有限元方法1-概述

現(xiàn)代設計方法有限元方法（1）華中科技大學王書亭吳義忠有限元方法——概述了解有限元在工程中應用了解有限元分析的基本思想求解有限元問題的過程簡單問題有限元求解示例在工程分析和科學研究中，常常會遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相應的邊界條件描述的場問題，如位移場、應力場和溫度場等問題。1-1有限元法工程應用場景蓄水后大壩的位移與應變情況、地震時大壩的位移與應變情況等三峽大壩的受力情況

航天飛機飛行中的受熱分析溫度場分布

磁場分布

分析衛(wèi)星、飛船在軌運行時磁場的影響

汽車/航天器空氣動力學--流場工程“場”問題的三種解決方法:(1)理論分析(exactsolutions)(2)數(shù)值方法:

a.有限差分（Finitedifferencemethod,

b.有限元（FiniteElementMethod,c.邊界元（Boundaryelementmethod;(3)經(jīng)驗方法

其中，能用解析法求出精確解的只能是方程性質(zhì)比較簡單且?guī)缀芜吔缦喈斠?guī)則的少數(shù)問題。傳統(tǒng)的解析法要對一個實際的物理系統(tǒng)作出多種假設，比如形狀假設、連續(xù)性假設等，然后通過經(jīng)典理論方法得出問題的解析解，可得出實際問題的連續(xù)解，比如用方程描述三峽大壩某一點的位移和應變，但這樣的解析解往往和實際情況有比較大的偏差。這對于精度要求不高的領(lǐng)域是可以的，但對于有些領(lǐng)域，就不能滿足實際的需要了。

而對于絕大多數(shù)問題，則很少能得出解析解。這就需要研究它的數(shù)值解法，以求出近似解。有限元的含義

FiniteElementMethodLimited;Definite.Cell;Basicunit.Technique;Skill.1943年，Courant提出有限元法概念1956年，Turner和Clough第一次用三角形單元離散飛機機翼，借助有限元法概念研究機翼的強度及剛度1960年，Clough正式提出有限元法（FEM）20世紀60年代以后，由于數(shù)學界的參與，F(xiàn)EM得到蓬勃發(fā)展，并且擴大了應用發(fā)展簡史

有限元分析是一種工程物理問題的數(shù)值分析方法，根據(jù)近似分割和能量最低原理，把求解區(qū)域離散為有限個單元的組合，研究每個單元的特性，組裝各單元，通過變分原理（虛位移原理），把問題化成線性代數(shù)方程組求解。

化整為零，裁彎取直，變難為易，先拆后搭定義分析指導思想載荷節(jié)點單元載荷1）單元（element）將求解的工程結(jié)構(gòu)看成是由許多小的、彼此用點聯(lián)結(jié)的基本構(gòu)件如桿、梁、板和殼組成的，這些基本構(gòu)件稱為單元。在有限元法中，單元用一組節(jié)點間相互作用的數(shù)值和矩陣（剛度系數(shù)矩陣）來描述。幾個基本概念2）節(jié)點（node）單元與單元之間的聯(lián)結(jié)點，稱為節(jié)點。在有限元法中，節(jié)點就是空間中的坐標位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。節(jié)點:空間中的坐標位置，具有一定屬性，相互之間存在物理作用。單元:節(jié)點間相互作用的對象，用一組節(jié)點相互作用的數(shù)值矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。載荷載荷有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。1-2有限元法基本思想先將求解域離散為有限個單元，單元與單元只在節(jié)點相互連接；----即原始連續(xù)求解域用有限個單元的集合近似代替對每個單元選擇一個簡單的場函數(shù)近似表示真實場函數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡單函數(shù)可由單元節(jié)點上物理量來表示----通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù)基于問題（桿、平面）的基本方程，建立單元節(jié)點的平衡方程：節(jié)點載荷=f(Ki,節(jié)點位移)聯(lián)立所有單元節(jié)點的平衡方程，形成一組全部節(jié)點載荷與節(jié)點位移關(guān)系的方程組（線性）：{節(jié)點載荷}=F(K,{節(jié)點位移}）引入邊界條件求解該方程組。有限元法的分析過程可概括如下：1

連續(xù)體離散化2

單元分析3

整體分析4

確定約束條件5

有限元方程求解6

結(jié)果分析與討論1-3有限元法過程

1.連續(xù)體離散化

連續(xù)體：是指所求解的對象（如物體或結(jié)構(gòu)）。

離散化（劃分網(wǎng)格或網(wǎng)絡化）：是將所求解的對象劃分為有限個具有規(guī)則形狀的微小塊體，把每個微小塊體稱為單元，相鄰兩個單元之間只通過若干點互相連接，每個連接點稱為節(jié)點。相鄰單元只在節(jié)點處連接，載荷也只通過節(jié)點在各單元之間傳遞，這些有限個單元的集合體，即原來的連續(xù)體。

單元劃分后，給每個單元及節(jié)點進行編號；

選定坐標系，計算各個節(jié)點坐標；

確定各個單元的形態(tài)和性態(tài)參數(shù)以及邊界條件等。離散為單元網(wǎng)格的沖壓件仍然要保證是一個連續(xù)體，單元與單元之間沒有裂縫、不能重疊，所有單元通過單元節(jié)點相互關(guān)聯(lián)著板料無論產(chǎn)生多大的塑性變形，單元與單元之間依然不會產(chǎn)生裂縫、交叉和重疊，關(guān)聯(lián)單元的節(jié)點也不能脫開有限元法的基本思想有限元法的基本思想不合格單元單元裂縫單元重疊HyperMesh

根據(jù)研究對象的不同，有限元法中采用的單元形式也不相同。

通常，按照單元結(jié)構(gòu)，可將單元劃分為一維單元（線單元）、二維單元（面單元）和三維單元JIJKLI一維單元二維單元POMNKJIL三維單元有限元法的基本思想典型單元類型

單元類型單元圖形節(jié)點數(shù)節(jié)點自由度桿單元21平面梁單元23平面三角形單元32平面四邊形單元42軸對稱三角形單元32板殼四邊形單元43三維四面體單元43按照單元結(jié)構(gòu)特點和受力特點，可將單元劃分為：1）平面桿單元：主要應用于受軸向力作用的桿和桿系，如桁架結(jié)構(gòu)；2）平面梁單元：用于梁及剛架結(jié)構(gòu)分析；3）三角形平面單元：主要用于彈性力學中平面應力和平面應變問題的有限元分析；4）三棱圓環(huán)單元：用于軸對稱問題的有限元分析；5）等參數(shù)單元：用于一些具有曲線輪廓的復雜結(jié)構(gòu)。2.單元分析

連續(xù)體離散化后，即可對單元體進行特性分析，簡稱為單元分析。

單元分析工作主要有兩項：

(1)選擇單元位移模式(位移函數(shù))

用節(jié)點位移來表示單元體內(nèi)任一點的位移、應變和應力，就需搞清各單元中的位移分布。

一般是假定單元位移是坐標的某種簡單函數(shù)，用其模擬內(nèi)位移的分布規(guī)律，這種函數(shù)就稱為位移模式或位移函數(shù)。通常采用的函數(shù)形式多為多項式（線性或二次）。

根據(jù)所選定的位移模式，就可以導出用節(jié)點位移來表示單元體內(nèi)任一點位移的關(guān)系式。單位剛度矩陣是由單元節(jié)點位移量求單元節(jié)點力向量的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為:

進行單元力學特性分析，將作用在單元上的所有力（表面力、體積力、集中力）等效地移置為節(jié)點載荷；采用有關(guān)的力學原理建立單元的平衡方程，求得單元內(nèi)節(jié)點位移與節(jié)點力之間的關(guān)系矩陣-------單元剛度矩陣。

(2)分析單元的特性，建立單元方程，得到單元剛度矩陣3.整體分析

聯(lián)立方程組，得到總剛矩陣。相當于把各個單元的剛度矩陣集成為總體剛度矩陣，以及將各單元的節(jié)點力向量集成總的力向量，求得整體平衡方程。集成總體剛度矩陣[K]并寫出總體平衡方程：[K]是由整體節(jié)點位移向量求整體節(jié)點力向量的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為，這就是總體平衡方程。4.確定約束條件

由上述所形成的整體平衡方程是一組線性代數(shù)方程，是欠約束的。需確定求解對象問題的邊界約束條件，并對這些方程進行適當修正。5.

有限元方程求解

通過求解整體平衡方程，即可求得各節(jié)點的位移進而根據(jù)位移可計算單元的應力及應變。6.

結(jié)果分析與討論

網(wǎng)架桿件節(jié)點位移單元剛度矩陣總剛度矩陣總剛度方程節(jié)點位移值單元內(nèi)應力應變單元內(nèi)力與節(jié)點位移間關(guān)系引入邊界條件節(jié)點平衡及變形協(xié)調(diào)條件基本單元基本未知量一維桿系單元定義：桿系結(jié)構(gòu)中的桿件、梁、柱等稱為桿系單元。連接的點稱為節(jié)點。結(jié)構(gòu)離散一般原則：桿系的交叉點、邊界點、集中力作用點、桿件截面尺寸突變處等都應該設置節(jié)點，節(jié)點之間的桿件即構(gòu)成單元。F節(jié)點1節(jié)點2單元①節(jié)點3節(jié)點2單元②1-4有限元法求解實例分析【例1】一根由兩段組成的階梯軸，一端固定，另一端承受一個軸向載荷F3。這兩段的橫截面積分別為A(1)和A(2)，長度分別為L(1)和L(2)，彈性模量分別為E(1)和E(2)

，求出這兩段的應力和應變。已知數(shù)據(jù)分別為F3=100N，F(xiàn)2=0N，1①2②3A(1)E(1)A(2)E(2)L(1)

L(2)

①②2Φ1F2F3Φ2Φ3F1F3132023/2/1【解】1.離散化把這根階梯軸看成是由兩個單元組成的，節(jié)點選在截面積突變處，兩個單元的連接處是一個節(jié)點，該階梯軸的兩端視為另外兩個節(jié)點，所以整個結(jié)構(gòu)共有三個節(jié)點。這根軸是一維結(jié)構(gòu)，并只受軸向載荷，因此各單元內(nèi)只有軸向位移。三個節(jié)點位置的位移量分別記為、、。在整個結(jié)構(gòu)中節(jié)點載荷及節(jié)點位移均用大寫字母標記，其角標為節(jié)點在總體結(jié)構(gòu)中的編碼，簡稱總碼。

2.求單元剛度矩陣

下面分析某等截面單元（e）。當兩端分別承受兩個軸向力和作用時的位移情況。根據(jù)材料力學的知識可知，在兩端節(jié)點i、j處的位移量和與軸向力和的關(guān)系式為注意在分析單元剛度矩陣時，載荷F和位移等參數(shù)的上角標為該單元的編碼，下角標為該單元內(nèi)節(jié)點的局部編碼。上兩式可寫成：或簡寫為：式中—為單元剛度矩陣或單元特性矩陣，其階數(shù)等于單元中所包含的節(jié)點數(shù)；

—為單元節(jié)點力向量

——為單元節(jié)點位移向量（列陣），也為單元自由度列陣；將單元剛度矩陣改寫成矩陣的標準形式，則

該矩陣中任意一個元素都稱為單元剛度系數(shù)，它表示：

該單元內(nèi)除節(jié)點j產(chǎn)生單位位移外，其余各節(jié)點的位移均為零時在節(jié)點i

處所引起的載荷。3.總體剛度矩陣的集成和總體平衡方程的寫出

該階梯軸上三個節(jié)點位移、、（待求）和三個節(jié)點軸向力（已知），分別組成該整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移向量和節(jié)點軸向力向量。

兩向量間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為或

上式中的轉(zhuǎn)移矩陣稱為總體剛度矩陣或總體特性矩陣，其階數(shù)等于總體結(jié)構(gòu)中的節(jié)點總數(shù)。

[K]中的元素稱為總體剛度系數(shù)，它表示在整體結(jié)構(gòu)中除了節(jié)點j

產(chǎn)生單位位移外，其余各節(jié)點的位移均為零時在節(jié)點i處所引起的載荷。

求出總體剛度矩陣是進行總體分析的主要任務，一旦獲得總體剛度矩陣，可以很容易地寫出總體平衡方程。求總體剛度矩陣[K]的方法主要由兩種：一是直接法，即根據(jù)總體剛度系數(shù)的定義求解；另一種方法是集成法，即由各單元剛度矩陣求總體剛度矩陣。

直接法根據(jù)剛度系數(shù)的定義，由材料力學方法求得總剛矩陣中的各個系數(shù)。詳見書P104頁。直接法具有概念清晰的特點，但是在分析復雜結(jié)構(gòu)時運算極其復雜，因而限制了它的應用。

用集成法求總體剛度矩陣[K]

這種方法從單元剛度矩陣出發(fā)，根據(jù)迭加原理，利用剛度系數(shù)集成的方法獲得總體剛度矩陣。這樣，首先要寫出各單元的剛度矩陣。局部碼1(1)2(1)1(2)2(2)總碼1223節(jié)點的局部碼與總碼對應關(guān)系約定：

集成[K]的步驟為：

（1）將原單元剛度矩陣中的各系數(shù)進行總碼標記，則

（2）將角標相同的系數(shù)相加，并按總碼的順序排列，則總體剛度矩陣為：總體平衡方程為：

獲得的總體剛度矩陣與直接法得到的矩陣相同。

單剛矩陣合并總剛矩陣的原理基于單元分析（兩個方程）中間節(jié)點力平衡（增加一個方程）聯(lián)立處理后，得到的系數(shù)矩陣正好是總剛矩陣K4.引入支撐條件，計算節(jié)點位移

上式中的未知量仍不能求出，因為[K]是一個奇異矩陣（物體可以平移，位移有無窮解），必須引入支撐條件。在本例中支撐條件是節(jié)點1的位移為零，即這樣總體平衡方程簡化為：

F1=0?

代入已知條件：

可求得：

5.求單元中的應力及應變單元1中的應變：單元2中的應變：單元1中的應力：單元2中的應力：

一般而言，剛度矩陣具有如下特性：1）對稱性

單元剛度矩陣和總體剛度矩陣都是對稱方陣，即由第j個節(jié)點單位位移引起的第i個節(jié)點載荷和由第i個節(jié)點單位位移引起的第j個節(jié)點載荷是相等的。這是彈性結(jié)構(gòu)一個共同的特點。這種對稱性可減少矩陣存儲運算時的內(nèi)存量。

2）奇異性單元剛度矩陣和總體剛度矩陣都是奇異矩陣，即它們的行列式都等于0，這樣，其逆陣就不存在。因此，對總體剛度矩陣要引入邊界條件進行處理之后才能求解。3）稀疏性

總體剛度矩陣是零元素非常多的