詳細(xì)《概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課后習(xí)題和答案

...wd......wd......wd...習(xí)題一：1.1寫出以下隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：某籃球運(yùn)發(fā)動投籃時(shí),連續(xù)5次都命中,觀察其投籃次數(shù);解：連續(xù)5次都命中，至少要投5次以上，故；擲一顆勻稱的骰子兩次,觀察前后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和;解：；觀察某醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù);解：醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù)理論上可以從0到無窮，所以；從編號為1，2，3，4，5的5件產(chǎn)品中任意取出兩件,觀察取出哪兩件產(chǎn)品;解：屬于不放回抽樣，故兩件產(chǎn)品不會一樣，編號必是一大一小，故：檢查兩件產(chǎn)品是否合格;解：用0表示合格,1表示不合格，那么；觀察某地一天內(nèi)的最高氣溫和最低氣溫(假設(shè)最低氣溫不低于T1,最高氣溫不高于T2);解：用表示最低氣溫,表示最高氣溫;考慮到這是一個二維的樣本空間，故：；在單位圓內(nèi)任取兩點(diǎn),觀察這兩點(diǎn)的距離;解：；在長為的線段上任取一點(diǎn),該點(diǎn)將線段分成兩段,觀察兩線段的長度.解：；1.2A與B都發(fā)生,但C不發(fā)生;；A發(fā)生,且B與C至少有一個發(fā)生;；A,B,C中至少有一個發(fā)生;；A,B,C中恰有一個發(fā)生;；A,B,C中至少有兩個發(fā)生;；(6)A,B,C中至多有一個發(fā)生;；(7)A;B;C中至多有兩個發(fā)生;(8)A,B,C中恰有兩個發(fā)生.；注意：此類題目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3設(shè)樣本空間,事件=,具體寫出以下各事件：;(2);(3);(4)；(2)=；(3)=;(4)=1.6按從小到大次序排列,并說明理由.解：由于故，而由加法公式，有：1.7解：(1)昆蟲出現(xiàn)殘翅或退化性眼睛對應(yīng)事件概率為：由于事件可以分解為互斥事件，昆蟲出現(xiàn)殘翅,但沒有退化性眼睛對應(yīng)事件概率為：(3)昆蟲未出現(xiàn)殘翅,也無退化性眼睛的概率為：.1.8解：(1)由于，故顯然當(dāng)時(shí)P(AB)取到最大值。最大值是0.6.(2)由于。顯然當(dāng)時(shí)P(AB)取到最小值，最小值是0.4.1.9解：因?yàn)镻(AB)=0，故P(ABC)=0.至少有一個發(fā)生的概率為：1.10解通過作圖，可以知道，1.11解：用表示事件“杯中球的最大個數(shù)為個〞=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有種，每種放法等可能。對事件：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2種，故(選排列：好比3個球在4個位置做排列)。對事件：必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個杯中選1個杯子，放入此3個球，選法有4種)，故。1.12解：此題為典型的古典概型，擲一顆勻稱的骰子兩次基本領(lǐng)件總數(shù)為36。.出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為“3〞對應(yīng)兩個基本領(lǐng)件〔1，2〕，〔2，1〕。故前后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為3的概率為。同理可以求得前后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4，5的概率各是。1.13解：從10個數(shù)中任取三個數(shù)，共有種取法，亦即基本領(lǐng)件總數(shù)為120。假設(shè)要三個數(shù)中最小的一個是5，先要保證取得5，再從大于5的四個數(shù)里取兩個，取法有種，故所求概率為。(2)假設(shè)要三個數(shù)中最大的一個是5，先要保證取得5，再從小于5的五個數(shù)里取兩個，取法有種，故所求概率為。1.14解：分別用表示事件：(1)取到兩只黃球;(2)取到兩只白球;(3)取到一只白球,一只黃球.那么。1.15解：由于，故1.16〔2〕解：〔1〕〔2〕注意：因?yàn)?，所以?.17解：用表示事件“第次取到的是正品〞〔〕，那么表示事件“第次取到的是次品〞〔〕。事件“在第一、第二次取到正品的條件下,第三次取到次品〞的概率為：。(2)事件“第三次才取到次品〞的概率為：事件“第三次取到次品〞的概率為：此題要注意區(qū)分事件〔1〕、(2〕的區(qū)別，一個是求條件概率，一個是一般的概率。再例如，設(shè)有兩個產(chǎn)品，一個為正品，一個為次品。用表示事件“第次取到的是正品〞〔〕，那么事件“在第一次取到正品的條件下,第二次取到次品〞的概率為：；而事件“第二次才取到次品〞的概率為：。區(qū)別是顯然的。1.18。解：用表示事件“在第一箱中取出兩件產(chǎn)品的次品數(shù)〞。用表示事件“從第二箱中取到的是次品〞。那么，，，根據(jù)全概率公式，有：1.19解：設(shè)表示事件“所用小麥種子為等種子〞，表示事件“種子所結(jié)的穗有50顆以上麥粒〞。那么，，，根據(jù)全概率公式，有：1.20解：用表示色盲，表示男性，那么表示女性，由條件，顯然有：因此：根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為：1.21解：用表示對試驗(yàn)呈陽性反響，表示癌癥患者，那么表示非癌癥患者，顯然有：因此根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為：1.22(1)求該批產(chǎn)品的合格率;(2)從該10箱中任取一箱,再從這箱中任取一件,假設(shè)此件產(chǎn)品為合格品,問此件產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的概率各是多少?解：設(shè)，，那么根據(jù)全概率公式，，該批產(chǎn)品的合格率為0.94.根據(jù)貝葉斯公式，同理可以求得，因此，從該10箱中任取一箱,再從這箱中任取一件,假設(shè)此件產(chǎn)品為合格品,此件產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的概率分別為：。1.23解：記={目標(biāo)被擊中}，那么1.24解：記={四次獨(dú)立試驗(yàn)，事件A至少發(fā)生一次}，={四次獨(dú)立試驗(yàn)，事件A一次也不發(fā)生}。而，因此。所以三次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件A發(fā)生一次的概率為：。二、第一章定義、定理、公式、公理小結(jié)及補(bǔ)充：〔10〕加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)＝0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)〔11〕減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=Ω時(shí)，P()=1-P(B)〔12〕條件概率定義設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)>0，那么稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。〔16〕貝葉斯公式，i=1，2，…n。此公式即為貝葉斯公式。第二章隨機(jī)變量2.1X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根據(jù)，得，即。故2.3解：用X表示甲在兩次投籃中所投中的次數(shù)，X~B(2,0.7)用Y表示乙在兩次投籃中所投中的次數(shù),Y~B(2,0.4)兩人投中的次數(shù)一樣P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=(2)甲比乙投中的次數(shù)多P{X>Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=2.4解:〔1〕P{1≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+P{X=2}=2.5解：〔1〕P{X=2,4,6,…}==〔2〕P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}-P{X=2}=2.6解：設(shè)表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值為0，1，2=2.6解：(1)設(shè)X表示4次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，那么X~B(4,0.4)(2)設(shè)Y表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，那么Y~B(5,0.4)2.7〔1〕X～P(λ)=P(0.5×3)=P(1.5)=〔2〕X～P(λ)=P(0.5×4)=P(2)2.8解：設(shè)應(yīng)配備m名設(shè)備維修人員。又設(shè)發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)為X，那么。依題意，設(shè)備發(fā)生故障能及時(shí)維修的概率應(yīng)不小于0.99，即，也即因?yàn)閚=180較大，p=0.01較小，所以X近似服從參數(shù)為的泊松分布。查泊松分布表，得，當(dāng)m+1=7時(shí)上式成立，得m=6。故應(yīng)至少配備6名設(shè)備維修人員。2.9解：一個元件使用1500小時(shí)失效的概率為設(shè)5個元件使用1500小時(shí)失效的元件數(shù)為Y，那么。所求的概率為2.10〔1〕假設(shè)該地區(qū)每天的用電量僅有80萬千瓦時(shí)，那么該地區(qū)每天供電量缺乏的概率為：〔2〕假設(shè)該地區(qū)每天的用電量僅有90萬千瓦時(shí)，那么該地區(qū)每天供電量缺乏的概率為：2.11解:要使方程有實(shí)根那么使解得K的取值范圍為,又隨機(jī)變量K~U(-2,4)那么有實(shí)根的概率為2.12解：X~P(λ)=P()(1)〔2〕〔3〕2.13解：設(shè)每人每次打的時(shí)間為X，X~E(0.5)，那么一個人打超過10分鐘的概率為又設(shè)282人中打超過10分鐘的人數(shù)為Y，那么。因?yàn)閚=282較大，p較小，所以Y近似服從參數(shù)為的泊松分布。所求的概率為2.14解：(1)(2)2.15解：設(shè)車門的最低高度應(yīng)為a厘米，X~N(170,62)厘米2.19解：X的可能取值為1,2,3。因?yàn)椋?；所以X的分布律為X123P0.60.30.1X的分布函數(shù)為2.20(1)Y040.20.70.1(2)Y-110.70.32.21〔1〕當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，X-112P0.30.50.2〔2〕Y120.80.22.22〔1〕設(shè)FY(y)，分別為隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，那么對求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得〔2〕設(shè)FY(y)，分別為隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，那么當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有對求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得〔3〕設(shè)FY(y)，分別為隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，那么當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得2.23∵∴〔1〕對求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得到〔2〕，,對求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得到〔3〕，對求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得到第三章隨機(jī)向量3.1P{1<X2,3<Y5}=F(2,5)+F(1,3)--F(1,5)—F(2,3)=3.2YX1220=3=03.4〔1〕a=〔2〕〔3〕3.5解：〔1〕〔2〕3.6解：3.7參見課本后面P227的答案3.83.9解：X的邊緣概率密度函數(shù)為：①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，Y的邊緣概率密度函數(shù)為：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，3.10〔1〕參見課本后面P227的答案〔2〕3.11參見課本后面P228的答案3.12參見課本后面P228的答案3.13〔1〕對于時(shí)，，所以對于時(shí)，所以3.14XY025X的邊緣分布10.150.250.350.7530.050.180.020.25Y的邊緣分布0.20.430.371由表格可知P{X=1;Y=2}=0.25≠P{X=1}P{Y=2}=0.3225故所以X與Y不獨(dú)立3.15XY123X的邊緣分布12ab+a+bY的邊緣分布a+b+1由獨(dú)立的條件那么可以列出方程解得3.16解〔1〕在3.8中當(dāng)，時(shí)，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)或時(shí)，所以， X與Y之間相互獨(dú)立?！?〕在3.9中，當(dāng)，時(shí)，，所以X與Y之間不相互獨(dú)立。3.17解：故X與Y相互獨(dú)立3.18參見課本后面P228的答案第四章數(shù)字特征4.1解：∵甲機(jī)床生產(chǎn)的零件次品數(shù)多于乙機(jī)床生產(chǎn)的零件次品數(shù)，又∵兩臺機(jī)床的總的產(chǎn)量一樣∴乙機(jī)床生產(chǎn)的零件的質(zhì)量較好。4.2解：X的所有可能取值為：3，4，54.3參見課本230頁參考答案4.4解：4.6參考課本230頁參考答案4.7解：設(shè)途中遇到紅燈次數(shù)為X，那么4.8解500+100015004.9參見課本后面230頁參考答案4.10參見課本后面231頁參考答案4.11解:設(shè)均值為,方差為,那么X~N(,)根據(jù)題意有:,解得t=2即=12所以成績在60到84的概率為4.124.13解：4.14解：設(shè)球的直徑為X,那么：4.15參看課本后面231頁答案4.16 解:4.17解∵X與Y相互獨(dú)立，∴4.18，4.19，4.20參看課本后面231，232頁答案4.21設(shè)X表示10顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和，表示第顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，那么，且是獨(dú)立同分布的，又所以4.22參看課本后面232頁答案4.234.244.254.26因?yàn)閄~N(0,4),Y~U(0,4)所以有Var(X)=4Var(Y)=故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+=Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=4.27參看課本后面232頁答案4.28后面4題不作詳解第五章極限理5.3解：用表示每包大米的重量，，那么,5.4解：因?yàn)榉膮^(qū)間[0,10]上的均勻分布，5.5解：方法1：用表示每個部件的情況，那么，,方法2：用X表示100個部件中正常工作的部件數(shù)，那么5.6略第六章樣本與統(tǒng)計(jì)6.16.3.1證明:由QUOTE=QUOTE+b可得，對等式兩邊求和再除以n有QUOTE由于QUOTE所以由QUOTE可得==6.3.2因?yàn)樗杂?.2證明：6.3〔1〕〔2〕由于所以有兩邊同時(shí)除以〔n-1〕可得即6.4同例6.3.3可知得查表可知=1.96又根據(jù)題意可知n=436.5解〔1〕記這25個電阻的電阻值分別為QUOTE,它們來自均值為QUOTE=200歐姆，標(biāo)準(zhǔn)差為QUOTE=10歐姆的正態(tài)分布的樣本那么根據(jù)題意有：(2)根據(jù)題意有6.6解：〔1〕記一個月〔30天〕中每天的停機(jī)時(shí)間分別為QUOTE，它們是來自均值為QUOTE=4小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為QUOTE=0.8小時(shí)的總體的樣本。根據(jù)題意有：〔注：當(dāng)時(shí)，的值趨近于1，相反當(dāng)時(shí)，其值趨近于0〕〔2〕根據(jù)題意有：6.7證明：因?yàn)門QUOTEQUOTE，那么，隨機(jī)變量的密度函數(shù)為顯然，那么為偶函數(shù)，那么6.8解：記，，那么XQUOTEN(,),n=25故6.9解：記這100人的年均收入為QUOTE，它們是來自均值為萬元，標(biāo)準(zhǔn)差為萬元的總體的樣本，n=100那么根據(jù)題意有：〔1〕〔2〕〔3〕6.10解：根據(jù)題意可知此樣本是來自均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為的總體，樣本容量為n=5〔1〕依題意有〔2〕要求樣本的最小值小于10概率，即5個數(shù)中至少有一個小于10的概率，首先計(jì)算每個樣本小于10的概率：設(shè)X是5個樣本中小于10的樣本個數(shù)那么X服從二項(xiàng)分布B(5,0.1587)故有即樣本的最小值小于10的概率是0.5785.〔3〕同〔2〕要求樣本的最大值大于15的概率，即5個數(shù)中至少有一個大于15的概率，首先計(jì)算每個樣本大于15的概率：設(shè)X是5個樣本中大于15的樣本個數(shù)那么X服從二項(xiàng)分布B(5,0.0668)故有即樣本的最大值大于15的概率是0.2923第七章參數(shù)估計(jì)7.1解因?yàn)?QUOTE是抽自二項(xiàng)分布B〔m,p〕的樣本，故都獨(dú)立同分布所以有用樣本均值代替總體均值，那么p的矩估計(jì)為7.2解：用樣本均值代替總體均值，那么的矩估計(jì)為由概率密度函數(shù)可知聯(lián)合密度分布函數(shù)為：對它們兩邊求對數(shù)可得對求導(dǎo)并令其為0得即可得的似然估計(jì)值為7.3解:記隨機(jī)變量x服從總體為[0,QUOTE]上的均勻分布，那么故QUOTE的矩估計(jì)為X的密度函數(shù)為故它的是似然函數(shù)為要使到達(dá)最大，首先一點(diǎn)是示性函數(shù)的取值應(yīng)該為1，其次是盡可能大。由于是QUOTE的單調(diào)減函數(shù)，所以QUOTE的取值應(yīng)該盡可能小，但示性函數(shù)為1決定了QUOTE不能小于QUOTE,因此給出QUOTE的最大似然估計(jì)QUOTE〔示性函數(shù)I=QUOTE，QUOTE=min{QUOTE}QUOTE=max{QUOTE}〕7.4解:記隨機(jī)變量x服從總體為[QUOTE,QUOTE