《數(shù)乘向量》設(shè)計(jì)

數(shù)乘向量【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義；2.理解兩個(gè)向量平行的充要條件，能根據(jù)條件兩個(gè)向量是否平行；【教學(xué)重點(diǎn)】實(shí)數(shù)與向量的積的定義，向量平行的充要條件；【教學(xué)難點(diǎn)】理解實(shí)數(shù)與向量的積的定義，向量平行的充要條件?！菊n時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過(guò)程】新知初探1．向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)定義：規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反.當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.⑵若均為實(shí)數(shù),則思考1：引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)λ與向量a的積與原向量a是否共線？提示：共線2．向量共線的條件向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使.思考2：向量共線的條件中為何要加上條件a≠0？提示：若a＝b＝0，則實(shí)數(shù)λ可以是任意實(shí)數(shù)；若a＝0，b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.3．向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．對(duì)于任意向量a，b及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝.小試牛刀1.已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，則3a－b＝()A．4e2B．4e1C．3e1＋6e2D．8e22.在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up15(→))，則此四邊形是()A．平行四邊形B．菱形C．梯形D．矩形C【解析】得則四邊形ABCD為梯形.3.設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，則以下結(jié)論正確的有________．①a與－λa的方向相反；②|－λa|≥|a|；③a與λ2a方向相同；④|－2λa|＝2|λ|·|a|.③④【解析】由向量數(shù)乘的幾何意義知③④正確．已知為非零不共線向量，向量與共線，則C【解析】向量與共線，存在實(shí)數(shù)，使得，即又為非零不共線向量，，解得：，例題講授向量線性運(yùn)算用已知向量表示未知向量【例1】如圖，四邊形OADB是以向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b為鄰邊的平行四邊形，對(duì)角線交于點(diǎn)C，又eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(CN,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up15(→))，試用向量a，b表示eq\o(OM,\s\up15(→))，eq\o(ON,\s\up15(→))，eq\o(MN,\s\up15(→)).[解]∵eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝a－b，∴eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\f(1,6)(a－b)，∴eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(BM,\s\up15(→))＝b＋eq\f(1,6)(a－b)＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵eq\o(CN,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up15(→))，∴eq\o(ON,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))＋eq\o(CN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up15(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))＝eq\f(2,3)(a＋b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b.∴eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\o(ON,\s\up15(→))－eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(2,3)b))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a＋\f(5,6)b))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.方法總結(jié)用圖形中的已知向量表示所求向量，應(yīng)結(jié)合已知和所求，聯(lián)想相關(guān)的法則和幾何圖形的有關(guān)定理，將所求向量反復(fù)分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其實(shí)質(zhì)是向量的線性運(yùn)算的反復(fù)應(yīng)用．當(dāng)堂練習(xí)1如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，已知eq\o(BC,\s\up15(→))＝a，eq\o(BD,\s\up15(→))＝b，試用a，b分別表示eq\o(DE,\s\up15(→))，eq\o(CE,\s\up15(→))，eq\o(MN,\s\up15(→)).解：由三角形中位線定理，知DE平行且等于eq\f(1,2)BC，故eq\o(DE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))，即eq\o(DE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)\o(CE,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(DE,\s\up15(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\o(MD,\s\up15(→))＋eq\o(DB,\s\up15(→))＋eq\o(BN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(ED,\s\up15(→))＋eq\o(DB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＝－eq\f(1,4)a－b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,4)a－b.向量共線定理例2已知eq\o(AB,\s\up12(→))＝－e，eq\o(AC,\s\up12(→))＝5e，判斷A，B，C三點(diǎn)是否共線．如果共線，求出AB:AC.【解析】由已知可得eq\o(AC,\s\up12(→))＝－5eq\o(AB,\s\up12(→))，因此A，B，C三點(diǎn)共線，且AC＝5AB，即AB：AC＝1：5.方法總結(jié)向量共線定理的應(yīng)用(1)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線無(wú)公共點(diǎn)，則這兩條直線平行．(2)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線有公共點(diǎn)，則這兩條直線重合．例如，若eq\o(AB,\s\up12(→))＝λeq\o(AC,\s\up12(→))，則eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(AC,\s\up12(→))共線，又eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(AC,\s\up12(→))有公共點(diǎn)A，從而A，B，C三點(diǎn)共線，這是證明三點(diǎn)共線的重要方法．當(dāng)堂練習(xí)2(1)已知e1，e2是平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共線，則λ等于()A.－9B．－4C．4D．9解析：(1)由a，b共線知a＝mb，m∈R，于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2.由于e1，e2不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6m＋3＝0，,2－mλ＝0，))所以λ＝－4.答案：(1)B(2)設(shè)a，b為不共線的兩個(gè)非零向量，已知向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝a－kb，eq\o(CB,\s\up12(→))＝2a＋b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝3a－b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值等于()B．－10C．2D．－2解析：(2)因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up12(→))＝λeq\o(BD,\s\up12(→))＝