第三章剛性板

(3)板單位寬度斷面上的力和力矩為板的彎曲剛度1式中用矩陣表達(dá)為2應(yīng)變矢量薄板彎曲問(wèn)題中的“彈性矩陣”(4)靜力平衡條件，板的彎曲微分方程式3對(duì)于oy軸的合力矩為零，得方程式4略去三階微量同除以dxdy同理列出所有力對(duì)于ox軸合力矩為零的方程式，得5所有的力在oz軸上的投影之和等于零，得由三個(gè)平衡方程式可得由前推導(dǎo)知6代入剛性板一般彎曲的平衡微分方程式四階常系數(shù)線性偏微分方程可簡(jiǎn)寫為7此處求得板的撓曲函數(shù)w(x,y)，可得板彎曲時(shí)的應(yīng)力為可以看出，板彎曲和梁彎曲的求解非常類似3.4.2邊界條件◆四階線性偏微分方程，求解時(shí)將有八個(gè)任意常數(shù)◆討論幾種最常見的支持周界的邊界條件8◆必須具有八個(gè)邊界條件(每邊兩個(gè)條件)(1)板自由支持在剛性周界上9(2)板剛性固定在剛性周界上(3)若板y=b

邊為自由邊應(yīng)滿足：彎矩Mx=0剪力Ny=0扭矩Mxy=0103.5剛性板彎曲的解3.5.1應(yīng)用雙三角級(jí)數(shù)解四邊自由支持板的彎曲將w(x,y)寫成級(jí)數(shù)形式未知的待定常數(shù)11將q(x,y)展成相對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)形式(傅里葉級(jí)數(shù))式中12板的撓曲線方程式(1)板上受均布載荷q0時(shí)級(jí)數(shù)的分母是m、n的五次式彎矩時(shí)級(jí)數(shù)的分母是三次式13(2)板上受集中力P

時(shí)在集中力的作用處，取邊長(zhǎng)為dξdη

的矩形微塊，并且認(rèn)為在此微塊dξdη

上作用分布載荷1415當(dāng)dξ,dη趨于零時(shí)，其極限為位移互等定理應(yīng)用雙三角級(jí)數(shù)對(duì)板彎曲問(wèn)題的解稱為“納維葉解”163.5.2

應(yīng)用單三角級(jí)數(shù)解一對(duì)邊自由支持板的彎曲x=0及x=a邊為自由支持，解取為單三角級(jí)數(shù)形式為y

的任意函數(shù)由平衡方程式和y=0及y=b處的邊界條件來(lái)決定代入微分方程式17將載荷q(x,y)展成相應(yīng)的單三角級(jí)數(shù)18單三角級(jí)數(shù)解題的本質(zhì)是分離變量法，即將偏微分方程化為常微分方程常微分方程的一般解為積分常數(shù)，由y=0及y=b處的邊界條件來(lái)決定特解。由板上外載荷來(lái)決定19例

x=0及x=a處自由支持及y=±b/2處剛性固定，板上受均勻分布載荷q0，求板的撓曲面撓曲面對(duì)稱于ox軸，因而函數(shù)fm(y)中的奇函數(shù)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)等于零，即Bm=Cm=020(m=1,3,5,…)常微分方程的一般解為=0系數(shù)Am

和Dm利用

y

=

±b/2的邊界條件確定21板的撓曲面函數(shù)為應(yīng)用單三角級(jí)數(shù)對(duì)板彎曲問(wèn)題的解稱為“Levy解”當(dāng)b/a→∞，即um→∞時(shí)，上面板的撓曲面函數(shù)變?yōu)?2這是用李茲法求解從板中沿x方向切出的、兩端自由支持的板條梁，得到的撓曲函數(shù)用筒形板橫彎曲方法的求解結(jié)果為233.5.3

四周剛性固定的板的彎曲大多數(shù)受均布載荷作用的船體板、由于載荷和結(jié)構(gòu)都對(duì)稱于板格的支座，因此通常認(rèn)為板的四邊都是剛性固定在剛性支座上求解要比具有一對(duì)邊或四邊自由支持的板困難除了用能量法求解外均布載荷作用下四周剛性固定板相當(dāng)于用“力法”來(lái)求解板的彎曲問(wèn)題24長(zhǎng)邊為a、短邊為b

的四周剛性固定受均布載荷作用的矩形板的撓度與彎矩計(jì)算公式板中點(diǎn)撓度板中點(diǎn)，與短邊平行的斷面(垂直于x軸的斷面)中的彎矩板短邊中點(diǎn)的彎矩板長(zhǎng)邊中點(diǎn)的彎矩板中點(diǎn)，與長(zhǎng)邊平行的斷面(垂直于y軸的斷面)中的彎矩25系數(shù)k1、k2、k3、k4及k5隨板的邊長(zhǎng)比而變化不論板的邊長(zhǎng)比為多少，板總是在長(zhǎng)邊中點(diǎn)的彎矩最大，因此該處應(yīng)力也最大26當(dāng)a/b相當(dāng)大時(shí)，k5

=0.0833，由此得長(zhǎng)邊中點(diǎn)斷面的最大彎曲應(yīng)力為此式常用來(lái)校核船體板在局部強(qiáng)度中的應(yīng)力當(dāng)板邊比相當(dāng)大，沿船長(zhǎng)方向的板的應(yīng)力縱骨架式船體板(a>b)橫骨架式船體板(b=s)27習(xí)題8.8P238

(交大版P236習(xí)題9.2)板條梁兩端自由支持，l

=

800mm，t

=

20mm，q

=0.05N/mm2，外加中面拉力σ0=

80MPa作用。在計(jì)算板條梁的應(yīng)力與變形時(shí)中面力是否要考慮？求中點(diǎn)A的撓度及上下表面應(yīng)力解：(1)當(dāng)板條梁僅受橫荷重時(shí)的最大撓度=

1.80mm<

0.2t

=

0.2×20

=

4mm∴因?yàn)榘鍙澢a(chǎn)生的中面力可不考慮28(2)對(duì)外加中面力σ0=

80MPa∴外加中面力對(duì)彎曲要素的影響必須考慮(3)A點(diǎn)上下表面應(yīng)力(本題不存在兩種中面力復(fù)合的情況)29習(xí)題8.1P237

(交大版P236習(xí)題9.4)四周自由支持的矩形板，沿x

=

c

的線上作用有單位長(zhǎng)度為p的分布。試作為剛性板，用單三角級(jí)數(shù)法解之解：設(shè)代入微分方程展成相應(yīng)的三角級(jí)數(shù)

30本題可看成q(x,y)

=

q0

=

p·b/ξ·b

=

p/ξ(ξ→0的極限情景)代入方程比較得31特解通解中關(guān)于y