初一數(shù)學(xué)動點問題例題集

BPCQ文檔來源為從網(wǎng)絡(luò)收集整.word版可編輯歡下載支.初一數(shù)動點問題集BPCQ1、如圖，已知中，厘米，BC厘米，D為的中點．（1）如果點P在線段BC上以米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．①若點Q的運動速度與點運動速度相等，經(jīng)過秒后△BPD△是否全等，請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等當(dāng)點

AQ的運動速度為多少時，能夠△△CQP全等？

D（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點以

Q原來的運動速度從點B同時出發(fā)逆時針ABC三邊

B

P

C運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次的哪條邊上相遇？解）①∵t秒，∴

CQ

厘米，∵厘米，點DAB的中點，∴BD米．又∵厘米，∴

厘PCBC，BC

，∴．又∵AC∴

，∴

BPD△

．（4分）②∵

vPQ

，∴，又∵

BPD△

，

，則

，CQ

，∴點P，點運動的時間

BPt

秒，

OA文檔來源為從網(wǎng)絡(luò)收集整.word版可編輯歡下載支.OAv

5t4∴

厘米/秒．（7分）（2）設(shè)經(jīng)過秒后點

P

與點第一次相遇，xx由題意，得4，解得

x

秒．∴點共運動了3厘米．∵

，∴點P、點在邊上相遇，∴經(jīng)過3秒點一次在邊上相遇．（12分）2、直線

y

與坐標(biāo)軸分別交于、B兩點，動、Q時點出發(fā)，同時到達(dá)

A

點，運動停止．點沿線段運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿路線→B→運動．（1）直接寫出兩點的坐標(biāo)；（2）設(shè)Q的運動時間t秒，△的面積S求St之間的函數(shù)關(guān)系式；）當(dāng)

S

時，求出點的坐標(biāo)，并y直接寫出以點

O、、Q

為頂點的平行四邊形

B的第四個頂點M的坐標(biāo)．解（1）A（8，0）B（0，6）1分（2）OAOB

POA

x

P，5123P，5123Q

文檔來源為從網(wǎng)絡(luò)收集整.word版可編輯歡下載支.點由O到A時間是1（秒）

點

P

的速度是

（單位/秒）1當(dāng)

P

在線段OB運動（或0

t

）時，

OPtS1分當(dāng)P在線段BA上運動（或

38

）時，

tt

,如圖，作PDOA點D，由OQPDt2t

48tBO，得51分

1分（自變量取值范圍寫對給1分，否則不給分（3）

1分2424I，，，5

3分3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直l：y=－2x－8分別與x軸y軸相交于A，B兩點，點P（0，k是軸的負(fù)半軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑作⊙P.（1）連結(jié)PA，若PA=PB，試判斷⊙Px軸的位置關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)k為何值時，以與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形？解）⊙P與x軸相切.∵直線y=－2x－8與x軸交于（4，0與y軸交于B（0，－8∴OA=4，OB=8.由題意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半徑，∴⊙P與x軸相切.（2）設(shè)⊙P與直線l交于，D兩點，連結(jié)PC，PD當(dāng)圓心P在線段OB上時,作PE⊥CD于E.3∵△PCD為正三角形，∴DE=

CD=

，PD=3，

文檔來源為從網(wǎng)絡(luò)收集整.word版可編輯歡下載支.3∴PE=2.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴

AO4,即=PB

，∴

3152

∴

BOPB

3152

，∴

3152

，∴

315k2

.315當(dāng)圓心P在線段OB延長線上時,同理可得－2－8)，315∴k=－

2

－8，315315∴當(dāng)k=2－8k=－2－8，以⊙P直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形.4如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點O坐標(biāo)原點，四邊形ABCO是菱形，點A的坐標(biāo)為（－3，4點C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點，AB邊交y軸于點H．（1）求直線AC的解析式；（2）連接BM，如圖2，動點從點A發(fā)，沿折線ABC方向以2單位／秒的速度向終點C勻速運動，設(shè)PMB的面積為（S≠0點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量的取值范圍（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時，∠MPB與∠BCO互為余角，并求此時直線OP與直線AC所夾銳角的正切值．解：

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QD圖165在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達(dá)點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向

點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E．點P、Q時出發(fā)，當(dāng)Q到達(dá)點B時停止運動，點P也隨之停止．設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t（1）當(dāng)t=2時，AP=，點Q到AC的距離是；（2）在點P從C向A運動的過程中，求△的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式不必寫出t的取值范圍）

，文檔來源為從網(wǎng)絡(luò)收集整.word版可編輯歡下載支.，（3）在點E從B向C運動的過程中，四邊形能否成為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；（4）當(dāng)DE經(jīng)過點C時，請直接寫出t的值．8解）1，5；（2）作QF⊥AC于點F，如圖3，AQ=CP=t，∴

．由△AQF∽△ABC，

4

，QFt4QFt得5．∴5

．∴

1(3t2

，

即

2tt55

．

Q（3）能．①當(dāng)DE∥QB時，如圖4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四邊形QBED直角梯形．

D

圖

此時∠AQP=90°．由△APQ∽△ABC，得AC

，t即3

．解得

t

98

．

②如圖5，當(dāng)PQ∥BC時，DE⊥BC，四邊形是直角梯形．此時∠APQ=90°．

Q15由△AQP∽△ABC，得ABtt8即5．解得．545tt（4）2或．

AP

，

DQ

圖

G①點P由C向A運動，DE經(jīng)過點C．連接QC，作QG⊥BC于點G，如圖6．34(5)][4PC55

(5)]

．

D圖

(E)Q

GD

圖

(E)

3文檔來源為從網(wǎng)絡(luò)收集整.word版可編輯歡下載支.3345t)][4)]t由，得55，解得②點P由A向C運動，DE經(jīng)過點C，如圖．

．(6)

3)][4)]5

45t，

】6如圖，在eq\o\ac(△,)中，ACB60O是的中點過O直線l從與AC重合

EO

l

C的位置開始，繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，交

AB

邊于點

D

．過

A

D

B點CE交直l于點E設(shè)直l的旋轉(zhuǎn)角．度時，四邊形是等腰（1）①當(dāng)

A

O

C

B（備用圖）梯形，此時AD的長為；②當(dāng)

度時，邊形是角時AD的為；（2）當(dāng)

，判斷四邊EDBC是否為菱形，并說明理由．解（1）①30②60，1.5；……4分（2）當(dāng)∠α=900時，四邊形EDBC菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵CE//AB,∴四邊形EDBC

是

平

行

四

邊形.……6分在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.∴AB=4,AC=2.∴AO==3.……8在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四邊形EDBC是平行四邊形，∴四邊形EDBC是菱形……10分

BMNDG文檔來源為從網(wǎng)絡(luò)收集整.word版可編輯歡下載支.BMNDG7如圖梯形中，，DC，AB2，∠B45動點

M

從

B

點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的

A速度向終點運動點N時從點發(fā)沿線段

CD以每秒1個單位長度的速度向終D運動．設(shè)運動的時間t秒．

B

M

N

C（1）求BC的長．（2）當(dāng)MN時，t的值．（3）試探究：t為何值時△MNC為等腰三角形．解）如圖①，D分別作K，BC于，則四邊形是矩形∴

AD

1分在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)ABK中，

AKABsin．BKABcos45g4

2分在eq\o\ac(△,Rt)CDH中，由勾股定理得，

52

∴

BKKHHC

3分形

ADAD（2）如圖②，過D作DG交BC于點，則四邊形ADGB是平行四邊N∵

MNAB

K

H

C

G

M

C∴（①）

（圖②）∴∴

BGADGC

4分由題意知，當(dāng)

M

、N運動t秒時，

，CM．

MC文檔來源為從網(wǎng)絡(luò)收集整.word版可編輯歡下載支.MC∵∴又∴

DGMN∠DGC∠GDC∴

CMCG

5分即

t

t解得，

t

6分（3）分三種情況討論：①當(dāng)NC時，如圖③，即

t∴

t

7分AD

AD②當(dāng)MNNC時，如圖④，N作NEMC于N解法一：

E

NB由等腰三角形三線合一性質(zhì)得

B110t2

MH

C（圖③）cosc在eq\o\ac(△,Rt)CEN中，

5t

（圖④）又在eq\o\ac(△,Rt)DHC中，3t5∴

c

5解得

t

8分解法二：∵

∠，

22文檔來源為從網(wǎng)絡(luò)收集整.word版可編輯歡下載支.22∴∴

△NEC△即

t

∴

t

8分③當(dāng)MNMC時，如圖⑤，過

M

作CN于

F

點.

1t2解法一方法同②中解法一）1t3cost5

ADt解得解法二：

B

HM

N

F

C∵∴∴即

∠MFC∽△1t10t3

（圖⑤）∴

t

綜上所述，當(dāng)

ttt、或

時△等腰三角9分8如圖1在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是的中點，過點作EF于F．BC，∠B

.（1）求點

E

到的距離；

作交折線于點，連結(jié)，設(shè)AD△PMNAADDxFFFPP于點1分圖1在中，∴2分2∴∴4分文檔來作交折線于點，連結(jié)，設(shè)AD△PMNAADDxFFFPP于點1分圖1在中，∴2分2∴∴4分（2）P線EF上的一個動點，PPMEF

M，M

.①當(dāng)點在線段上（如圖2）的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出的周長；若改變，請說明理由；A

②當(dāng)N在線上時（如3存在P使

eq\o\ac(△,D)

為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明EEE解（1）如圖1，過E

BCBE為的中點，

M

圖2

CB

M圖3

A

C

D∴

ABE

12

DAB

（第題）

D

E

FEERt△EBG∠B，∠BEG30

F

B

G

CB

∴

BG

CB1BE，EG22圖備用）圖（用）

C

圖1即E的距離為分（2）①當(dāng)在線段AD上運動時的形狀不發(fā)生改變．∵

∵

∥BCGM

，

PM．同理

如圖2，過PH，∵∠NMC，∠PMH30∴

，

A

N

D∴

PH

1PM22

．

E

P

H

F∴

MHPM

32

．

B

GM

圖

C

2222則

文檔來源為從網(wǎng)絡(luò)收集整.word版可編輯歡下載支.MNMH．在△，

2

PH

2

3．∴△周長=PMMN37．

6分②當(dāng)點N在線DC上運動時PMN的形狀發(fā)生改變△MNC恒為等邊三角形．當(dāng)PMPN時，如圖3作于R，則

類似①，

．∴

MNMR

7分∵是等邊三角形，∴

MCMN此時，

MC．

8分A

D

A

D

A

DE

P

NF

E

P

F

E

F（）

N

NB

G

M

CB

G

M

CB

G

M

C圖當(dāng)MP時，如圖4，這時

圖4MCMNMP

圖此時，

xGM．當(dāng)NM時，如圖5，NPMPMN則∴

∠PMN120MNC∠MNC180因此點P與重合△PMC為直角三角形．∴

MCPMtan30

此時，

文檔來源為從網(wǎng)絡(luò)收集整.word版可編輯歡下載支.綜上所述，當(dāng)或或時△PMN等腰三角形．10分9如圖①，正方形ABCD中，點A、B的坐標(biāo)分別為（0，10，4點C在第一象限動點P在正方形ABCD的邊上從點A出發(fā)沿A→B→C→D勻速運動，同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動當(dāng)P點到達(dá)D點時兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒．(1)當(dāng)P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標(biāo)x

（長度單位）關(guān)于運動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示，請寫出點Q始運動時的坐標(biāo)及點P運動速度；(2)求正方形邊長及頂點C的坐標(biāo)；(3)在（1）中當(dāng)t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標(biāo)；(4)如果點P、Q保持原速度不變，當(dāng)點沿A→B→C→D勻速運動時，OPPQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的t值；若不能，請說明理由．解）（1）1分點P運動速度每秒鐘1個單位長度．2分（2）過點作⊥y軸于點F，⊥x軸于＝8，BE

．∴

AF

．在Rt△AFB中，

AB

10

3分

D過點

C

作

CG

⊥

軸于點

G

，與FB的延長線交于點．

C∵

90AB

∴△ABF≌△BCH．

M

∴

BF

．

F

H∴

CG

．

NQ

∴所求C點的坐標(biāo)為（14，124分（3）過點P作PM⊥y軸于點M，PNx則△APM∽△ABF．

軸于點N，AMMP∴ABAFBF

．

tAMMP108

．∴

34AM，PMtPN10tPMt5．∴55

．設(shè)△OPQ的面積為S（平方單位）133(10t)(1)tt∴2（0t≤10）5分說明:未注明自變量的取值范圍不扣分．

10文檔來源為從網(wǎng)絡(luò)收集整.word版可編輯歡下載支.4710∵

<0∴當(dāng)

t32)10

476

時，△OPQ的面積最大．分94此時P的坐標(biāo)為（，10）．7分（4）

當(dāng)

t

5295t3或13

時，OP與PQ相等．9分10數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點．

o

，且EF交正方形外角的平行線CF點F，求證：AE=EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB中點，連接，則AM=EC，易證

△AME△

，所以AEEF在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點正確嗎？如果正確出證明過程如果不正確請說明理由；（2）小華提出：如圖3，點EBC的延長線上（除點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF仍然成立．你認(rèn)為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．ADA

D

A

D

FF

FB

EC圖

G

B

E圖

GB

圖

CG

文檔來源為從網(wǎng)絡(luò)收集整.word版可編輯歡下載支.解）正確．（1分）證明：在AB上取一點，使AM，連ME（2分）BE

．BME45135

A

DCF

是外角平分線，

M

FDCF

B

EC

GECFECF

．BAE90

90

CEF

．eq\o\ac(△,)AME△BCF（ASA分）AE．（6分）（2）正確．（7分）證明：在BA的延長線上取一點N．使ANCE連接．（8分）BNBE．

NAD

FNPCE45Q四邊形ABCD正方形，AD∥．CEF．eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ANEECF（ASA（10分）AE．（11分）

B

CEG11已知一個直角三角形紙，其

．如

OCy，C文檔來源為從網(wǎng)絡(luò)收集整.word版可編輯歡OCy，C圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于，D與邊交于點．（Ⅰ）若折疊后使點

B

與點

A

重合，求點的坐標(biāo)；

y（Ⅱ若折疊后點

B

落在上的點為

設(shè)

OB

B，試寫出

關(guān)于的函數(shù)解析式，并確定的取值范圍；

B

y

O

x（Ⅲ若折疊后點

B

落在邊上的點為

且使

BOB求此時的坐標(biāo)．

O

y

A

x解（Ⅰ）如圖①，折疊后點△ACDBCD則.

B

與點

A

重合設(shè)的坐標(biāo)為

.

O

x則

OB

.于是

BC

.在Rt△AOC中，由勾股定理，得

AC

OC

OA

，即

2

2

，解得

m

.

點的坐標(biāo)為.分（Ⅱ）如圖②，折疊后點OA邊上的點為則

eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)≌△

.由題設(shè)

y

，則

OBy

，在

eq\o\ac(△,Rt)

中，由勾股定理，得

OC

.

，

y00C0，ABCDCD文檔來源為從網(wǎng)絡(luò)收集整.word版可編輯歡下載支.y00C0，ABCDCDy2即6分由點

在OA，x

，

解析式

y2

2

為所求.Q

當(dāng)

x

時，隨的增大而減小，≤y≤y的取值范圍為2.7分（Ⅲ）如圖③，折疊后點OA邊上的點為B

.則

.又CBeq\o\ac(△,Rt)COB.

.有

OBOA，OC

.9分在設(shè)

eq\o\ac(△,Rt)B中，

，則

.x2由（Ⅱ）的結(jié)論，得8，解得

xx

.

點的坐標(biāo)為

.10分12問題解決如圖（1將正方形紙片折疊，使點

B

落在邊

A

M

F

D上一點E（不與，D重