平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步講義Word

第六章平面向量及其應(yīng)用平面向量的運(yùn)算平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示【課程標(biāo)準(zhǔn)】能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會求兩個(gè)平面向量的夾角會用兩個(gè)向量的的坐標(biāo)判斷他們是否垂直會利用平面向量的數(shù)量積解決判斷圖形形狀的問題，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法【知識要點(diǎn)歸納】1．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2．即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．注意：公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來求兩向量的數(shù)量積的，沒有本質(zhì)區(qū)別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導(dǎo)．2．兩個(gè)公式、一個(gè)充要條件(1)向量的模長公式：若a＝(x，y)，則|a|＝．(2)向量的夾角公式：設(shè)a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角，則．(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．（4）距離公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，，即A，B兩點(diǎn)間的距離為【經(jīng)典例題】例題1.已知a與b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.①求a的坐標(biāo)；②若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.【答案】①a＝(2,4)．②0，(20，－10)．?dāng)?shù)量積運(yùn)算的途徑及注意點(diǎn)(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開，再依據(jù)已知計(jì)算．(2)對于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需把握圖形的特征，并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解例題2：(1)設(shè)平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|2a－b|等于()A．4B．5C．35 D．45(2)若向量a的始點(diǎn)為A(－2,4)，終點(diǎn)為B(2,1)，求：①向量a的模；②與a平行的單位向量的坐標(biāo)；③與a垂直的單位向量的坐標(biāo)求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算：利用|a|2＝a2，將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題．(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算：若a＝(x，y)，則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.例題3.已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a與b夾角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求實(shí)數(shù)λ的值。【解】(1)因?yàn)閍·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝42＋32＝5，|b|＝（－1）2＋22＝5，設(shè)a與b的夾角為θ，所以cosθ＝a·b|a||b|＝25\r(5)＝5)25.(2)因?yàn)閍－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.注意：（1）利用數(shù)量積求兩向量夾角的步驟（2）涉及非零向量a，b垂直問題時(shí)，一般借助a⊥b?a·b＝x1x2＋y1y2＝0來解決．例題4．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，則△ABC的形狀是()A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形解析：選A.由題設(shè)知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，所以·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．【當(dāng)堂檢測】一．選擇題（共4小題）1．已知兩個(gè)向量，則的最大值是A．2 B． C．4 D．2．設(shè)，，則下列命題中錯(cuò)誤的是A． B． C． D．3．已知向量，，那么向量與的位置關(guān)系是A．平行 B．垂直 C．夾角是銳角 D．夾角是鈍角4．設(shè)向量，，，且，則A．3 B．2 C． D．二．填空題（共4小題）5．已知向量，的夾角為，若，，則．6．已知向量，滿足，，則與的夾角的余弦值為．7．已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，則的重心坐標(biāo)為．8．已知向量，，若與夾角為鈍角，則的取值范圍是．（用區(qū)間表示）三．解答題（共2小題）9．已知向量，．（1）若，求的坐標(biāo)；（2）若與垂直，求的值．10．已知點(diǎn)，，及．（1）為何值時(shí)，點(diǎn)在第二象限？（2）四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的值；若不能，請說明理由．

當(dāng)堂檢測答案一．選擇題（共4小題）1．已知兩個(gè)向量，則的最大值是A．2 B． C．4 D．【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算得到的表達(dá)式，再由向量模的求法，利用正弦和余弦函數(shù)的公式進(jìn)行化簡，即可求出答案．【解答】解：向量，，，，當(dāng)時(shí)，取“”，的最大值為4．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查向量的線性運(yùn)算和模的運(yùn)算以及三角函數(shù)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．2．設(shè)，，則下列命題中錯(cuò)誤的是A． B． C． D．【分析】直接利用向量模判斷的正誤；向量的數(shù)量積公式判斷的正誤；向量的垂直判斷的正誤；向量共線判斷的正誤．【解答】解：由向量的模可知：正確，向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式可知正確；向量垂直數(shù)量積為0可知正確；向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可知不正確；故選：．【點(diǎn)評】本題考查向量的基本知識，垂直以及共線的由條件，數(shù)量積的運(yùn)算，考查基本知識的應(yīng)用．3．已知向量，，那么向量與的位置關(guān)系是A．平行 B．垂直 C．夾角是銳角 D．夾角是鈍角【分析】可先求出，從而可判斷出與不平行，然后可求出，從而可得出與的位置關(guān)系．【解答】解：，，與不平行，又，與的夾角是鈍角．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了向量坐標(biāo)的減法和數(shù)量積的運(yùn)算，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．設(shè)向量，，，且，則A．3 B．2 C． D．【分析】利用，列出含的方程即可．【解答】解：因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，，，解得，故選：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二．填空題（共4小題）5．已知向量，的夾角為，若，，則．【分析】可得出，從而可求出，然后根據(jù)進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出的值．【解答】解：，，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長度的方法，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量長度的求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．已知向量，滿足，，則與的夾角的余弦值為．【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，求出對應(yīng)的模長與夾角即可．【解答】解：由，，得，，，與夾角的余弦值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的數(shù)量積與夾角運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．7．已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，則的重心坐標(biāo)為，．【分析】設(shè)出三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)所給的三邊的中點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)的坐標(biāo)公式，得到六個(gè)關(guān)系式，把含有相同變量的三個(gè)關(guān)系式相加，得到三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)之和，即出現(xiàn)了重心的坐標(biāo)的表示式，得到結(jié)果即可．【解答】解：設(shè)，，，，，，則重心坐標(biāo)為，．故答案為：，【點(diǎn)評】本題考查三角形的重心坐標(biāo)公式，本題解題時(shí)看起來比較復(fù)雜，但是在解題過程中注意觀察出現(xiàn)的結(jié)果，不用求出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，而是以整體形勢來處理．8．已知向量，，若與夾角為鈍角，則的取值范圍是．（用區(qū)間表示）【分析】根據(jù)平面向量與夾角為鈍角知，由此求出的取值范圍．【解答】解：向量，，若與夾角為鈍角，則，，解得且，的取值范圍是，，．故答案為：，，．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的數(shù)量積與夾角公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．三．解答題（共2小題）9．已知向量，．（1）若，求的坐標(biāo)；（2）若與垂直，求的值．【分析】（1）直接由向量的數(shù)乘及減法運(yùn)算求解；（2）由向量的數(shù)乘及減法運(yùn)算求得的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解．【解答】解：（1），，，，，；（2），，，，與垂直，，即．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題．10．已知點(diǎn)，，及．（1）為何值時(shí)