北京科技大學(xué)大學(xué)物理競(jìng)賽輔導(dǎo)

北京科技大學(xué)大學(xué)物理競(jìng)賽輔導(dǎo)(4).三種勢(shì)能重力勢(shì)能彈性勢(shì)能萬(wàn)有引力勢(shì)能(5).保守力的特點(diǎn)作功與路徑無(wú)關(guān)(6).振動(dòng)的微分方程圓頻率:(7).阻尼振動(dòng)l.水平輕繩跨過(guò)固定在質(zhì)量為m1的水平物塊的一個(gè)小圓柱棒后，斜向下連接質(zhì)量為m2的小物塊，設(shè)系統(tǒng)處處無(wú)摩擦，將系統(tǒng)從靜止?fàn)顟B(tài)自由釋放，假設(shè)兩物塊的運(yùn)動(dòng)方向恒如圖所示，即繩與水平桌面的夾角始終不變，試求解：畫(huà)隔離體圖，受力分析列方程：沿繩的方向加速度應(yīng)該相等：解得：例2.質(zhì)量為M、半徑為R的光滑半球，其底面放在光滑水平面上。有一質(zhì)量為m的小滑塊沿此半球面滑下。已知小滑塊初始位置與球心聯(lián)線(xiàn)與豎直線(xiàn)成角。系統(tǒng)開(kāi)始時(shí)靜止。求小滑塊滑離半球面前繞球心的角速度。解：設(shè)半球面到圖示虛線(xiàn)位置時(shí)，小滑塊與豎直線(xiàn)夾角為以地為參照系.小滑塊對(duì)地的速度為半球面對(duì)地的速度為小滑塊滑離半球面前繞球心的角速度為小球速度：水平方向動(dòng)量守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒：解得：例3：長(zhǎng)為質(zhì)量為M的均質(zhì)重梯上端A靠在光滑的豎直墻面上，下端B落在水平地面上，梯子與地面夾角為一質(zhì)量也為M的人從B端緩慢爬梯，到達(dá)梯子中點(diǎn)時(shí)梯子尚未滑動(dòng)，稍過(guò)中點(diǎn)，梯子就會(huì)滑動(dòng)，求梯子與地面之間的摩擦系數(shù)解：系統(tǒng)力平衡力矩平衡求得：例4：在水平地面上的一個(gè)桶內(nèi)成有水，桶的側(cè)面有個(gè)小孔，孔與水面相距為水從小孔流出，求水從小孔流出時(shí)的速度。解：在孔處取單位體積的小體元體元左側(cè)面積為單位面積，受力等于該處的壓強(qiáng)此體元運(yùn)動(dòng)單位距離就可以流出按照牛頓第二定律：速度：右側(cè)面積為單位面積，受力此體元經(jīng)受力例5.質(zhì)量為長(zhǎng)為的勻質(zhì)棒可繞固定的支點(diǎn)在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng).若棒在與水平線(xiàn)成角位置從靜止開(kāi)始下落,試計(jì)算當(dāng)棒落到水平位置時(shí),作用于支點(diǎn)的力.解:由轉(zhuǎn)動(dòng)定理這里得到角加速度表達(dá)式可寫(xiě)成兩邊積分得到軸反力的兩個(gè)分量和,列出質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程:法線(xiàn)方向切線(xiàn)方向或?qū)懗僧?dāng)時(shí),得到例6.一長(zhǎng)為的細(xì)麥桿可繞通過(guò)中心的水平轉(zhuǎn)軸在鉛錘面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。開(kāi)始時(shí)麥桿靜止于水平位置一質(zhì)量與麥桿相同的甲蟲(chóng)以速度垂直落到麥桿的長(zhǎng)度處，落下后甲蟲(chóng)立即向端點(diǎn)爬行。問(wèn)為使麥桿以均勻的角速度旋轉(zhuǎn)，甲蟲(chóng)沿麥桿爬行的速度多大？解：以麥桿和甲蟲(chóng)為系統(tǒng)碰撞過(guò)程角動(dòng)量守恒，設(shè)碰后系統(tǒng)的角速度為于是有：解得：碰后，當(dāng)甲蟲(chóng)距軸心為時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為作用在系統(tǒng)上的重力矩為：據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理：應(yīng)有：即：于是甲蟲(chóng)的速度為：例7.光滑水平面上有一半徑為的固定圓環(huán),長(zhǎng)為的勻質(zhì)細(xì)桿AB開(kāi)始時(shí)繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn),C點(diǎn)靠在環(huán)上,圓環(huán)外側(cè)運(yùn)動(dòng),直至細(xì)桿的B端與環(huán)接觸后彼此分離,已知細(xì)桿與圓環(huán)間的摩擦系數(shù)處處相同,試求的取值范圍.解:設(shè)初始時(shí)細(xì)桿的旋轉(zhuǎn)角速度為,轉(zhuǎn)過(guò)角后角速度為.由于摩擦力并不作功,故細(xì)桿和圓環(huán)構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒應(yīng)有:這里解得:細(xì)桿質(zhì)心C將沿著圓的漸開(kāi)線(xiàn)運(yùn)動(dòng)切向加速度為法向加速度為列出細(xì)桿質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程不打滑的條件:即由于所以例8.兩個(gè)均質(zhì)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為和開(kāi)始時(shí)第一個(gè)圓盤(pán)以的角速度旋轉(zhuǎn)，第二個(gè)圓盤(pán)靜止，然后使兩盤(pán)水平軸接近，求：當(dāng)接觸點(diǎn)處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，兩圓盤(pán)的角速度解：受力分析：無(wú)豎直方向上的運(yùn)動(dòng)以O(shè)1點(diǎn)為參考點(diǎn)，計(jì)算系統(tǒng)的外力矩：作用在系統(tǒng)上的外力矩不為0，故系統(tǒng)的角動(dòng)量不守恒。只能用轉(zhuǎn)動(dòng)定律做此題。對(duì)于盤(pán)1：阻力矩兩邊積分對(duì)于盤(pán)2：兩邊積分于是有：不打滑條件：接觸點(diǎn)處兩盤(pán)的線(xiàn)速度相等可解得：例9:質(zhì)量為2m,半徑為R的均質(zhì)圓盤(pán)形滑輪,掛質(zhì)量分別為m和2m的物體,繩與滑輪之間的摩擦系數(shù)為,問(wèn)為何值時(shí)繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng).解:受力分析:列方程:滑輪:不打滑的條件:由以上四式解得:繩中的張力分析任取線(xiàn)元此線(xiàn)元切向運(yùn)動(dòng)方程為：此線(xiàn)元法向運(yùn)動(dòng)方程為：利用近似：忽略二階無(wú)窮小量，得到：兩式相除得到：兩式相除得到：解此方程得到：當(dāng)時(shí)，于是得到摩擦系數(shù)為：例10均勻圓柱體,從靜止沿斜面下滑,圓柱與斜面間摩擦系數(shù)為μ,當(dāng)摩擦系數(shù)為某一臨界值時(shí),圓柱體恰純滾動(dòng)地向下滾動(dòng),求此臨界值.解:質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程θmgfN轉(zhuǎn)動(dòng)定理純滾動(dòng)條件:解得:例11.一個(gè)質(zhì)量為m的衛(wèi)星圍繞著質(zhì)量為M,半徑為R的大星體作半徑為2R質(zhì)量為2m,速度為衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向追上衛(wèi)星并和衛(wèi)星發(fā)生激烈碰撞,結(jié)成可以忽略不計(jì),新星的速度仍沿原來(lái)方向.（1）試用計(jì)算表明新星的軌道類(lèi)型,算出軌道的偏心率.（2）如果小流星沿著衛(wèi)星速度的反方向發(fā)生如上的碰撞給出新星體能否與大星體M碰撞的判斷。（1）解:軌道類(lèi)型與新星的機(jī)械能的正負(fù)有關(guān).如果動(dòng)能大于勢(shì)能,新星可以擺脫地球的吸引,軌道成為非閉合的如果動(dòng)能小于于勢(shì)能,新星不能擺脫地球的能的正負(fù)來(lái)判斷軌道的類(lèi)型.偏心率的定義為為了計(jì)算碰后的機(jī)械能,首先要計(jì)算出碰后的速度.設(shè)碰后新星速度為碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒.碰前衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方程為求得碰前衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)速度:碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒求得碰后新星的運(yùn)動(dòng)速度:此時(shí)的位置相當(dāng)于在新星運(yùn)動(dòng)的近地點(diǎn).我們計(jì)算新星近地點(diǎn)的機(jī)械能說(shuō)明新星作橢圓軌道運(yùn)動(dòng).下面我們討論一下新星的機(jī)械能與遠(yuǎn)地點(diǎn)距離關(guān)系新星運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒得到帶入遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能表達(dá)式此能量應(yīng)等于新星在近地點(diǎn)的機(jī)械能解得經(jīng)化簡(jiǎn)得到偏心率（2）解：反方向碰撞，設(shè)碰后新星體的速度為碰前衛(wèi)星的速度:質(zhì)量為m碰前流星的速度:質(zhì)量為2m碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒求得碰后新星的運(yùn)動(dòng)速度:此時(shí)的位置相當(dāng)于在新星運(yùn)動(dòng)的遠(yuǎn)地點(diǎn).我們計(jì)算新星遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能說(shuō)明新星作橢圓軌道運(yùn)動(dòng).新星運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒得到帶入近地點(diǎn)的機(jī)械能表達(dá)式此能量應(yīng)等于新星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能解得經(jīng)化簡(jiǎn)得到肯定與大星體相碰。例12.半徑為R的圓環(huán)繞鉛垂的直徑軸以的角速度旋轉(zhuǎn)一細(xì)桿長(zhǎng)為,其兩端約束在圓環(huán)上可作無(wú)摩擦的滑動(dòng),細(xì)桿的位置用OC與鉛垂線(xiàn)的夾角表示，C為細(xì)桿的質(zhì)心．試求細(xì)桿在圓環(huán)上的平衡位置，并分析平衡的穩(wěn)定性．解：以圓環(huán)為參考系，以細(xì)桿質(zhì)心位于軸上時(shí)作為重力勢(shì)能的0點(diǎn)，任意位置時(shí)重力勢(shì)能為在細(xì)桿上任取線(xiàn)元所受的慣性力（離心力）為此力作功與路徑無(wú)關(guān)，可用勢(shì)能減少量描述．設(shè)軸上的離心勢(shì)能為０，處的離心勢(shì)能設(shè)為，應(yīng)有離心勢(shì)能為：系桿總的有效勢(shì)能平衡條件：穩(wěn)定平衡條件：非穩(wěn)定平衡條件：由求出三個(gè)平衡位置：為討論平衡位置的穩(wěn)定性，計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)（１）＝０時(shí)當(dāng)時(shí)，取極小值，屬穩(wěn)定平衡當(dāng)時(shí)，取極大值，屬不穩(wěn)定平衡（２）＝時(shí)取極大值，屬不穩(wěn)定平衡（３）當(dāng)時(shí)因，即，或所以當(dāng)時(shí)，定屬于穩(wěn)定平衡．例13.水平彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為，振子的質(zhì)量為，水平阻尼力的大小與振子的運(yùn)動(dòng)速度成正比比例系數(shù)為，求形成低阻尼振動(dòng)的條件。解：據(jù)牛頓第二定律，得到或設(shè)特解為帶入（1）式，得到得到兩個(gè)特解低阻尼（欠阻尼）情況，振子作衰減振蕩運(yùn)動(dòng)，e指數(shù)的變量必須是復(fù)數(shù)。需滿(mǎn)足條件即：xta.低阻尼（欠阻尼）：b.臨界阻尼：c.高阻尼（過(guò)阻尼）：例14.兩彈性系數(shù)