北京科技大學大學物理競賽輔導

北京科技大學大學物理競賽輔導(4).三種勢能重力勢能彈性勢能萬有引力勢能(5).保守力的特點作功與路徑無關(guān)(6).振動的微分方程圓頻率:(7).阻尼振動l.水平輕繩跨過固定在質(zhì)量為m1的水平物塊的一個小圓柱棒后，斜向下連接質(zhì)量為m2的小物塊，設系統(tǒng)處處無摩擦，將系統(tǒng)從靜止狀態(tài)自由釋放，假設兩物塊的運動方向恒如圖所示，即繩與水平桌面的夾角始終不變，試求解：畫隔離體圖，受力分析列方程：沿繩的方向加速度應該相等：解得：例2.質(zhì)量為M、半徑為R的光滑半球，其底面放在光滑水平面上。有一質(zhì)量為m的小滑塊沿此半球面滑下。已知小滑塊初始位置與球心聯(lián)線與豎直線成角。系統(tǒng)開始時靜止。求小滑塊滑離半球面前繞球心的角速度。解：設半球面到圖示虛線位置時，小滑塊與豎直線夾角為以地為參照系.小滑塊對地的速度為半球面對地的速度為小滑塊滑離半球面前繞球心的角速度為小球速度：水平方向動量守恒系統(tǒng)機械能守恒：解得：例3：長為質(zhì)量為M的均質(zhì)重梯上端A靠在光滑的豎直墻面上，下端B落在水平地面上，梯子與地面夾角為一質(zhì)量也為M的人從B端緩慢爬梯，到達梯子中點時梯子尚未滑動，稍過中點，梯子就會滑動，求梯子與地面之間的摩擦系數(shù)解：系統(tǒng)力平衡力矩平衡求得：例4：在水平地面上的一個桶內(nèi)成有水，桶的側(cè)面有個小孔，孔與水面相距為水從小孔流出，求水從小孔流出時的速度。解：在孔處取單位體積的小體元體元左側(cè)面積為單位面積，受力等于該處的壓強此體元運動單位距離就可以流出按照牛頓第二定律：速度：右側(cè)面積為單位面積，受力此體元經(jīng)受力例5.質(zhì)量為長為的勻質(zhì)棒可繞固定的支點在豎直平面內(nèi)運動.若棒在與水平線成角位置從靜止開始下落,試計算當棒落到水平位置時,作用于支點的力.解:由轉(zhuǎn)動定理這里得到角加速度表達式可寫成兩邊積分得到軸反力的兩個分量和,列出質(zhì)心運動方程:法線方向切線方向或?qū)懗僧敃r,得到例6.一長為的細麥桿可繞通過中心的水平轉(zhuǎn)軸在鉛錘面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。開始時麥桿靜止于水平位置一質(zhì)量與麥桿相同的甲蟲以速度垂直落到麥桿的長度處，落下后甲蟲立即向端點爬行。問為使麥桿以均勻的角速度旋轉(zhuǎn)，甲蟲沿麥桿爬行的速度多大？解：以麥桿和甲蟲為系統(tǒng)碰撞過程角動量守恒，設碰后系統(tǒng)的角速度為于是有：解得：碰后，當甲蟲距軸心為時系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為作用在系統(tǒng)上的重力矩為：據(jù)轉(zhuǎn)動定理：應有：即：于是甲蟲的速度為：例7.光滑水平面上有一半徑為的固定圓環(huán),長為的勻質(zhì)細桿AB開始時繞著C點旋轉(zhuǎn),C點靠在環(huán)上,圓環(huán)外側(cè)運動,直至細桿的B端與環(huán)接觸后彼此分離,已知細桿與圓環(huán)間的摩擦系數(shù)處處相同,試求的取值范圍.解:設初始時細桿的旋轉(zhuǎn)角速度為,轉(zhuǎn)過角后角速度為.由于摩擦力并不作功,故細桿和圓環(huán)構(gòu)成的系統(tǒng)機械能守恒應有:這里解得:細桿質(zhì)心C將沿著圓的漸開線運動切向加速度為法向加速度為列出細桿質(zhì)心運動方程不打滑的條件:即由于所以例8.兩個均質(zhì)圓盤轉(zhuǎn)動慣量分別為和開始時第一個圓盤以的角速度旋轉(zhuǎn)，第二個圓盤靜止，然后使兩盤水平軸接近，求：當接觸點處無相對滑動時，兩圓盤的角速度解：受力分析：無豎直方向上的運動以O1點為參考點，計算系統(tǒng)的外力矩：作用在系統(tǒng)上的外力矩不為0，故系統(tǒng)的角動量不守恒。只能用轉(zhuǎn)動定律做此題。對于盤1：阻力矩兩邊積分對于盤2：兩邊積分于是有：不打滑條件：接觸點處兩盤的線速度相等可解得：例9:質(zhì)量為2m,半徑為R的均質(zhì)圓盤形滑輪,掛質(zhì)量分別為m和2m的物體,繩與滑輪之間的摩擦系數(shù)為,問為何值時繩與滑輪之間無相對滑動.解:受力分析:列方程:滑輪:不打滑的條件:由以上四式解得:繩中的張力分析任取線元此線元切向運動方程為：此線元法向運動方程為：利用近似：忽略二階無窮小量，得到：兩式相除得到：兩式相除得到：解此方程得到：當時，于是得到摩擦系數(shù)為：例10均勻圓柱體,從靜止沿斜面下滑,圓柱與斜面間摩擦系數(shù)為μ,當摩擦系數(shù)為某一臨界值時,圓柱體恰純滾動地向下滾動,求此臨界值.解:質(zhì)心運動方程θmgfN轉(zhuǎn)動定理純滾動條件:解得:例11.一個質(zhì)量為m的衛(wèi)星圍繞著質(zhì)量為M,半徑為R的大星體作半徑為2R質(zhì)量為2m,速度為衛(wèi)星運動方向追上衛(wèi)星并和衛(wèi)星發(fā)生激烈碰撞,結(jié)成可以忽略不計,新星的速度仍沿原來方向.（1）試用計算表明新星的軌道類型,算出軌道的偏心率.（2）如果小流星沿著衛(wèi)星速度的反方向發(fā)生如上的碰撞給出新星體能否與大星體M碰撞的判斷。（1）解:軌道類型與新星的機械能的正負有關(guān).如果動能大于勢能,新星可以擺脫地球的吸引,軌道成為非閉合的如果動能小于于勢能,新星不能擺脫地球的能的正負來判斷軌道的類型.偏心率的定義為為了計算碰后的機械能,首先要計算出碰后的速度.設碰后新星速度為碰撞過程動量守恒.碰前衛(wèi)星的運動方程為求得碰前衛(wèi)星的運動速度:碰撞過程動量守恒求得碰后新星的運動速度:此時的位置相當于在新星運動的近地點.我們計算新星近地點的機械能說明新星作橢圓軌道運動.下面我們討論一下新星的機械能與遠地點距離關(guān)系新星運動角動量守恒得到帶入遠地點的機械能表達式此能量應等于新星在近地點的機械能解得經(jīng)化簡得到偏心率（2）解：反方向碰撞，設碰后新星體的速度為碰前衛(wèi)星的速度:質(zhì)量為m碰前流星的速度:質(zhì)量為2m碰撞過程動量守恒求得碰后新星的運動速度:此時的位置相當于在新星運動的遠地點.我們計算新星遠地點的機械能說明新星作橢圓軌道運動.新星運動角動量守恒得到帶入近地點的機械能表達式此能量應等于新星在遠地點的機械能解得經(jīng)化簡得到肯定與大星體相碰。例12.半徑為R的圓環(huán)繞鉛垂的直徑軸以的角速度旋轉(zhuǎn)一細桿長為,其兩端約束在圓環(huán)上可作無摩擦的滑動,細桿的位置用OC與鉛垂線的夾角表示，C為細桿的質(zhì)心．試求細桿在圓環(huán)上的平衡位置，并分析平衡的穩(wěn)定性．解：以圓環(huán)為參考系，以細桿質(zhì)心位于軸上時作為重力勢能的0點，任意位置時重力勢能為在細桿上任取線元所受的慣性力（離心力）為此力作功與路徑無關(guān)，可用勢能減少量描述．設軸上的離心勢能為０，處的離心勢能設為，應有離心勢能為：系桿總的有效勢能平衡條件：穩(wěn)定平衡條件：非穩(wěn)定平衡條件：由求出三個平衡位置：為討論平衡位置的穩(wěn)定性，計算二階導數(shù)（１）＝０時當時，取極小值，屬穩(wěn)定平衡當時，取極大值，屬不穩(wěn)定平衡（２）＝時取極大值，屬不穩(wěn)定平衡（３）當時因，即，或所以當時，定屬于穩(wěn)定平衡．例13.水平彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為，振子的質(zhì)量為，水平阻尼力的大小與振子的運動速度成正比比例系數(shù)為，求形成低阻尼振動的條件。解：據(jù)牛頓第二定律，得到或設特解為帶入（1）式，得到得到兩個特解低阻尼（欠阻尼）情況，振子作衰減振蕩運動，e指數(shù)的變量必須是復數(shù)。需滿足條件即：xta.低阻尼（欠阻尼）：b.臨界阻尼：c.高阻尼（過阻尼）：例14.兩彈性系數(shù)