第三章 一元流體動力學基礎

第三章

一元流體動力學基礎

一.拉格朗日方法

拉格朗日方法著眼于流體質點，跟蹤每個流體質點的運動全過程及描述運動過程中各質點、各物理量隨時間變化的規(guī)律。又稱軌跡法。通常以流體質點的初始坐標點作為區(qū)別不同的流體質點的標志。設t=t0時，流體質點的坐標值是（a，b，c）。流體質點的空間位置、密度、壓強和溫度可表示為：

§3.1描述流體運動的兩種方法

流體質點速度為：

流體質點加速度為：

二.歐拉法

歐拉法的著眼點不是流體質點，而是空間點。歐拉法是設法在空間的每一點上描述出流體運動參數(shù)隨時間的變化情況。觀測先后流過各空間點的各個質點的物理量變化情況，便能了解整個或部分流場的運動情況，故又稱空間點法或流場法。由歐拉法特點可知，各物理量是空間點x，y，z，t的函數(shù)。所以速度、密度、壓強和溫度可表示為：

加速度可表示為：

式中右端第一項稱為時變加速度，表示某空間定點處流體質點速度變化率；右端的后三項稱為位變加速度，表示由于流體質點所在的空間位置變化而引起的速度變化率?！?.2恒定流動和非恒定流動

根據(jù)流體的流動參數(shù)是否隨時間而變化，可將流的流動分為恒定流動和非恒定流動。

1.恒定流動又稱定常流是指流場中的流體流動，空間點上各力運動要素均不隨時間而變化。

即：φ表示任一流動參數(shù)（u、p、ρ）等。

§3.2恒定流動和非恒定流動

2.非恒定流動又稱非定常流，是指流場中的流體流動空間點上各水力運動要素中，只要有任何一個隨時間的變化而變化的流動。

即：§3.3流線和跡線1．流線

1）流線的定義：流線（streamline）是表示某一瞬時流體各點流動趨勢的曲線，曲線上任一點的切線方向與該點的流速方向重合。

2）流線的作法：在流場中任取一點（如圖所示），繪出某時刻通過該點的流體質點的流速矢量u1，再畫出距1點很近的2點在同一時刻通過該處的流體質點的流速矢量u2…，如此繼續(xù)下去，得一折線1234…，若各點無限接近，其極限就是某時刻的流線。

流線是歐拉法分析流動的重要概念?！?.3流線和跡線1．流線

3）流線的性質

a.同一時刻的不同流線，不能相交。b.流線不能是折線，而是一條光滑的曲線。c.流線簇的疏密反映了速度的大?。骶€密集的地方流速大，稀疏的地方流速?。?。

§3.3流線和跡線1．流線

4）流線的方程

設ds為流線上A點處的一微元弧長：u為流體質點在A點的流速:

因為流速向量與流線相切，即沒有垂直于流線的流速分量，u和ds重合?！?.3流線和跡線2．跡線

1）跡線的定義：跡線(pathline)為某一質點在某一時段內的運動軌跡線。右圖中煙火的軌跡為跡線。屬拉格朗日法的研究內容。2）跡線的微分方程由運動學知,流體質點在dt時間內移動了距離ds,則其運動微分方程為:即:§3.3流線和跡線2．跡線

3.流線和跡線的區(qū)別1)流線是表示流體流動趨勢的一條曲線，它描述了流場中不同質點在同一時刻的運動情況。方程中時間t為參變量。2)跡線是指某一質點在某一時刻內的運動軌跡，它描述流場中同一質點在不同時刻的運動情況。方程中時間t為自變量。3)在恒定流中，流線與跡線重合。

例：已知平面流動試求：1.t=0時，過點M（-1，-1）的流線。

2.求在t=0時刻位于x=-1，y=-1點處流體質點的跡線?！?.4一元流動模型1．一元流動、二元流動和三元流動一元流動：流動參數(shù)是一個坐標的函數(shù)；二元流動：流動參數(shù)是兩個坐標的函數(shù)；三元流動：流動參數(shù)是三個坐標的函數(shù)。

對于工程實際問題，在滿足精度要求的情況下，將三維流動簡化為二維、甚至一維流動，可以使得求解過程盡可能簡化。二維流動→一維流動三維流動→二維流動流管——在流場中作一條非流線的封閉周線C，過該周線上的所有流線組成的管狀流面。流體不能穿過流管，流管就像真正的管子一樣將其內外的流體分開。恒定流動中，流管的形狀和位置不隨時間發(fā)生變化。流束——充滿流管的全部流體。2.一元流動模型§3.4一元流動模型過流斷面——垂直于流束的斷面，過流斷面垂直于水流的流動方向，即與流束中的每一條流線垂直。元流——過流斷面面積無窮小的流束。（由于元流的斷面面積無窮小，可以近似認為斷面上的流速和壓強為均勻分布）總流——截面積有限大的流束，即無數(shù)元流的相加。如河流、水渠、水管中的水流等都是總流。2.一元流動模型§3.4一元流動模型體積流量（）：質量流量（）：3.流量與斷面平均流速1）流量（discharge）：是指單位時間內通過河渠、管道等某一過流斷面的流體量?！?.4一元流動模型2）

斷面平均流速v總流過水斷面上各點的流速是不相同的，所以常采用一個平均值來代替各點的實際流速，稱斷面平均流速v。如右圖。幾何意義：以底為A，高為v的柱體體積等于流速分布曲面與過水斷面所圍成的體積?！?.4一元流動模型3.5連續(xù)性方程

一、兩個基本概念控制體：即在流場中劃定的一個固定的空間區(qū)域，該區(qū)域完全被流動流體所充滿?？刂茢嗝妫杭纯刂企w（流管）有流體流進流出的兩個斷面，如圖中的3-3，4-4斷面。3.5連續(xù)性方程

二、連續(xù)性方程取下圖所示取控制體，其應滿足如下條件：

（1）在恒定流條件下，流管的形狀與位置不隨時間改變；（2）不可能有流體經流管側面流進或流出；（3）流體是連續(xù)介質，元流內部不存在空隙；（4）忽略質量轉換成能量的可能。

3.5連續(xù)性方程

二、連續(xù)性方程（4）忽略質量轉換成能量的可能。

質量守恒定律：單位時間內流出與流入元流的流體質量差之總和應等于六面體內因密度變化而減少的質量。

即：3.5連續(xù)性方程

二、連續(xù)性方程1.有固定邊界域的總流連續(xù)方程式物理意義：流入控制體內的凈質量流量與控制體內由于密度變化在單位時間里所增加的質量相等。適用范圍：恒定流、非恒定流、可壓縮、不可壓縮流體、理想流體、實際流體。3.5連續(xù)性方程

二、連續(xù)性方程2.恒定流的總流連續(xù)性方程對于恒定流，有，則上式為:

適用范圍：固定邊界內所有恒定流，包括可壓縮或不可壓縮流體、理想流體、實際流體。

3.5連續(xù)性方程

二、連續(xù)性方程3.不可壓縮流的總流連續(xù)性方程

對于不可壓縮流體,ρ＝const，則：物理意義：對于不可壓縮流體，斷面平均流速與過水斷面面積成反比，即流線密集的地方流速大，而流線疏的地方流速小。適用范圍：固定邊界內的不可壓縮流體，包括恒定流、非恒定流、理想流體、實際流體。3.5連續(xù)性方程

二、連續(xù)性方程4.分叉流的總流連續(xù)性方程

【例】有一輸水管道，如圖所示。水自截面1-1流向截面2-2。測得截面1-1的水流平均流速v1=2m/s，已知d1=0.5m，d2=1m，試求截面2-2處的平均流速v2為多少？補充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程在流場內任取一微元六面體，如圖，邊長為dx,dy,dz，中心點O流速為（ux,uy,uz），密度為ρ，以x軸方向為例：左表面：流速

密度

在dt時間內流入左表面的流體質量為：

補充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程右表面：流速

密度

在dt時間內流出右表面的流體質量為：

補充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程在dt時間內流入流出左右表面的流體質量為：

所以在dt時間內流入與流出該六面體流體的質量差為：（流進為正，流出為負）

補充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程同理可得：

則在dt時間內流入與流出該六面體流體的質量差為：補充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程在此六面體中，流體原來的質量為ρdxdydz,dt時間后，密度變?yōu)椋?/p>

則質量變?yōu)椋阂蚨赿t時間內，由于密度變化而引起質量的增量為：

補充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程質量守恒定律：同時間內流入與流出六面體的流體質量差之總和dM

應等于六面體內因密度變化而引起流體質量的增量dM‘

。即：補充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程1、流體的連續(xù)性微分方程的一般形式適用范圍：理想流體或實際流體；恒定流或非恒定流；可壓縮流體或不可壓縮流體。

補充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程2、可壓縮流體恒定流動的連續(xù)性微分方程

當為恒定流時，有，則上式為：

適用范圍：理想、實際、可壓縮、不可壓縮的恒定流。

補充：不可壓縮流體連續(xù)性微分方程3、不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程

當為不可壓縮流體時有，則上式為：

物理意義：不可壓縮流體單位時間內流入單位空間的流體體積（質量），與流出的流體體積（質量）之差等于零。適用范圍：理想、實際、恒定流或非恒定流的不可壓縮流體流動。

【例1】有二種二元液流，其流速可表示為：（1）ux=-2y,uy=3x；（2）ux=0,uy=3xy。試問這兩種液流是不可壓縮流嗎？【例2】

已知不可壓縮流體運動速度在，兩個軸方向的分量為，。且在處，有。試求軸方向的速度分量。

【解】對不可壓縮流體連續(xù)性方程為：將已知條件代入上式，有又由已知條件對任何，，當時，。故有

3.6恒定元流能量方程

一、能量方程的建立右圖所示控制體,流向為1→2，對其進行受力分析：

表面力：下表面上表面質量力：重力粘滯性引起的摩阻力:

恒定流（)的加速度：3.6恒定元流能量方程

一、能量方程的建立沿控制體軸向列牛頓第二定律得:表面力：質量力：摩阻力:

加速度：3.6恒定元流能量方程

一、能量方程的建立1.實際流體恒定元流能量方程

等式兩邊同除以，并將代入得:適用范圍：不可壓縮或可壓縮的恒定流。3.6恒定元流能量方程

一、能量方程的建立2.不可壓縮流體的元流能量方程

對于不可壓縮流體，有ρ=const，積分上式可得:能量方程(貝努利方程)

3.6恒定元流能量方程

一、能量方程的建立式中：z——位置水頭;

——壓強水頭，測壓管高度;

——流速水頭;——測壓管水頭;

3.6恒定元流能量方程

一、能量方程的建立——總水頭;——水頭損失，它表明：在實際流體流動中，由于粘性作用，一部分有效能因阻力作用作負功被轉化成熱能而消耗掉，造成流動流體能量的損失。

L—斷面1及2之間流程長度。3.6恒定元流能量方程

一、能量方程的建立

對于理想流體(無粘性流體)，有τ=0，則能量方程為:

上式說明,對于理想流體,各斷面的總水頭相等,單位重量的總能量保持不變。3.6恒定元流能量方程

二、能量方程的應用畢托管測流速

滯止點或駐點

圖示裝置,在管軸方向取相距很近的兩點,以管軸為基準面,由能量方程得:3.6恒定元流能量方程

二、能量方程的應用畢托管測流速

對于實際液體在應用上式計算A點流速時，需考慮液體粘性對液體運動的阻滯作用，以及畢托管放入流場后對流動的干擾，應使用修正系數(shù)φ，對該式的計算結果加以修正。一般φ小于1，即:3.7過流斷面的壓強分布

一、均勻流和非均勻流

根據(jù)流場中同一條流線各空間點上的流速是否相同，可將總流分為均勻流和非均勻流。若相同則稱為均勻流，否則稱為非均勻流。1.均勻流

質點流速的大小和方向均不變的流動，其流線是相互平行的直線。均勻流中各過水斷面上的流速分布圖沿程不變，過水斷面是平面。3.7過流斷面的壓強分布

一、均勻流和非均勻流2.非均勻流

非均勻流中流場中相應點的流速大小或方向或同時二者沿程改變，其流線不是相互平行的直線，即沿流程方向速度分布不均。非均勻流又分為急變流和漸變流。

1）漸變流——沿程逐漸改變的流動。

特征：流線之間的夾角很小即流線幾乎是平行的，同時流線的曲率半徑又很大（即流線幾乎是直線），其極限是均勻流，過水斷面可看作是平面。漸變流的加速度很小，慣性力也很小，可以忽略不計。

3.7過流斷面的壓強分布

一、均勻流和非均勻流2.非均勻流2）急變流——沿程急劇改變的流動。

特征：流線間夾角很大或曲率半徑較小或二者兼而有之，流線是曲線，過水斷面不是一個平面。急變流的加速度較大，因而慣性力不可忽略。漸變流急變流漸變流漸變流漸變流漸變流急變流急變流急變流急變流3.7過流斷面的壓強分布

二、過流斷面上的壓強分布

一般來說，流體質點流速大小和方向的變化，必然引起壓強的變化。由能量方程知，流速大小的變化，由于直線慣性力的出現(xiàn)，必然引起壓強沿流向的變化；但是對于流速方向的變化，出現(xiàn)了離心慣性力，其壓強的變化將在下邊討論。

如右圖所示，在流線BB’

上的M點處取一與流線垂直的柱形流體微團，其在流線方向上的運動速度為u,微團受力如圖所示。3.7過流斷面的壓強分布

二、過流斷面上的壓強分布沿微團軸向根據(jù)牛頓第二定律列運動方程：其中：則上式為：3.7過流斷面的壓強分布

二、過流斷面上的壓強分布對于均勻流，曲率半徑r→∞：3.7過流斷面的壓強分布

二、過流斷面上的壓強分布沿流線的法線方向壓強分布服從流體靜力學基本方程。對于緩變流的有效截面，其壓強分布亦近似滿足。

對于平面內的直線流動或者可以忽略重力勢能影響的直線流動：

3.8恒定總流能量方程式由3.6知,恒定元流的能量方程式為:實際工程的管道或渠道中的流動，都是有限斷面的總流。因此，應將元流的伯努利方程推廣到總流中去。1.恒定總流能量方程的推導

設元流的流量為dQ=u1dA1=u2dA2，則在上述元流能量方程的等式兩端同乘以ρgdQ,可得單位時間內元流兩過水斷面的單位重量的能量關系式：3.8恒定總流能量方程式1.恒定總流能量方程的推導

然后沿總流過水斷面上積分可得總流能量關系：

1）勢能積分在漸變流斷面或均勻流斷面上，有則：3.8恒定總流能量方程式1.恒定總流能量方程的推導

2）動能積分式中：α－動能修正系數(shù)，是實際動能與按斷面平均流速計算的動能的比值。層流α=1.0，紊流α=1.05～1.1，一般工程計算中常取α=1.0。

3.8恒定總流能量方程式1.恒定總流能量方程的推導

3）能量損失積分式中：為平均單位能量損失（沿程損失）。

3.8恒定總流能量方程式1.恒定總流能量方程的推導

由以上三項積分得總流能量方程式為：

能量方程

3.8恒定總流能量方程式1.應用總流能量方程的限制條件

（1）恒定流；（2）不可壓縮流體；（3）質量力只有重力；（4）所選取的兩過水斷面必須是均勻流斷面或漸變流斷面，但兩過水斷面間可以是急變流；3.8恒定總流能量方程式3.對于有能量的輸入與輸出的能量方程4.對于分叉恒定流，其能量方程為：3.9流能量方程的應用1.能量方程的應用（1）求流速；（2）求壓強；（3）求流速和壓強；2.應用能量方程的求解步驟（三選一列）1）選擇基準面:基準面可任意選定，但應以簡化計算為原則。例如選過水斷面形心（z=0），或選自由液面（p=0）等。2）選擇計算斷面：計算斷面應選擇均勻流斷面或漸變流斷面，并且應選取已知量盡量多的斷面。3）選擇計算點：管流通常選在管軸上，明渠流通常選在自由液面。對同一個方程，必須采用相同的壓強標準。4）列能量方程解題。注意與連續(xù)性方程的聯(lián)合使用。例：如圖所示的虹吸管泄水，已知斷面1,2及2,3的損失分別為hl1-2=0.6v2/(2g)和hl2-3=0.5v2/(2g)，試求斷面2的平均壓強。例：水深1.5m、水平截面積為3m×3m的水箱，箱底接一直徑為200mm，長為2m的豎直管，在水箱進水量等于出水量情況下作恒定出流，略去水頭損失，試求點2的壓強。

例：某一水庫的溢流壩，如圖所示。已知壩下游河床高程為105.0m,當水庫水位為120.0m時，壩址處收縮過水斷面處的水深hc=1.2m。設溢流壩的水頭損失:求壩址處斷面的平均流速。

3.9流體能量方程的應用3.文丘里流量計

為確定管道流量，常用如圖所示的文丘里流量計測量。它由漸變管和壓差計兩部分組成。

取管軸0-0為基準面，測壓管所在斷面1,2為計算斷面（符合漸變流），斷面的形心點為計算點，對斷面1,2寫能量方程（4-15），由于斷面1，2間的水頭損失很小，可不計能量損失。

3.9流體能量方程的應用3.文丘里流量計

取，則：

3.9流體能量方程的應用3.文丘里流量計

式中:K--對給定管徑是常量，稱為文丘里流量計常數(shù)。

μ--文丘里流量計系數(shù)。

對于水銀壓差計：

3.10總水頭線和測壓管水頭線

水頭線：沿程水頭（如總水頭或測壓管水頭）的變化曲線。

總水頭線是對應的變化曲線，它代表水頭損失沿流程的分布狀況。

測壓管水頭線是對應的變化曲線，它代表壓強沿流程的變化狀況。水力坡度J：指單位長流程的平均水頭損失，即：3.10總水頭線和測壓管水頭線

測壓管水頭線坡度JP

：單位長流程上的測壓管水頭線降落。注意：1.理想流動流體的總水頭線為水平線；

2.實際流動流體的總水頭線恒為下降曲線；

3.測壓管水頭線可升、可降、可水平；

4.若是均勻流，則總水頭線平行于測壓管水頭線，即J∥JP。

5.總水頭線和測壓管水頭線之間的距離為相應段的流速水頭。不同固體邊界下的水頭線：

注：出口為自由出流時，P-P線末端應落在出口斷面的管軸線上。

例：如圖所示為一流動系統(tǒng)，各種損失如圖中所示。

AB段直徑d1=129mm，BC段直徑d2=150mm。試求：1）AB段流速v1,Q；

2）繪制總水頭線和測壓管水頭線。

§補充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分一、粘性流體的內應力

粘性流體在運動時，其表面力包括：壓應力和粘性引起的切應力，其表示如圖所示。1、應力符號角標的表示：2、應力正負號的確定：

第1個角標表示作用面的外法線方向，第2個角標表示應力方向。

如果該應力作用面的外法線方向與坐標軸的正向一致，則該應力以沿坐標軸正向為正，負向為負；如果該應力作用面的外法線方向與坐標軸的負向一致，則該應力以沿坐標軸負向為正，正向為負；§補充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、以應力表示的運動微分方程如圖所示微元體，x向受力為：質量力：法向力：切向力：慣性力：§補充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、以應力表示的運動微分方程質量力：法向力：切向力：慣性力：由牛頓第二運動定律F＝max

得:§補充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、以應力表示的運動微分方程

對上式整理后，然后分別對y向和z向列方程，可得粘性流體運動微分方程為:§補充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分由于和代入方程：§補充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分并整理得：納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes，N-S)方程

上式仍可繼續(xù)化簡：§補充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分式中：—拉普拉斯算子

§補充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分當為理想流體時ν＝0，上式成為：當為靜止流體時，上式成為：歐拉平衡微分方程

§補充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分式中：—拉普拉斯算子

由上節(jié)知，粘性流體運動微分方程為：由于流體運動微分方程是一個一階非線性偏微分方程組，因而至今還無法在一般情況下積分，只能在一定條件下積分?！煅a充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分一、流體運動微分方程積分所應滿足的條件

1．質量力是恒定而有勢的,即：

所以,勢函數(shù)W＝f(x,y,z)的全微分為：

2．流體是不可壓縮的，即ρ=const；

3．流體運動是定常的，即：

且流線與跡線重合，所以：

§補充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、運動微分方程的貝努利積分對上式分別乘以dx，dy，dz，然后相加得：由于

§補充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、運動微分方程的貝努利積分表示單位質量流體作微小位移時，粘性變形應力（主要為切應力）所作的功，因為作這些功時消耗了一部分機械能，所以該功就是流體的能量損失?！煅a充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、運動微分方程的貝努利積分在恒定流中，流線與跡線重合，故上式右側三項和為：

則上式變?yōu)椋?/p>

§補充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、運動微分方程的貝努利積分對于不可壓縮流體，ρ=const，則：

沿流線對上式進行積分得：

或

當質量力僅為重力時，則：

則

或

§補充納維-斯托克斯方程(N-S)及其積分二、運動微分方程的貝努利積分

上邊兩式就是粘性流體恒定元流的貝努利方程或能量方程。

或

式中：

對于理想流體，則：或

3.11恒定氣流能量方程式

總流的能量方程式是對不可壓縮流體導出的，氣體是可壓縮流體，但是對流速不很大（小于68m/s），壓強變化不大的系統(tǒng)，如工業(yè)通風管道、煙道等，氣流在運動過程中密度的變化很小，在這樣的條件下，伯努利方程仍可用于氣流。由于氣流的密度同空氣的密度是相同的數(shù)量級，在用相對壓強進行計算時，需要考慮外部大氣壓在不同高度的差值。

3.11恒定氣流能量方程式

設恒定氣流如右圖所示，氣流的密度為ρ，外部空氣的密度為ρa

，過流斷面上計算點的絕對壓強為，列1-1和2-2斷面的能量方程方程式，取，則：進行氣流計算，通常把上式表示為壓強的形式，即：

式中：為兩斷面間的壓強損失。

3.11恒定氣流能量方程式

將式上式中的壓強用相對壓強表示，則：代入上式整理得：式中：p1，p2稱為靜壓；

稱為動壓；

為單位體積氣體所受有效浮力；

為氣體沿浮力方向升高的距離；

3.11恒定氣流能量方程式

式中：為1-1斷面相對于2-2斷面單位體積氣體的位能，稱為位壓。

勢壓：靜壓和位壓之和；全壓：靜壓和動壓之和；總壓：靜壓、動壓和位壓之和。3.11恒定氣流能量方程式

當氣流和外界空氣的密度相同，

或兩計算點的高度相同

，則：

當氣流的密度遠大于外界空氣的密度（ρ>>ρa），此時相當于液體總流，ρa可忽略不計，認為各點的當?shù)卮髿鈮合嗤匠碳礊橐后w總流的能量方程。由此可見，對于液體總流來說，壓強不論是絕對壓強，還是相對壓強，能量方程的形式不變。

例：自然排煙鍋爐如圖，煙囪直徑d=1m，煙氣流量Q=7.135m3/s，煙氣密度ρ=0.7kg/m3

，外部空氣密度ρa

=1.2kg/m3，煙囪的壓強損失，為使煙囪底部入口斷面的真空度不小于10mm水柱。試求煙囪的高度H。

3.13恒定流動量方程

動量定理：質點系的動量對時間的變化率等于作用于該質點系的所有外力之矢量和。即：

1.恒定流動量方程的建立

如圖所示從恒定總流中任取一束元流為控制體，dt時間內，流體從1-2處流至1’-2'處。dt時間內元流的動量變化(恒定流)為:由動量定律得：3.13恒定流動量方程

1.恒定流動量方程的建立

而所以2.不可壓縮流體恒定元流動量方程不可壓縮流體恒定流，有

則元流動量方程為：3.13恒定流動量方程

2.不可壓縮流體恒定元流動量方程3.不可壓縮流體恒定總流流動量方程對上邊動量方程沿斷面積分，得總流動量方程為：式中：α0—動量修正系數(shù)，是指實際動量與按斷面平均流速計算的動量的比值,α0

＞1。對于層流：α0=4/3；紊流：α0=1.02～1.05，計算值一般取1.0。

3.13恒定流動量方程

3.不可壓縮流體恒定總流流動量方程式中：α0—動量修正系數(shù)，是指實際動量與按斷面平均流速計算的動量的比值,α0

＞1。對于層流：α0=4/3；紊流：α0=1.02～1.05，計算值一般取1.0。

而則3.13恒定流動量方程

式中：——作用于控制體內流體的所有外力矢量和。該外力包括：（1）作用在該控制體內所有流體質點的質量力；

（2）作用在該控制體面上的所有表面力（動水壓力、剪切力）；

（3）四周邊界對水流的總作用力。3.13恒定流動量方程

適用范圍：

（1）理想流體、實際流體的不可壓縮恒定流；

（2）選擇的兩個過水斷面應是漸變流過水斷面，而過程可以不是漸變流；

（3）質量力只有重力；

（4）沿程流量不發(fā)生變化；若流量變化，則方程為：

3.13恒定流動量方程

動量方程的解題步驟:

1.選脫離體：根據(jù)問題的要求，將所研究的兩個漸變流斷面之間的水體取為脫離體；

2.選坐標系：選定坐標軸的方向，確定各作用力及流速的投影的大小和方向；

3.作計算簡圖：分析脫離體受力情況，并在脫離體上標出全部作用力的方向；

4.列動量方程解題：將各作用力及流速在坐標軸上的投影代入動量方程求解。計算壓力時，壓強采用相對壓強計算。注意與能量方程及連續(xù)性方程的聯(lián)合使用?！粲蓜恿糠匠糖蟪龅牧κ秦撎?，說明所受的力的方向與假定方向相反。例：如下圖所示，噴水推進船，從前艙進水，然后用泵及直徑為d=15cm的排水管