第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱-108

第3章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

是指溫度場隨時間變化的導(dǎo)熱過程。

絕大多數(shù)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程都是由邊界條件的變化引起。

根據(jù)溫度場隨時間的變化規(guī)律不同，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分為:周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

在周期性變化邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程.

如內(nèi)燃機氣缸的氣體溫度隨熱力循環(huán)發(fā)生周期性變化，汽缸壁的導(dǎo)熱就是周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。

非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

通常是在瞬間變化的邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程.

例如熱處理工件的加熱或冷卻等。了解和掌握非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中溫度場的變化規(guī)律；換熱量的計算方法.

對解決諸如熱處理工藝中加熱或冷卻過程的優(yōu)化控制等工程實際問題具有重要意義

.主要介紹:一維非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的解析解法及求解結(jié)果;求解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的集總參數(shù)法。

1.一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的解析解第三類邊界條件下大平壁、長圓柱及球體的加熱或冷卻是工程上常見的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，下面重點討論大平壁。

1)無限大平壁冷卻或加熱問題的分析解簡介

厚度無限大平壁；材料熱導(dǎo)率、熱擴(kuò)散率為常數(shù)；無內(nèi)熱源；初始溫度與兩側(cè)的流體相同，為。突然將兩側(cè)流體溫度降低為，并保持不變；假設(shè)平壁表面與流體間對流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為常數(shù)。

考慮到溫度場的對稱性，選取坐標(biāo)系如圖，x坐標(biāo)原點位于平壁中心，因此僅需討論半個平壁的導(dǎo)熱問題。很顯然，這是一個一維的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，其導(dǎo)熱微分方程式為:

初始條件：邊界條件：

（對稱性）

以上導(dǎo)熱微分方程式及單值性條件組成了該非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)模型。

引進(jìn)過余溫度:

于是導(dǎo)熱微分方程式和單值性條件變?yōu)?

初始條件：

邊界條件：

再引進(jìn)無量綱溫度:

無量綱坐標(biāo):

可將上式及單值性條件無量綱化為:

即初始條件：邊界條件：

通過量綱分析可以發(fā)現(xiàn)， 參數(shù)組均為無量綱數(shù)，稱為特征數(shù)，習(xí)慣上也稱為準(zhǔn)則數(shù)，具有特定的物理意義。

傅里葉數(shù)

分子為從非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程開始到時刻的時間，分母也具有時間的量綱，可理解為溫度變化波及到面積所需要的時間。所以Fo為兩個時間之比，是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的無量綱時間。

畢渥數(shù)為物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻與邊界處的對流換熱熱阻之比。

由前式和單值性條件可知，是

三個參數(shù)的函數(shù)，可表示為：確定上式所表達(dá)的函數(shù)關(guān)系，是求解該非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的主要任務(wù)。

采用分離變量方法可求得解析解，這里只給出求解結(jié)果：

解的函數(shù)形式為無窮級數(shù)，式中 是超越方程

的根，有無窮多個，是畢渥數(shù)的函數(shù)。無論Bi取任何值，超越方程式的根都是正的遞增數(shù)列，所以從函數(shù)形式可以看出，上式是一個快速收斂的無窮級數(shù)。由上式可以看出，無量綱過余溫度確實是三個無量綱參數(shù)Bi、Fo、的函數(shù)，與前面由無量綱導(dǎo)熱微分方程式分析得出的結(jié)果相一致。

2)關(guān)于解析解的討論

(1)傅里葉數(shù)Fo對溫度分布的影響計算結(jié)果表明，當(dāng)傅里葉數(shù)Fo0.2時，取級數(shù)的第一項來近似整個級數(shù)產(chǎn)生的誤差很小，對工程計算已足夠精確。

將上式左、右兩邊取對數(shù)：式中：

為超越方程的第一個根，只與Bi有關(guān)，即只取決于：第三類邊界條件；平壁的物性；幾何尺寸；所以當(dāng)平壁及其邊界條件給定之后，m為一常數(shù)，與時間、地點無關(guān)。而式右邊的第二項只與Bi、 有關(guān)，與時間無關(guān)。于是上式可改為： 上式說明，當(dāng) ，即

時，平壁內(nèi)所有各點過余溫度的對數(shù)都隨時間線性變化，并且變化曲線的斜率都相等，如圖所示。

正規(guī)狀況階段在此之前的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱階段稱為非正規(guī)狀況階段。

在正規(guī)狀況階段，各點的溫度都按前式的規(guī)律變化，這是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱正規(guī)狀況階段的特點之一。

將前式兩邊對時間求導(dǎo)，可得：

由上式可見，m的物理意義是過余溫度對時間的相對變化率，單位是，稱為冷卻率（或加熱率）。

當(dāng)Fo0.2，物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，所有各點的冷卻率或加熱率m都相同，且不隨時間而變化，m的數(shù)值取決于物體的物性參數(shù)、幾何形狀與尺寸大小以及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)，這是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱正規(guī)狀況階段的特點之二。

如果用

表示平壁中心的過余溫度，則由原式可得：

由原式與上式之比可得：從上式可見，當(dāng)Fo0.2，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)狀況階段以后，雖然都隨時間而變化，但它們的比值與時間無關(guān)，只取決于畢渥數(shù)與幾何位置，這是正規(guī)狀況階段的另一重要特點。

認(rèn)識正規(guī)狀況階段的溫度變化規(guī)律對工程計算具有重要的實際意義，因為工程技術(shù)中的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程絕大部分時間都處于正規(guī)狀況階段

。有關(guān)文獻(xiàn)已證明，當(dāng)Fo0.2時，其它形狀物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱也進(jìn)入正規(guī)狀況階段，表現(xiàn)出上述特點，具有前面幾式所表示的溫度變化規(guī)律，只是m的數(shù)值不同而已。

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況

對無限大平板當(dāng)取級數(shù)的首項，板中心溫度，誤差小于1%

與時間無關(guān)3正規(guī)熱狀況的實用計算方法－線算圖法諾謨圖三個變量，因此，需要分開來畫以無限大平板為例，F(xiàn)0>0.2時，取其級數(shù)首項即可先畫(2)再

繪制其線算圖(3)于是，平板中任一點的溫度為同理，非穩(wěn)態(tài)換熱過程所交換的熱量也可以繪制出。無限大平壁與周圍流體之間交換的熱量

在平壁內(nèi)x處平行于壁面取一厚度為dx的微元薄層，在時間內(nèi)，單位面積微元薄層放出的熱量等于其熱力學(xué)能的變化，即:

單位面積平壁所放出的熱量為:

令 為單位面積平壁從溫度冷卻到穩(wěn)態(tài)所放出的熱量，于是：

上式也同樣被繪制成線算圖。

將?式代入上式，得:

4分析解應(yīng)用范圍的推廣和討論（1）分析解應(yīng)用范圍的三點推廣。

①對物體冷卻也可適用。

②對一側(cè)絕熱、另一側(cè)為第三類邊界條件的平板也可適用。

③當(dāng)對流換熱系數(shù)趨于無窮大時，固體的表面溫度就趨近于流體的溫度，因而Bi→∞時就是物體表面溫度突然變化后保持不變的第一類邊界條件的解。（2）Fo及Bi對溫度場的影響

①隨著Fo（τ）數(shù)的增加，物體中各點的過余溫度減少。

②Bi數(shù)的影響可以從兩個方面說明：

在相同的Fo數(shù)條件下，Bi數(shù)越大，θm/θ0的值越小。Bi數(shù)越大，意味著表面上的換熱條件越強，導(dǎo)致物體中心溫度越迅速接近周圍介質(zhì)的溫度。在極限情況下，Bi→∞，這相當(dāng)于在過程開始瞬間物體表面就達(dá)到了周圍介質(zhì)的溫度，物體中心溫度的變化當(dāng)然也最迅速。相當(dāng)于壁溫保持恒定的第一類邊界條件。

另一方面，Bi數(shù)的大小還決定物體中溫度的扯平程度。當(dāng)Bi＜0.1時，截面上的過余溫度差值已小于5％，可忽略內(nèi)阻，用集總參數(shù)法。

由此可見：介質(zhì)溫度恒定的第三類邊界條件下的分析解，在Bi→∞時轉(zhuǎn)化為第一類邊界條件下的解，而在Bi→0時與集總參數(shù)法的解相同。

對于:溫度僅沿半徑方向變化的圓柱體（如可近似按無限長圓柱處理的長圓柱或兩端絕熱的圓柱體）；球體在第三類邊界條件下的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題；

分別在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下進(jìn)行分析，可求得溫度分布的分析解，也是快速收斂的無窮級數(shù)，并且是Bi、Fo和的函數(shù)：式中R為圓柱或球體的半徑，為圓柱或球體的初始過余溫度。當(dāng)時，無限長圓柱和球體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程也都進(jìn)入正規(guī)狀況階段，分析解可近似取無窮級數(shù)的第一項，近似結(jié)果也被繪制成了線算圖。

3.集總參數(shù)法

當(dāng) 時，物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻遠(yuǎn)小于其表面的對流換熱熱阻，可以忽略，物體內(nèi)部各點的溫度在任一時刻都趨于均勻，物體的溫度只是時間的函數(shù)，與坐標(biāo)無關(guān)。對于這種情況下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，只須求出溫度隨時間的變化規(guī)律以及在溫度變化過程中物體放出或吸收的熱量。

這種忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻的簡化分析方法稱為集總參數(shù)法。

一個任意形狀的物體，如圖所示：體積為V，表面面積為A；密度、比熱容c及熱導(dǎo)率為常數(shù)；無內(nèi)熱源，初始溫度為；突然將該物體放入溫度恒定為的流體之中，物體表面和流體之間對流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為常數(shù)；需要確定該物體在冷卻過程中溫度隨時間的變化規(guī)律以及放出的熱量。

假設(shè)該問題滿足的條件，根據(jù)能量守恒，單位時間物體熱力學(xué)能的變化量應(yīng)該等于物體表面與流體之間的對流換熱量，即

引進(jìn)過余溫度 ，上式可改寫為

（*）初始條件為通過分離變量，(*)式可改寫為：

將上式積分可得

:式中:令 具有長度的量綱，稱為物體的特征長度

得

注意，式中畢渥數(shù)與傅里葉數(shù)的下角標(biāo)V表示以為特征長度：

對于厚度為的無限大平壁，對于半徑為R的圓柱，對于半徑為R的圓球，

前面介紹的分析解及諾謨圖中：厚度為的無限大平壁的特征長度為，與集總參數(shù)法分析結(jié)果中的相同，但圓柱和圓球的特征長度都為半徑R，即與、不同。

分析結(jié)果表明，對于形狀如平板、柱體或球這樣的物體，只要滿足：物體內(nèi)各點過余溫度之間的偏差小于5%，就可以使用集總參數(shù)法計算。M是與物體形狀有關(guān)的無量綱數(shù)。對于無限大平板，對于無限長圓柱，對于球，

當(dāng)時，物體的過余溫度按指數(shù)函數(shù)規(guī)律下降，隨著溫差的減小，下降的速度越來越緩慢。式中指數(shù)部分中的具有時間的量綱，令稱為時間常數(shù)，單位是s。當(dāng) 時:

即物體的過余溫度達(dá)到初始過余溫度的36.8%。

這說明，時間常數(shù)反映物體對周圍環(huán)境溫度變化響應(yīng)的快慢，時間常數(shù)越小，物體的溫度變化越快，越迅速地接近周圍流體的溫度。

由式 可見，

影響時間常數(shù)的主要因素是：物體的熱容量；物體表面的對流換熱條件。

物體的熱容量愈小，表面的對流換熱愈強，物體的時間常數(shù)愈小。利用熱電偶測量流體溫度，時間常數(shù)越小，熱電偶越能迅速地反映被測流體的溫度變化，所以，熱電偶端部的接點總是做得很小。

如果幾種不同形狀的物體用同一種材料制作;和周圍流體之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)也都相同;都滿足的條件.

單位體積的表面面積越大的物體，時間常數(shù)越小.

在初始溫度相同的情況下放在溫度相同的流體中被冷卻（或加熱）的速度越快。

用同一種材料制成的體積相同的圓球、長度等于直徑的圓柱與正方體，三者的表面面積之比為：

A圓球

:A圓柱

:A正方體

=1:1.146:1.242正方體的表面面積最大，時間常數(shù)最小

直徑為2R的球體、長度等于直徑2R的圓柱體與邊長為2R的正方體相比，三者單位體積的表面積相同，時間常數(shù)相同，在相同條件下的冷卻（或加熱）速度也相同。

時間內(nèi)物體和周圍環(huán)境之間交換的熱量

令，表示物體溫度從變化到周圍流體溫度所放出或吸收的總熱量，上式可改寫成無量綱形式：

既適用于物體被加熱的情況，也適用于物體被冷卻的情況。

作業(yè)：一塊厚200mm的大鋼板，鋼材的密度為

kg/m3，比熱容為

J/(kg?K)，導(dǎo)熱系數(shù)為43.2W/(m?K)，鋼板的初始溫度為20℃，放入1000℃的加熱爐中加熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為

W/(m2?K)。試求加熱40分鐘時距離鋼板中心50mm處的溫度。導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法基礎(chǔ)分析解法的主要優(yōu)點是求解過程所依據(jù)的數(shù)學(xué)分析比較嚴(yán)謹(jǐn),物理概念和邏輯推理比較清晰,求解結(jié)果以函數(shù)的形式表示,能清楚地顯示各種因素對溫度分布的影響。但是只有少數(shù)幾何形狀和邊界條件都比較簡單的導(dǎo)熱問題才能精確地分析求解，對于工程上絕大多數(shù)稍復(fù)雜些的導(dǎo)熱問題，分析解法無能為力。數(shù)值解法的基本思想是:用導(dǎo)熱問題所涉及的空間和時間區(qū)域內(nèi)有限個離散點(稱為節(jié)點)的溫度近似值來代替物體內(nèi)實際連續(xù)的溫度分布，將連續(xù)溫度分布函數(shù)的求解問題轉(zhuǎn)化為各節(jié)點溫度值的求解問題，將導(dǎo)熱微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為節(jié)點溫度代數(shù)方程的求解問題。因此，求解域的離散化、節(jié)點溫度代數(shù)方程組的建立與求解是數(shù)值解法的主要內(nèi)容。數(shù)值解法求解導(dǎo)熱問題的基本步驟如下：(1) 對實際導(dǎo)熱問題的幾何、物理性質(zhì)進(jìn)行分析，做必要的、合理的簡化，建立符合實際的物理模型；(2) 根據(jù)物理模型建立完整的數(shù)學(xué)模型，即給出導(dǎo)熱微分方程（即導(dǎo)熱控制方程）和單值性條件；(3) 求解域離散化：將導(dǎo)熱問題所涉及的空間和時間區(qū)域按一定的要求劃分成有限個子區(qū)域，將子區(qū)域的頂點作為需要確定其溫度值的空間點或時間點（即節(jié)點）,每個節(jié)點就代表以它為中心的子區(qū)域，節(jié)點溫度就代表子區(qū)域的溫度；(4) 建立節(jié)點溫度代數(shù)方程組；(5) 求解節(jié)點溫度代數(shù)方程組，得到所有節(jié)點的溫度值；(6) 對計算結(jié)果進(jìn)行分析，若計算結(jié)果不符合實際情況，則檢查上述計算步驟，修正不合理之處，重復(fù)進(jìn)行計算，直到結(jié)果滿意為止。有限差分法有限差分法的基本原理就是用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（導(dǎo)數(shù)），例如，進(jìn)而將導(dǎo)熱偏微分方程轉(zhuǎn)化為節(jié)點溫度差分代數(shù)方程。

以二維方程為例，中間和邊界處差分代數(shù)方程的建立節(jié)點溫度差分方程組的求解方法簡單迭代法：設(shè)節(jié)點溫度差分方程的形式為：其中