平面向量基本定理及坐標表示【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學必修同步講義Word

第六章平面向量及其應用第六章平面向量及其應用§平面向量基本定理及坐標表示知識索引知識索引索引1：平面向量基本定理索引1：平面向量基本定理定義：平面向量基本定理如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù)使，=.

若，不共線，我們把（，）叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的出一個基底.注意事項：注意事項：對平面向量基本定理的理解(1)基底不唯一,只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,都以作為基底，同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的，(2)基底給定時,分解形式唯一.是被a,e1，e2唯一確定的數(shù)值.(3){,e1，e2|是同一平面內(nèi)所有向量的一個基底，則當a與e1共線時,λ2=0;當a與e2,共線時,入2;=0;當a=0時,λ1=λ2=0.(4)由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量索引2：平面向量的正交分----------------把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解索引3：平面向量加、減運算的坐標兩個向量的和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和.

如圖，作向量,,則

=-

=

=.因此，一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標向量的坐標理解向量的坐標理解向量的坐標只與起點、終點的相對位置有關,而與它們的具體位置無關.因此相等向量的坐標是相同的，但是起點坐標和終點坐標不一定相同索引4：坐標表示的方式歸納索引4：坐標表示的方式歸納1.平面向量數(shù)乘運算的坐標表示已知，即

這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.

2.平面向量數(shù)量積的坐標表示兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.

（2）若=,則=+，或=.

如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為，，那么

3.平面向量垂直的坐標表示設=，=，則精例探究精例探究精例1精例1已知a，b是不共線的向量，OA=λa+μb,OB=3

λ=μ-1

B.

λ=μ+5

C.

λ=5-μ

D.

λ=μ+1【答案】C【考點】平面向量的基本定理及其意義，三點共線【解析】由A,B,C點共線，得OA=t而OA=λa+μ即{λ=t+2μ=3-t，故答案為：C.

【分析】利用已知條件結合三點共線的判斷方法，再結合平面向量基本定理，進而利用兩向量相等得出{λ=t+2μ=3-t，再解方程組推出實數(shù)精例2.若平面向量a與b滿足：|a|=2,|b|=1,|aA.

30°

B.

45°

C.

60°

D.

120°【答案】C【考點】平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角【解析】|a=1+4+4cosθ=7故答案為：C.

【分析】利用已知條件結合數(shù)量積求向量的模的公式，再結合數(shù)量積的定義，進而求出兩向量a與b的夾角。精例3已知雙曲線T:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)A.

2

B.

3

C.

5

D.

3【答案】C【考點】平面向量數(shù)量積的運算，雙曲線的定義，雙曲線的簡單性質(zhì)【解析】如圖，設|F1A|=t，由AB由雙曲線定義知|BF2|=3t-2a由BF在Rt△ABF2中，|AB|則在Rt△BFlF2∴5a2故答案為：C【分析】根據(jù)題意作出圖象設出|F1A|=t結合已知條件整理得到|AB|=2t，由此得到課堂反饋課堂反饋練習1.已知向量a=(1,3),b=(m,4)A.

-2

B.

2

C.

4

D.

-2或4練習2向量a=(2,1)，b=(-3,4)，c=(3m-1,1-2m)，若(A.

1

B.

54

C.

7練習3.已知非零向量a,b,c共面，那么“存在實數(shù)λ，使得A.

充分而不必要條件

B.

必要而不充分條件

C.

充分必要條件

D.

既不充分也不必要條件練習4.如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120（Ⅰ）求AB→（Ⅱ）設點P在以A為圓心，AB為半徑的圓弧BC上運動，且AP→=xAB→+y練習5.已知向量a=(3,1)，|b|=5（1）求向量a與b夾角的正切值；（2）若(λa-b參考答案參考答案練習1【答案】D【考點】數(shù)量積的坐標表達式，數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系【解析】【解答】由題意，向量a=(1,3),b=(m,4)又由b⊥(2a-b)，可得m(2-m)+8=0故答案為：D．

【分析】利用已知條件結合向量的坐標運算，進而求出向量的坐標，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關系，再結合數(shù)量積的坐標運算，進而求出m的值。練習2【答案】B【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系【解析】【解答】由已知可得c+2∵(c+2b)⊥a故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意，求出c→+2b練習3【答案】C【考點】相等向量與相反向量，平面向量數(shù)量積的運算【解析】【解答】假設存在實數(shù)λ，使得a=λ所以(aa(所以(a若(a則|(a即|a所以|cos因為?a所以?a,b所以a,所以存在實數(shù)λ，使得a=λ故答案為：C

【分析】利用數(shù)量積為數(shù)，以及數(shù)量積的運算法則，結合充分必要條件的定義，從而求出答案．練習4【答案】解：（Ⅰ）AB→=AB（Ⅱ）建立如圖所示的平面直角坐標系，則?B(1,0)，C(-設P(cosθ,sin由AP→得(cos所以cosθ=x-所以x=cosθ+3xy=?=2=2因為θ∈[0?,?所以，當2θ-π6=π2，即θ=【考點】基本不等式在最值問題中的應用，平面向量數(shù)量積的運算【解析】【分析】（I）建立坐標系，求出向量坐標，代入數(shù)量積公式計算．

（II）根據(jù)模長列出方程，利用基本不等式解出最大值．練習5【答案】（1）解：因為a=(3,1)，所以|設向量a與b的夾角θ