學(xué)案基本不等式及應(yīng)用

學(xué)案基本不等式及應(yīng)用第一頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日基本不等式及應(yīng)用1.掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.2.掌握比較法、分析法、綜合法證明簡(jiǎn)單的不等式.3.能夠利用基本不等式求函數(shù)的最值,能熟練運(yùn)用比較法、綜合法證明不等式，注意掌握變形過(guò)程中的一些常用技巧；能夠運(yùn)用配方思想、函數(shù)思想、分類(lèi)討論思想來(lái)證明不等式.第二頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日從近幾年的高考試題看,均值不等式(a,b∈R+)的應(yīng)用一直是高考命題的熱點(diǎn),在選擇題、填空題、解答題中都有可能出現(xiàn)，它的應(yīng)用范圍涉及高中數(shù)學(xué)的很多章節(jié)，且?？汲Ｐ?，但是它在高考中卻不外乎大小判斷、求最值、求取值范圍等.因此2012年的高考復(fù)習(xí),要注意復(fù)習(xí)方向.第三頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日1.如果a，b∈R,那么

（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取“=”）.2.如果a，b是正數(shù)，那么

（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取“=”）.3.通常把

叫做基本不等式.(a＞0,b＞0)a2+b2≥2aba=ba=b第四頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日若a>0,b>0,a+b=2,則下列不等式對(duì)一切滿(mǎn)足條件的a,b恒成立的是__________(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)).①ab≤1;②≤2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤≥2.考點(diǎn)1基本不等式第五頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日

【分析】由基本不等式和其變形式判斷,化不等式為基本不等式的形式.

【解析】①ab≤=1，成立.②欲證,即證a+b+2≤2,即2≤0,顯然不成立.③欲證a2+b2=(a+b)2-2ab≥2,即證4-2ab≥2,即ab≤1,由①知成立.④a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥3a2-ab+b2≥(a+b)2-3ab≥4-≥3abab≤,由①知,ab≤不恒成立.第六頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日⑤欲證≥2,即證≥2,即ab≤1,由①知成立.故填①③⑤.

【評(píng)析】熟練掌握基本不等式及其幾種變形式.應(yīng)用均值不等式判斷命題的真假的關(guān)鍵是看是否符合均值不等式的條件，即a2+b2≥2ab成立的條件是a，b∈R,而成立的條件是a＞0且b＞0.第七頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日若a，b是正數(shù)，則這四個(gè)數(shù)的大小順序是

.(∵a，b是正數(shù)，∴而,又a2+b2≥2ab2(a2+b2)≥(a+b)2≥,∴≤，因此.)第八頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是()A.3B.4C.D.

【分析】在x+2y+2xy中2xy與x+2y有聯(lián)系:x+2y≥2,故可由基本不等式建立求x+2y的最小值的不等式.考點(diǎn)2利用基本不等式求最值第九頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日

【解析】∵x+2y+2xy=8,x+2y≥2,∴8≤x+2y+,令x+2y=t,則t+≥8,∴t2+4t-32≥0,∴(t+2)2≥36,又x>0,y>0,∴t>0,∴t≥4,即x+2y≥4.(“=”成立時(shí)x=2,y=1)∴x+2y的最小值為4.故應(yīng)選B.第十頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日

【評(píng)析】

（1）利用均值不等式求最值需注意的問(wèn)題：①各數(shù)(或式)均為正;②和或積為定值;③等號(hào)能否成立,即“一正、二定、三相等”，這三個(gè)條件缺一不可.（2）合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的技巧,而拆與湊的目標(biāo)在于使等號(hào)成立,且每項(xiàng)為正值,必要時(shí)需出現(xiàn)積為定值或和為定值.第十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日（3）當(dāng)多次使用均值不等式時(shí),一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立,并且要注意取等號(hào)的條件的一致性,否則就會(huì)出錯(cuò),因此在利用均值不等式處理問(wèn)題時(shí),列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟,而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.第十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日若正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足2x+y+6=xy,則xy的最小值是

.

【解析】由x>0,y>0,2x+y+6=xy,得2x+y≥2+6(當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí),取“=”），即()2-2-6≥0,∴(-3)\5(+)≥0.又∵>0,∴≥3，即xy≥18.∴xy的最小值為18.第十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地,要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修),其他三面圍墻要新建,在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口,如圖所示.已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m.設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為x(單位:m),修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y(單位:元).(1)將y表示為x的函數(shù);(2)試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用.考點(diǎn)3基本不等式的實(shí)際應(yīng)用第十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日【解析】（1）如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為am，則y=45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360.由已知xa=360，得a=，∴y=225x+-360（x＞0）.(2)∵x＞0,∴225x+≥2=10800.∴y=225x+-360≥10440.當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí)，等號(hào)成立.即當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元.第十五頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日

【評(píng)析】在應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),要注意以下四點(diǎn):(1)設(shè)變量時(shí)一般把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù);(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,確定函數(shù)的定義域;(3)在定義域內(nèi)只需再利用均值不等式,求出函數(shù)的最值;(4)回到實(shí)際問(wèn)題中去,寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題的答案.第十六頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸，每次都購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x=___________噸.第十七頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日

【解析】第十八頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第十九頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日1.基本不等式

(1)注意不等式成立的條件a>0,b>0.

當(dāng)a>0,b>0時(shí),,分別叫做這兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)，因此，該不等式又可記作兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù).

(2)基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”與將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，在證明或求最值時(shí)，要注意應(yīng)用這種轉(zhuǎn)化思想.第二十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日2.創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件(1)合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的技巧,而拆與湊的目標(biāo)在于使等號(hào)成立,且每項(xiàng)為正值,必要時(shí)出現(xiàn)積為定值或和為定值.因此,通常稱(chēng)“一正、二定、三等”.(2)當(dāng)多次使用基本不等式時(shí),一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立,并且要注意取等號(hào)的條件的一致性,否則就會(huì)出錯(cuò),因此在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí),列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟,而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.第二十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日1.基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”與將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，在證明或求最值時(shí)，要注意這種轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.2.創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件（1）合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目標(biāo)在于使等號(hào)成立，且每項(xiàng)為正值，必要時(shí)出現(xiàn)積為定值或和為定值.（2）當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)，因此在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.第二十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日3.基本不等式的幾種變形公式對(duì)于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等，如：