振幅不同(|F(fx,fy)|dfxdfy)、方向不同(cos=fx，cos=fy)的平面波線性疊加的結(jié)果。此即傅里葉分解。二.傅里葉變換基本定理(重點(diǎn))1.線性定理

（對(duì)稱性定理）反映了波的疊加原理。當(dāng)時(shí)，有2.縮放和反演定理傅里葉變換反比定理：●3.位移定理

4.Parseval定理(能量守恒定理)5.廣義帕色渥定理注意:

并不是的傅里葉變換。

6.卷積定理7.互相關(guān)定理8.自相關(guān)定理的互功率譜。稱為10.迭次變換定理11.微分變換定理9.積分定理得到鏡像。9、10兩種變換,從光學(xué)成像系統(tǒng)的觀點(diǎn)沒有本質(zhì)的區(qū)別。12.積分變換定理13.共軛變換定理若是非負(fù)的實(shí)函數(shù)（例如光強(qiáng)度），則有具有上述性質(zhì)的函數(shù)稱為厄米特函數(shù)。課后思考：

傅里葉變換具有哪些基本性質(zhì)？下一節(jié)課內(nèi)容：

傅里葉—貝塞爾變換，請(qǐng)注意預(yù)覽…

請(qǐng)注意回顧和預(yù)習(xí)...化為極坐標(biāo)：一.可分離變量函數(shù)的變換

函數(shù)的可分離性可使復(fù)雜的二維計(jì)算得以簡化為更簡單的一維計(jì)算。對(duì)于可分離變量的函數(shù)，其頻譜函數(shù)在頻域中也是可分離的。直角坐標(biāo)系下很明顯。下面只討論極坐標(biāo)系中的情況。

由第四講傅里葉-貝塞爾變換根據(jù)貝塞爾函數(shù)關(guān)系式:

得:上式表明在極坐標(biāo)系中可分離變量函數(shù)

其頻譜在極坐標(biāo)系中也是可分離的。

其中二.具有圓對(duì)稱的函數(shù):傅里葉—貝塞爾變換故對(duì)圓對(duì)稱函數(shù)，k只能取0值。對(duì)圓對(duì)稱函數(shù)

圓對(duì)稱函數(shù)的傅里葉變換本身也是圓對(duì)稱的。用完全同樣的論證方法，可得圓對(duì)稱函數(shù)的傅里葉逆變換表示式:因此對(duì)于圓對(duì)稱函數(shù)，其變換和逆變換形式完全相同。這種變換稱為傅里葉－貝塞爾變換。并有但應(yīng)注意：[例題].求圓域函數(shù)的傅里葉-貝塞爾變換。最后得[解]:，并利用貝塞爾函數(shù)關(guān)系式:令徑向的位置是不等距的。該函數(shù)常寫成一種便于應(yīng)用的歸一化形式：圖1.7.1圓域函數(shù)的變換（貝森克函數(shù)）其變換結(jié)果如圖1.7.1。中央峰值為。零點(diǎn)在三.常用傅里葉變換對(duì)要求掌握教材P.34表1.8.1中常用函數(shù)的傅里葉變換。示范講解：看作周期函數(shù),且周期T=1,因此可把

按傅里葉級(jí)數(shù)展開式中[例1].求證:[證明]:首先將梳狀函數(shù)

于是類似地，對(duì)二維梳狀函數(shù)有：故梳狀函數(shù)的傅里葉變換仍然是梳狀函數(shù)。故得[例2].求證:[證明]：函數(shù)代表一種線性調(diào)頻信號(hào)或編碼脈沖信號(hào)（ChirpSignal），其實(shí)部和虛部函數(shù)圖形如圖1.8.1所示。圖1.8.1函數(shù)的實(shí)部和虛部圖形

由于:令并利用積分公式：，容易求得：證畢課后思考：

哪些函數(shù)的傅里葉變換本身還是該類型函數(shù)？他們具有哪些特點(diǎn)？下一節(jié)課內(nèi)容：

線性系統(tǒng)與線性空間不變系統(tǒng)，請(qǐng)注意預(yù)覽…

請(qǐng)注意回顧和預(yù)習(xí)...第五講線性系統(tǒng)與線性空間不變系統(tǒng)圖1.9.1系統(tǒng)的算符表示一.系統(tǒng)的算符表示“系統(tǒng)”可以是具體的通信網(wǎng)絡(luò)、電子線路或成像裝置，也可以是光波在空間的傳播過程。故可廣義地把“系統(tǒng)”定義為一種變換或映射,把對(duì)系統(tǒng)的輸入稱為激勵(lì)，而系統(tǒng)對(duì)此產(chǎn)生的輸出則稱為響應(yīng)，并用算符S將兩者聯(lián)系起來：至于這個(gè)算符的性質(zhì)，則要針對(duì)具體的系統(tǒng)而定。

線性所帶來的最大好處是：系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)能夠用它對(duì)此輸入分解成的某些基元函數(shù)的響應(yīng)表示出來。則稱此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。

如果有二.線性系統(tǒng)的意義設(shè)是一組任意復(fù)常數(shù)；三.脈沖響應(yīng)函數(shù)與疊加積分

光學(xué)中常用的基元函數(shù)有三種：（1）函數(shù)(點(diǎn)基元)；（2）復(fù)指數(shù)函數(shù)(平面波基元)；（3）余弦函數(shù)。

由函數(shù)的篩選特性，輸入函數(shù)可寫成:現(xiàn)以函數(shù)為例來說明線性系統(tǒng)的分解和綜合過程。上式可視為將表示成帶有權(quán)重的無窮多個(gè)位置（輸入函數(shù)的分解式）

不同的函數(shù)的線性組合。(疊加積分)（脈沖響應(yīng)）其中疊加積分表明:線性系統(tǒng)的性質(zhì)完全可由它對(duì)單位脈沖輸出可寫成：的響應(yīng)來表征。四.線性空間不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)則稱此系統(tǒng)為線性空間不變系統(tǒng)。線性空間不變特性是理想成像系統(tǒng)必備的。

(1)線性空間不變系統(tǒng)(LSI)的定義：

圖1.9.2LSI系統(tǒng)對(duì)一維函數(shù)的平移不變效應(yīng)若且其中(2)線性空間不變系統(tǒng)的特性（a).脈沖響應(yīng)具有比較簡單的形式（等暈性）

稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，表示系統(tǒng)對(duì)信號(hào)頻譜的傳遞能力，與空域中用脈沖響應(yīng)函數(shù)來描述等價(jià)。

（b).疊加積分具有特別形式（卷積積分）(c).傅里葉變換形式特別簡單五.線性空間不變系統(tǒng)的本征函數(shù)本征值與本征函數(shù)方程式:

凡滿足上述方程的函數(shù)f(x,y)是算符S（此處指LSI系統(tǒng)）的本征函數(shù),是f(x,y)的本征值(復(fù)函數(shù)）。本征函數(shù)通過該系統(tǒng)時(shí)不改變其函數(shù)形式，而僅可能被衰減或放大，或產(chǎn)生相移，其變化量決定于相應(yīng)的本征值。

基元函數(shù)正是LSI系統(tǒng)的本征函數(shù)。

這時(shí)，輸出函數(shù)的頻譜為：

其頻譜為：（1）指數(shù)基元于是輸出函數(shù)為：即其中傳遞函數(shù)即為的本征值。這時(shí)，輸出函數(shù)的頻譜為：其頻譜為：

⑵.點(diǎn)基元而輸出函數(shù)為：即這種基元函數(shù)常用于非相干成像系統(tǒng)，其脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)，且其傅里葉變換具有厄米特函數(shù)特性：

⑶.余弦函數(shù)(模是偶函數(shù))(1.9.19)(1.9.20)令則由厄米特函數(shù)性質(zhì)有：（幅角是奇函數(shù)）

下面證明余弦函數(shù)也是LSI系統(tǒng)的本征函數(shù):輸入余弦函數(shù)的頻譜為輸出函數(shù)的頻譜為而輸出函數(shù)為

將式（1.9.19,20)代入，有：故得亦即對(duì)LSI系統(tǒng)的余弦輸入將產(chǎn)生同頻率的余弦輸出，但可能引起衰減和相移。課后思考：

線性空間不變特性為甚么是每個(gè)成像系統(tǒng)必備的？如何理解線性空間不變系統(tǒng)的本征函數(shù)?下一節(jié)課內(nèi)容：

二維采樣定理，請(qǐng)注意預(yù)覽…請(qǐng)注意回顧和預(yù)習(xí)...

任何一個(gè)宏觀的物理過程都是連續(xù)變化的，物理量的空間分布也是連續(xù)變化的。但由于物理器件的信息容量有限，在對(duì)一個(gè)實(shí)際的物理過程或圖像進(jìn)行觀測(cè)、記錄、傳送和處理時(shí)，常常不能用連續(xù)的方式進(jìn)行，只能用它的一些離散的采樣值來表示。例如：CCD攝像機(jī)在記錄運(yùn)動(dòng)圖像時(shí)為30幀/秒；超級(jí)計(jì)算機(jī)“天河一號(hào)”峰值性能盡管達(dá)4700萬億次/秒（實(shí)測(cè)性能2507萬億次/秒），也不能以連續(xù)方式去運(yùn)算。第六講二維采樣定理存在的問題：1）如何對(duì)圖像或物理過程進(jìn)行采樣？

2）采樣結(jié)果有多大的準(zhǔn)確性？

3）如何從其中復(fù)原出真實(shí)的函數(shù)？

一.圖像函數(shù)的采樣表示法其頻譜：

采樣值函數(shù)上式表明：采樣值函數(shù)的頻譜由頻率平面上無限重復(fù)的原函數(shù)的頻譜所構(gòu)成，形成排列有序的“頻譜島”，其重復(fù)間距分別為1/X,1/Y。圖1.10.1采樣值函數(shù)的頻譜如果令m=n=0，則，即從采樣值函數(shù)的周期性重復(fù)的頻譜中可準(zhǔn)確恢復(fù)出原函數(shù)的頻譜。為此，必須使各重復(fù)的頻譜要能彼此分得開,即原函數(shù)的頻譜寬度應(yīng)是有限的(帶限函數(shù))。(b)采樣值函數(shù)的頻譜二.奈奎斯特判據(jù)

設(shè)2Bx,2By分別表示原函數(shù)的頻帶寬度，而其重復(fù)間隔各為1/X,1/Y。故若

2Bx=1/X,2By=1/Y

；或X=1/2Bx,Y=1/2By

就可保證各頻譜島之間不重疊,獲得臨界采樣(此即奈奎斯特判據(jù))。當(dāng)X<1/2Bx,Y<1/2By時(shí),稱為是過采樣的,這將對(duì)探測(cè)器件提出過高的要求；而當(dāng)X>1/2Bx,Y>1/2By時(shí)，稱為是欠采樣的，這時(shí)頻譜島間將有部分重疊。這時(shí)就有三.原始函數(shù)的復(fù)原選擇矩形濾波器，其濾波函數(shù)為

相應(yīng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為取逆變換得：

上式稱為商農(nóng)定理：它用采樣點(diǎn)的函數(shù)值去計(jì)算在采樣點(diǎn)之間所不知道的非采樣點(diǎn)的函數(shù)值。其重要意義在于表明在一定條件下,由插值準(zhǔn)確恢復(fù)一個(gè)帶限函數(shù)是可實(shí)現(xiàn)的。辦法是在每一采樣點(diǎn)放置以采樣值為權(quán)重的sinc函數(shù)作內(nèi)插函數(shù)，再線性組合起來即可。嚴(yán)格來說，帶限函數(shù)在物理上并不存在。但其頻譜值總會(huì)隨著頻率的提高而驟減。部分可以用多少個(gè)實(shí)數(shù)值來確定呢？四.空間—帶寬積若帶限函數(shù)在頻域中的區(qū)間以外恒等于零，則此函數(shù)在空域上的那

根據(jù)奈奎斯特判據(jù)和采樣定理，要在空域中恢復(fù)該函數(shù)，則沿兩個(gè)方向上的采樣點(diǎn)數(shù)應(yīng)分別為：其中表示函數(shù)在空域中覆蓋的面積，表示函數(shù)在頻域中覆蓋的面積。而在空域中的采樣點(diǎn)數(shù)至少為；

空間—帶寬積定義為函數(shù)在空域和頻域所占面積的乘積。表示成:當(dāng)是復(fù)函數(shù)時(shí)，每一個(gè)采樣值都是復(fù)數(shù)，它應(yīng)由兩個(gè)實(shí)數(shù)值確定，即是評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的重要參數(shù)，既可用以描述圖像的信息容量，又可用來描述系統(tǒng)的信息傳遞和處理能力。一幅圖像的也決定了其可分辨像元的數(shù)目（稱為圖像的自由度）。它是一個(gè)不變量。成像系統(tǒng)的空間—帶寬積就等效于有效視場(chǎng)和系統(tǒng)截止頻率所確定的通帶面積的乘積。課后思考：

超過臨界采樣間隔采集數(shù)據(jù)會(huì)有哪些后果？欠采樣的情況又如何？下一節(jié)課內(nèi)容：

標(biāo)量衍射中的基爾霍夫衍射理論，請(qǐng)注意預(yù)覽請(qǐng)注意回顧和預(yù)習(xí)...

本章重點(diǎn)

1.δ函數(shù)的意義和運(yùn)算特性

2.卷積與相關(guān)運(yùn)算

3.傅里葉變換諸定理及常用變換對(duì)

4.線性空間不變系統(tǒng)的特性

習(xí)題課

主要圍繞上述重點(diǎn)作技能訓(xùn)練，要求熟練掌握。

課堂示范講解:1.2(4)(5）(6);1.5(1);1.10;1.11。

課外作業(yè):1.2(2)(3);1.4;1.5(2);1.6;1.9第一章習(xí)題課解題示例1.2（4）試證明：[解]：由積分公式：

易得：所以故該函數(shù)符合函數(shù)的定義，可作為定義函數(shù)的原函數(shù)之一。又有而對(duì)于任一函數(shù)

有1.2(5)試證明：[解]：利用1.2(4)的結(jié)果有：故得證畢。1.2（6）試證明：[解]:利用1.2(5)的結(jié)果，并由復(fù)指數(shù)公式展開得：證畢。1.5(1)

用圖解分析法計(jì)算圖X1.2所示二函數(shù)的卷積。[解].（1）當(dāng)時(shí)（附圖1.1左圖）有附圖1.1習(xí)題1-5(1)卷積過程

圖X1.2習(xí)題1-5(1)圖示的二函數(shù)（2）當(dāng)時(shí)（附圖1.1右圖），有1.10證明：[解].式中稱為拉普拉斯算子。證畢。1.11利用Parseval定理分別計(jì)算下列積分：[解].由Parseval定理式（1.6.9）、（1.6.10）有：第二章標(biāo)量衍射理論衍射的意義：“不能用反射或折射來解釋的光線對(duì)直線光路的任何偏離”。衍射規(guī)律是光傳播的基本規(guī)律。衍射分為矢量衍射和標(biāo)量衍射兩類。其中心問題是計(jì)算衍射光場(chǎng)的分布，即用確定邊界的復(fù)振幅分布來表達(dá)光場(chǎng)中任一觀察點(diǎn)的復(fù)振幅分布，若邊界上復(fù)振幅分布相同，即使光振動(dòng)方向不同，其結(jié)果也應(yīng)相同。標(biāo)量衍射理論的發(fā)展(簡介)：惠更斯原理惠更斯-菲涅耳原理基爾霍夫公式(幾何作圖法）(引入干涉的思想）(應(yīng)用格林定理）本章從基爾霍夫衍射公式開始,討論兩類典型的衍射，并用空間頻譜的觀點(diǎn)來分析衍射現(xiàn)象。本章講授內(nèi)容第一講基爾霍夫衍射理論第二講衍射規(guī)律的頻域表達(dá)式第三講菲涅耳衍射與夫瑯和費(fèi)衍射第四講夫瑯和費(fèi)衍射計(jì)算實(shí)例第五講菲涅耳衍射計(jì)算實(shí)例習(xí)題課

1.亥姆霍茲方程：

第一講 基爾霍夫衍射理論

U(P)稱為相幅矢量,包含了光波空間結(jié)構(gòu)的信息。一.預(yù)備知識(shí)

對(duì)頻率為的單色光波，有u(P,t)滿足標(biāo)量波動(dòng)方程：由此得(亥姆霍茲方程

)上式即格林定理。其中令為單色光場(chǎng)的復(fù)振幅，而G是一個(gè)輔助函數(shù),稱為格林函數(shù)。必須慎重選擇格林函數(shù)和封閉面S,才能將該定理直接應(yīng)用到衍射問題上來。

2.格林定理：設(shè)函數(shù)

單值連續(xù)可導(dǎo)，則有3.基爾霍夫積分定理表示從觀察點(diǎn)指向點(diǎn)的矢量的長度，則必有：圖2.2.1積分曲面的選擇令觀察點(diǎn)為，S代表包圍點(diǎn)的任意封閉面。要求用封閉面上的光繞動(dòng)值來表示在點(diǎn)的光繞動(dòng)。同頻率的單位振幅的球面波，即點(diǎn)向外擴(kuò)展的與選擇為由為了排除在點(diǎn)的不連續(xù)性，用小球面包住點(diǎn)。于是在體積V’內(nèi)，格林定理左端有從而格林定理簡化為在S面上有或(A)

代入式（A），令再通過運(yùn)算、簡化，最后得此即基爾霍夫積分公式。積分面選取有很大的靈活性。在面上,。遂有圖2.2.2平面屏衍射的基爾霍夫理論推導(dǎo)二.平面屏衍射的基爾霍夫公式選擇封閉面由兩部分組成(右圖）：

在S2面上，

（在上一致有界）顯然有說明：基爾霍夫邊界條件具有不自洽性,可通過選擇別的格林函數(shù)予以改善。最后得:⑵在孔徑陰影區(qū)內(nèi),光場(chǎng)分布及其導(dǎo)數(shù)恒等于零。則面上的整個(gè)積分隨R趨于無窮大而消失。在面上的積分,應(yīng)用基爾霍夫邊界條件:

根據(jù)索末菲輻射條件

⑴在孔徑上,光場(chǎng)分布U及其導(dǎo)數(shù)

與沒有屏幕時(shí)完全相同。三.菲涅耳—基爾霍夫衍射公式

圖2.2.3單色點(diǎn)光源照明孔徑

對(duì)孔徑采取具體的照明方式后,基爾霍夫衍射公式會(huì)有更具體的形式。設(shè)孔徑由點(diǎn)的單色點(diǎn)光源照明從而由于，則(2.2.20）上式稱為菲涅耳-基爾霍夫衍射公式。最后得代入由基爾霍夫邊界條件導(dǎo)出的公式討論:1).光源位置與觀察點(diǎn)位置是對(duì)稱的（互易定理）。

2).說明倒退波是不可能的。(2.2.21)如果把菲涅耳衍射公式改寫成其中則可把式(2,2,21)解釋為惠更斯-菲涅耳原理，其中稱為傾斜因子，若點(diǎn)在與入射方向相同一側(cè)，則在近軸條件下，無倒退波。四.衍射公式與疊加積分其中(2.2.25)(2.2.24)

表示脈沖響應(yīng)，而(2.2.24)式則具有疊加積分的意義。光波由點(diǎn)傳播到點(diǎn)的過程實(shí)際上是一個(gè)衍射過程,該過程將變換成,這等效于一個(gè)“系統(tǒng)”的作用，由于滿足疊加積分，故此系統(tǒng)還是線性系統(tǒng)，

表征了它的全部特性。，將(2.2.20)式寫成：注意到課后思考：

基爾霍夫邊界條件具有不自洽性，如何改善？下一節(jié)課內(nèi)容：

衍射規(guī)律的頻域表達(dá)式，請(qǐng)注意預(yù)覽…

請(qǐng)注意回顧和預(yù)習(xí)...

一.衍射規(guī)律的頻域描述

圖2.3.1計(jì)算角譜用的坐標(biāo)系

第二講 衍射規(guī)律的頻域表達(dá)式上式把分解成各種空間頻率指數(shù)基元的結(jié)合。令則處求值。利用亥姆霍茲方程得：

上式為二階線性齊次常微分方程，其特征根只取+號(hào)得一基本解（另一解表示倒退波）：即

其復(fù)振幅就是在初始邊界條件：

故得衍射規(guī)律的頻域表示式:或

函數(shù)稱為擾動(dòng)的角譜。公式①表示了角譜的傳播。①zz討論：這對(duì)應(yīng)于沿某一確定方向傳播的平面波。（2）.（3）.其對(duì)應(yīng)指數(shù)基元相當(dāng)于傳播方向垂直于軸的平面

波。這些隱失波并不把能量從孔徑帶走。此波沿方向按指數(shù)急速衰減，稱為隱失軸方向的凈能流為零。波，它在z（1）.得二.傳遞現(xiàn)象作為一種線性空間濾波器由

能求出傳遞函數(shù)這個(gè)事實(shí)表明，與自由傳播等效的系統(tǒng)是一個(gè)線性空間不變系統(tǒng)，并且該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器。其截止空間頻率為

圖2.3.2傳遞函數(shù)相當(dāng)于一個(gè)低通濾波圓孔該濾波器的作用是阻止高頻信息進(jìn)入衍射光場(chǎng)。例如在分析一幅圖像結(jié)構(gòu)時(shí)，比波長還小的精細(xì)結(jié)構(gòu)或者空間頻率大于的信息，在單色光照明下不能沿z方向傳播。三.衍射孔徑對(duì)角譜的效應(yīng)

首先引入衍射屏的屏函數(shù)或透過率函數(shù)(圖2.3.3)：圖2.3.3衍射屏的屏函數(shù)則有其頻譜關(guān)系當(dāng)時(shí)，有故當(dāng)用一定大小的孔徑限制入射光場(chǎng)時(shí)，其效果是使入射光場(chǎng)的頻譜展寬?？讖皆叫?，頻譜展寬越顯著。

顯然，如果光波不通過衍射屏，則其角譜只有一個(gè)由此可見孔徑限制入射光場(chǎng),導(dǎo)致其頻譜展寬了。例如對(duì)矩孔則課后思考：

如何理解孔徑對(duì)頻譜的展寬效應(yīng)?下一節(jié)課內(nèi)容：

菲涅耳衍射與夫瑯和費(fèi)衍射，請(qǐng)注意預(yù)覽…

請(qǐng)注意回顧和預(yù)習(xí)...一.普遍公式的初步近似圖2.4.1討論衍射用的幾何示意圖

第三講菲涅耳衍射與夫瑯和費(fèi)衍射用普遍形式下的標(biāo)量衍射理論來計(jì)算具體的衍射問題時(shí)，數(shù)學(xué)上非常困難。因此有必要討論某些近似。按照近似條件的不同，可以分其為菲涅耳近似和夫瑯和費(fèi)近似兩種，從而有菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射。①

由衍射公式

初步近似的基礎(chǔ)，是假設(shè)：②

則①式化為：的最大線度⑴.

但指數(shù)中的值不能簡單換為z，而必須采用更高一級(jí)的近似。⑵.近軸近似:，上式分母中的二.菲涅耳衍射

由于

菲涅耳近似(只取前兩項(xiàng))：得到菲涅耳衍射公式：③討論：1).菲涅耳衍射的卷積表示則這表明菲涅耳衍射過程可視為一個(gè)線性空間不變系統(tǒng),因此，它必然存在一個(gè)相應(yīng)的傳遞函數(shù)，也就是:

④

令2).菲涅耳衍射的傅里葉變換關(guān)系由式指數(shù)展開，并令③，則有上式可看作是傅里葉變換形式的菲涅耳衍射公式。稍后將看到：當(dāng)照明衍射屏的是會(huì)聚球面波時(shí)，變換式中的指數(shù)因子可能被消去，而直接成為傅里葉變換形式。

④三.夫瑯和費(fèi)衍射則菲涅耳衍射公式便化為下式,稱為夫瑯和費(fèi)衍射。夫瑯和費(fèi)衍射公式的直觀形式:夫瑯和費(fèi)近似：令采用會(huì)聚透鏡可在近距離內(nèi)實(shí)現(xiàn)夫瑯和費(fèi)衍射。夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)：夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)包含在菲涅耳衍射區(qū)之內(nèi)。但夫瑯和費(fèi)近似從形式上破壞了菲涅耳衍射的卷積關(guān)系(空間不變特性)，故不存在專門的傳遞函數(shù)。不過，由于菲涅耳衍射區(qū)包含了夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)，故其衍射過程的傳遞函數(shù)也適用于夫瑯和費(fèi)衍射。四.

夫瑯和費(fèi)衍射與菲涅耳衍射的關(guān)系菲涅耳衍射區(qū):圖2.4.2

按傳播距離劃分的衍射區(qū)課后思考：

夫瑯和費(fèi)衍射和菲涅耳衍射有何區(qū)別與聯(lián)系？下一節(jié)課內(nèi)容：

夫瑯和費(fèi)衍射計(jì)算實(shí)例，請(qǐng)注意預(yù)覽…

請(qǐng)注意回顧和預(yù)習(xí)...下面就以此約定為基礎(chǔ)，計(jì)算各種衍射光場(chǎng)。第四講夫瑯和費(fèi)衍射計(jì)算實(shí)例由于緊貼衍射屏前后表面的光場(chǎng)和屏的透過率之間滿足下列關(guān)系：因此，影響衍射現(xiàn)象的因素主要包括照明光波的性質(zhì)和孔徑的特點(diǎn)。為了能夠從衍射圖樣直接了解衍射物的性質(zhì),約定采用單位振幅的單色平面波垂直照明衍射屏(孔徑)，則其透射光場(chǎng)等于透過率函數(shù)。觀察屏上的光場(chǎng)分布：[例1].矩孔和單縫●矩孔:透過率函數(shù)：光強(qiáng)分布:

由此求得主瓣寬度：軸上第一個(gè)零點(diǎn)的位置由下列二式確定：在圖2.5.1矩孔夫瑯和費(fèi)衍射沿軸的強(qiáng)度分布圖2.5.2矩孔夫瑯和費(fèi)衍射花樣顯然，光束在衍射屏上的什么方向受到限制，則其衍射圖樣就沿著該方向擴(kuò)展?！駟慰p單縫衍射。其衍射光場(chǎng)和光強(qiáng)度分布各為：軸上的條紋無法分辨時(shí),就形成了當(dāng)致使圖2.5.3單縫夫瑯和費(fèi)衍射花樣

透射率函數(shù)：圖2.5.4多縫的透過率[例2].多縫衍射衍射光場(chǎng)：圖2.5.5多縫的夫瑯和費(fèi)衍射花樣(d=3a)是多光束干涉經(jīng)單縫衍射調(diào)制后的結(jié)果。當(dāng)干涉因子分母變?yōu)?時(shí)，由洛畢達(dá)法則求得其極大值為N2,且fx=0,1/d,2/d,…。各值fx稱為多縫的傅里葉頻譜。求得條紋主極大寬度又由光強(qiáng)度：[例3].圓孔衍射透過率函數(shù):光場(chǎng)分布:其中圖2.5.6圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射該圖中央艾里斑的半徑為:或其半角寬度為:（2.5.13）（2.5.14）由此可見：由于衍射效應(yīng)，截面有限而又絕對(duì)平行的光束是不可能存在的。[計(jì)算實(shí)例].He-Ne激光器沿管軸發(fā)射定向光束，其出射窗口的直徑約為,波長，求激光束的衍射發(fā)散角。[解]:由于光束受到出射窗口限制，它必然會(huì)有一定的衍射發(fā)散角，即：

半徑為!外接收此光束，則由式（2.5.13）算得光斑若在[例4].正弦振幅光柵(把孔徑概念推廣到一般透明物體)其中光場(chǎng)分布:透過率:

圖2.5.10正弦型振幅光柵的夫瑯和費(fèi)衍射花樣圖2.5.9正弦型振幅光柵的透過率函數(shù)當(dāng)

時(shí),即可保證三個(gè)sinc函數(shù)不重疊,故得正弦振幅光柵的色散和分辨本領(lǐng)：2.分辨本領(lǐng)—

表征分辨兩個(gè)波長很靠近的譜線的能力。由瑞利判據(jù)：剛好能分辨的情況為一個(gè)波長的+1級(jí)極大值正好落在另一個(gè)波長的+1級(jí)極小值處，故有即正弦振幅光柵的分辨本領(lǐng)R由光柵的總條紋數(shù)決定，而與觀察距離z無關(guān)。線色散1.色散—

表征光柵將不同波長的同級(jí)主極大在空間分開的程度。由+1級(jí)極大值的位置●故線色散與觀察距離及光柵頻率有關(guān)。透過率:(1)

[例5].正弦位相光柵由貝塞爾恒等式：光場(chǎng)分布:

則得

可見，全部衍射級(jí)次都有可能出現(xiàn)(圖2.5.11)。但當(dāng)m/2是對(duì)應(yīng)階貝塞爾函數(shù)(例如)的根時(shí)，則該級(jí)衍射分量消失，能量可轉(zhuǎn)移到其他衍射級(jí)上。對(duì)于已確定的m值，q增大到一定程度后，總有

趨近于0，所以會(huì)限制任意高階衍射級(jí)的使用。由，代入(1)式并令圖2.5.12對(duì)于q的3個(gè)數(shù)值，Jq2(m/2)對(duì)m/2的關(guān)系

圖2.5.11正弦型位相光柵的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的截面圖(m=8)

課后思考：

正弦振幅光柵和正弦位相光柵的衍射有何異同？下一節(jié)課內(nèi)容：

菲涅耳衍射計(jì)算實(shí)例，請(qǐng)注意預(yù)覽…

請(qǐng)注意回顧和預(yù)習(xí)...設(shè)一維周期性物體的透過率函數(shù)為：[例1].傅里葉成像(泰保效應(yīng))則觀察屏上的光場(chǎng)分布為(菲涅耳衍射的卷積表示)轉(zhuǎn)換到頻域分析會(huì)更方便：第五講 菲涅耳衍射計(jì)算實(shí)例時(shí)，其中最后得:當(dāng)滿足條件圖2.6.1泰保效應(yīng)示意圖從而，在此特殊情況下由變換公式可得：遂在的整數(shù)倍距離上可觀察到物體的像。此即泰保效應(yīng)。稱為泰保距離。[例2].衍射屏被會(huì)聚球面波照明時(shí)的衍射

圖2.6.2夫瑯和費(fèi)衍射像面接收裝置

為求觀察面上的光場(chǎng)分布，首先要確定衍射屏上的光場(chǎng)復(fù)振幅分布。按光路可逆性原理，照明光波在孔徑前表面的復(fù)振幅可視為由會(huì)聚點(diǎn)發(fā)出的反向球面波傳播到該表面造成的。利用菲涅耳近似有在衍射屏后表面上的光場(chǎng)為

衍射屏前表面上的光場(chǎng)為是衍射屏的屏函數(shù)。其中故觀察屏上的光場(chǎng)為故當(dāng)用會(huì)聚球面波照明衍射屏?xí)r，會(huì)聚中心所在平面上的菲涅耳衍射和以平行光垂直照明衍射屏?xí)r的夫瑯和費(fèi)衍射一樣，只是衍射花樣中心在會(huì)聚波的中心。此光路系統(tǒng)在頻譜分析和光信息處理中具有重要應(yīng)用。最后結(jié)果可表示為:其中光強(qiáng)分布為三.衍射的巴俾涅原理1.互補(bǔ)屏的概念一個(gè)屏的開孔部分正好與另一個(gè)屏的不透明部分對(duì)應(yīng)，反之亦然。圖2.7.1互補(bǔ)屏2.巴俾涅原理：

兩個(gè)互補(bǔ)屏在觀察點(diǎn)處產(chǎn)生的衍射光場(chǎng)，其復(fù)振幅之和等于光波自由傳播時(shí)在該點(diǎn)的復(fù)振幅:1).若，則。2).若，則。即在處的那些點(diǎn)和的位相差，而其強(qiáng)度卻相等。光波自由傳播時(shí)通常滿足幾何光學(xué)定律。故巴俾涅原理為研究一些衍射問題提供了一種輔助方法。例如求解兩類互補(bǔ)屏(圓孔和圓屏,單縫和細(xì)絲)的衍射光場(chǎng)。

[例1]設(shè)用單位振幅的單色平面波垂直照明下列衍射屏：(1）直徑為d的圓孔；（2）直徑為d的不透明圓屏；試求出各衍射屏后表面上光場(chǎng)復(fù)振幅的頻譜。[解]:(1).對(duì)圓孔，有：（1）、（2）顯然是一對(duì)互補(bǔ)屏，除中心點(diǎn)外，兩種情況的光強(qiáng)分布相同。且小圓屏衍射中心總是一個(gè)亮點(diǎn)！

(2).對(duì)不透明小圓屏，有：課后思考：

應(yīng)用巴俾涅原理還可以解決哪些衍射問題？下一節(jié)課內(nèi)容：

透鏡的傅里葉變換性質(zhì)，請(qǐng)注意預(yù)覽…

請(qǐng)注意回顧和預(yù)習(xí)...

本章重點(diǎn)

1.空域與頻域的基爾霍夫衍射公式

2.經(jīng)簡化后的兩類典型的衍射計(jì)算公式

3.一些典型孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射計(jì)算實(shí)例

4.泰保效應(yīng)和采用會(huì)聚球面波照明孔徑時(shí)形成的衍射

習(xí)題課主要圍繞以上重點(diǎn)作技能訓(xùn)練。課堂示范講解:2.1;2.6;2.8;2.10

課外作業(yè):2.5;2.7;2.11;2.12;2.13幅的單色球面波給定（圖X2.1）,第二章習(xí)題課解題示例2.1為消除基爾霍夫衍射公式中理論的不自恰性，索1）求G+(P1)在衍射屏上的法向?qū)?shù)；2）需要什么樣的邊界條件？3）求U(P0)的表達(dá)式。各自發(fā)出的同位相的單位振其對(duì)衍射屏的鏡像對(duì)稱點(diǎn)即圖X2.1習(xí)題2.1圖示施加邊界條件。例如，可以選擇

同時(shí)由觀察點(diǎn)及末菲選用新的格林函數(shù),使其不必同時(shí)對(duì)將上述結(jié)果代入式（2.2.16）得：[解]：由題設(shè)有最后得這時(shí)只需對(duì)應(yīng)用邊界條件。當(dāng)時(shí)，則有2.6設(shè)用單位振幅的單色平面波垂直照明圖X2.2所示雙矩孔，求其夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布，并畫出衍射強(qiáng)度沿軸和

軸的截面圖。設(shè)z是觀察距離，是照明光波長。圖X2.2雙矩孔[解]:雙矩孔的透過率函數(shù)為其透射光場(chǎng)為:觀察平面上的衍射光場(chǎng)為其極小值位置（附圖2.2）：代入，最后算得衍射強(qiáng)度分布:將當(dāng)時(shí)，由題設(shè)條件算得附圖2.2習(xí)題2.6圖示之一附圖2.3習(xí)題2.6圖示之二及決定，即：其極小點(diǎn)位置（附圖2.3）由又時(shí)有圖X2.4習(xí)題2.8圖示2.8如圖X2.4所示，邊長為的正方形孔徑內(nèi)再放置一個(gè)邊長為

的正方形掩模，其中心落在(,)點(diǎn)。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求觀察面上夫瑯和費(fèi)衍射圖樣分布。光強(qiáng)分布[解]:圖X2.4的透過率函數(shù)為觀察面上光場(chǎng)分布為將它們按條紋方向正交密著疊放在一起（圖X2.5）。當(dāng)用單位振幅單色平面波垂直照明時(shí)，求夫瑯和費(fèi)衍射斑的方向角。圖X2.5密著正交光柵2.10兩個(gè)正弦振幅光柵的透過率函數(shù)分別為：和[解]:由題設(shè)有：比較可知，它們分別代表九個(gè)頻率的衍射波，其方向角由角譜定義知各為將這9項(xiàng)與在

平面上傳播的平面波的表達(dá)式0級(jí)的級(jí)的級(jí)交叉項(xiàng)的級(jí)第三章光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性

傳統(tǒng)的像質(zhì)評(píng)價(jià)方法:鑒別率板法和星點(diǎn)檢驗(yàn)法—其優(yōu)點(diǎn)是簡便易行，缺點(diǎn)是未量化，人為因素較大。隨著空間頻譜分析方法被引入光學(xué)系統(tǒng)成像分析中(P.M.Duffieux)，誕生了光學(xué)傳遞函數(shù)理論(H.H.Hopkins)，產(chǎn)生了像質(zhì)評(píng)價(jià)新方法—頻譜分析方法，使像質(zhì)評(píng)價(jià)方法有了很大的改進(jìn)。透鏡是光學(xué)成像系統(tǒng)和頻譜分析系統(tǒng)的基本元件，其傅里葉變換特性是光學(xué)信息處理的基礎(chǔ)。本章就從討論透鏡的位相調(diào)制作用、傅里葉變換性質(zhì)和成像性質(zhì)開始，討論光學(xué)系統(tǒng)的頻率特性。本章講授內(nèi)容第一講透鏡的傅里葉變換性質(zhì)第二講光學(xué)成像系統(tǒng)的一般分析第三講衍射受限相干成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第四講衍射受限非相干成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第五講相干成像與非相干成像系統(tǒng)的比較習(xí)題課

圖3.1.1透鏡對(duì)入射光波面的作用一.薄透鏡的位相調(diào)制作用

第一講透鏡的傅里葉變換性質(zhì)（球面波二次曲面近似）稱為透鏡作用因子。透鏡的透過率函數(shù)為應(yīng)用光路可逆原理其中P(x,y)稱為孔徑函數(shù)或光瞳函數(shù)，定義為圖３.1.3正透鏡和負(fù)透鏡對(duì)垂直入射平面波的位相調(diào)制其對(duì)入射平面波的位相調(diào)制作用如圖3.1.3所示。稱為透鏡的位相變換函數(shù)，而二.透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

根據(jù)光的傳播過程產(chǎn)生的菲涅耳衍射，可把全過程

圖3.1.4透鏡的一般變換關(guān)系分為3個(gè)部分：最后得：產(chǎn)生了位相彎曲。綜合：暫令Ｐ(x,y)=1,并設(shè)，簡化得（習(xí)題3.2）(多了一個(gè)位相因子)(準(zhǔn)確的傅里葉變換)

(1)物置于透鏡前焦面時(shí)：

(2）物緊貼透鏡前表面時(shí)：討論幾種特殊情況：

而其中P(x’,y’)是物所在平面處的光斑孔徑。(3)物置于透鏡后：這時(shí)按光路可逆原理有(仍以L的口徑為準(zhǔn)）由于圖3.1.5物置于透鏡后的變換（物面被照明部分的孔徑函數(shù)）

從物的后表面?zhèn)鞑サ胶蠼姑娴倪^程可視為菲涅耳衍射，故后焦面上的光場(chǎng)分布為：其積分表達(dá)式為：可見，在透鏡Ｌ后焦面上總是獲得輸入函數(shù)的頻譜。后一種方法還具有一定的靈活性。綜合：暫令，則經(jīng)簡化得：

由于透鏡孔徑的限制，沿某些方向傳播的物空間頻率不能完全通過透鏡，后焦面上不能得到準(zhǔn)確的物頻譜。這給傅里葉變換帶來誤差。頻率越高，誤差就越大。這種現(xiàn)象稱為漸暈效應(yīng)。三.透鏡孔徑的影響漸暈效應(yīng)

圖3.1.6透鏡的孔徑效應(yīng)

圖3.1.7漸暈效應(yīng)圖示

[例1]設(shè)物函數(shù)中含有從低頻息，物被直徑為d=2cm的圓孔所示，將它放在直徑D=4cm、焦

前焦面上。今用波長=600nm的單色光垂直照射該物，并測(cè)量透鏡后焦面上的光強(qiáng)分布。問①物函數(shù)中什么頻率范圍內(nèi)的頻譜可以通過測(cè)量得到準(zhǔn)確值？②什么頻率范圍內(nèi)的信息被截止？y到高頻的各種結(jié)構(gòu)信限制。如圖3.1.7所距

的透鏡

[解]:①由于漸暈效應(yīng)，僅當(dāng)某一方向上的平面波分量完全通過透鏡時(shí)，在后焦面上相應(yīng)會(huì)聚點(diǎn)測(cè)得的強(qiáng)度才可以準(zhǔn)確代表物相應(yīng)空間頻率的傅里葉譜的模的平方。由圖3.1.6(a)可知其相應(yīng)空間頻率為：故可準(zhǔn)確測(cè)量的最高空間頻率為：②當(dāng)沿某一方向傳播的平面波分量完全被透鏡邊框阻擋時(shí)，在后焦面上就沒有該空間頻率成分，測(cè)得其頻譜為零。由圖3.1.6(b)可知，此時(shí)相應(yīng)的截止空間頻率為：

課后思考：

透鏡的傅里葉變換是如何實(shí)現(xiàn)的？下一節(jié)課內(nèi)容：

光學(xué)成像系統(tǒng)的一般分析，請(qǐng)注意預(yù)覽…

請(qǐng)注意回顧和預(yù)習(xí)...一.成像系統(tǒng)的普遍模型

圖3.2.1成像系統(tǒng)的普遍模型

第二講 光學(xué)成像系統(tǒng)的一般分析3.光束限制的共軛原理。4.成像系統(tǒng)的普遍模型。1.孔徑光闌、入射光瞳和出射光瞳的意義。2.入射光瞳、孔徑光闌和出射光瞳三者相互共軛。二.衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)

成像系統(tǒng)分為兩大類，即衍射受限系統(tǒng)和有像差系統(tǒng)。前者不考慮像差的影響。由疊加積分：其中（脈沖響應(yīng)）任意的物函數(shù)都可視為由許多面元組成。因此，只要能夠確定成像系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)光源（面元）的脈沖響應(yīng)函數(shù)，就能完備地描述該成像系統(tǒng)的性質(zhì)。下面將單透鏡光學(xué)系統(tǒng)推廣到復(fù)合成像系統(tǒng)。。在上講推導(dǎo)透鏡的一般變換(圖3.1.3)對(duì)應(yīng)的關(guān)系式中令即單色光照明時(shí)，衍射受限系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)就是系統(tǒng)光瞳函數(shù)的傅里葉變換，其中心在則經(jīng)與上講類似推導(dǎo)可得P(x,y)視為出射光瞳函數(shù),代表出瞳至像面的距離,

現(xiàn)作坐標(biāo)變換：則有：表明該系統(tǒng)是線性空間不變系統(tǒng)。

即當(dāng)不考慮出瞳的有限大小時(shí)，系統(tǒng)對(duì)物體成理想的像，該像與原物準(zhǔn)確相似。討論:(1).若

(孔徑充分大),則(幾何光學(xué)的點(diǎn)像)代入疊加積分式,在幾何光學(xué)近似下,可得像函數(shù)為即像面上光場(chǎng)的復(fù)振幅分布等于幾何光學(xué)的理想像與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積。換言之，當(dāng)考慮了衍射效應(yīng)后，像不再是物體的準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)了，而是物體的平滑變形。這將使物體中細(xì)微結(jié)構(gòu)的空間頻率信息受到強(qiáng)烈衰減甚至損失，從而使所生成的像產(chǎn)生相應(yīng)失真。(2).若考慮光瞳的有限大小，則由疊加積分得(1)

(3)

3.最后求逆變換：分析步驟（如圖3.2.2）：準(zhǔn)單色光條件這時(shí)三.準(zhǔn)單色光照明時(shí)物像關(guān)系分析(2)

2.再應(yīng)用疊加積分：求關(guān)于變量t的傅里葉變換：1.先對(duì)圖3.2.2準(zhǔn)單色光照明時(shí)物像關(guān)系框圖

最后求光強(qiáng)度分布:其中這樣，就把疊加積分公式推廣到了準(zhǔn)單色光情形。將式（2）代入式（3）便得輸出像函數(shù)：2.非相干照明(如漫射擴(kuò)展光源)：光擾動(dòng)統(tǒng)計(jì)無關(guān)。

按照明方式，可分為相干照明和非相干照明兩類：1.相干照明(如激光,點(diǎn)光源)：物平面上任意兩點(diǎn)光擾動(dòng)之間的位相差恒定，可令其平均值等于1。遂得即相干系統(tǒng)對(duì)光場(chǎng)復(fù)振幅是線性空間不變系統(tǒng)。即非相干系統(tǒng)對(duì)光強(qiáng)度的變換是空間不變的。課后思考：

相干光照明與非相干光照明的兩種成像系統(tǒng)有何差異？下一節(jié)課內(nèi)容：

衍射受限相干成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，請(qǐng)注意預(yù)覽…

請(qǐng)注意回顧和預(yù)習(xí)...稱為相干傳遞函數(shù)（CTF）。一.相干傳遞函數(shù)的定義相干成像系統(tǒng)是光場(chǎng)復(fù)振幅變換的線性空間不變系統(tǒng)。故有第三講衍射受限相干成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)其中其頻譜關(guān)系為二.相干傳遞函數(shù)與系統(tǒng)物理性質(zhì)的聯(lián)系:由此得：截止頻率：考慮到光瞳的圓對(duì)稱性，可寫成：質(zhì)量優(yōu)劣的重要參數(shù)之一。由此可見，截止頻率是檢驗(yàn)光學(xué)成像系統(tǒng)顯然,對(duì)衍射受限相干成像系統(tǒng),存在一個(gè)有限通頻帶,在此通頻帶內(nèi),系統(tǒng)允許每一頻率分量無畸變地通過;在通頻帶外,頻率響應(yīng)突然變?yōu)榱?即通帶以外的所有頻率分量統(tǒng)統(tǒng)都被衰減掉（相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器）。圖3.3.1光瞳對(duì)高級(jí)衍射分量的限制

像差將引起波面變形（產(chǎn)生波像差）。可設(shè)想在出瞳內(nèi)有一塊虛擬的移相板。于是得廣義光瞳函數(shù)：像差的存在并不影響相干傳遞函數(shù)的通頻帶寬度，僅在其內(nèi)引入了位相畸變,影響成像系統(tǒng)的保真度。三.像差對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響圖3.3.2出瞳為正方形時(shí)系統(tǒng)的CTF

[例1].有一出射光瞳為正方形的衍射受限系統(tǒng)，正方形的邊長為，試計(jì)算該系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)。四.相干傳遞函數(shù)計(jì)算舉例

對(duì)于衍射受限系統(tǒng)，相干傳遞函數(shù)直接由光瞳函數(shù)的形狀、大小和位置確定。故光瞳的選擇對(duì)成像過程有重大影響，也是計(jì)算的關(guān)鍵。系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)是：[解]:該系統(tǒng)出瞳的透過率函數(shù)可以用一個(gè)二維矩形函數(shù)來描述，如圖3.3.2（a）所示。系統(tǒng)的最大截止頻率在與x軸成角方向，即其函數(shù)圖形如圖3.3.2(b)。顯然，沿

軸和y軸方向的空間截止頻率都是：

[例2].設(shè)衍射受限系統(tǒng)的出射光瞳為一圓孔，其直徑為D，試計(jì)算該系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)。[解]:圓孔的光瞳函數(shù)為：相應(yīng)的相干傳遞函數(shù)為：圖3.3.3出瞳為圓形時(shí)系統(tǒng)的CTF其函數(shù)圖形如圖3.3.3所示。顯然，根據(jù)出瞳的圓對(duì)稱性，該系統(tǒng)在一切方向的截止頻率均為：例如，當(dāng)D=1cm,時(shí)，其截止空間頻率線對(duì)/mm。

相干傳遞函數(shù)和光瞳函數(shù)課后思考：下一節(jié)課內(nèi)容：

衍射受限非相干成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，請(qǐng)注意預(yù)覽…

請(qǐng)注意回顧和預(yù)習(xí)...是如何聯(lián)系起來的？且

一、光學(xué)傳遞函數(shù)的定義第四講衍射受限非相干成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)衍射受限非相干成像系統(tǒng)遵從光強(qiáng)度卷積積分：其頻譜關(guān)系為令（1）則由式（1）有：（2）（3）；（取其中對(duì)應(yīng)的正頻率項(xiàng)與負(fù)頻率項(xiàng)相加）對(duì)式（2）取逆傅里葉變換：由于光強(qiáng)度不可能是負(fù)的，余弦分量的負(fù)值必然截止在零頻率分量A(0,0）上，故總和仍然是正的值。令是一個(gè)正值實(shí)數(shù)。則有表示零頻無位相因子。通常可將OTF表示成：人眼或儀器對(duì)圖像的視覺效果取決于像所攜帶的信息與直流背景的相對(duì)比值。故對(duì)零頻分量歸一化得最后得：H0(fx,fy)稱為系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)(OTF),反映非相干成像系統(tǒng)傳遞信息的頻率特性。

其模稱為調(diào)制傳遞函數(shù)，幅角稱為位相傳遞函數(shù)。二.OTF與CTF的關(guān)系而故得：即光學(xué)傳遞函數(shù)等于相干傳遞函數(shù)的歸一化自相關(guān)。由于三.光學(xué)傳遞函數(shù)的一般性質(zhì)和意義2.3.令注意：雖然OTF在零頻下其值恒為1，但這并不意味著像和物的本底絕對(duì)強(qiáng)度水平相同。OTF定義中所用的歸一化已經(jīng)消除了關(guān)于絕對(duì)強(qiáng)度水平的一切信息。1.（對(duì)零頻分量總是百分之百地傳遞)4.(也相當(dāng)于低通濾波器)其中OTF的一般意義：

●，則：令時(shí)，必有僅當(dāng)Vi>Vc時(shí)，像的結(jié)構(gòu)才能被分辨。與此對(duì)比度閾值Vc相對(duì)應(yīng)的空間頻率，就是成像系統(tǒng)的分辨極限。

因此系統(tǒng)存在一截止頻率，相應(yīng)地存在一個(gè)對(duì)比度閾值

Vc。

。這MTF描述系統(tǒng)對(duì)各種頻率分量對(duì)比度的傳遞能力,而PTF體現(xiàn)了像強(qiáng)度相對(duì)于物強(qiáng)度分布所產(chǎn)生的位移。當(dāng)就意味著，只要空間頻率大于系統(tǒng)的截止頻率，不論物強(qiáng)度頻譜的對(duì)比度有多大，像強(qiáng)度頻譜的對(duì)比度總是等于零。四.衍射受限系統(tǒng)OTF的計(jì)算由于故有遂有令；則上式化為：；。只取圖3.4.1衍射受限系統(tǒng)的OTF計(jì)算顯然,光學(xué)傳遞函數(shù)也是光瞳函數(shù)的歸一化自相關(guān)。上式給出了OTF的一種幾何解釋：由于0和1兩個(gè)實(shí)數(shù)值，故其分母代表光瞳的總面積而分子表示兩個(gè)錯(cuò)開光瞳的相互重疊的面積故可對(duì)OTF作出如下幾何解釋：（非負(fù)實(shí)數(shù)）據(jù)此，光學(xué)傳遞函數(shù)的計(jì)算步驟可歸納為：1.計(jì)算出瞳總面積：2.計(jì)算出瞳面至像平面間距離：3.計(jì)算兩出瞳的重疊面積：4.最終計(jì)算得到：對(duì)于形狀復(fù)雜的出瞳，可以用計(jì)算機(jī)或面積儀求出H0(fx,fy)在一系列分立頻率上的值。圖3.4.2出瞳為正方形的系統(tǒng)的OTF計(jì)算

[例1].出瞳為正方形

OTF計(jì)算舉例：●[例2].出瞳為圓形截止頻率:圖3.4.3出瞳為圓形的系統(tǒng)的OTF計(jì)算

最后算得：弓形ABC的面積=

像差的存在會(huì)使光學(xué)系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)下降，像面光強(qiáng)度分布的各個(gè)空間頻率分量的對(duì)比度降低。但其截止頻率相同（在同樣光瞳下）。

五.像差對(duì)OTF的影響總可歸結(jié)為波面對(duì)理想球面波的偏離。其廣義光瞳為故得可以證明：在光瞳內(nèi)在光瞳外[例1].試計(jì)算存在聚焦誤差時(shí)的OTF。[解]為求得，應(yīng)先確定波像差如圖

圖3.4.4光學(xué)系統(tǒng)聚焦誤差方形光瞳邊緣上的最大光程差為

其中表征離焦的程度：在出瞳內(nèi)或在出瞳外由于而故廣義光瞳函數(shù)可寫為上式中的指數(shù)因子可化為：而兩個(gè)錯(cuò)開光瞳的重疊面積為：所以遂由傅里葉變換相似性定理得到代入上式，經(jīng)整理化簡后得：將上式就表示調(diào)焦不準(zhǔn)對(duì)OTF的影響。圖3.4.5（a)畫出時(shí)的曲線。當(dāng)時(shí)，其對(duì)成像質(zhì)量影響不大，從而可把作為離焦的容限。當(dāng)時(shí)，OTF在某些區(qū)域出現(xiàn)負(fù)值，對(duì)應(yīng)頻率成分產(chǎn)生相移，這表明該區(qū)域的對(duì)比度發(fā)生了翻轉(zhuǎn)（如圖3.4.5(b)所示)。這種現(xiàn)象稱為偽分辨。

圖3.4.5正方形光瞳系統(tǒng)有離焦像差時(shí)的OTF課后思考：

光學(xué)傳遞函數(shù)具有哪些性質(zhì)？如何理解光學(xué)傳遞函數(shù)的物理意義？下一節(jié)課內(nèi)容：

相干成像與非相干成像系統(tǒng)的比較，請(qǐng)注意預(yù)覽…

請(qǐng)注意回顧和預(yù)習(xí)...1.兩個(gè)物點(diǎn)間的分辨率

就