《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 基本不等式及其應(yīng)用課件

第三十四講基本不等式及其應(yīng)用回歸課本1.算術(shù)平均數(shù)如果a,b∈R+,那么 叫做這兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù).2.幾何平均數(shù)如果a,b∈R+,那么 叫做這兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù).3.重要不等式如果a,b∈R,則a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”);均值定理:如果a,b∈R+,那么

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”).均值定理可以敘述為:兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù).5.已知x、y都是正數(shù),則(1)若x+y=S(和為定值),則當(dāng)x=y時(shí),積xy取最大值(2)若xy=P(積為定值),則當(dāng)x=y時(shí),和x+y取得最小值即兩個(gè)正數(shù)的和為定值,則可求其積的最大值;積為定值,則可求其和的最小值.應(yīng)用此結(jié)論要注意三個(gè)條件;“一正二定三相等”,即:①各項(xiàng)或各因式為正;②和或積為定值;③各項(xiàng)或各因式都能取得相等的值.考點(diǎn)陪練1.函數(shù)y=log2x+logx2的值域是()A.(-∞,-2] B.[2,+∞)C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案:D2.已知x+3y=2,則3x+27y的最小值為()答案:A答案:C答案:B答案:D類型一 證明不等式解題準(zhǔn)備:證明不等式是均值不等式的一個(gè)基本應(yīng)用,注意分析不等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)特征,通過拆(添)項(xiàng)創(chuàng)設(shè)一個(gè)應(yīng)用均值不等式的條件.在解決本類問題時(shí)注意以下幾點(diǎn):(1)均值不等式成立的前提條件;(2)通過加減項(xiàng)的方法配湊成算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的形式;(3)注意“1”的代換;(4)靈活變換基本不等式的形式并注意其變形式的運(yùn)用.【典例1】證明:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).[分析]利用a2+b2≥2ab(a,b∈R)求證即可.[證明]∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).即原命題可得得證.類型二求最最值解題準(zhǔn)備:1.利用基本不等等式可以求一一些函數(shù)或代代數(shù)式的最值值.2.應(yīng)用重要不等等式和基本不不等式可以得得到一些常用用的不等式,主要有:類型三 利用用均值不等式式解應(yīng)用題解題準(zhǔn)備:均值不等式作作為求最值的的常用工具,經(jīng)常在有關(guān)最最優(yōu)解的實(shí)際際問題中應(yīng)用用.應(yīng)用均值不等等式解決實(shí)際際問題的基本本步驟是:①仔細(xì)閱讀題目目,透徹理解題意意;②分析實(shí)際問題題中的數(shù)量關(guān)關(guān)系,引入未知數(shù),并用它表示其其它的變量,把要求最值的的變量設(shè)為函函數(shù);③應(yīng)用均值不等等式求出函數(shù)數(shù)的最值;④還原實(shí)際問題題,作出解答.【典例3】某工廠擬建一一座平面圖為為矩形且面積積為200m2的三級(jí)級(jí)污水水處理理池(平面圖圖如圖圖所示示).如果池池四周周圍墻墻建造造單價(jià)價(jià)為400元/m,中間兩兩道隔隔墻建建造單單價(jià)為為248元/m,池底建建造單單價(jià)為為80元/m2,水池所所有墻墻的厚厚度忽忽略不不計(jì).(1)試設(shè)計(jì)計(jì)污水水處理理池的的長和和寬,使總造造價(jià)最最低,并求出出最低低總造造價(jià);(2)若由于于地形形限制制,該池的的長和和寬都都不能能超過過16m,試設(shè)計(jì)計(jì)污水水池的的長和和寬,使總造造價(jià)最最低,并求出出最低低總造造價(jià).[反思感感悟]不等式式應(yīng)用用的特特點(diǎn)是是:(1)問題的的背景景是人人們關(guān)關(guān)心的的社會(huì)會(huì)熱點(diǎn)點(diǎn)問題題,如“物物價(jià)?稅收?銷售?市場信信息””等,題目往往往篇篇幅較較長.(2)建立函函數(shù)模模型常常見的的有““正(反)比例函函數(shù)?一次函函數(shù)?二次函函數(shù)?指數(shù)函函數(shù)?對(duì)數(shù)函函數(shù)?三角函函數(shù),以及””等形形式.解函數(shù)數(shù)應(yīng)用用題中中的最最值問問題一一般利利用二二次函函數(shù)的的性質(zhì)質(zhì)或基基本不不等式式來解解決.錯(cuò)源一一忽忽視視等號(hào)號(hào)成立立的條條件[剖析]解法一一和解解法二二的錯(cuò)錯(cuò)誤原原因是是等號(hào)號(hào)同時(shí)時(shí)成立立的條條件不不具備備,因此使使用基基本不不等式式一定定要驗(yàn)驗(yàn)證等等號(hào)成成立的的條件件,只有等等號(hào)成成立時(shí)時(shí),所求出出的最最值才才是正正確的的.錯(cuò)源二二忽忽視視均值值不等等式應(yīng)應(yīng)用條條件致致誤[答案](-∞,-1]∪∪[3,+∞)技法一一快快速解解題(三角換換元)【典例1】已知a、b、c、d∈R,x、y∈R+,且x2=a2+b2,y2=c2+d2.求證:xy≥ac+bd.[快解]聯(lián)想到到圓的的參數(shù)數(shù)方程程,設(shè)a=xcosθθ,b=xsinθθ,c=ycosφφ,d=ysinφφ,則ac+bd=xycosθcosφ+xysinθθsinφφ=xycos(θθ-φφ)≤≤xy.[另解切切入點(diǎn)點(diǎn)]有a2+b2、c2+d2的形式式出現(xiàn)現(xiàn),就可以以用a2+b2≥2ab.由于a、b、c、d∈R,故ac+bd可能為為正,也可能能為負(fù)負(fù).當(dāng)ac+bd<0時(shí),顯然不不需證證明,只需考考慮ac+bd>0的情況況.[證明]證法一一:當(dāng)ac+bd<0時(shí),顯然有有xy≥≥ac+bd成立.當(dāng)ac+bd≥0時(shí),x2y2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd=(ac+bd)2,即xy≥≥ac+bd.證法二二:當(dāng)ac+bd<0時(shí),顯然有有xy≥≥ac+bd成立;當(dāng)ac+bd≥0時(shí),欲證xy≥≥ac+bd,只需證證x2y2≥a2c2+b2d2+2abcd.∵x2=a2+b2,y2=c2+d2,∴(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd.即x2y2≥a2c2+b2d2+2abcd成立,因此,原不等等式成成立.[方法與與技巧巧]證法一一與證證法二二基本本相同同,只是形形式不不同而而已.而快解解聯(lián)想想到圓圓的參參數(shù)方方程,進(jìn)行三三角代代換,又不必必考慮慮ac+bd的正負(fù)負(fù)問題題,僅注意意到xy>0、-1≤≤cos(θ-φ)≤1就行了了.[得分主主要步步驟]本題證證明步步驟簡簡單,但需考考慮ac+bd或正或或負(fù)的的兩種種情況況.若ac+bd<0,則(ac+bd)2與x2y2的大小小不能能確定定,證題時(shí)時(shí)需注注意此此處.[易丟分分原因因]沒有考考慮到到ac+bd≥0還是ac+bc<0.技法二二如如何解解決含含有多多個(gè)變變量的的條件件最值值問題題求解含含有多多個(gè)變變量的的條件件最值值問題題,一般方方法是是利用用給出出的條條件,通過代代換減減少變變量的的個(gè)數(shù)數(shù),將問題題轉(zhuǎn)化化為只只含有有一個(gè)個(gè)變量量的函函數(shù)的的最值值問題題進(jìn)行行解決決.如果條條件等等式中中含有有兩個(gè)個(gè)變量量的和和與積積的形形式,可以直直接利利用均均值不不等式式對(duì)兩兩個(gè)正正數(shù)的的和與與積進(jìn)進(jìn)行轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化,然后通通過解解不等等式進(jìn)進(jìn)行求求解,或者通通過構(gòu)構(gòu)造一一元二二次方方程,