第一章無窮小與極限-第一節(jié)

北京工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教程第一章無窮小與極限1.1無窮小

1.1.1數(shù)列無窮小1.數(shù)列的定義數(shù)列是指定義在正整數(shù)集上的函數(shù)依按自變量增大的次序,數(shù)列的對應(yīng)值可以排成稱為數(shù)列的通項(xiàng)(或一般項(xiàng)),數(shù)列簡記為例如,數(shù)列簡記為簡記為簡記為簡記為數(shù)列中的每個數(shù)稱為數(shù)列的一項(xiàng),2.數(shù)列的幾何表示法數(shù)列中的每一個數(shù)都可用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示,這些點(diǎn)的全體就是數(shù)列.變化過程稱為n趨于無窮大,3.數(shù)列的變化過程包含兩個相關(guān)的無限過程:自變量n的主動變化過程和因變量的被動變化過程.n的主動變化過程是不斷增大(每次加1).即n從1開始,遵循這樣的變化規(guī)則,一定可以大于每個固定的正數(shù).我們將n的這種記為表示n無限增大的過程,即n要多大就有多大,或者說,n可以大于任意給定的正數(shù).即與0的距離可以如果n可以大于任意給定的正數(shù),那么就可以小于任意給定的正數(shù).我們稱無限接近于0.

任意小,數(shù)列的變化趨勢可以概述為:

無論給定一個多么小的正數(shù)

都可以有

只要即可.數(shù)列是無窮小.

此時我們稱當(dāng)n無限增大時,定義1.1(數(shù)列無窮小)

如果對于任意給定的正數(shù)都存在正整數(shù)N,使得當(dāng)時,不等式成立，記為或則稱數(shù)列是無窮小.

設(shè)為數(shù)列,幾何解釋:只有有限個

(至多有N個)落在其外.定義:定理1.1(無窮小比較定理1)

證設(shè)為無窮小,則也是無窮小.使得對于所有正整數(shù)

n,

由定義,故也是無窮小.如果存在正數(shù)

C,例1證明:如果則為無窮小.證數(shù)列從第N+1項(xiàng)起，

則.因是無窮小,

有注意到當(dāng)時,冪函數(shù)在單調(diào)增加,

所以

即是無窮小.例2證明下列數(shù)列都是無窮小：

證因(4)是(1)的推廣.因?yàn)槭菬o窮小,注意到

根據(jù)定理1.1及例1,可知上述四個數(shù)列都是無窮小.解因且因此,不是無窮小.例3設(shè)則數(shù)列不是無窮小.注:1.1.2時函數(shù)無窮小表示點(diǎn)x沿x軸正方向無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)在這個過程中,x可以大于任意給定在數(shù)軸上,常量對應(yīng)于定點(diǎn),變量對應(yīng)于動點(diǎn).原點(diǎn)的過程,的正數(shù).表示點(diǎn)x沿x軸負(fù)方向無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的過程,在這個過程中,可以大于任意給定的正數(shù).表示點(diǎn)x無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的過程,在這個過程中,

可以大于任意給定的正數(shù).此時,我們稱是無窮小.大于任意給定的正數(shù),當(dāng)時,總可以給定的正數(shù).

所以總可以小于任意如果對于任意給定的正數(shù)總存在正數(shù)X,當(dāng)時,有記為或定義1.2(時函數(shù)無窮小)

則稱當(dāng)時，為無窮小.

如果則稱當(dāng)時,

為無窮小,

記為記為如果當(dāng)都是無窮小,則稱當(dāng)時,

是無窮小,

的幾何意義:完全落在帶形區(qū)域內(nèi).函數(shù)的圖形有例4用定義證明:當(dāng)時,

為無窮小.證取所以,當(dāng)時,

為無窮小.同理,當(dāng)或時,

也是無窮小.定理1.2(無窮小比較定理2)

如果存在常數(shù)類似于定理1.1,有是無窮小.設(shè)當(dāng)(或)時,

也是無窮小.則當(dāng)(或)時,

證我們只討論的情況.設(shè)當(dāng)時,

是無窮小.由定義,故當(dāng)時,

也是無窮小.證因是無窮小,

有當(dāng)時,冪函數(shù)在單調(diào)增加,

所以

例5設(shè)則當(dāng)時,

為無窮小.故當(dāng)時,是無窮小.例6證明當(dāng)時,

為無窮小.證因不妨設(shè)

所以,當(dāng)時,

是無窮小.當(dāng)時,例7證明當(dāng)時，不是無窮小.證有不妨設(shè)

所以,當(dāng)時,

不是無窮小,由定義1.2,

當(dāng)時，不是無窮小.當(dāng)時,1.1.3自變量時函數(shù)無窮小我們用表示點(diǎn)x從的

在這個過程中,右側(cè)無限接近但不等于的過程,x到的距離可以小于任意給定的正數(shù).我們用表示點(diǎn)x從的

左側(cè)無限接近但不等于的過程,在這個過程中,x到的距離可以小于任意給定的正數(shù).表示點(diǎn)x無限接近但不等于的過程,在這個過程中,x到的距離可以小于任意給定的正數(shù).可以任意小此時,

稱是無窮小.定義1.3(時函數(shù)無窮小)

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0某去心鄰域內(nèi)有定義.有則稱當(dāng)時，是無窮小.

記為因此,當(dāng)時,

有則稱當(dāng)時，是無窮小.

記為則稱當(dāng)時，是無窮小.

如果當(dāng)時,都是無窮小,記為有類似于定理1.1和定理1.2,有定理1.3(無窮小比較定理3)

設(shè)當(dāng)時，是無窮小.也是無窮小.則當(dāng)時，如果存在常數(shù)證我們只討論的情況.設(shè)當(dāng)時,是無窮小.由定義,故當(dāng)時,

也是無窮小.例8證明:如果則當(dāng)時,證是無窮小.因是無窮小,

故當(dāng)時，是無窮小.由冪函數(shù)在單調(diào)增加,

例9證明證由定理1.3,有不妨設(shè)

因于是例10證明證因此因顯然先證不妨設(shè)

即于是所以因是奇函數(shù),有作單位圓O,例11設(shè)證證明不妨設(shè)

因于是于是故,1.1.4

無窮小的統(tǒng)一定義函數(shù)都可以滿足不等式

對于前面的無窮小定義稍加比較就可以發(fā)現(xiàn):如果對于任意給定的正數(shù)無論哪種情況,

所不同的是,隨自變量變化趨勢的不同,不等式成立的范圍(或空心鄰域)也不同.如果把不同情形下的無窮小統(tǒng)一表述為:或則

共有七種不同情況：

當(dāng)函數(shù)定義域?yàn)檎麛?shù)時，

為簡單起見,一般可以用等表示無窮小.當(dāng)函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集時，

可以取

若記作或則有關(guān)于無窮小的統(tǒng)一定義形式：如果把

a的和有關(guān)的鄰域記為定義1.4設(shè)在點(diǎn)

的某個空心鄰域內(nèi)有定義，都存在點(diǎn)

的空心鄰域

有了無窮小定義的統(tǒng)一形式,我們今后討論無窮小或一般的極限理論時就可以重點(diǎn)討論其中最具代表性的情形只是鄰域不同而已.其他情形則可以類似給出，關(guān)于無窮小的概念需注意以下幾個方面：1.無窮小是函數(shù)的自變量按照一定的變化趨勢變化時,函數(shù)的一種特殊的變化趨勢.

因此,我們說某個函數(shù)是無窮小時,必須同時指出自變量x的變化趨勢.例如,2.零是無窮小,但無窮小不一定等于零.例如，一個固定的正數(shù)無論多么小,總存在比它更小另外,不能把無窮小與很小的正數(shù)相混淆.的正數(shù).就不是無窮小.3.關(guān)于無窮小的分類.

某空心鄰域特別地,如果當(dāng)為正無窮小;同樣地,如果當(dāng)為負(fù)無窮小.

顯然,正、負(fù)無窮小都是非零無窮小.

并且存在點(diǎn)

的例12設(shè)試證當(dāng)是無窮小,但不是非零無窮小.證因所以,是無窮小.

任意給定的空心鄰域

都存在正整數(shù)n滿足

即使得故,是無窮小,但不是非零無窮小.如果(C為常數(shù)),定理1.4）

且設(shè)在點(diǎn)

的某空心鄰域內(nèi)有定義,則1.1.5

無窮小的性質(zhì)定理1.5(局部有界性)

）

證有界.

若因取有則在

的某個空心鄰域內(nèi)則存在點(diǎn)

的某個空心鄰域即在

的空心鄰域內(nèi)有界.證設(shè)且且于是

即定理1.6有限個無窮小之和為無窮小.則存在點(diǎn)

的某個空心鄰域證例13設(shè)為n次多項(xiàng)式,且則

注意:無窮多個無窮小之和不一定是無窮小.

因可寫成

所以

即是n個無窮小之和,

定理1.7

無窮小與有界函數(shù)的乘積為無窮小.證設(shè)內(nèi),有由定理1.3,有

則都是無窮小.例如,當(dāng)且在點(diǎn)

的某個空心鄰域

推論1.1

有限個無窮小的乘積是無窮小.1.1.6無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.若記作或則稱時為無窮大,定義1.5設(shè)在點(diǎn)

的某個空心鄰域內(nèi)有定義，都存在點(diǎn)

的空心鄰域分別稱為正無窮大和負(fù)無窮大；說明:1.如果把上面定義中的分別改為

就得到的定義,(1)兩個正(負(fù))無窮大之和仍為正(負(fù))無窮大;(2)有界變量與無窮大的和、差仍為無窮大;(3)無窮大與無窮大之積仍為無窮大.2.由無窮大的定義容易證明：無窮小與無窮大的關(guān)系則當(dāng)時,意義:有關(guān)無窮大的討論,都可歸結(jié)為無窮小的討論.設(shè)在

的某空心鄰域內(nèi)有定義,使得定理1.8設(shè)在點(diǎn)

的某個空心鄰域內(nèi)有常數(shù)定義.如果當(dāng)時,且存在例15證明證1不妨設(shè)

因于是由定理1.9,有

例15證明證2不妨設(shè)

因于是先證明所以故例16證明