有限元方法1-概述

現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法有限元方法（1）華中科技大學(xué)王書(shū)亭吳義忠有限元方法——概述了解有限元在工程中應(yīng)用了解有限元分析的基本思想求解有限元問(wèn)題的過(guò)程簡(jiǎn)單問(wèn)題有限元求解示例在工程分析和科學(xué)研究中，常常會(huì)遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相應(yīng)的邊界條件描述的場(chǎng)問(wèn)題，如位移場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)和溫度場(chǎng)等問(wèn)題。1-1有限元法工程應(yīng)用場(chǎng)景蓄水后大壩的位移與應(yīng)變情況、地震時(shí)大壩的位移與應(yīng)變情況等三峽大壩的受力情況

航天飛機(jī)飛行中的受熱分析溫度場(chǎng)分布

磁場(chǎng)分布

分析衛(wèi)星、飛船在軌運(yùn)行時(shí)磁場(chǎng)的影響

汽車(chē)/航天器空氣動(dòng)力學(xué)--流場(chǎng)工程“場(chǎng)”問(wèn)題的三種解決方法:(1)理論分析(exactsolutions)(2)數(shù)值方法:

a.有限差分（Finitedifferencemethod,

b.有限元（FiniteElementMethod,c.邊界元（Boundaryelementmethod;(3)經(jīng)驗(yàn)方法

其中，能用解析法求出精確解的只能是方程性質(zhì)比較簡(jiǎn)單且?guī)缀芜吔缦喈?dāng)規(guī)則的少數(shù)問(wèn)題。傳統(tǒng)的解析法要對(duì)一個(gè)實(shí)際的物理系統(tǒng)作出多種假設(shè)，比如形狀假設(shè)、連續(xù)性假設(shè)等，然后通過(guò)經(jīng)典理論方法得出問(wèn)題的解析解，可得出實(shí)際問(wèn)題的連續(xù)解，比如用方程描述三峽大壩某一點(diǎn)的位移和應(yīng)變，但這樣的解析解往往和實(shí)際情況有比較大的偏差。這對(duì)于精度要求不高的領(lǐng)域是可以的，但對(duì)于有些領(lǐng)域，就不能滿足實(shí)際的需要了。

而對(duì)于絕大多數(shù)問(wèn)題，則很少能得出解析解。這就需要研究它的數(shù)值解法，以求出近似解。有限元的含義

FiniteElementMethodLimited;Definite.Cell;Basicunit.Technique;Skill.1943年，Courant提出有限元法概念1956年，Turner和Clough第一次用三角形單元離散飛機(jī)機(jī)翼，借助有限元法概念研究機(jī)翼的強(qiáng)度及剛度1960年，Clough正式提出有限元法（FEM）20世紀(jì)60年代以后，由于數(shù)學(xué)界的參與，F(xiàn)EM得到蓬勃發(fā)展，并且擴(kuò)大了應(yīng)用發(fā)展簡(jiǎn)史

有限元分析是一種工程物理問(wèn)題的數(shù)值分析方法，根據(jù)近似分割和能量最低原理，把求解區(qū)域離散為有限個(gè)單元的組合，研究每個(gè)單元的特性，組裝各單元，通過(guò)變分原理（虛位移原理），把問(wèn)題化成線性代數(shù)方程組求解。

化整為零，裁彎取直，變難為易，先拆后搭定義分析指導(dǎo)思想載荷節(jié)點(diǎn)單元載荷1）單元（element）將求解的工程結(jié)構(gòu)看成是由許多小的、彼此用點(diǎn)聯(lián)結(jié)的基本構(gòu)件如桿、梁、板和殼組成的，這些基本構(gòu)件稱為單元。在有限元法中，單元用一組節(jié)點(diǎn)間相互作用的數(shù)值和矩陣（剛度系數(shù)矩陣）來(lái)描述。幾個(gè)基本概念2）節(jié)點(diǎn)（node）單元與單元之間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，稱為節(jié)點(diǎn)。在有限元法中，節(jié)點(diǎn)就是空間中的坐標(biāo)位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。節(jié)點(diǎn):空間中的坐標(biāo)位置，具有一定屬性，相互之間存在物理作用。單元:節(jié)點(diǎn)間相互作用的對(duì)象，用一組節(jié)點(diǎn)相互作用的數(shù)值矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。載荷載荷有限元模型由一些簡(jiǎn)單形狀的單元組成，單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。1-2有限元法基本思想先將求解域離散為有限個(gè)單元，單元與單元只在節(jié)點(diǎn)相互連接；----即原始連續(xù)求解域用有限個(gè)單元的集合近似代替對(duì)每個(gè)單元選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的場(chǎng)函數(shù)近似表示真實(shí)場(chǎng)函數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡(jiǎn)單函數(shù)可由單元節(jié)點(diǎn)上物理量來(lái)表示----通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù)基于問(wèn)題（桿、平面）的基本方程，建立單元節(jié)點(diǎn)的平衡方程：節(jié)點(diǎn)載荷=f(Ki,節(jié)點(diǎn)位移)聯(lián)立所有單元節(jié)點(diǎn)的平衡方程，形成一組全部節(jié)點(diǎn)載荷與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系的方程組（線性）：{節(jié)點(diǎn)載荷}=F(K,{節(jié)點(diǎn)位移}）引入邊界條件求解該方程組。有限元法的分析過(guò)程可概括如下：1

連續(xù)體離散化2

單元分析3

整體分析4

確定約束條件5

有限元方程求解6

結(jié)果分析與討論1-3有限元法過(guò)程

1.連續(xù)體離散化

連續(xù)體：是指所求解的對(duì)象（如物體或結(jié)構(gòu)）。

離散化（劃分網(wǎng)格或網(wǎng)絡(luò)化）：是將所求解的對(duì)象劃分為有限個(gè)具有規(guī)則形狀的微小塊體，把每個(gè)微小塊體稱為單元，相鄰兩個(gè)單元之間只通過(guò)若干點(diǎn)互相連接，每個(gè)連接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。相鄰單元只在節(jié)點(diǎn)處連接，載荷也只通過(guò)節(jié)點(diǎn)在各單元之間傳遞，這些有限個(gè)單元的集合體，即原來(lái)的連續(xù)體。

單元?jiǎng)澐趾?，給每個(gè)單元及節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)；

選定坐標(biāo)系，計(jì)算各個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；

確定各個(gè)單元的形態(tài)和性態(tài)參數(shù)以及邊界條件等。離散為單元網(wǎng)格的沖壓件仍然要保證是一個(gè)連續(xù)體，單元與單元之間沒(méi)有裂縫、不能重疊，所有單元通過(guò)單元節(jié)點(diǎn)相互關(guān)聯(lián)著板料無(wú)論產(chǎn)生多大的塑性變形，單元與單元之間依然不會(huì)產(chǎn)生裂縫、交叉和重疊，關(guān)聯(lián)單元的節(jié)點(diǎn)也不能脫開(kāi)有限元法的基本思想有限元法的基本思想不合格單元單元裂縫單元重疊HyperMesh

根據(jù)研究對(duì)象的不同，有限元法中采用的單元形式也不相同。

通常，按照單元結(jié)構(gòu)，可將單元?jiǎng)澐譃橐痪S單元（線單元）、二維單元（面單元）和三維單元JIJKLI一維單元二維單元POMNKJIL三維單元有限元法的基本思想典型單元類型

單元類型單元圖形節(jié)點(diǎn)數(shù)節(jié)點(diǎn)自由度桿單元21平面梁?jiǎn)卧?3平面三角形單元32平面四邊形單元42軸對(duì)稱三角形單元32板殼四邊形單元43三維四面體單元43按照單元結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和受力特點(diǎn)，可將單元?jiǎng)澐譃椋?）平面桿單元：主要應(yīng)用于受軸向力作用的桿和桿系，如桁架結(jié)構(gòu)；2）平面梁?jiǎn)卧河糜诹杭皠偧芙Y(jié)構(gòu)分析；3）三角形平面單元：主要用于彈性力學(xué)中平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問(wèn)題的有限元分析；4）三棱圓環(huán)單元：用于軸對(duì)稱問(wèn)題的有限元分析；5）等參數(shù)單元：用于一些具有曲線輪廓的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。2.單元分析

連續(xù)體離散化后，即可對(duì)單元體進(jìn)行特性分析，簡(jiǎn)稱為單元分析。

單元分析工作主要有兩項(xiàng)：

(1)選擇單元位移模式(位移函數(shù))

用節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示單元體內(nèi)任一點(diǎn)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力，就需搞清各單元中的位移分布。

一般是假定單元位移是坐標(biāo)的某種簡(jiǎn)單函數(shù)，用其模擬內(nèi)位移的分布規(guī)律，這種函數(shù)就稱為位移模式或位移函數(shù)。通常采用的函數(shù)形式多為多項(xiàng)式（線性或二次）。

根據(jù)所選定的位移模式，就可以導(dǎo)出用節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示單元體內(nèi)任一點(diǎn)位移的關(guān)系式。單位剛度矩陣是由單元節(jié)點(diǎn)位移量求單元節(jié)點(diǎn)力向量的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為:

進(jìn)行單元力學(xué)特性分析，將作用在單元上的所有力（表面力、體積力、集中力）等效地移置為節(jié)點(diǎn)載荷；采用有關(guān)的力學(xué)原理建立單元的平衡方程，求得單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系矩陣-------單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

(2)分析單元的特性，建立單元方程，得到單元?jiǎng)偠染仃?.整體分析

聯(lián)立方程組，得到總剛矩陣。相當(dāng)于把各個(gè)單元的剛度矩陣集成為總體剛度矩陣，以及將各單元的節(jié)點(diǎn)力向量集成總的力向量，求得整體平衡方程。集成總體剛度矩陣[K]并寫(xiě)出總體平衡方程：[K]是由整體節(jié)點(diǎn)位移向量求整體節(jié)點(diǎn)力向量的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為，這就是總體平衡方程。4.確定約束條件

由上述所形成的整體平衡方程是一組線性代數(shù)方程，是欠約束的。需確定求解對(duì)象問(wèn)題的邊界約束條件，并對(duì)這些方程進(jìn)行適當(dāng)修正。5.

有限元方程求解

通過(guò)求解整體平衡方程，即可求得各節(jié)點(diǎn)的位移進(jìn)而根據(jù)位移可計(jì)算單元的應(yīng)力及應(yīng)變。6.

結(jié)果分析與討論

網(wǎng)架桿件節(jié)點(diǎn)位移單元?jiǎng)偠染仃嚳倓偠染仃嚳倓偠确匠坦?jié)點(diǎn)位移值單元內(nèi)應(yīng)力應(yīng)變單元內(nèi)力與節(jié)點(diǎn)位移間關(guān)系引入邊界條件節(jié)點(diǎn)平衡及變形協(xié)調(diào)條件基本單元基本未知量一維桿系單元定義：桿系結(jié)構(gòu)中的桿件、梁、柱等稱為桿系單元。連接的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。結(jié)構(gòu)離散一般原則：桿系的交叉點(diǎn)、邊界點(diǎn)、集中力作用點(diǎn)、桿件截面尺寸突變處等都應(yīng)該設(shè)置節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)之間的桿件即構(gòu)成單元。F節(jié)點(diǎn)1節(jié)點(diǎn)2單元①節(jié)點(diǎn)3節(jié)點(diǎn)2單元②1-4有限元法求解實(shí)例分析【例1】一根由兩段組成的階梯軸，一端固定，另一端承受一個(gè)軸向載荷F3。這兩段的橫截面積分別為A(1)和A(2)，長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)(1)和L(2)，彈性模量分別為E(1)和E(2)

，求出這兩段的應(yīng)力和應(yīng)變。已知數(shù)據(jù)分別為F3=100N，F(xiàn)2=0N，1①2②3A(1)E(1)A(2)E(2)L(1)

L(2)

①②2Φ1F2F3Φ2Φ3F1F3132023/2/1【解】1.離散化把這根階梯軸看成是由兩個(gè)單元組成的，節(jié)點(diǎn)選在截面積突變處，兩個(gè)單元的連接處是一個(gè)節(jié)點(diǎn)，該階梯軸的兩端視為另外兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以整個(gè)結(jié)構(gòu)共有三個(gè)節(jié)點(diǎn)。這根軸是一維結(jié)構(gòu)，并只受軸向載荷，因此各單元內(nèi)只有軸向位移。三個(gè)節(jié)點(diǎn)位置的位移量分別記為、、。在整個(gè)結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)載荷及節(jié)點(diǎn)位移均用大寫(xiě)字母標(biāo)記，其角標(biāo)為節(jié)點(diǎn)在總體結(jié)構(gòu)中的編碼，簡(jiǎn)稱總碼。

2.求單元?jiǎng)偠染仃?/p>

下面分析某等截面單元（e）。當(dāng)兩端分別承受兩個(gè)軸向力和作用時(shí)的位移情況。根據(jù)材料力學(xué)的知識(shí)可知，在兩端節(jié)點(diǎn)i、j處的位移量和與軸向力和的關(guān)系式為注意在分析單元?jiǎng)偠染仃嚂r(shí)，載荷F和位移等參數(shù)的上角標(biāo)為該單元的編碼，下角標(biāo)為該單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)的局部編碼。上兩式可寫(xiě)成：或簡(jiǎn)寫(xiě)為：式中—為單元?jiǎng)偠染仃嚮騿卧匦跃仃嚕潆A數(shù)等于單元中所包含的節(jié)點(diǎn)數(shù)；

—為單元節(jié)點(diǎn)力向量

——為單元節(jié)點(diǎn)位移向量（列陣），也為單元自由度列陣；將單元?jiǎng)偠染仃嚫膶?xiě)成矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式，則

該矩陣中任意一個(gè)元素都稱為單元?jiǎng)偠认禂?shù)，它表示：

該單元內(nèi)除節(jié)點(diǎn)j產(chǎn)生單位位移外，其余各節(jié)點(diǎn)的位移均為零時(shí)在節(jié)點(diǎn)i

處所引起的載荷。3.總體剛度矩陣的集成和總體平衡方程的寫(xiě)出

該階梯軸上三個(gè)節(jié)點(diǎn)位移、、（待求）和三個(gè)節(jié)點(diǎn)軸向力（已知），分別組成該整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量和節(jié)點(diǎn)軸向力向量。

兩向量間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為或

上式中的轉(zhuǎn)移矩陣稱為總體剛度矩陣或總體特性矩陣，其階數(shù)等于總體結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

[K]中的元素稱為總體剛度系數(shù)，它表示在整體結(jié)構(gòu)中除了節(jié)點(diǎn)j

產(chǎn)生單位位移外，其余各節(jié)點(diǎn)的位移均為零時(shí)在節(jié)點(diǎn)i處所引起的載荷。

求出總體剛度矩陣是進(jìn)行總體分析的主要任務(wù)，一旦獲得總體剛度矩陣，可以很容易地寫(xiě)出總體平衡方程。求總體剛度矩陣[K]的方法主要由兩種：一是直接法，即根據(jù)總體剛度系數(shù)的定義求解；另一種方法是集成法，即由各單元?jiǎng)偠染仃嚽罂傮w剛度矩陣。

直接法根據(jù)剛度系數(shù)的定義，由材料力學(xué)方法求得總剛矩陣中的各個(gè)系數(shù)。詳見(jiàn)書(shū)P104頁(yè)。直接法具有概念清晰的特點(diǎn)，但是在分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)時(shí)運(yùn)算極其復(fù)雜，因而限制了它的應(yīng)用。

用集成法求總體剛度矩陣[K]

這種方法從單元?jiǎng)偠染仃嚦霭l(fā)，根據(jù)迭加原理，利用剛度系數(shù)集成的方法獲得總體剛度矩陣。這樣，首先要寫(xiě)出各單元的剛度矩陣。局部碼1(1)2(1)1(2)2(2)總碼1223節(jié)點(diǎn)的局部碼與總碼對(duì)應(yīng)關(guān)系約定：

集成[K]的步驟為：

（1）將原單元?jiǎng)偠染仃囍械母飨禂?shù)進(jìn)行總碼標(biāo)記，則

（2）將角標(biāo)相同的系數(shù)相加，并按總碼的順序排列，則總體剛度矩陣為：總體平衡方程為：

獲得的總體剛度矩陣與直接法得到的矩陣相同。

單剛矩陣合并總剛矩陣的原理基于單元分析（兩個(gè)方程）中間節(jié)點(diǎn)力平衡（增加一個(gè)方程）聯(lián)立處理后，得到的系數(shù)矩陣正好是總剛矩陣K4.引入支撐條件，計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移

上式中的未知量仍不能求出，因?yàn)閇K]是一個(gè)奇異矩陣（物體可以平移，位移有無(wú)窮解），必須引入支撐條件。在本例中支撐條件是節(jié)點(diǎn)1的位移為零，即這樣總體平衡方程簡(jiǎn)化為：

F1=0?

代入已知條件：

可求得：

5.求單元中的應(yīng)力及應(yīng)變單元1中的應(yīng)變：?jiǎn)卧?中的應(yīng)變：?jiǎn)卧?中的應(yīng)力：?jiǎn)卧?中的應(yīng)力：

一般而言，剛度矩陣具有如下特性：1）對(duì)稱性

單元?jiǎng)偠染仃嚭涂傮w剛度矩陣都是對(duì)稱方陣，即由第j個(gè)節(jié)點(diǎn)單位位移引起的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)載荷和由第i個(gè)節(jié)點(diǎn)單位位移引起的第j個(gè)節(jié)點(diǎn)載荷是相等的。這是彈性結(jié)構(gòu)一個(gè)共同的特點(diǎn)。這種對(duì)稱性可減少矩陣存儲(chǔ)運(yùn)算時(shí)的內(nèi)存量。

2）奇異性單元?jiǎng)偠染仃嚭涂傮w剛度矩陣都是奇異矩陣，即它們的行列式都等于0，這樣，其逆陣就不存在。因此，對(duì)總體剛度矩陣要引入邊界條件進(jìn)行處理之后才能求解。3）稀疏性

總體剛度矩陣是零元素非常多的