一維水量水質(zhì)模型

第七章一維非恒定河流和河網(wǎng)水量水質(zhì)模型對(duì)于中小型河流，通常其寬度及水深相對(duì)于長(zhǎng)度數(shù)量較小，擴(kuò)散質(zhì)（污染物質(zhì)、熱量）很容易在垂向及橫向上達(dá)到均勻混合，即擴(kuò)散質(zhì)濃度在斷面上基本達(dá)到均勻狀態(tài)。這種情況下，我們只需要知道擴(kuò)散質(zhì)在斷面內(nèi)的平均分配狀況，就可以把握整個(gè)河道的擴(kuò)散質(zhì)空間分布特征，這是我們可以采用一維圣維南方程描述河流水動(dòng)力特征或水量特征（水位、流量、槽蓄量等）；用一維縱向分散方程描述擴(kuò)散質(zhì)在時(shí)間及河流縱向上的變化狀況。特別地，對(duì)于穩(wěn)態(tài)水流，可以采用常規(guī)水動(dòng)力學(xué)方法推算水位、斷面平均流速的沿程變化；采用分段解析解法計(jì)算擴(kuò)散質(zhì)濃度沿縱向的變化特征。但是，在非穩(wěn)態(tài)情況下（水流隨時(shí)間變化或擴(kuò)散質(zhì)源強(qiáng)隨時(shí)間變化）解析解法將無(wú)能為力（水流非恒定）或十分繁瑣（水流穩(wěn)態(tài)、源強(qiáng)非恒定），這時(shí)通常采用數(shù)值解法求解河道水量、水質(zhì)的時(shí)間、空間分布。在模擬方法上，無(wú)論是單一河道還是由眾多單一河道構(gòu)成的河網(wǎng)，若采用空間一維手段求解，描述水流、水質(zhì)空間分布規(guī)律的控制方程是相同的，只不過(guò)在具體求解方法上有所差異而已。單一河道的控制方程水量控制方程采用一維圣維南方程組描述水流的運(yùn)動(dòng)，基本控制方程為(1)(2)晉+2u磐+gA聖-u2聖+gnRUQ=0at ax axax R4/3(2)式中t為時(shí)間坐標(biāo)，x為空間坐標(biāo)，Q為斷面流量，Z為斷面平均水位，u為斷面平均流速，n為河段的糙率，A為過(guò)流斷面面積，BW為水面寬度（包括主流寬度及僅起調(diào)蓄作用的附加寬度），R為水力半徑，q為旁側(cè)入流流量（單位河長(zhǎng)上旁側(cè)入流場(chǎng)）。此方程組屬于二元一階雙曲型擬線性方程組，對(duì)于非恒定問(wèn)題，現(xiàn)階段尚無(wú)法直接求出其解析解，通常用有限差分法或其它數(shù)學(xué)離散方法求其數(shù)值解。在水流穩(wěn)態(tài)、棱柱形河道條件下，上述控制方程組退化為水力學(xué)的謝才公式，可采用相應(yīng)的方法求解水流特征。擴(kuò)散質(zhì)輸運(yùn)控制方程描述河道擴(kuò)散物質(zhì)運(yùn)動(dòng)及濃度變化規(guī)律的控制方程為：帶源的一維對(duì)流分散（彌散）方程，形式如下：a(AC)aa(AC)a(QC)aat+axA-KAC+—S+Shr(3)式中，C為污染物質(zhì)的斷面平均濃度，Q為流量，E為縱向分散系數(shù)，S為單位x時(shí)間內(nèi)、單位河長(zhǎng)上的污染物質(zhì)排放量，K為污染物降解系數(shù)，Sr為河床底泥釋放污染物的速率。

此方程屬于一元二階偏微分方程，對(duì)于非恒定水流問(wèn)題，微分方程位變系數(shù)的偏微分方程，現(xiàn)階段尚無(wú)法直接求出其解析解，通常用有限差分法或其它數(shù)學(xué)離散方法求其數(shù)值解。在水流穩(wěn)態(tài)、污染源源強(qiáng)恒定條件下，可按水動(dòng)力特征將河道分為若干子段，在每個(gè)分段上，上述控制方程簡(jiǎn)化為常系數(shù)的常微分方程，可采用解析方法秋初起理論解。單一河道一維水量水質(zhì)模型7.2.1單一河道一維水量模型控制方程的離散采用四點(diǎn)隱式差分格式離散方程組。如圖1所示，河道被(n+1)個(gè)斷面分為n個(gè)子河段，在第i個(gè)子河段M(i,i+1)上，對(duì)任一變量g?。篻(M)二(gj+gj)/2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"i+1ag(m)e(gj+!-gj+J+(1-e)(gj-gJnn+1Q)i+1i i+1 inn+1Q)Ax淹(M) gj+1 +gj+1-gj - gji i+1i i+1’ 2At第i個(gè)子河段I’ii+1圖1計(jì)算斷面示意圖式中，上角標(biāo)表示時(shí)間坐標(biāo)，下腳標(biāo)表示空間坐標(biāo)。e為空間差商的權(quán)重系數(shù)(0<e<i),e=0時(shí)，此格式為顯式格式，而當(dāng)e豐0時(shí)，此格式具有隱式差分的特征。為使差分方程保持無(wú)條件穩(wěn)定，必須e>05。采用下式進(jìn)行阻力項(xiàng)的線性化：n2Q|u'R4/3n2Q|u'R4/3IR4/3Qj+1+iIR4/3丿.1、jQj+1-0.5i+1丿將式(4)-(6)代入連續(xù)方程得第i個(gè)子河段的差分方程：(8)CZ+CZ-Q+Q二D(8)ii i i+1 i i+1 iAx (1-e) Ax式中，q=BY"站，￡=存(燈-蹄)+9(Z-j+z+1)+q,it下角標(biāo)i+1/2表示斷面i與斷面i+1河段的均值。按照同樣的方法，可得動(dòng)量方程的差分方程：EQ+GQ—FZ+FZ二Hii ii+1 iiii+1 i

式中，廠 Ax cE二—一2uji 20式中，廠 Ax cE二—一2uji 20At i+1/2gAx20(a-Bu2)ji+1/2Ax—+2uj+20At i+1/2gAxi20n2uji+1h=0ArQi+i/2+21-0a—j-N-Bu2)+i/2(乞i-勺)對(duì)任一河段i(i=1,2, n)，可得到方程組：CZ+CZ-Q+Q=Dii i i+1 i i+1 i (10)EQ+GQ-FZ+FZ=Hii i i+1 i ii i+1 i對(duì)每一河段可列出兩個(gè)線性代數(shù)方程，再加上上下游邊界條件，構(gòu)成完備的封閉方程組，采用追趕法可求得各個(gè)斷面的水位流量。邊界條件根據(jù)上有下游邊界條件類型的不同可以寫成如下兩種追趕形式：?上游水位邊界條件Z二Z*(t)；下游水位(或流量)邊界條件Z=Z*(t)(或1 1 n+1 n+1Q=Q*(t))，追趕形式為：n+1 n+1'Z=P+RQiii1Q=L+MQ1222Z=P+RQ.2222Q=L+MQVi i+1 i+1i+1 (11)Z=P+RQ.i+1 i+1 i+1i+1Q=L+MQn n+1 n+1i+1Z=P+RQn+1n+1 n+1n+1Z=Z*(t)(or,Q=Q*(t))n+1 n+1 n+1 n+1式中，P,R,L,M為已知系數(shù)，依據(jù)上述方程組，可逐步由下邊界水位或者流量,推算得到上游各個(gè)斷面水位流量值?！闵嫌瘟髁窟吔鐥l件Q=Q*(t)；下游水位邊界條件Z=Z*(t)，追趕形式為:1 1 n+1 n+1

Q=P+RZiiiiZ=L+MZ1222Q=P+RZ.2222Z=L+MZvii+1 i+1i+1 仃2'Q=P+RZi+1i+1i+1i+1Z=L+MZnn+1 n+1i+1Q=P+RZn+1n+1n+1n+1Z=Z*(t)n+1n+1式中，P,R,L,M為已知系數(shù)，依據(jù)上述方程組，可逐步由下邊界水位，推算得到上游各個(gè)斷面水位流量值。單一河道一維水質(zhì)模型控制方程的離散與求解對(duì)方程(3)進(jìn)行離散，空間差分采用隱式迎風(fēng)差分格式。順流時(shí)(從斷面i流向i+1)有：Q(AC) (AC)-(AC)nTOC\o"1-5"\h\z= i i—dt At°(AUC) (QC)-(QC)= i i1dx Axi-15dC1 C-C C-C\o"CurrentDocument"(AE—)- [(AE)乜4—(AE) *5x x5xAx xiAx xi-1Ax\o"CurrentDocument"i-1 i i-1-KAC+S—-KAC+Si-1i-1/2i i-1得到統(tǒng)一形式的差分方程：aC=bCaC=bCiiii-1+cC+dii+1 i(13)式中，—V+[Q ,0]式中，—V+[Q ,0]At+[—Q ,0]At+i i+1/2 i-1/2(AEx)i++/Axi(AEx)?At+Axi-1^-+^2?At+KVAta,b,c,d為系數(shù)，分別表示為：iiii—{[QJ+噲十}心i-1c—{—[Q ,0]+ z2}?Ati i+1/2 Axd=Vn.Cn+[Q,0]?S-AxAt+[—Q,0]S-AxAtTOC\o"1-5"\h\ziii i ii i i—1 i—1方程(13)兩邊同時(shí)除以a得到：i(14)C=EC+FC+G(14)i ii—1 ii+1 i在順流情況下，各河段差分方程可寫成：'C=EC+FC+G21 23 2C=EC+FC+G(15)32 34 3(15)C=EC+FC+Gii—1ii+1 iC=EC+FC+Gn—1 n—1n—2 n—1n n—1C=EC+FC+Gnnn—1 nn+1 n對(duì)首斷面給定第一類邊界條件，對(duì)末斷面給定第二類邊界條件，可得到如下封閉的方程組：C=C*(t)11C=EC+FC+GTOC\o"1-5"\h\z21 23 2C=EC+FC+G3.3 2 3 4 3C=EC+FC+G (16)iii—1ii+1 iC=EC+FC+Gn—1 n—1n—2 n—1n n—1C=EC+FC+Gnnn—1 nn+1 nC=EC+Gn+1 n+1n n+1對(duì)方程組(16)采用追趕法可容易求得n,n—1,n—2,…,3,2等斷面的擴(kuò)散質(zhì)的濃度。參數(shù)確定縱向分散系數(shù)E的確定XE與水流流速、水面寬度成正比，與水深成反比，常采用下面的經(jīng)驗(yàn)公式：XE=aC02q

x0式中，C=cI品是無(wú)尺度謝才系數(shù)，c為謝才系數(shù)，0=B/h為寬深比，q為單寬流量，a=0.011為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。降解系數(shù)K的確定

可采用監(jiān)測(cè)資料對(duì)降解系數(shù)進(jìn)行率定，或根據(jù)經(jīng)驗(yàn)得到。應(yīng)用實(shí)例［］三峽大壩位于宜昌縣三斗坪中堡島,葛洲壩位于南津關(guān)下游的宜昌市境內(nèi).兩壩間水域處于鄂西山區(qū)向平原的過(guò)渡地帶,周圍地形地貌呈西北高東南低之勢(shì).三峽大壩至葛洲壩河段長(zhǎng)38Km,兩壩間江面寬210m至1500m,大部分處于西陵峽谷中。該實(shí)例建立了兩壩間水量水質(zhì)模型,分別運(yùn)用大壩一期圍堰及二期圍堰施工期間的同步水文水質(zhì)實(shí)測(cè)資料對(duì)模型進(jìn)行了率定和驗(yàn)證,取得了較好效果.此模型可用以預(yù)測(cè)大壩施工期間及投入運(yùn)行后兩壩間水流及水質(zhì)特性的變化.水量模型率定利用1996年三斗坪、白廟子及黃陵廟等斷面水文觀測(cè)資料率定糙率，得到各子河段的糙率，率定結(jié)果顯示糙率分布取值范圍為0.036至0.050。1996年白廟子及黃陵廟等斷面實(shí)測(cè)水位過(guò)程線及計(jì)算水位過(guò)程線圖略。水量模型驗(yàn)證H(m)H(m) 計(jì)算值64.00黃陵廟斷面72.00"70.00-68.00一66.00"60120180240300360T(daY)0實(shí)測(cè)值 計(jì)算值74.00-72.00-70.00-68.00-66.00-64.000三斗坪斷面實(shí)測(cè)值采用太平溪斷面1998年實(shí)測(cè)流量作模型驗(yàn)證的上邊界條件，采用葛洲壩壩前斷面1998年實(shí)測(cè)水位作模型驗(yàn)證的下邊界條件，對(duì)1998年兩壩間水流進(jìn)行模擬，通過(guò)對(duì)各水文觀測(cè)斷面的水文要素的觀測(cè)值及計(jì)算值進(jìn)行比較可見(jiàn)，吻合程度較好，因此此水量模型可用來(lái)模擬兩壩間的一維水流情況，1998H(m)H(m) 計(jì)算值64.00黃陵廟斷面72.00"70.00-68.00一66.00"60120180240300360T(daY)0實(shí)測(cè)值 計(jì)算值74.00-72.00-70.00-68.00-66.00-64.000三斗坪斷面實(shí)測(cè)值60 120 180 240 300 360T(daY)圖2模型驗(yàn)證各斷面實(shí)測(cè)及計(jì)算水位過(guò)程線codm模型驗(yàn)證高錳酸鹽指數(shù)的降解系數(shù)由實(shí)測(cè)資料，取經(jīng)驗(yàn)值，不采用模型率定。采用1998年7?12月的CODMn濃度監(jiān)測(cè)資料對(duì)CODMn模型參數(shù)可靠性進(jìn)行驗(yàn)證，模擬時(shí)CODMn污染源分點(diǎn)源和面源兩種情況。部份斷面CODMn水質(zhì)因子實(shí)測(cè)及計(jì)算濃度值見(jiàn)圖3。

三斗坪斷面COD(mg/L)黃陵廟斷面圖3模型驗(yàn)證COD三斗坪斷面COD(mg/L)黃陵廟斷面圖3模型驗(yàn)證COD7.3平原河網(wǎng)水量水質(zhì)模型河網(wǎng)地區(qū)是中國(guó)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化的發(fā)達(dá)地區(qū)，在國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展中占有舉足輕重的地位。隨著地區(qū)經(jīng)濟(jì)的進(jìn)一步發(fā)展、居民物質(zhì)精神生活水準(zhǔn)的進(jìn)一步提高，水資源問(wèn)題日益突出。如中國(guó)著名的長(zhǎng)江三角洲、珠江三角洲地區(qū)，已成為水質(zhì)型缺水區(qū)，水資源、水環(huán)境問(wèn)題已成為制約經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、事關(guān)區(qū)域可持續(xù)發(fā)展的重要因素。生產(chǎn)實(shí)踐的迫切需要使得河網(wǎng)地區(qū)的水環(huán)境保護(hù)研究呈不斷深入、系統(tǒng)之勢(shì)。作為基礎(chǔ)，河網(wǎng)水流水質(zhì)模擬方法是進(jìn)行區(qū)域環(huán)境規(guī)劃、環(huán)境管理等的必備工具，在水環(huán)境問(wèn)題研究中占有重要地位。因此，該領(lǐng)域的研究一直是環(huán)境科學(xué)研究人員、環(huán)境管理決策部門十分關(guān)注的重要問(wèn)題。在物理模型、數(shù)學(xué)模型這兩大手段中，因?yàn)閿?shù)學(xué)模型具有經(jīng)濟(jì)、快捷、實(shí)用等優(yōu)點(diǎn)，加之水網(wǎng)地區(qū)河道密布等客觀條件的限制，現(xiàn)階段只能采用數(shù)值方法模擬水網(wǎng)地區(qū)的水流運(yùn)動(dòng)及污染物輸運(yùn)規(guī)律。但由于理論、技術(shù)及各種客觀條件的制約，目前水流特別是水質(zhì)數(shù)值模擬精度不是十分令人滿意。7.3.1平原河網(wǎng)水量模型按河網(wǎng)水流的控制方程及對(duì)河網(wǎng)的概化處理方式不同，河網(wǎng)地區(qū)水流數(shù)值模擬方法可分為兩大類：第一類為常用的一維圣維南方程組數(shù)值解法；第二類為所謂的“組合單元解法”。，其中，一維圣維南方程組數(shù)值解法又可分為直接解法和間接解法兩種。在直接解法中，較有代表性的有文獻(xiàn)［G.Noseda,MathematicalModelofUnsteadyFlowinOpenChannelsNetworks,ProceedingsoftheInternationalSymposiumonUnsteadyFlowinOpenChannels,1976］，［J.J.R.Williams,T.R.E.Chidley,NonliearAnalysisofUnsteadyFlowinOpenChannelNetworks,ProceedingsoftheInternationalSymposiumonUnsteadyFlowinOpenChannels,1976］提出的方法，該類方法將計(jì)算斷面交替取為水位和流量斷面，對(duì)河網(wǎng)在所有計(jì)算斷面上統(tǒng)一對(duì)一維圣維南方程組差分離散并求解。但該方法未知數(shù)數(shù)量較多，在河網(wǎng)規(guī)模較大的情況下，因?yàn)楹拥赖慕徊驺暯樱纬傻木仃囀且粋€(gè)不規(guī)則、不對(duì)稱的大型稀疏矩陣。為減少存貯，JJ.Dronkers于1976年提出間接解法［5］的思想，以后又有許多學(xué)者對(duì)其作了進(jìn)一步完善。為提高計(jì)算效率，需縮小矩陣規(guī)模，中山大學(xué)數(shù)力系1976年提出了河網(wǎng)非恒定流隱式方程組稀疏矩陣解法［6李岳生等，河網(wǎng)不恒定流隱式方程組稀疏矩陣解法，中山大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1979年3月］，該方法從河網(wǎng)矩陣本身的特點(diǎn)出發(fā)，能夠有效地節(jié)省存儲(chǔ)并提高計(jì)算速度，但矩陣中需包含所有斷面的未知數(shù)，方程規(guī)模仍然較大，其實(shí)際使用也受到限制。而間接解法是將斷面未知數(shù)往交汊點(diǎn)集中，待求出交汊點(diǎn)未知數(shù)后，再求解各單一河道未知變量，計(jì)算效率較高。間接解法的思想首先由荷蘭水力學(xué)專家Dronkers于1976年提出，以后又有許多學(xué)者對(duì)此方法進(jìn)行進(jìn)一步的完善，相繼提出了河網(wǎng)非恒定流的二級(jí)解法［ ］、三級(jí)解法［8卄1一疋丫丿山口丿」族陸丫厶［徐正凡，明渠非恒定流［M］?武漢水利電力學(xué)院，1983年八一族陸丫厶［張二駿，河網(wǎng)非恒定流的三級(jí)聯(lián)合解法，華東水利］和四級(jí)解法［9 ］。此類間接解法中，以學(xué)院學(xué)報(bào)，1982年第1卷：1~12 吳壽紅，河網(wǎng)非恒定流四級(jí)解法，水利學(xué)報(bào)，1985年，第8期：42~50三級(jí)解法最為常用［］［］［］。其基本求解思路可概括為“單一河道—交汊點(diǎn)—單一河道”，即（1）先將單一河道劃分為若干子河段，在計(jì)算斷面上對(duì)一維Saint-Venant方程組進(jìn)行有限差分運(yùn)算，得到各單一河道差分方程組，進(jìn)行消元計(jì)算，得到單一河道首、末斷面間流量與水位的相互關(guān)系；（2）根據(jù)河道交汊點(diǎn)水量守恒方程，得到并求解交汊點(diǎn)水位方程組，得到所有交汊點(diǎn)水位；（3）根據(jù)交汊點(diǎn)水位返回各單一河道，求得各計(jì)算斷面水位、流量值?！敖M合單元解法”［10］由法國(guó)水力學(xué)專家JeanA.Cunge于1975年首次提出，國(guó)內(nèi)也有研究者采用此方法進(jìn)行了水網(wǎng)地區(qū)的水力模擬［11］［12］。此方法的基本思想是：將河網(wǎng)地區(qū)水力特性相似、水位變幅不大的水體概化成單元。取單元中心的水位為代表水位，采用謝才公式模擬單元間流量交換，根據(jù)水量守恒建立每一單元的微分形式的水量守恒方程，離散并得到以單元水位為自變量的代數(shù)方程，輔以邊界條件，可求得各單元水位、單元間流量。在上述兩類方法中，組合單元解法對(duì)河道進(jìn)行了簡(jiǎn)單概化，以單元為計(jì)算單位，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，但模擬精度相對(duì)較低，僅實(shí)用于大尺度水域的水力模擬。而Saint-Venat方程組數(shù)值解法可以精確計(jì)算每一條河道的水流狀況，所以成為目前河網(wǎng)水力模擬的主流方法，其中又以三級(jí)解法最為常用［13］［14］［15］［16］。當(dāng)采用三級(jí)解法模擬長(zhǎng)系列大范圍河網(wǎng)水流特性時(shí)，需對(duì)河道進(jìn)行概化處理，即將等級(jí)較小的河道概化為一條“概化”河道，要求該概化河道與被概化河道的過(guò)流能力、調(diào)蓄量相當(dāng)。同時(shí)，為考慮降雨對(duì)河網(wǎng)水力特性的影響，還必須對(duì)河道包圍的陸域面積進(jìn)行產(chǎn)匯流計(jì)算，將產(chǎn)流量以包圍陸域的河道長(zhǎng)度為權(quán)重分配到周圍河道［17］。由于三級(jí)解法以單一河道為模擬對(duì)象，同時(shí)考慮了降雨等的影響，計(jì)算精度較高，可以滿足水利、航運(yùn)、環(huán)境保護(hù)等的需要。（1）控制方程的離散與求解采用四點(diǎn)隱式差分格式離散方程，得子河段差分方程：TOC\o"1-5"\h\zCZ+CZ—Q+Q=D （17）ii ii+1 i i+1 iEQ+GQ—FZ+FZ=H （18）ii ii+1 iiii+1 i式中C,D,E,F,G,H由時(shí)段初值及河道特征求得。iiiiii（2）節(jié)點(diǎn)連接條件水流運(yùn)動(dòng)在河網(wǎng)各節(jié)點(diǎn)上應(yīng)滿足質(zhì)量守恒及能量守恒，即滿足以下兩個(gè)連接條件：?質(zhì)量守恒條件進(jìn)出某一節(jié)點(diǎn)的流量與該節(jié)點(diǎn)內(nèi)水量蓄量的增減相平衡，定量表示為：￡Q—（0j+1—0j）/At （19）iKKi—1式中K為節(jié)點(diǎn)編號(hào)，m為流入（流出）節(jié)點(diǎn)K的河道數(shù)，0為節(jié)點(diǎn)蓄量，Q為流量（流入為K正；流出為負(fù))。若節(jié)點(diǎn)匯合區(qū)容積與子河段容積相比可忽略不計(jì)，則此節(jié)點(diǎn)稱為無(wú)調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)，方程(19)可簡(jiǎn)化為：Q=0ii=1?能量守恒條件不計(jì)節(jié)點(diǎn)處能量損失有：Z二Z i=i,2,…m, j二1,2，?…m (20)ij邊界條件有三種類型的邊界條件：水位邊界條件即在邊界河道上給定水位隨時(shí)間的變化過(guò)程：Z二Z(t)；流量邊界條件即在邊界河道上給定流量隨時(shí)間的變化過(guò)程：Q=Q(t)；水位流量關(guān)系當(dāng)邊界河道上有水工建筑物(如水閘、堰、堤壩等)時(shí)，通常給定水位流量關(guān)系：Q=Q(Z)。方程的求解利用消元法，方程(3)、(4)經(jīng)遞推運(yùn)算，寫成如下形式：TOC\o"1-5"\h\zQ=a+卩Z+YZ (21)i i ii in+1Q二g+Cz+nz (22)i+1 i+1 i+1i+1 i+11式中，a,卩，丫,g，匚,n為追趕系數(shù)，可逐步遞推求得。利用公式(7)依次由末斷面iiiiii向首斷面遞推，可將各斷面流量表為該斷面水位及末斷面水位的函數(shù)。利用公式(22)依次由首斷面向末斷面遞推，可將各斷面流量表為該斷面水位及首斷面水位的函數(shù)。特殊的，單一河道首末斷面分別與節(jié)點(diǎn)相連，分別對(duì)應(yīng)如下追趕方程：TOC\o"1-5"\h\zQ=a+卩Z+丫Z (23)1 1 11 1n+1Q-C+匚Z+nZ (24)n+1 n+1 n+1n+1 n+11將節(jié)點(diǎn)各支流相應(yīng)的(23)或(24)代入公式(19)，并將節(jié)點(diǎn)各相鄰斷面水位統(tǒng)一表示成節(jié)點(diǎn)水位，得節(jié)點(diǎn)方程：f(Z，ZZ…Z)-0 i=1，2，…，Mii鄰1,鄰2, 鄰KI式中，M為節(jié)點(diǎn)總數(shù)，KI為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)相連河道數(shù)。當(dāng)某單一河道為邊界河道時(shí)，分三種類型分別有：對(duì)于第一類邊界條件，式(24)中Z已知；對(duì)于第二類邊界條件，式(23)中Q已知；對(duì)于第三類邊界條件，11已知線性關(guān)系Q=Q(Z)，代入(23)消去Q。無(wú)論何種邊界條件，最終可增加一111

水位方程，封閉節(jié)點(diǎn)方程組f(Z,ZZZ)—0,可解得各節(jié)點(diǎn)水鄰1,鄰2, 鄰KI位，再返回單一河道方程，最終求得各斷面水位及流量。平原河網(wǎng)水質(zhì)模型(1)單一河道控制方程的離散采用如下網(wǎng)格對(duì)方程(3)進(jìn)行離散，空間差分采用隱式迎風(fēng)差分格式，由于河網(wǎng)地區(qū)水流流向可能誰(shuí)隨時(shí)間變化，根據(jù)流向的不同，分順流及逆流兩種狀況給出差分形式：Ci+Ci+1i+1n-1 ni-13…i-1TOC\o"1-5"\h\zAx Axi-1 i圖4水質(zhì)模擬網(wǎng)格布置示意圖順流時(shí)(從斷面i流向i+1)有：d(AC) (AC)-(AC)n\o"CurrentDocument"= i i—dt At°(AUC) (QC)-(QC) = i i~1dx Axi-1d dC1 C-C C-C(AE )- [(AE)乜4-(AE)#Tdx xoxAx xiAx xi-1Axi-1 i i-1—KAC+S=-KAC+Si-1i-1/2i i-1逆流時(shí)(從斷面i+1流向i)有o(AC) (AC)-(AC)n\o"CurrentDocument"= i i—dt Atd(AUC) (QC) -(QC)= i+1 idx AxiddC1 C-C C-C\o"CurrentDocument"(AE )- [(AE)七4-(AE) 4dxxdx Ax xiAx xi-1Axi i i-1—KAC+S=-KA C+Sii+1/2ii為考慮流向順逆變化的影響，引入流向調(diào)節(jié)因子r及r，對(duì)于斷面i表示為:cdIQ=(Q+Q)/2TOC\o"1-5"\h\zw i i-1r=(Q+Q|)/2QJcw w w wr=(Q-\Q|)/2Qdw w w wr=r=0,cd得到任意流向下，統(tǒng)一形式Q=(Q+Q)/2TOC\o"1-5"\h\ze i i+1r=(Q+|Q|)/2Q

ce e e er=(Q-|Q|)/2Qde e e e(當(dāng)Q,Q=0時(shí))weaC+卩C+yCii-1 iiii+1=Zi(25)式中，a,卩，丫，Z為系數(shù)，對(duì)于一般斷面(i=2,3,…,n-1)分別表示為:iiiia=-[r D +r D +F]-At/VicwwwdwpwcwB=-[r D +r D +rD+rD +F一F]-At/Vicwwwdwpwcepp deepcpdp+rK+rK]?At+10TOC\o"1-5"\h\zcwi-1 deiy=-[rD+rD-F]-At/Vicepp deep deZ=Z=-Cn+[rSiicwi-1Ai+1/2+rS? ]Ai+1/2A deii-1/2對(duì)于首斷面(i=1)，逆流時(shí)有:Ia=01B=[rD1deepB=[rD1deepy=-[rd1deepZ=Cn+rS11At-F] +rdpAxAde

ii+1/2

At-F]—deAxAii+1/2Atde1Ai+1/2對(duì)于末斷面(i=n)，順流時(shí)有：Ata=-[rD+F] ncwwwcwAn-1/2c AtP=[rD+F] +rKAt+rncwww cpAxA cwi-1 cwi-1i-1/2y=0nAtZ=Cn+rS n ncwn-1Ai-1/2式中，A=(A+A)/2i+1/2 i+1 iA=A=(A+A)/2i+1/2 i+1 iTOC\o"1-5"\h\zV=A -Ax1 i-1/2 i-1V=A -Ax2 i+1/2 iV二rV+rVcw1de2TOC\o"1-5"\h\z'D=(AE) /Axww xi-1 i-1D=(AE)/Axpw xi i-1F=(Q+Q|)/2,cw i-1 i-1F=(Q-Q|)/2,Jdp i i-1D=(AE)/Axpp xiiD=(AE) /Axep xi+1 iF=(Q+Q|)/2cp i iF=(Q-Q|)/2de i+1 i+1AC=B (26)cc c式中A為一Ln-1)xn］階的三對(duì)角的系數(shù)矩陣，C為此河道斷面平均濃度的ncc維列向量，B為已知的(n-1)維列向量。(26)式中含(n-1)個(gè)方程，n個(gè)未知數(shù)，方c程組不閉合，需引入節(jié)點(diǎn)方程及邊界條件。(2)河網(wǎng)節(jié)點(diǎn)方程對(duì)于污染物充分混合的節(jié)點(diǎn)，從時(shí)刻nAt到(n+1)At，根據(jù)節(jié)點(diǎn)有無(wú)調(diào)蓄作用，分別給出相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)方程。若節(jié)點(diǎn)有m條單一河道，其中流入節(jié)點(diǎn)的河道m(xù)條，流出節(jié)點(diǎn)的河道m(xù)條,12m及m隨流場(chǎng)變化而變化(m+m=m)。1212若節(jié)點(diǎn)本身具有調(diào)蓄作用，有：C =C， i=m+1,m+2, ,mout,i N 1 1(27)瓦QC-込QCiniini outioutii=1 i=m1+1 (28)GC-QjCje-kat-SAt NNNN N式中，CN為節(jié)點(diǎn)的濃度，C為流出節(jié)點(diǎn)的第i條河道與該節(jié)點(diǎn)相鄰斷面的污N out,i染物濃度，C為流入節(jié)點(diǎn)的第i條河道與該節(jié)點(diǎn)相鄰斷面的污染物濃度，Q分in,i別為與之相應(yīng)的流量，Q為節(jié)點(diǎn)的蓄量，SN為節(jié)點(diǎn)的污染源加入項(xiàng)，方程(28)NN右端括號(hào)中末項(xiàng)為時(shí)段初節(jié)點(diǎn)污染物降解至?xí)r段末的殘留量。(27)式稱為充分混合假定，