【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章第四節(jié) 直線與平面垂直課件 文 蘇教

第四節(jié)直線與平面垂直第四節(jié)直線與平面垂直考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習(xí)·面對高考雙基研習(xí)·面對高考基礎(chǔ)梳理1．直線與平面垂直(1)定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的___________________，那么這條直線和這個平面垂直．該直線叫做這個平面的垂線，該平面叫做這條直線的垂面．即對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的______________直線．所有直線都垂直任意一條(2)判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條_____________都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．它的數(shù)學(xué)符號表示為：如果______________________________________，那么l⊥α.(3)性質(zhì)定理：同垂直于同一個平面的兩條直線_________．符號表示：_________________________.相交直線m?α，n?α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n平行a⊥α，b⊥α，則a∥b(4)點(diǎn)到平面的距離：從平面外一點(diǎn)引平面的一條垂線，這個點(diǎn)和___________間的線段長，叫做這個點(diǎn)到這個平面的距離．2．斜線在平面內(nèi)的射影垂足(1)過一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這個點(diǎn)在這個平面內(nèi)的射影；當(dāng)這一點(diǎn)在平面內(nèi)時，該點(diǎn)在平面上的射影就是它自身；這一點(diǎn)與_________之間的線段長叫做這點(diǎn)到這個平面的距離．(2)一條直線和一個平面相交，但不垂直時，這條直線就叫做這個平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)叫做_________．射影斜足從平面外一點(diǎn)向平面引斜線，這點(diǎn)與_________間的線段叫做這點(diǎn)到這個平面的斜線段．如上圖所示，直線PR∩α＝R，PR不垂直于α，直線PR是α的一條斜線，點(diǎn)R為斜足，線段PR是點(diǎn)P到α的斜線段．(3)平面外一點(diǎn)到這個平面的垂線段有且只有一條，而這點(diǎn)到這個平面的斜線段有_______條．斜足無數(shù)(4)從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足與斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影，垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的斜線段在這個平面內(nèi)的射影．如上圖所示，直線QR是直線PR在平面α上的射影，線段QR是點(diǎn)P到平面α的斜線段PR在平面α上的射影．(5)斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的射影上．3．直線與平面所成的角(設(shè)為θ)(1)斜線與平面所成的角的定義：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的_______所成的________，叫做這條直線和這個平面所成的角．射影銳角(2)當(dāng)一條直線垂直于平面時，規(guī)定它們所成的角是_______；當(dāng)一條直線和平面平行或在平面內(nèi)時，規(guī)定它們所成的角為________.0°直角直線l和α的位置關(guān)系l?α或l∥αl⊥αl和α斜交θ的取值范圍θ＝______θ＝_____θ∈___________0°90°°思考感感悟如果一一條直直線與與一個個平面面內(nèi)的的無數(shù)數(shù)條直直線垂垂直，，則這這條直直線和和這個個平面面是否否垂直直？提示：：不一定定垂直直，若若平面面內(nèi)一一組平平行線線與直直線l垂直，但直直線l與平面的關(guān)關(guān)系是不確確定的．1．三棱錐的的四個面中中直角三角角形最多有有________個．答案：42．如果一條條直線垂直直于一個平平面內(nèi)的①①三角形的的兩邊；②②梯形的兩兩邊；③圓圓的兩條直直徑；④正正六邊形的的兩條邊，，則能保證證該直線與與平面垂直直的是________．答案：①③③課前熱身3．下列說法法正確的個個數(shù)是________．①若l上有無數(shù)個個點(diǎn)不在平平面α內(nèi)，則l∥α②若直線l與平面α垂直，則l與α內(nèi)的任一直直線垂直③若E、F分別為△ABC中AB、BC邊上的中中點(diǎn)，則則EF與經(jīng)過AC邊的所有有平面平平行④兩條垂垂直的直直線中有有一條和和一個平平面平行行，則另另一條和和這個平平面垂直直答案：14．給出下下列四個個說法：：①經(jīng)過平平面外一一點(diǎn)有且且僅有一一個平面面與已知知平面垂垂直；②如果一一條直線線和兩個個垂直平平面的一一個垂直直，它必必和另一一個平行行；③過不在平面面內(nèi)的一條直直線可作無數(shù)數(shù)個平面與已已知平面垂直直；④如果兩個平平面互相垂直直，經(jīng)過一個個平面內(nèi)一點(diǎn)點(diǎn)與另一個平平面垂直的直直線在第一個個平面內(nèi)．其中正確的是是________．答案：④考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考直線與平面垂直的判定考點(diǎn)一考點(diǎn)突破證明線面垂直直的方法和常常用結(jié)論(1)利用線面垂直直的定義．(2)利用線面垂直直的判定定理理．(3)兩平行線中的的一條垂直于于平面，則另另一條也垂直直于這個平面面．(4)兩平面垂直，，在一個平面面內(nèi)垂直于交交線的直線必必垂直于另一一個平面．(5)一直線垂直于于兩平行平面面中的一個，，那么它必定定垂直于另一一個平面．(6)兩相交平面同同時垂直于第第三個平面，，那么兩平面面的交線垂直直于第三個平平面．如圖，在正方方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中點(diǎn)，O是底面正方形形ABCD的中心，求證：OE⊥平面ACD1.【思路分析】根據(jù)線面垂直直的判定定理理，要證明OE⊥平面ACD1，只須在平面面ACD1內(nèi)找兩條相交交直線分別與與OE垂直．例1【名師點(diǎn)評】證明線面垂直直，往往利用用線線垂直或或面面垂直轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化，除此外外，構(gòu)造等腰腰三角形證垂垂直及利用勾勾股定理求長長度之間的關(guān)關(guān)系證明垂直直，甚至借助助矩形相鄰邊邊的垂直等，，都是可能用用到的方法．．已知：S－ABC為正三棱錐，，AH⊥面SBC于H.求證：H是△SBC的垂心．【思路分析】只需證SH⊥BC、BH⊥SC，要證SH⊥BC，只需證SA⊥BC.由于是正三棱棱錐，所以只只需證對棱互互相垂直即可可．線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用考點(diǎn)二例2【證明】取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD，SD，則SD⊥BC，AD⊥BC，∴BC⊥平面SAD.∵SA?平面SAD，∴BC⊥SA.同理，SC⊥AB，SB⊥AC.連SH.∵AH⊥平面SBC，BC?平面SBC，∴AH⊥BC，又SA⊥BC，AH∩SA＝A，∴BC⊥面SAH，又∵SH?面SAH，∴BC⊥SH.同理BH⊥SC.∴H是△SBC的垂心．【名師點(diǎn)評】證明線線垂直直常采用線面面垂直進(jìn)行證證明，構(gòu)造一一個線的垂面面是證明線面面垂直的常用用方法．變式訓(xùn)練1如圖，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于E，D是FG的中點(diǎn)，AF＝AG，EF＝EG，求證：BC∥FG.證明：如圖，，連結(jié)DE，由AD⊥AB，AD⊥AC，可得得AD⊥平面面ABC，而BC?平面面ABC，則則AD⊥BC.又AE⊥BC，得得到到BC⊥平平面面ADE，①①∵AF＝AG，EF＝EG，AD∩ED＝D，∴FG⊥平平面面ADE.②由①①、、②②得得到到BC∥FG.對于于線線面面垂垂直直問問題題，，首首先先應(yīng)應(yīng)分分析析它它給給出出了了哪哪些些條條件件，，可可以以得得出出什什么么結(jié)結(jié)論論，，再再分分析析問問題題是是什什么么，，需需要要什什么么條條件件，，從從而而在在條條件件與與結(jié)結(jié)論論之之間間搭搭起起一一座座橋橋梁梁，，在在分分析析時時要要緊緊緊緊圍圍繞繞““線線線線垂垂直直、、線線面面垂垂直直可可相相互互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化””這這一一思思想想進(jìn)進(jìn)行行探探究究．．與線面垂直有關(guān)的探索性問題考點(diǎn)三如圖圖所所示示，，四四棱棱錐錐P－ABCD中，，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底底面面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中中點(diǎn)點(diǎn)．．(1)求證證：：BM∥平平面面PAD；(2)在△△PAD內(nèi)找找一一點(diǎn)點(diǎn)N，使使MN⊥平平面面PBD.例3【思路路分分析析】(1)取PD的中中點(diǎn)點(diǎn)E，連連結(jié)結(jié)EM、EA.(2)尋找找與與面面PBD垂直直的的平平面面及及交交線線，，再再據(jù)據(jù)面面面面垂垂直直的的性性質(zhì)質(zhì)探探尋尋N點(diǎn)的的位位置置．．【解】(1)證明明：：∵∵M(jìn)是PC的中中點(diǎn)點(diǎn)，，取取PD的中中點(diǎn)點(diǎn)E，(2)由(1)知ABME為平平行行四四邊邊形形．．PA⊥底面面ABCD，AB?底面面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面面PAD.同理理CD⊥平面面PAD.∵AE?平面面PAD，∴AB⊥AE，∴ABME為矩矩形形．．∵CD∥ME，CD⊥PD，PD⊥AE.∴PD⊥平面面ABME，PD?平面面PBD.∴平面面PBD⊥平面面ABME，作MF⊥EB，交BE于F，∴MF⊥平面PBD.延長MF交AE于N，在矩形形ABME內(nèi)，AB＝ME＝1，【名師點(diǎn)評評】該題要找找平面PBD的垂線，，應(yīng)先找找出面PBD的垂面ABME，則垂線線就在面面ABME內(nèi)，且與與交線BE垂直，故故要找垂垂線往往往是先找找垂面．．解：(1)取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE，因?yàn)椤鰽DB是等邊三三角形，，所以DE⊥AB.當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，因?yàn)槠矫婷鍭DB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.②當(dāng)D不在平面面ABC內(nèi)時，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE、CE為相交直直線，所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD.綜上所述述，總有有AB⊥CD.方法技巧巧1．這部分分內(nèi)容知知識多，，準(zhǔn)確理理解，熟熟練掌握握定義、、判定定定理、性性質(zhì)定理理并能夠夠進(jìn)行三三種語言言的轉(zhuǎn)換換是關(guān)鍵鍵．2．直線與與平面垂垂直的判判定方法法①定義法法：直線線與平面面內(nèi)任一一直線垂垂直．方法感悟②判定定定理法：：要證一一條直線線與一個個平面垂垂直，只只要證這這條直線線和這個個平面內(nèi)內(nèi)兩條相相交直線線垂直即即可．③面面垂垂直的性性質(zhì)：如如果兩個個平面垂垂直，那那么在一一個平面面內(nèi)垂直直于交線線的直線線垂直于于另一個個平面．．3．轉(zhuǎn)化思思想的應(yīng)應(yīng)用：線線線、線線面、面面面的垂垂直關(guān)系系可以相相互轉(zhuǎn)化化：失誤防范范1．在觀察察空間幾幾何體圖圖形時，，線線、、線面的的垂直““位置””觀察錯錯誤，沒沒有合理理地推導(dǎo)導(dǎo)，只憑憑主觀猜猜想造成成結(jié)論錯錯誤．2．在某些些題目中中，所給給的邊角角數(shù)量較較多，這這類題應(yīng)應(yīng)主要由由數(shù)量如如勾股定定理、等等腰等，，構(gòu)造出出垂直關(guān)關(guān)系，易易忽視數(shù)數(shù)量對垂垂直的影影響．考向瞭望·把脈高考考情分析從近幾年年的江蘇蘇高考試試題來看看，線面面垂直的的判定與與性質(zhì)是是高考的的重點(diǎn)和和熱點(diǎn)，，其題型型既有填填空題，，也有解解答題，，難度中中等偏高高．預(yù)測2012年江蘇高高考考查查的可能能性仍然然較大，，要求學(xué)學(xué)生有較較強(qiáng)的空空間想象象力，邏邏輯推理理能力以以及分析析問題解解決問題題的能力力．(本題滿分分14分)如圖，已已知PA垂直于矩矩形ABCD所在的平平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，，若∠PDA＝45°，求證：：MN⊥平面PCD.規(guī)范解答例∴EN綊AM，∴四邊形AMNE為平行四四邊形．．∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD，∠PDA＝45°，∴△PAD為等腰直直角三角角形.7分∴AE⊥PD.又∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，而AE?平面PAD，∴CD⊥AE.10分又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.∴MN⊥平面PCD.14分【名師點(diǎn)評】本題主要考考直線面垂垂直的判定定與性質(zhì)的的應(yīng)用，理理清關(guān)系，，合理轉(zhuǎn)化化，對空間間想象力，，推理論證證能力要求求較高．1．已知m、n是兩條不同同直線，α，β是兩個不同同平面，有有下列4個命題：①若m∥n，n?α，則m∥α；②若m⊥n，m⊥α，n?α，則n∥α；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n；④若m，n是異面直線線，m?α，n?β，m∥β，則n∥α.其中正確的的命題序號號是________．名師預(yù)測解析：根據(jù)空間線線面、面面面平行與垂垂直的判定定與性質(zhì)定定理可知正正確的命題題序號是②②③.答案：②③③2．在正三棱棱錐P－ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，有有下列三個個結(jié)論：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.則所有正確確結(jié)論的序序號是________．解析：如圖，設(shè)P在面ABC內(nèi)射影為O，則O為正△ABC的中心．①可證AC⊥面PBO，∴AC⊥PB；②AC∥DE，可得AC∥面PDE；③BA與DE不垂直，故故AB與平面PDE不垂直