可靠性與系統(tǒng)工程學院生專業(yè)課課件-自動控制原理自控

第五章頻域分析法－－頻率法線性定常系統(tǒng)

傳遞函數(shù)

常微分方程頻率特性函數(shù)

時域復頻域頻域穩(wěn)定不同的頻率對應不同的曲線（1）頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實驗的方法來確定，這對于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，具有重要的實際意義。研究的內(nèi)容是：穩(wěn)定性、快速性及穩(wěn)態(tài)精度等。特點：（2）由于頻率響應法主要通過開環(huán)頻率特性的圖形對系統(tǒng)閉環(huán)響應進行分析，因而具有形象直觀和計算量少的特點，它也是一種圖解方法。（3）頻率響應法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。（4）輸入信號為正弦量。在系統(tǒng)輸入端加入一個正弦信號:§5.1頻率特性一、基本概念系統(tǒng)的頻率響應定義為系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應。Φ(s)c(t)r(t)R(s)C(s)

對于單變量線性定常系統(tǒng)：其傳遞函數(shù)為：其拉普拉斯變換為:系統(tǒng)的輸出為

為了便于討論，設：Φ(s)有一對共軛復數(shù)極點，一個k重實極點-pr

，其余為單實極點，則：對上式進行拉普拉斯反變換，得到系統(tǒng)的輸出響應

如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則當t∞時，系統(tǒng)響應的暫態(tài)分量為零，穩(wěn)態(tài)響應為：而A和B可利用待定系數(shù)法確定，即將A和B代入得：其中φ＝∠Φ(jω)

，將上兩式代入前式得：

由于Φ(s)是s的有理函數(shù)，故Φ(jω)和Φ(-jω)是共軛的。則：

由此可見，表示了穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出和輸入正弦波之間的關(guān)系，故稱

為頻率響應函數(shù)。其中輸出的幅值。

頻率ω在0到∞區(qū)間內(nèi)變化時，和都隨著改變、都是ω的函數(shù)，幅值稱為系統(tǒng)的幅頻特性，相移稱為系統(tǒng)的相頻特性，二者統(tǒng)稱為頻率特性。

如果將輸入、輸出的正弦函數(shù)用電路理論的符號法表示為復數(shù)，即輸入為Arej0、輸出為Acejφ。則輸出與輸入之比為：輸出與輸入的幅值比輸出與輸入的相角差

這恰是幅相特性，它也可以定義為輸出與輸入穩(wěn)態(tài)振蕩的復數(shù)比。頻率特性和傳遞函數(shù)、微分方程的置換關(guān)系：相頻特性為：例：求RC網(wǎng)絡的頻率特性。解：則幅頻特性為：3.頻率特性不只是對系統(tǒng)而言，其概念也適用于控制元件、部件、控制裝置等，但必須是線性定常的。2.頻率特性僅隨輸入頻率的變化而變化，而與輸入的幅值和相角無關(guān)。1.頻率特性僅僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及元件參數(shù)，而與系統(tǒng)的外界激勵及各初始條件無關(guān)。二、頻率特性的性質(zhì)6.大多數(shù)自動控制系統(tǒng)具有低通濾波器的特性。

4.從理論上動態(tài)過程中的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來的，而且其規(guī)律性并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此將頻率特性擴展定義為：在正弦輸入下，線性定常模型輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復數(shù)比。以Φ(jω)或G(jω)表示。5.不同的性能指標，對系統(tǒng)的頻率特性就提出不同的要求。反之，根據(jù)系統(tǒng)的頻率特性就能確定系統(tǒng)的性能指標。極坐標圖:頻率特性可表示成模為和相角為的矢量。1.直角坐標圖：縱坐標和、橫坐標均為線性分度。三、頻率特性圖示法

對數(shù)相頻曲線的縱坐標表示相頻特性的函數(shù)值，線性均勻分布，單位是度或弧度。頻率特性的對數(shù)幅頻特性定義為：

橫坐標按頻率的對數(shù)分度，單位是1/s，縱坐標表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，線性均勻分布，單位是分貝（記作dB)。3.對數(shù)坐標圖－－伯德圖（H.W.Bode)從1到10的對數(shù)分度對數(shù)分度和線性均勻分布的區(qū)別：采用對數(shù)坐標的優(yōu)點：

1、可以將幅值的乘除轉(zhuǎn)化為加減。

2、可以采用簡便的方法繪制近似的對數(shù)幅頻曲線。

3、可以擴大研究問題的視野?！?.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性1.G平面頻率特性G(jω)是一個復數(shù)，也可看作個矢量。對于某一特定頻率ω＝ω1，G(jω1)的幅值為|G(jω1)|，相角為∠G(jω1)，則G(jω1)可以在復平面上把它表示出來，如下圖所示。G(jω1)∠G(jω1)Re[G(jω1)]Im[G(jω1)]|G(jω1)|G(jω)的復平面表示[G]一、G平面和一些典型環(huán)節(jié)顯然，任何一個傳遞函數(shù)都可以由以下基本環(huán)節(jié)組成：

當頻率ω由0連續(xù)變化至∞時，可以在復平面上連續(xù)描繪出G(jω)的軌跡，即為G(jω)的幅相特性。而用來表示頻率特性的G(jω)的平面，稱為G平面。顯然，G(jω)的幅相特性是S平面上的虛軸通過傳遞函數(shù)G(jω)在G平面上的映射。可以把傳遞函數(shù)G(s)寫成如下形式2.一些典型環(huán)節(jié)

根據(jù)復數(shù)運算的性質(zhì)，G(jω)的幅值等于組成它的各基本因子幅值的乘積或商，G(jω)的相角等于組成它的各基本因子相角的和或差。放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）積分環(huán)節(jié)或微分環(huán)節(jié)一次超前環(huán)節(jié)或一次微分環(huán)節(jié)一次滯后環(huán)節(jié)或稱慣性環(huán)節(jié)二次超前環(huán)節(jié)稱二次微分環(huán)節(jié)二次滯后環(huán)節(jié)或稱振蕩環(huán)節(jié)下面對這些典型環(huán)節(jié)加以介紹：1.放大環(huán)節(jié)傳遞函數(shù):G(s)=K

頻率特性：G(jω)=K=Kej0

幅頻特性：M(ω)=|G(jω)|

=K

相頻特性：對數(shù)幅頻特性：L=20lgM(ω)=20lgK

相頻特性：伯德圖一個點幅相曲線2.積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù):

頻率特性：

幅頻特性：對數(shù)幅頻特性：相頻特性：0jω對于多個積分環(huán)節(jié)：-20dB/dec

-40dB/dec-60dB/dec3.微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù):

頻率特性：幅頻特性：對數(shù)幅頻特性：相頻特性：

可以看出，微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻、相頻曲線與積分環(huán)節(jié)的對數(shù)曲線以0分貝線互為鏡像。0jω則有4.慣性環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)：則幅相特性：

可以證明，當ω由-∞變至+∞時，慣性環(huán)節(jié)的幅相特性曲線是一個圓。證明：G(jω)可以寫成令U(ω)=Re[G(jω)]、V(ω)=Im[G(jω)]取ω=1/T，-20lgTω=-20lg1=0dBω=10/T，-20lgTω=-20lg10=-20dBω=102/T，-20lgTω=-20lg102=-40dBω=10n/T，-20lgTω=-20lg10n=n(-20)dB

在低頻段，即時,近似對數(shù)幅頻特性：在高頻段，即時,對數(shù)幅頻特性：對數(shù)相頻為：注意：當T變化時，也將隨之左右平移，但其形狀保持不變。這些特征點是識別慣性系統(tǒng)的重要依據(jù)。轉(zhuǎn)折頻率特征點:對于其他低于或高于轉(zhuǎn)折頻率處的誤差列表如下：T=1時最大誤差5.一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù):

頻率特性：

對數(shù)幅頻特性：相頻特性：特征點：0jωω1相頻特性：6.振蕩環(huán)節(jié)頻率特性:對數(shù)幅頻特性：對數(shù)相頻特性：特征點：

時，時，時，

，則幅頻出現(xiàn)峰值，而且越小，峰值及峰值頻率越大。

取，可得峰值頻率將代入