平面與平面平行講義2022年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版必修立體幾何初步

平面與平面平行(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過直觀圖感知，了解空間中平面與平面的平行關(guān)系.2.歸納出平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理，并加以證明．教學(xué)重點(diǎn)：平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理及其應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．核心素養(yǎng)：通過發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的過程發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).1．證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行．(3)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．2．平面與平面平行的性質(zhì)定理使用時(shí)三個(gè)條件缺一不可(1)兩個(gè)平面平行，即α∥β.(2)第一個(gè)平面與第三個(gè)平面相交，即α∩γ＝a.(3)第二個(gè)平面與第三個(gè)平面也相交，即β∩γ＝b.3．三種平行關(guān)系可以任意轉(zhuǎn)化，其相互轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖所示1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平行于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行．()(2)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條平行直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行．()(3)若平面α，β都與平面γ相交，且交線平行，則α∥β.()2．做一做(1)若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是()A．一定平行 B．一定相交C．平行或相交 D．以上判斷都不對(duì)(2)已知平面α，β和直線a，b，c，且a∥b∥c，a?α，b，c?β，則α與β的關(guān)系是____.(3)設(shè)a，b是不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，給出下列結(jié)論：①若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b；②若α∥β，a∥α，a?β，則a∥β；③若α∥β，A∈α，過點(diǎn)A作直線l∥β，則l?α；④平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____.(4)已知平面α，β和直線l，且α∥β，l∥α，則直線l與平面β的位置關(guān)系是____.題型一平面與平面平行判定定理的理解例1下列命題中正確的是()①若一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；②若一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；③若一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行；④若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行．A．①③ B．②④C．②③④ D．③④[跟蹤訓(xùn)練1]設(shè)直線l，m，平面α，β，下列條件能得出α∥β的有()①l?α，m?α，且l∥β，m∥β；②l?α，m?α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P，l?α，m?α，且l∥β，m∥β.A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．0個(gè)例2如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F(xiàn)，N分別是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中點(diǎn)．求證：(1)E，F(xiàn)，D，B四點(diǎn)共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[跟蹤訓(xùn)練2]如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.題型三平面與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用例3如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ與平面PAO平行？[跟蹤訓(xùn)練3]如圖，已知AB，CD是夾在兩個(gè)平行平面α，β之間的線段，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)．求證：MN∥α.題型四直線、平面平行的綜合應(yīng)用例4在正方體ABCD－A1B1C1D1中，如圖．(1)求證：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)試找出體對(duì)角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點(diǎn)E，F(xiàn)，并證明：A1E＝EF＝FC.[跟蹤訓(xùn)練4]如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn)．1．已知直線l，m，平面α，β，下列命題正確的是()A．m∥l，l∥α?m∥αB．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥βC．l∥m，l?α，m?β?α∥βD．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β2．設(shè)α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中點(diǎn)，當(dāng)A，B分別在平面α，β內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，得到無數(shù)個(gè)AB的中點(diǎn)C，那么所有的動(dòng)點(diǎn)C()A．不共面B．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條直線上移動(dòng)時(shí)才共面C．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條給定的異面直線上移動(dòng)時(shí)才共面D．不論A，B如何移動(dòng)，都共面3.(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若經(jīng)過D1B的平面分別交AA1，CC1于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形D1EBF的形狀可能是()A．矩形 B．菱形C．平行四邊形 D．正方形4.如圖是一個(gè)幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面五個(gè)結(jié)論：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正確的結(jié)論是____.5．已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：平面BDF∥平面B1D1E.一、選擇題1．平面α與平面β平行的條件可以是()A．α內(nèi)的一條直線與β平行B．α內(nèi)的兩條直線與β平行C．α內(nèi)的無數(shù)條直線與β平行D．α內(nèi)的兩條相交直線分別與β平行2．已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出下列四個(gè)命題：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c∥α，,c∥β))?α∥β；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α∥γ，,β∥γ))?α∥β；③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c∥α，,a∥c))?a∥α；④eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a∥γ，,α∥γ))?a∥α.其中正確的命題是()A．①②③ B．②④C．② D．③④3．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有()A．2對(duì) B．3對(duì)C．4對(duì) D．5對(duì)4.如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝()A．eq\f(3,2) B．2C．eq\f(5,2) D．35.(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，則()A．FG∥平面AA1D1DB．EF∥平面ABC1D1C．平面ABCD∥平面A1B1C1D1D．平面EFG∥平面A1BC1二、填空題6．已知平面α，β和直線a，b，c，且a∥b∥c，a?α，b，c?β，則α與β的關(guān)系是____.7.如圖是某正方體的平面展開圖(表面朝下)．關(guān)于這個(gè)正方體，有以下判斷：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中判斷正確的序號(hào)是____.8．如圖所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分別在α，β內(nèi)，線段AA′，BB′，CC′共點(diǎn)于O，O在平面α和平面β之間，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，則△A′B′C′的面積為____.三、解答題9.如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一點(diǎn)F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．10.如圖所示，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若eq\f(PA′,A′A)＝eq\f(2,3)，求eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)的值．1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q為CC1上的點(diǎn)，要使平面D1BQ∥平面PAO，則點(diǎn)Q()A．與C重合 B．與C1重合C．為CC1的三等分點(diǎn) D．為CC1的中點(diǎn)2．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點(diǎn)，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為()A．eq\r(2) B．eq\f(9,8)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(6),2)3.如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，PA＝PB＝AB＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，則λ＝____，ED與AF相交于點(diǎn)H，則GH＝____.4.如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD為平行四邊形，M，N分別是棱AB，PC的中點(diǎn)，平面CMN與平面PAD交于PE.求證：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.5．在三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D1是A1C1上的一點(diǎn)．(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時(shí)，BC1∥平面AB1D1?(2)當(dāng)BC1∥平面AB1D1時(shí)，求證：平面BC1D∥平面AB1D1.平面與平面平行(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過直觀圖感知，了解空間中平面與平面的平行關(guān)系.2.歸納出平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理，并加以證明．教學(xué)重點(diǎn)：平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理及其應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．核心素養(yǎng)：通過發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的過程發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).1．證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行．(3)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．2．平面與平面平行的性質(zhì)定理使用時(shí)三個(gè)條件缺一不可(1)兩個(gè)平面平行，即α∥β.(2)第一個(gè)平面與第三個(gè)平面相交，即α∩γ＝a.(3)第二個(gè)平面與第三個(gè)平面也相交，即β∩γ＝b.3．三種平行關(guān)系可以任意轉(zhuǎn)化，其相互轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖所示1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平行于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行．()(2)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條平行直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行．()(3)若平面α，β都與平面γ相交，且交線平行，則α∥β.()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是()A．一定平行 B．一定相交C．平行或相交 D．以上判斷都不對(duì)(2)已知平面α，β和直線a，b，c，且a∥b∥c，a?α，b，c?β，則α與β的關(guān)系是____.(3)設(shè)a，b是不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，給出下列結(jié)論：①若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b；②若α∥β，a∥α，a?β，則a∥β；③若α∥β，A∈α，過點(diǎn)A作直線l∥β，則l?α；④平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____.(4)已知平面α，β和直線l，且α∥β，l∥α，則直線l與平面β的位置關(guān)系是____.答案(1)C(2)相交或平行(3)②③④(4)l∥β或l?β題型一平面與平面平行判定定理的理解例1下列命題中正確的是()①若一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；②若一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；③若一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行；④若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行．A．①③ B．②④C．②③④ D．③④[解析]對(duì)于①，一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線都與另外一個(gè)平面平行，如果這兩條直線不相交，而是平行，那么這兩個(gè)平面相交也能夠找得到這樣的直線存在，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另外一個(gè)平面平行，此時(shí)兩平面不一定平行．如果這無數(shù)條直線都與兩平面的交線平行時(shí)，兩平面可以相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都與另外一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．這是兩個(gè)平面平行的定義，故③正確；對(duì)于④，一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都與另外一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．這是兩個(gè)平面平行的判定定理，故④正確．故選D.[答案]D應(yīng)用平面與平面平行判定定理的注意事項(xiàng)(1)平面與平面平行判定定理把判定面面平行轉(zhuǎn)化為判定線面平行，同時(shí)應(yīng)注意是兩條相交直線都平行于另一平面．(2)解決此類問題，若認(rèn)為命題正確，必須用相關(guān)定理嚴(yán)格證明；而要否定它，只需要舉出一個(gè)反例，此時(shí)借用常見幾何模型是非常有效的方法．[跟蹤訓(xùn)練1]設(shè)直線l，m，平面α，β，下列條件能得出α∥β的有()①l?α，m?α，且l∥β，m∥β；②l?α，m?α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P，l?α，m?α，且l∥β，m∥β.A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．0個(gè)答案A解析①錯(cuò)誤，因?yàn)閘，m不一定相交；②錯(cuò)誤，一個(gè)平面內(nèi)有兩條平行直線平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面可能相交；③錯(cuò)誤，兩個(gè)平面可能相交；由面面平行的判定定理可知，④正確.題型二平面與平面平行的判定例2如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F(xiàn)，N分別是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中點(diǎn)．求證：(1)E，F(xiàn)，D，B四點(diǎn)共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[證明](1)如圖，連接B1D1，∵E，F(xiàn)分別是邊B1C1，C1D1的中點(diǎn)，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F(xiàn)，D，B四點(diǎn)共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.連接MF，∵M(jìn)，F(xiàn)分別是A1B1，C1D1的中點(diǎn)，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，又A1D1∥AD，A1D1＝AD，∴MF∥AD，MF＝AD，∴四邊形ADFM是平行四邊形，∴AM∥DF.又AM?平面EFDB，DF?平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.線線平行、線面平行與面面平行的轉(zhuǎn)化(1)要證面面平行需證線面平行，要證線面平行需證線線平行，因此“面面平行”問題最終轉(zhuǎn)化為“線線平行”問題．此即為面面平行判定定理的推論產(chǎn)生的依據(jù)．(2)在轉(zhuǎn)化為線面平行證面面平行時(shí)，首先觀察面內(nèi)已有的直線是否平行，若不平行，再利用條件有針對(duì)性地構(gòu)造平面找出平行直線．[跟蹤訓(xùn)練2]如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)因?yàn)镚，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1.又因?yàn)锽1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC.因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因?yàn)锳1G∥EB，A1G＝EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB.因?yàn)锳1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因?yàn)锳1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.題型三平面與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用例3如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ與平面PAO平行？[解]如圖，設(shè)平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，點(diǎn)M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性質(zhì)定理可得BQ∥D1M.假設(shè)平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.因?yàn)镻為DD1的中點(diǎn)，所以Q為CC1的中點(diǎn)．故當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO.應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟[跟蹤訓(xùn)練3]如圖，已知AB，CD是夾在兩個(gè)平行平面α，β之間的線段，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)．求證：MN∥α.證明若AB，CD在同一平面內(nèi)，則平面ABDC與α，β的交線分別為BD，AC.∵α∥β，∴AC∥BD.∵M(jìn)，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴MN∥BD.又BD?α，MN?α，∴MN∥α.若AB，CD異面，如圖，過A作AE∥CD交α于點(diǎn)E，取AE的中點(diǎn)P，連接MP，PN，BE，ED.∵AE∥CD，∴AE，CD確定平面AEDC，且與α，β的交線分別為ED，AC.∵α∥β，∴ED∥AC.又P，N分別為AE，CD的中點(diǎn)，∴PN∥ED，又PN?α，ED?α，∴PN∥α，同理可證MP∥BE，MP?α，BE?α，∴MP∥α，又MP∩PN＝P，∴平面MPN∥α，又MN?平面MPN，∴MN∥α.題型四直線、平面平行的綜合應(yīng)用例4在正方體ABCD－A1B1C1D1中，如圖．(1)求證：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)試找出體對(duì)角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點(diǎn)E，F(xiàn)，并證明：A1E＝EF＝FC.[解](1)證明：因?yàn)樵谡襟wABCD－A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，所以AB1∥C1D.又因?yàn)镃1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因?yàn)锳B1∩B1D1＝B1，AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如圖，連接A1C1，交B1D1于點(diǎn)O1，連接AO1，與A1C交于點(diǎn)E.因?yàn)锳O1?平面AB1D1，所以點(diǎn)E也在平面AB1D1內(nèi)，所以點(diǎn)E就是A1C與平面AB1D1的交點(diǎn)；連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接C1O，與A1C交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F就是A1C與平面C1BD的交點(diǎn)．下面證明A1E＝EF＝FC.因?yàn)槠矫鍭1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中點(diǎn)，所以E是A1F的中點(diǎn)，即A1E＝EF.同理可證OF∥AE，又因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以F是CE的中點(diǎn)，即CF＝EF，所以A1E＝EF＝FC.三種平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化線線平行、線面平行、面面平行這三種關(guān)系是緊密相連的，可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化．相互間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖．因此判定某一平行的過程就是從一平行關(guān)系出發(fā)不斷轉(zhuǎn)化的過程，在證明問題時(shí)要切實(shí)把握這一點(diǎn)，靈活地確定轉(zhuǎn)化思路和方向．“平行關(guān)系”的應(yīng)用是證明線線、線面、面面平行的依據(jù)．充分理解并掌握三者之間轉(zhuǎn)化的判定及性質(zhì)定理，并進(jìn)一步理解轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是解決“平行關(guān)系”問題的關(guān)鍵所在．[跟蹤訓(xùn)練4]如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn)．證明(1)∵E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點(diǎn)，∴EF∥A1C1.∵A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G.又F，G分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，∴A1F＝BG，A1F∥BG，∴四邊形A1GBF為平行四邊形，∴BF∥A1G.∵A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G.又EF∩BF＝F，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面A1C1G與平面ABC有公共點(diǎn)G，且平面A1C1G∩BC＝H，∴平面A1C1G∩平面ABC＝GH.又平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，∴A1C1∥GH，∴GH∥AC.∵G為AB的中點(diǎn)，∴H為BC的中點(diǎn)．1．已知直線l，m，平面α，β，下列命題正確的是()A．m∥l，l∥α?m∥αB．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥βC．l∥m，l?α，m?β?α∥βD．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β答案D解析A中，m可能在α內(nèi)，也可能與α平行；B中，α與β可能相交，也可能平行；C中，α與β可能相交，也可能平行；D中，平面α內(nèi)的兩條相交直線l，m分別與平面β平行，依據(jù)面面平行的判定定理可知α∥β.故選D.2．設(shè)α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中點(diǎn)，當(dāng)A，B分別在平面α，β內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，得到無數(shù)個(gè)AB的中點(diǎn)C，那么所有的動(dòng)點(diǎn)C()A．不共面B．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條直線上移動(dòng)時(shí)才共面C．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條給定的異面直線上移動(dòng)時(shí)才共面D．不論A，B如何移動(dòng)，都共面答案D解析如圖所示，A′，B′分別是A，B兩點(diǎn)在α，β上運(yùn)動(dòng)后的兩點(diǎn)，此時(shí)AB的中點(diǎn)變成A′B′的中點(diǎn)C′，當(dāng)AA′∥BB′時(shí)，易得CC′∥α，當(dāng)AA′與BB′異面時(shí)，連接A′B，取A′B的中點(diǎn)E.連接CE，C′E，AA′，BB′，CC′，則CE∥AA′，∴CE∥α.∵C′E∥BB′，∴C′E∥β.又α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E，∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不論A，B如何移動(dòng)，所有的動(dòng)點(diǎn)C都在過C點(diǎn)且與α，β平行的平面上．3.(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若經(jīng)過D1B的平面分別交AA1，CC1于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形D1EBF的形狀可能是()A．矩形 B．菱形C．平行四邊形 D．正方形答案ABC解析若點(diǎn)E與點(diǎn)A1重合，則點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，此時(shí)四邊形D1EBF是矩形；若點(diǎn)E在AA1的中點(diǎn)處，則點(diǎn)F也在CC1的中點(diǎn)處，此時(shí)四邊形D1EBF是菱形但不是正方形；其他情況下為普通的平行四邊形．故選ABC.4.如圖是一個(gè)幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面五個(gè)結(jié)論：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正確的結(jié)論是____.答案①②③④解析還原幾何體可知該幾何體是一個(gè)如圖所示的正四棱錐P－ABCD，逐一考查所給的命題：①易知EF∥平面ABCD，F(xiàn)G∥平面ABCD，且EF∩FG＝F，則平面EFGH∥平面ABCD，①正確．②設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為點(diǎn)O，連接OG，由三角形中位線的性質(zhì)可知OG∥PA，結(jié)合線面平行的判定定理可得PA∥平面BDG，②正確．③由三角形中位線的性質(zhì)可知EF∥DA，又DA∥BC，故EF∥BC，結(jié)合線面平行的判定定理可得EF∥平面PBC，③正確．④由三角形中位線的性質(zhì)可知，F(xiàn)H∥BD，結(jié)合線面平行的判定定理可知，F(xiàn)H∥平面BDG，④正確．⑤由③可知EF∥BC，由于直線BC與平面BDG相交，故EF∥平面BDG不成立，⑤錯(cuò)誤．5．已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：平面BDF∥平面B1D1E.證明如圖所示，取BB1的中點(diǎn)G，連接EG，GC1，則有EG綊A1B1.又A1B1綊C1D1，∴EG綊C1D1.∴四邊形EGC1D1為平行四邊形．∴D1E綊GC1.又BG綊C1F，∴四邊形BGC1F為平行四邊形．∴BF∥GC1.∴BF∥D1E.∵BF?平面B1D1E，D1E?平面B1D1E，∴BF∥平面B1D1E.又BD∥B1D1，BD?平面B1D1E，B1D1?平面B1D1E，∴BD∥平面B1D1E.又BD∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1E.一、選擇題1．平面α與平面β平行的條件可以是()A．α內(nèi)的一條直線與β平行B．α內(nèi)的兩條直線與β平行C．α內(nèi)的無數(shù)條直線與β平行D．α內(nèi)的兩條相交直線分別與β平行答案D解析若兩個(gè)平面α，β相交，設(shè)交線是l，則有α內(nèi)的直線m與l平行，得到m與平面β平行，從而可得A是不正確的；而B中兩條直線可能是平行于交線l的直線，也不能判定α與β平行；C中的無數(shù)條直線也可能是一組平行于交線l的直線，因此也不能判定α與β平行．由平面與平面平行的判定定理可得D項(xiàng)是正確的．2．已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出下列四個(gè)命題：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c∥α，,c∥β))?α∥β；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α∥γ，,β∥γ))?α∥β；③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c∥α，,a∥c))?a∥α；④eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a∥γ，,α∥γ))?a∥α.其中正確的命題是()A．①②③ B．②④C．② D．③④答案C解析命題②正確．①中α與β還可能相交，③④中a還可能在α內(nèi)，所以命題①③④錯(cuò)誤．3．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有()A．2對(duì) B．3對(duì)C．4對(duì) D．5對(duì)答案C解析六棱柱的表面中一共有8個(gè)面，若互相平行的面最多，則底面六邊形對(duì)邊平行，則六棱柱的表面中相對(duì)的側(cè)面相互平行的有3對(duì)，加上兩底面互相平行，共4對(duì)．4.如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝()A．eq\f(3,2) B．2C．eq\f(5,2) D．3答案C解析∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，則eq\f(PC,PA)＝eq\f(CD,AB)，∴AB＝eq\f(PA×CD,PC)＝eq\f(5×1,2)＝eq\f(5,2).5.(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，則()A．FG∥平面AA1D1DB．EF∥平面ABC1D1C．平面ABCD∥平面A1B1C1D1D．平面EFG∥平面A1BC1答案ACD解析∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正確；∵EF∥A1C1，A1C1與平面ABC1D1相交，∴EF與平面ABC1D1相交，故B錯(cuò)誤；由正方體的性質(zhì)可知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，故C正確；∵FG∥BC1，EF∥A1C1，BC1?平面A1BC1，A1C1?平面A1BC1，F(xiàn)G?平面A1BC1，EF?平面A1BC1，∴FG∥平面A1BC1，EF∥平面A1BC1.又FG∩EF＝F，∴平面EFG∥平面A1BC1，故D正確．二、填空題6．已知平面α，β和直線a，b，c，且a∥b∥c，a?α，b，c?β，則α與β的關(guān)系是____.答案相交或平行解析b，c?β，a?α，a∥b∥c，若α∥β，滿足要求；若α與β相交，交線為l，b∥c∥l，a∥l，滿足要求，故答案為相交或平行．7.如圖是某正方體的平面展開圖(表面朝下)．關(guān)于這個(gè)正方體，有以下判斷：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中判斷正確的序號(hào)是____.答案①②③④解析以面ABCD為下底面還原正方體，如圖，則易判定四個(gè)判斷都是正確的．8．如圖所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分別在α，β內(nèi)，線段AA′，BB′，CC′共點(diǎn)于O，O在平面α和平面β之間，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，則△A′B′C′的面積為____.答案eq\f(4\r(3),9)解析AA′，BB′相交于點(diǎn)O，所以AA′，BB′確定的平面與平面α，平面β的交線分別為AB，A′B′，有AB∥A′B′，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(3,2)，同理可得eq\f(OA,OA′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(3,2)，eq\f(OA,OA′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(3,2)，所以△ABC，△A′B′C′面積的比為9∶4，又△ABC的面積為eq\r(3)，所以△A′B′C′的面積為eq\f(4\r(3),9).三、解答題9.如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一點(diǎn)F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．解存在這樣的點(diǎn)F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此時(shí)點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)．證明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴四邊形AFCD是平行四邊形，∴AD∥CF.又AD?平面ADD1A1，CF?平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1.又CF∥平面ADD1A1，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.10.如圖所示，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若eq\f(PA′,A′A)＝eq\f(2,3)，求eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)的值．解∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.同理可證B′C′∥BC，A′C′∥AC.∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC，∠A′C′B′＝∠ACB.∴△A′B′C′∽△ABC.又PA′∶A′A＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5.∴A′B′∶AB＝2∶5.∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q為CC1上的點(diǎn)，要使平面D1BQ∥平面PAO，則點(diǎn)Q()A．與C重合 B．與C1重合C．為CC1的三等分點(diǎn) D．為CC1的中點(diǎn)答案D解析當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO.證明如下：因?yàn)镼為CC1的中點(diǎn)，P是DD1的中點(diǎn)，所以QB∥PA，又QB?平面PAO，所以QB∥平面PAO.連接DB，因?yàn)镻，O分別為DD1，DB的中點(diǎn)，所以D1B∥PO.因?yàn)镈1B?平面PAO，所以D1B∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.2．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點(diǎn)，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為()A．eq\r(2) B．eq\f(9,8)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(6),2)答案B解析取C1D1，B1C1的中點(diǎn)為P，Q，連接DP，BQ，B1D1，NP，PQ.易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，∴四邊形ANPD為平行四邊形，∴AN∥DP，又BD和DP為平面DBQP的兩條相交直線，MN，AN為平面AMN的兩條相交直線，∴平面DBQP