第一章無窮小與極限-第一節(jié)

北京工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教程第一章無窮小與極限1.1無窮小

1.1.1數(shù)列無窮小1.數(shù)列的定義數(shù)列是指定義在正整數(shù)集上的函數(shù)依按自變量增大的次序,數(shù)列的對應(yīng)值可以排成稱為數(shù)列的通項(或一般項),數(shù)列簡記為例如,數(shù)列簡記為簡記為簡記為簡記為數(shù)列中的每個數(shù)稱為數(shù)列的一項,2.數(shù)列的幾何表示法數(shù)列中的每一個數(shù)都可用數(shù)軸上的一個點來表示,這些點的全體就是數(shù)列.變化過程稱為n趨于無窮大,3.數(shù)列的變化過程包含兩個相關(guān)的無限過程:自變量n的主動變化過程和因變量的被動變化過程.n的主動變化過程是不斷增大(每次加1).即n從1開始,遵循這樣的變化規(guī)則,一定可以大于每個固定的正數(shù).我們將n的這種記為表示n無限增大的過程,即n要多大就有多大,或者說,n可以大于任意給定的正數(shù).即與0的距離可以如果n可以大于任意給定的正數(shù),那么就可以小于任意給定的正數(shù).我們稱無限接近于0.

任意小,數(shù)列的變化趨勢可以概述為:

無論給定一個多么小的正數(shù)

都可以有

只要即可.數(shù)列是無窮小.

此時我們稱當n無限增大時,定義1.1(數(shù)列無窮小)

如果對于任意給定的正數(shù)都存在正整數(shù)N,使得當時,不等式成立，記為或則稱數(shù)列是無窮小.

設(shè)為數(shù)列,幾何解釋:只有有限個

(至多有N個)落在其外.定義:定理1.1(無窮小比較定理1)

證設(shè)為無窮小,則也是無窮小.使得對于所有正整數(shù)

n,

由定義,故也是無窮小.如果存在正數(shù)

C,例1證明:如果則為無窮小.證數(shù)列從第N+1項起，

則.因是無窮小,

有注意到當時,冪函數(shù)在單調(diào)增加,

所以

即是無窮小.例2證明下列數(shù)列都是無窮?。?/p>

證因(4)是(1)的推廣.因為是無窮小,注意到

根據(jù)定理1.1及例1,可知上述四個數(shù)列都是無窮小.解因且因此,不是無窮小.例3設(shè)則數(shù)列不是無窮小.注:1.1.2時函數(shù)無窮小表示點x沿x軸正方向無限遠離坐標在這個過程中,x可以大于任意給定在數(shù)軸上,常量對應(yīng)于定點,變量對應(yīng)于動點.原點的過程,的正數(shù).表示點x沿x軸負方向無限遠離坐標原點的過程,在這個過程中,可以大于任意給定的正數(shù).表示點x無限遠離坐標原點的過程,在這個過程中,

可以大于任意給定的正數(shù).此時,我們稱是無窮小.大于任意給定的正數(shù),當時,總可以給定的正數(shù).

所以總可以小于任意如果對于任意給定的正數(shù)總存在正數(shù)X,當時,有記為或定義1.2(時函數(shù)無窮小)

則稱當時，為無窮小.

如果則稱當時,

為無窮小,

記為記為如果當都是無窮小,則稱當時,

是無窮小,

的幾何意義:完全落在帶形區(qū)域內(nèi).函數(shù)的圖形有例4用定義證明:當時,

為無窮小.證取所以,當時,

為無窮小.同理,當或時,

也是無窮小.定理1.2(無窮小比較定理2)

如果存在常數(shù)類似于定理1.1,有是無窮小.設(shè)當(或)時,

也是無窮小.則當(或)時,

證我們只討論的情況.設(shè)當時,

是無窮小.由定義,故當時,

也是無窮小.證因是無窮小,

有當時,冪函數(shù)在單調(diào)增加,

所以

例5設(shè)則當時,

為無窮小.故當時,是無窮小.例6證明當時,

為無窮小.證因不妨設(shè)

所以,當時,

是無窮小.當時,例7證明當時，不是無窮小.證有不妨設(shè)

所以,當時,

不是無窮小,由定義1.2,

當時，不是無窮小.當時,1.1.3自變量時函數(shù)無窮小我們用表示點x從的

在這個過程中,右側(cè)無限接近但不等于的過程,x到的距離可以小于任意給定的正數(shù).我們用表示點x從的

左側(cè)無限接近但不等于的過程,在這個過程中,x到的距離可以小于任意給定的正數(shù).表示點x無限接近但不等于的過程,在這個過程中,x到的距離可以小于任意給定的正數(shù).可以任意小此時,

稱是無窮小.定義1.3(時函數(shù)無窮小)

設(shè)函數(shù)在點x0某去心鄰域內(nèi)有定義.有則稱當時，是無窮小.

記為因此,當時,

有則稱當時，是無窮小.

記為則稱當時，是無窮小.

如果當時,都是無窮小,記為有類似于定理1.1和定理1.2,有定理1.3(無窮小比較定理3)

設(shè)當時，是無窮小.也是無窮小.則當時，如果存在常數(shù)證我們只討論的情況.設(shè)當時,是無窮小.由定義,故當時,

也是無窮小.例8證明:如果則當時,證是無窮小.因是無窮小,

故當時，是無窮小.由冪函數(shù)在單調(diào)增加,

例9證明證由定理1.3,有不妨設(shè)

因于是例10證明證因此因顯然先證不妨設(shè)

即于是所以因是奇函數(shù),有作單位圓O,例11設(shè)證證明不妨設(shè)

因于是于是故,1.1.4

無窮小的統(tǒng)一定義函數(shù)都可以滿足不等式

對于前面的無窮小定義稍加比較就可以發(fā)現(xiàn):如果對于任意給定的正數(shù)無論哪種情況,

所不同的是,隨自變量變化趨勢的不同,不等式成立的范圍(或空心鄰域)也不同.如果把不同情形下的無窮小統(tǒng)一表述為:或則

共有七種不同情況：

當函數(shù)定義域為正整數(shù)時，

為簡單起見,一般可以用等表示無窮小.當函數(shù)定義域為實數(shù)集時，

可以取

若記作或則有關(guān)于無窮小的統(tǒng)一定義形式：如果把

a的和有關(guān)的鄰域記為定義1.4設(shè)在點

的某個空心鄰域內(nèi)有定義，都存在點

的空心鄰域

有了無窮小定義的統(tǒng)一形式,我們今后討論無窮小或一般的極限理論時就可以重點討論其中最具代表性的情形只是鄰域不同而已.其他情形則可以類似給出，關(guān)于無窮小的概念需注意以下幾個方面：1.無窮小是函數(shù)的自變量按照一定的變化趨勢變化時,函數(shù)的一種特殊的變化趨勢.

因此,我們說某個函數(shù)是無窮小時,必須同時指出自變量x的變化趨勢.例如,2.零是無窮小,但無窮小不一定等于零.例如，一個固定的正數(shù)無論多么小,總存在比它更小另外,不能把無窮小與很小的正數(shù)相混淆.的正數(shù).就不是無窮小.3.關(guān)于無窮小的分類.

某空心鄰域特別地,如果當為正無窮小;同樣地,如果當為負無窮小.

顯然,正、負無窮小都是非零無窮小.

并且存在點

的例12設(shè)試證當是無窮小,但不是非零無窮小.證因所以,是無窮小.

任意給定的空心鄰域

都存在正整數(shù)n滿足

即使得故,是無窮小,但不是非零無窮小.如果(C為常數(shù)),定理1.4）

且設(shè)在點

的某空心鄰域內(nèi)有定義,則1.1.5

無窮小的性質(zhì)定理1.5(局部有界性)

）

證有界.

若因取有則在

的某個空心鄰域內(nèi)則存在點

的某個空心鄰域即在

的空心鄰域內(nèi)有界.證設(shè)且且于是

即定理1.6有限個無窮小之和為無窮小.則存在點

的某個空心鄰域證例13設(shè)為n次多項式,且則

注意:無窮多個無窮小之和不一定是無窮小.

因可寫成

所以

即是n個無窮小之和,

定理1.7

無窮小與有界函數(shù)的乘積為無窮小.證設(shè)內(nèi),有由定理1.3,有

則都是無窮小.例如,當且在點

的某個空心鄰域

推論1.1

有限個無窮小的乘積是無窮小.1.1.6無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.若記作或則稱時為無窮大,定義1.5設(shè)在點

的某個空心鄰域內(nèi)有定義，都存在點

的空心鄰域分別稱為正無窮大和負無窮大；說明:1.如果把上面定義中的分別改為

就得到的定義,(1)兩個正(負)無窮大之和仍為正(負)無窮大;(2)有界變量與無窮大的和、差仍為無窮大;(3)無窮大與無窮大之積仍為無窮大.2.由無窮大的定義容易證明：無窮小與無窮大的關(guān)系則當時,意義:有關(guān)無窮大的討論,都可歸結(jié)為無窮小的討論.設(shè)在

的某空心鄰域內(nèi)有定義,使得定理1.8設(shè)在點

的某個空心鄰域內(nèi)有常數(shù)定義.如果當時,且存在例15證明證1不妨設(shè)

因于是由定理1.9,有

例15證明證2不妨設(shè)

因于是先證明所以故例16證明