第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱-108

第3章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

是指溫度場(chǎng)隨時(shí)間變化的導(dǎo)熱過(guò)程。

絕大多數(shù)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程都是由邊界條件的變化引起。

根據(jù)溫度場(chǎng)隨時(shí)間的變化規(guī)律不同，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分為:周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

在周期性變化邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過(guò)程.

如內(nèi)燃機(jī)氣缸的氣體溫度隨熱力循環(huán)發(fā)生周期性變化，汽缸壁的導(dǎo)熱就是周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。

非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

通常是在瞬間變化的邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過(guò)程.

例如熱處理工件的加熱或冷卻等。了解和掌握非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中溫度場(chǎng)的變化規(guī)律；換熱量的計(jì)算方法.

對(duì)解決諸如熱處理工藝中加熱或冷卻過(guò)程的優(yōu)化控制等工程實(shí)際問(wèn)題具有重要意義

.主要介紹:一維非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的解析解法及求解結(jié)果;求解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的集總參數(shù)法。

1.一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的解析解第三類(lèi)邊界條件下大平壁、長(zhǎng)圓柱及球體的加熱或冷卻是工程上常見(jiàn)的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，下面重點(diǎn)討論大平壁。

1)無(wú)限大平壁冷卻或加熱問(wèn)題的分析解簡(jiǎn)介

厚度無(wú)限大平壁；材料熱導(dǎo)率、熱擴(kuò)散率為常數(shù)；無(wú)內(nèi)熱源；初始溫度與兩側(cè)的流體相同，為。突然將兩側(cè)流體溫度降低為，并保持不變；假設(shè)平壁表面與流體間對(duì)流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為常數(shù)。

考慮到溫度場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)性，選取坐標(biāo)系如圖，x坐標(biāo)原點(diǎn)位于平壁中心，因此僅需討論半個(gè)平壁的導(dǎo)熱問(wèn)題。很顯然，這是一個(gè)一維的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，其導(dǎo)熱微分方程式為:

初始條件：邊界條件：

（對(duì)稱(chēng)性）

以上導(dǎo)熱微分方程式及單值性條件組成了該非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

引進(jìn)過(guò)余溫度:

于是導(dǎo)熱微分方程式和單值性條件變?yōu)?

初始條件：

邊界條件：

再引進(jìn)無(wú)量綱溫度:

無(wú)量綱坐標(biāo):

可將上式及單值性條件無(wú)量綱化為:

即初始條件：邊界條件：

通過(guò)量綱分析可以發(fā)現(xiàn)， 參數(shù)組均為無(wú)量綱數(shù)，稱(chēng)為特征數(shù)，習(xí)慣上也稱(chēng)為準(zhǔn)則數(shù)，具有特定的物理意義。

傅里葉數(shù)

分子為從非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程開(kāi)始到時(shí)刻的時(shí)間，分母也具有時(shí)間的量綱，可理解為溫度變化波及到面積所需要的時(shí)間。所以Fo為兩個(gè)時(shí)間之比，是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程的無(wú)量綱時(shí)間。

畢渥數(shù)為物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻與邊界處的對(duì)流換熱熱阻之比。

由前式和單值性條件可知，是

三個(gè)參數(shù)的函數(shù)，可表示為：確定上式所表達(dá)的函數(shù)關(guān)系，是求解該非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的主要任務(wù)。

采用分離變量方法可求得解析解，這里只給出求解結(jié)果：

解的函數(shù)形式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，式中 是超越方程

的根，有無(wú)窮多個(gè)，是畢渥數(shù)的函數(shù)。無(wú)論Bi取任何值，超越方程式的根都是正的遞增數(shù)列，所以從函數(shù)形式可以看出，上式是一個(gè)快速收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)。由上式可以看出，無(wú)量綱過(guò)余溫度確實(shí)是三個(gè)無(wú)量綱參數(shù)Bi、Fo、的函數(shù)，與前面由無(wú)量綱導(dǎo)熱微分方程式分析得出的結(jié)果相一致。

2)關(guān)于解析解的討論

(1)傅里葉數(shù)Fo對(duì)溫度分布的影響計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)傅里葉數(shù)Fo0.2時(shí)，取級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)來(lái)近似整個(gè)級(jí)數(shù)產(chǎn)生的誤差很小，對(duì)工程計(jì)算已足夠精確。

將上式左、右兩邊取對(duì)數(shù)：式中：

為超越方程的第一個(gè)根，只與Bi有關(guān)，即只取決于：第三類(lèi)邊界條件；平壁的物性；幾何尺寸；所以當(dāng)平壁及其邊界條件給定之后，m為一常數(shù)，與時(shí)間、地點(diǎn)無(wú)關(guān)。而式右邊的第二項(xiàng)只與Bi、 有關(guān)，與時(shí)間無(wú)關(guān)。于是上式可改為： 上式說(shuō)明，當(dāng) ，即

時(shí)，平壁內(nèi)所有各點(diǎn)過(guò)余溫度的對(duì)數(shù)都隨時(shí)間線(xiàn)性變化，并且變化曲線(xiàn)的斜率都相等，如圖所示。

正規(guī)狀況階段在此之前的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱階段稱(chēng)為非正規(guī)狀況階段。

在正規(guī)狀況階段，各點(diǎn)的溫度都按前式的規(guī)律變化，這是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱正規(guī)狀況階段的特點(diǎn)之一。

將前式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得：

由上式可見(jiàn)，m的物理意義是過(guò)余溫度對(duì)時(shí)間的相對(duì)變化率，單位是，稱(chēng)為冷卻率（或加熱率）。

當(dāng)Fo0.2，物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，所有各點(diǎn)的冷卻率或加熱率m都相同，且不隨時(shí)間而變化，m的數(shù)值取決于物體的物性參數(shù)、幾何形狀與尺寸大小以及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)，這是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱正規(guī)狀況階段的特點(diǎn)之二。

如果用

表示平壁中心的過(guò)余溫度，則由原式可得：

由原式與上式之比可得：從上式可見(jiàn)，當(dāng)Fo0.2，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)狀況階段以后，雖然都隨時(shí)間而變化，但它們的比值與時(shí)間無(wú)關(guān)，只取決于畢渥數(shù)與幾何位置，這是正規(guī)狀況階段的另一重要特點(diǎn)。

認(rèn)識(shí)正規(guī)狀況階段的溫度變化規(guī)律對(duì)工程計(jì)算具有重要的實(shí)際意義，因?yàn)楣こ碳夹g(shù)中的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程絕大部分時(shí)間都處于正規(guī)狀況階段

。有關(guān)文獻(xiàn)已證明，當(dāng)Fo0.2時(shí)，其它形狀物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱也進(jìn)入正規(guī)狀況階段，表現(xiàn)出上述特點(diǎn)，具有前面幾式所表示的溫度變化規(guī)律，只是m的數(shù)值不同而已。

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況

對(duì)無(wú)限大平板當(dāng)取級(jí)數(shù)的首項(xiàng)，板中心溫度，誤差小于1%

與時(shí)間無(wú)關(guān)3正規(guī)熱狀況的實(shí)用計(jì)算方法－線(xiàn)算圖法諾謨圖三個(gè)變量，因此，需要分開(kāi)來(lái)畫(huà)以無(wú)限大平板為例，F(xiàn)0>0.2時(shí)，取其級(jí)數(shù)首項(xiàng)即可先畫(huà)(2)再

繪制其線(xiàn)算圖(3)于是，平板中任一點(diǎn)的溫度為同理，非穩(wěn)態(tài)換熱過(guò)程所交換的熱量也可以繪制出。無(wú)限大平壁與周?chē)黧w之間交換的熱量

在平壁內(nèi)x處平行于壁面取一厚度為dx的微元薄層，在時(shí)間內(nèi)，單位面積微元薄層放出的熱量等于其熱力學(xué)能的變化，即:

單位面積平壁所放出的熱量為:

令 為單位面積平壁從溫度冷卻到穩(wěn)態(tài)所放出的熱量，于是：

上式也同樣被繪制成線(xiàn)算圖。

將?式代入上式，得:

4分析解應(yīng)用范圍的推廣和討論（1）分析解應(yīng)用范圍的三點(diǎn)推廣。

①對(duì)物體冷卻也可適用。

②對(duì)一側(cè)絕熱、另一側(cè)為第三類(lèi)邊界條件的平板也可適用。

③當(dāng)對(duì)流換熱系數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí)，固體的表面溫度就趨近于流體的溫度，因而B(niǎo)i→∞時(shí)就是物體表面溫度突然變化后保持不變的第一類(lèi)邊界條件的解。（2）Fo及Bi對(duì)溫度場(chǎng)的影響

①隨著Fo（τ）數(shù)的增加，物體中各點(diǎn)的過(guò)余溫度減少。

②Bi數(shù)的影響可以從兩個(gè)方面說(shuō)明：

在相同的Fo數(shù)條件下，Bi數(shù)越大，θm/θ0的值越小。Bi數(shù)越大，意味著表面上的換熱條件越強(qiáng)，導(dǎo)致物體中心溫度越迅速接近周?chē)橘|(zhì)的溫度。在極限情況下，Bi→∞，這相當(dāng)于在過(guò)程開(kāi)始瞬間物體表面就達(dá)到了周?chē)橘|(zhì)的溫度，物體中心溫度的變化當(dāng)然也最迅速。相當(dāng)于壁溫保持恒定的第一類(lèi)邊界條件。

另一方面，Bi數(shù)的大小還決定物體中溫度的扯平程度。當(dāng)Bi＜0.1時(shí)，截面上的過(guò)余溫度差值已小于5％，可忽略?xún)?nèi)阻，用集總參數(shù)法。

由此可見(jiàn)：介質(zhì)溫度恒定的第三類(lèi)邊界條件下的分析解，在Bi→∞時(shí)轉(zhuǎn)化為第一類(lèi)邊界條件下的解，而在Bi→0時(shí)與集總參數(shù)法的解相同。

對(duì)于:溫度僅沿半徑方向變化的圓柱體（如可近似按無(wú)限長(zhǎng)圓柱處理的長(zhǎng)圓柱或兩端絕熱的圓柱體）；球體在第三類(lèi)邊界條件下的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題；

分別在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下進(jìn)行分析，可求得溫度分布的分析解，也是快速收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)，并且是Bi、Fo和的函數(shù)：式中R為圓柱或球體的半徑，為圓柱或球體的初始過(guò)余溫度。當(dāng)時(shí)，無(wú)限長(zhǎng)圓柱和球體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程也都進(jìn)入正規(guī)狀況階段，分析解可近似取無(wú)窮級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)，近似結(jié)果也被繪制成了線(xiàn)算圖。

3.集總參數(shù)法

當(dāng) 時(shí)，物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻遠(yuǎn)小于其表面的對(duì)流換熱熱阻，可以忽略，物體內(nèi)部各點(diǎn)的溫度在任一時(shí)刻都趨于均勻，物體的溫度只是時(shí)間的函數(shù)，與坐標(biāo)無(wú)關(guān)。對(duì)于這種情況下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，只須求出溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律以及在溫度變化過(guò)程中物體放出或吸收的熱量。

這種忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻的簡(jiǎn)化分析方法稱(chēng)為集總參數(shù)法。

一個(gè)任意形狀的物體，如圖所示：體積為V，表面面積為A；密度、比熱容c及熱導(dǎo)率為常數(shù)；無(wú)內(nèi)熱源，初始溫度為；突然將該物體放入溫度恒定為的流體之中，物體表面和流體之間對(duì)流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為常數(shù)；需要確定該物體在冷卻過(guò)程中溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律以及放出的熱量。

假設(shè)該問(wèn)題滿(mǎn)足的條件，根據(jù)能量守恒，單位時(shí)間物體熱力學(xué)能的變化量應(yīng)該等于物體表面與流體之間的對(duì)流換熱量，即

引進(jìn)過(guò)余溫度 ，上式可改寫(xiě)為

（*）初始條件為通過(guò)分離變量，(*)式可改寫(xiě)為：

將上式積分可得

:式中:令 具有長(zhǎng)度的量綱，稱(chēng)為物體的特征長(zhǎng)度

得

注意，式中畢渥數(shù)與傅里葉數(shù)的下角標(biāo)V表示以為特征長(zhǎng)度：

對(duì)于厚度為的無(wú)限大平壁，對(duì)于半徑為R的圓柱，對(duì)于半徑為R的圓球，

前面介紹的分析解及諾謨圖中：厚度為的無(wú)限大平壁的特征長(zhǎng)度為，與集總參數(shù)法分析結(jié)果中的相同，但圓柱和圓球的特征長(zhǎng)度都為半徑R，即與、不同。

分析結(jié)果表明，對(duì)于形狀如平板、柱體或球這樣的物體，只要滿(mǎn)足：物體內(nèi)各點(diǎn)過(guò)余溫度之間的偏差小于5%，就可以使用集總參數(shù)法計(jì)算。M是與物體形狀有關(guān)的無(wú)量綱數(shù)。對(duì)于無(wú)限大平板，對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱，對(duì)于球，

當(dāng)時(shí)，物體的過(guò)余溫度按指數(shù)函數(shù)規(guī)律下降，隨著溫差的減小，下降的速度越來(lái)越緩慢。式中指數(shù)部分中的具有時(shí)間的量綱，令稱(chēng)為時(shí)間常數(shù)，單位是s。當(dāng) 時(shí):

即物體的過(guò)余溫度達(dá)到初始過(guò)余溫度的36.8%。

這說(shuō)明，時(shí)間常數(shù)反映物體對(duì)周?chē)h(huán)境溫度變化響應(yīng)的快慢，時(shí)間常數(shù)越小，物體的溫度變化越快，越迅速地接近周?chē)黧w的溫度。

由式 可見(jiàn)，

影響時(shí)間常數(shù)的主要因素是：物體的熱容量；物體表面的對(duì)流換熱條件。

物體的熱容量愈小，表面的對(duì)流換熱愈強(qiáng)，物體的時(shí)間常數(shù)愈小。利用熱電偶測(cè)量流體溫度，時(shí)間常數(shù)越小，熱電偶越能迅速地反映被測(cè)流體的溫度變化，所以，熱電偶端部的接點(diǎn)總是做得很小。

如果幾種不同形狀的物體用同一種材料制作;和周?chē)黧w之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)也都相同;都滿(mǎn)足的條件.

單位體積的表面面積越大的物體，時(shí)間常數(shù)越小.

在初始溫度相同的情況下放在溫度相同的流體中被冷卻（或加熱）的速度越快。

用同一種材料制成的體積相同的圓球、長(zhǎng)度等于直徑的圓柱與正方體，三者的表面面積之比為：

A圓球

:A圓柱

:A正方體

=1:1.146:1.242正方體的表面面積最大，時(shí)間常數(shù)最小

直徑為2R的球體、長(zhǎng)度等于直徑2R的圓柱體與邊長(zhǎng)為2R的正方體相比，三者單位體積的表面積相同，時(shí)間常數(shù)相同，在相同條件下的冷卻（或加熱）速度也相同。

時(shí)間內(nèi)物體和周?chē)h(huán)境之間交換的熱量

令，表示物體溫度從變化到周?chē)黧w溫度所放出或吸收的總熱量，上式可改寫(xiě)成無(wú)量綱形式：

既適用于物體被加熱的情況，也適用于物體被冷卻的情況。

作業(yè)：一塊厚200mm的大鋼板，鋼材的密度為

kg/m3，比熱容為

J/(kg?K)，導(dǎo)熱系數(shù)為43.2W/(m?K)，鋼板的初始溫度為20℃，放入1000℃的加熱爐中加熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為

W/(m2?K)。試求加熱40分鐘時(shí)距離鋼板中心50mm處的溫度。導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法基礎(chǔ)分析解法的主要優(yōu)點(diǎn)是求解過(guò)程所依據(jù)的數(shù)學(xué)分析比較嚴(yán)謹(jǐn),物理概念和邏輯推理比較清晰,求解結(jié)果以函數(shù)的形式表示,能清楚地顯示各種因素對(duì)溫度分布的影響。但是只有少數(shù)幾何形狀和邊界條件都比較簡(jiǎn)單的導(dǎo)熱問(wèn)題才能精確地分析求解，對(duì)于工程上絕大多數(shù)稍復(fù)雜些的導(dǎo)熱問(wèn)題，分析解法無(wú)能為力。數(shù)值解法的基本思想是:用導(dǎo)熱問(wèn)題所涉及的空間和時(shí)間區(qū)域內(nèi)有限個(gè)離散點(diǎn)(稱(chēng)為節(jié)點(diǎn))的溫度近似值來(lái)代替物體內(nèi)實(shí)際連續(xù)的溫度分布，將連續(xù)溫度分布函數(shù)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為各節(jié)點(diǎn)溫度值的求解問(wèn)題，將導(dǎo)熱微分方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)溫度代數(shù)方程的求解問(wèn)題。因此，求解域的離散化、節(jié)點(diǎn)溫度代數(shù)方程組的建立與求解是數(shù)值解法的主要內(nèi)容。數(shù)值解法求解導(dǎo)熱問(wèn)題的基本步驟如下：(1) 對(duì)實(shí)際導(dǎo)熱問(wèn)題的幾何、物理性質(zhì)進(jìn)行分析，做必要的、合理的簡(jiǎn)化，建立符合實(shí)際的物理模型；(2) 根據(jù)物理模型建立完整的數(shù)學(xué)模型，即給出導(dǎo)熱微分方程（即導(dǎo)熱控制方程）和單值性條件；(3) 求解域離散化：將導(dǎo)熱問(wèn)題所涉及的空間和時(shí)間區(qū)域按一定的要求劃分成有限個(gè)子區(qū)域，將子區(qū)域的頂點(diǎn)作為需要確定其溫度值的空間點(diǎn)或時(shí)間點(diǎn)（即節(jié)點(diǎn)）,每個(gè)節(jié)點(diǎn)就代表以它為中心的子區(qū)域，節(jié)點(diǎn)溫度就代表子區(qū)域的溫度；(4) 建立節(jié)點(diǎn)溫度代數(shù)方程組；(5) 求解節(jié)點(diǎn)溫度代數(shù)方程組，得到所有節(jié)點(diǎn)的溫度值；(6) 對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，若計(jì)算結(jié)果不符合實(shí)際情況，則檢查上述計(jì)算步驟，修正不合理之處，重復(fù)進(jìn)行計(jì)算，直到結(jié)果滿(mǎn)意為止。有限差分法有限差分法的基本原理就是用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（導(dǎo)數(shù)），例如，進(jìn)而將導(dǎo)熱偏微分方程轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)溫度差分代數(shù)方程。

以二維方程為例，中間和邊界處差分代數(shù)方程的建立節(jié)點(diǎn)溫度差分方程組的求解方法簡(jiǎn)單迭代法：設(shè)節(jié)點(diǎn)溫度差分方程的形式為：其中