線性代數(shù)課后習(xí)題的答案

...wd......wd......wd...線性代數(shù)課后題詳解第一章行列式1.利用對角線法那么計(jì)算以下三階行列式：相信自己加油〔1〕；〔2〕〔3〕；〔4〕.解注意看過程解答〔1〕==〔2〕〔3〕〔4〕2.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，求以下各排列的逆序數(shù)：耐心成就大業(yè)〔1〕1234；〔2〕4132；〔3〕3421；〔4〕2413；〔5〕13…24…；〔6〕13……2.解〔1〕逆序數(shù)為0〔2〕逆序數(shù)為4：41，43，42，32〔3〕逆序數(shù)為5：32，31，42，41,21〔4〕逆序數(shù)為3：21，41，43〔5〕逆序數(shù)為：321個(gè)52，542個(gè)72，74，763個(gè)…2，4，6，…，個(gè)〔6〕逆序數(shù)為321個(gè)52，542個(gè)…2，4，6，…，個(gè)421個(gè)62，642個(gè)…2，4，6，…，個(gè)3.寫出四階行列式中含有因子的項(xiàng).解由定義知，四階行列式的一般項(xiàng)為，其中為的逆序數(shù)．由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.對應(yīng)的分別為或和為所求.4.計(jì)算以下各行列式：多練習(xí)方能成大財(cái)〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕解(1)===0(2)=0(3)===(4)===5.證明:(1)=;(2)=;(3);(4);(5).證明(1)(2)(3)(4)=====(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明假設(shè)對于階行列式命題成立，即所以，對于階行列式命題成立.6.設(shè)階行列式,把上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)、或依副對角線翻轉(zhuǎn)，依次得，，，證明.證明同理可證7.計(jì)算以下各行列式〔〕：(1),其中對角線上元素都是，未寫出的元素都是0；(2);(3);提示：利用范德蒙德行列式的結(jié)果．(4);(5);(6),.解(1)()(2)將第一行乘分別加到其余各行，得再將各列都加到第一列上，得(3)從第行開場，第行經(jīng)過次相鄰對換，換到第1行，第行經(jīng)次對換換到第2行…，經(jīng)次行交換，得此行列式為范德蒙德行列式(4)由此得遞推公式：即而得(5)=(6)8.用克萊姆法那么解以下方程組：解(1)(2)()．9.有非零解解，齊次線性方程組有非零解，那么即得不難驗(yàn)證，當(dāng)該齊次線性方程組確有非零解.10.有非零解解齊次線性方程組有非零解，那么得不難驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，該齊次線性方程組確有非零解.第二章矩陣及其運(yùn)算1．線性變換：求從變量到變量的線性變換．解由：故2．兩個(gè)線性變換求從到的線性變換．解由所以有3．設(shè),求解4．計(jì)算以下乘積：(1);(2);(3);(4);(5);(6).解(1)(2)(3)(4)(5)(6)5．設(shè),，問：(1)嗎?(2)嗎?(3)嗎?解(1),那么(2)但故(3)而故6．舉反列說明以下命題是錯誤的:〔１〕假設(shè),那么;〔２〕假設(shè),那么或;〔３〕假設(shè),且,那么.解(1)取,但(2)取,但且(3)取且但7．設(shè),求.解利用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí),顯然成立,假設(shè)時(shí)成立,那么時(shí)由數(shù)學(xué)歸納法原理知:8．設(shè),求.解首先觀察由此推測用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí),顯然成立.假設(shè)時(shí)成立，那么時(shí)，由數(shù)學(xué)歸納法原理知:9．設(shè)為階矩陣，且為對稱矩陣，證明也是對稱矩陣.證明：那么從而也是對稱矩陣.10．設(shè)都是階對稱矩陣，證明是對稱矩陣的充分必要條件是.證明由：充分性：即是對稱矩陣.必要性：.11．求以下矩陣的逆矩陣：(1)；(2)；(3);(4);(5);(6)解(1)故(2)故存在從而(3),故存在而故(4)故(5)故存在而從而(6)由對角矩陣的性質(zhì)知12．解以下矩陣方程：(1);(2);(3);(4).解(1)(2)(3)(4)13．利用逆矩陣解以下線性方程組:(1)(2)解(1)方程組可表示為故從而有(2)方程組可表示為故故有14．設(shè)(為正整數(shù)),證明.證明一方面，另一方面，由有故兩端同時(shí)右乘就有15．設(shè)方陣滿足,證明及都可逆,并求及.證明由得兩端同時(shí)取行列式:即,故所以可逆,而故也可逆.由又由16．設(shè),,求.解由可得故17．設(shè),其中,,求.解故所以而故18．設(shè)次多項(xiàng)式,記稱為方陣的次多項(xiàng)式.(1)設(shè),證明:,;(2)設(shè),證明:,.證明(1)i)利用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí)命題成立,假設(shè)時(shí)成立,那么時(shí)故命題成立.ii)左邊=右邊(2)i)利用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí)成立假設(shè)時(shí)成立,那么時(shí)成立,故命題成立,即ii)證明右邊=左邊19．設(shè)階矩陣的伴隨矩陣為，證明：(1)假設(shè),那么;(2).證明(1)用反證法證明．假設(shè)那么有由此得這與矛盾，故當(dāng)時(shí)有(2)由于,那么取行列式得到:假設(shè)那么假設(shè)由(1)知此時(shí)命題也成立故有20．取,驗(yàn)證檢驗(yàn):而故21．設(shè),求及解，令那么故22．設(shè)階矩陣及階矩陣都可逆,求．解將分塊為其中為矩陣,為矩陣為矩陣,為矩陣那么由此得到故．第三章矩陣的初等變換與線性方程組1．把以下矩陣化為行最簡形矩陣：(1);(2);(3);(4).解(1)(2)(3)(4)2．在秩是的矩陣中,有沒有等于0的階子式?有沒有等于0的階子式?解在秩是的矩陣中,可能存在等于0的階子式,也可能存在等于0的階子式.例如，同時(shí)存在等于0的3階子式和2階子式.3．從矩陣中劃去一行得到矩陣,問的秩的關(guān)系怎樣?解設(shè)，且的某個(gè)階子式.矩陣是由矩陣劃去一行得到的，所以在中能找到與一樣的階子式，由于，故而.4．求作一個(gè)秩是4的方陣,它的兩個(gè)行向量是,解設(shè)為五維向量,且,,那么所求方陣可為秩為4,不妨設(shè)取故滿足條件的一個(gè)方陣為5．求以下矩陣的秩,并求一個(gè)最高階非零子式：(1);(2)；(3).解(1)二階子式．(2).二階子式．(3)秩為3三階子式．6．求解以下齊次線性方程組:(1)(2)(3)(4)解(1)對系數(shù)矩陣實(shí)施行變換:即得故方程組的解為(2)對系數(shù)矩陣實(shí)施行變換:即得故方程組的解為(3)對系數(shù)矩陣實(shí)施行變換:即得故方程組的解為(4)對系數(shù)矩陣實(shí)施行變換:即得故方程組的解為7．求解以下非齊次線性方程組:(1)(2)(3)(4)解(1)對系數(shù)的增廣矩陣施行行變換,有而,故方程組無解．(2)對系數(shù)的增廣矩陣施行行變換:即得亦即(3)對系數(shù)的增廣矩陣施行行變換:即得即(4)對系數(shù)的增廣矩陣施行行變換:即得即8．取何值時(shí),非齊次線性方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多個(gè)解?解(1),即時(shí)方程組有唯一解.(2)由得時(shí),方程組無解.(3),由,得時(shí),方程組有無窮多個(gè)解.9．非齊次線性方程組當(dāng)取何值時(shí)有解并求出它的解．解方程組有解，須得當(dāng)時(shí),方程組解為當(dāng)時(shí),方程組解為10．設(shè)問為何值時(shí),此方程組有唯一解、無解或有無窮多解并在有無窮多解時(shí)求解．解當(dāng),即且時(shí)，有唯一解.當(dāng)且，即時(shí)，無解.當(dāng)且，即時(shí)，有無窮多解.此時(shí)，增廣矩陣為原方程組的解為()11．試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q，求以下方陣的逆矩陣：(1);(2).解〔1〕故逆矩陣為(2)故逆矩陣為12．(1)設(shè),求使;(2)設(shè),求使.解(1)(2)．第四章向量組的線性相關(guān)性1．設(shè),求及.解2．設(shè)其中,,,求解由整理得3．舉例說明以下各命題是錯誤的:(1)假設(shè)向量組是線性相關(guān)的,那么可由線性表示.(2)假設(shè)有不全為0的數(shù)使成立,那么線性相關(guān),亦線性相關(guān).(3)假設(shè)只有當(dāng)全為0時(shí),等式才能成立,那么線性無關(guān),亦線性無關(guān).(4)假設(shè)線性相關(guān),亦線性相關(guān),那么有不全為0的數(shù),使同時(shí)成立.解(1)設(shè)滿足線性相關(guān),但不能由線性表示.(2)有不全為零的數(shù)使原式可化為取其中為單位向量,那么上式成立,而,均線性相關(guān)(3)由(僅當(dāng))線性無關(guān)取取為線性無關(guān)組滿足以上條件,但不能說是線性無關(guān)的.(4)與題設(shè)矛盾.4．設(shè),證明向量組線性相關(guān).證明設(shè)有使得那么(1)假設(shè)線性相關(guān),那么存在不全為零的數(shù),;;;;由不全為零,知不全為零,即線性相關(guān).(2)假設(shè)線性無關(guān),那么由知此齊次方程存在非零解那么線性相關(guān).綜合得證.5．設(shè),且向量組線性無關(guān),證明向量組線性無關(guān).證明設(shè)那么因向量組線性無關(guān),故因?yàn)楣史匠探M只有零解那么所以線性無關(guān)6．利用初等行變換求以下矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組:(1);(2).解(1)所以第1、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無關(guān)組.(2)，所以第1、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無關(guān)組．7．求以下向量組的秩,并求一個(gè)最大無關(guān)組:(1),,;(2),,.解(1)線性相關(guān).由秩為2,一組最大線性無關(guān)組為.(2)秩為2,最大線性無關(guān)組為.8．設(shè)是一組維向量,維單位坐標(biāo)向量能由它們線性表示,證明線性無關(guān).證明維單位向量線性無關(guān)不妨設(shè):所以兩邊取行列式，得由即維向量組所構(gòu)成矩陣的秩為故線性無關(guān).9．設(shè)是一組維向量,證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是：任一維向量都可由它們線性表示.證明設(shè)為一組維單位向量，對于任意維向量那么有即任一維向量都可由單位向量線性表示.線性無關(guān)，且能由單位向量線性表示，即故兩邊取行列式，得由令那么由即都能由線性表示，因?yàn)槿我痪S向量能由單位向量線性表示，故任一維向量都可以由線性表示.任一維向量都可由線性表示，那么單位向量組：可由線性表示，由8題知線性無關(guān).10．設(shè)向量組:的秩為,向量組:的秩向量組:的秩,證明證明設(shè)的最大線性無關(guān)組分別為,含有的向量個(gè)數(shù)(秩)分別為,那么分別與等價(jià),易知均可由線性表示,那么秩()秩(),秩()秩()，即設(shè)與中的向量共同構(gòu)成向量組,那么均可由線性表示,即可由線性表示,從而可由線性表示，所以秩()秩(),為階矩陣，所以秩()即.11.證明.證明:設(shè)且行向量組的最大無關(guān)組分別為顯然,存在矩陣,使得,因此12．設(shè)向量組能由向量組線性表示為，其中為矩陣，且組線性無關(guān)。證明組線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣的秩.證明假設(shè)組線性無關(guān)令那么有由定理知由組:線性無關(guān)知，故.又知為階矩陣那么由于向量組:能由向量組:線性表示,那么綜上所述知即．假設(shè)令,其中為實(shí)數(shù)那么有又,那么由于線性無關(guān),所以即〔1〕由于那么(1)式等價(jià)于以下方程組:由于所以方程組只有零解.所以線性無關(guān),證畢.13．設(shè)問是不是向量空間為什么證明集合成為向量空間只需滿足條件：假設(shè)，那么假設(shè)，那么是向量空間，因?yàn)椋呵夜使什皇窍蛄靠臻g，因?yàn)椋汗使十?dāng)時(shí)，14．試證:由所生成的向量空間就是.證明設(shè)于是故線性無關(guān).由于均為三維,且秩為3,所以為此三維空間的一組基,故由所生成的向量空間就是.15．由所生成的向量空間記作,由所生成的向量空間記作,試證.證明設(shè)任取中一向量,可寫成,要證,從而得由得上式中,把看成數(shù),把看成未知數(shù)有唯一解同理可證:()故16．驗(yàn)證為的一個(gè)基,并把用這個(gè)基線性表示.解由于即矩陣的秩為3故線性無關(guān)，那么為的一個(gè)基.設(shè)，那么故設(shè)，那么故線性表示為17．求以下齊次線性方程組的根基解系:(1)(2)(3).解(1)所以原方程組等價(jià)于取得取得因此根基解系為(2)所以原方程組等價(jià)于取得取得因此根基解系為(3)原方程組即為取得取得取得所以根基解系為18．設(shè),求一個(gè)矩陣,使,且.解由于,所以可設(shè)那么由可得,解此非齊次線性方程組可得唯一解，故所求矩陣．19．求一個(gè)齊次線性方程組,使它的根基解系為.解顯然原方程組的通解為,()即消去得此即所求的齊次線性方程組.20．設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，是它的三個(gè)解向量．且，求該方程組的通解．解由于矩陣的秩為3，，一維．故其對應(yīng)的齊次線性方程組的根基解系含有一個(gè)向量，且由于均為方程組的解，由非齊次線性方程組解的構(gòu)造性質(zhì)得為其根基解系向量，故此方程組的通解：，21．設(shè)都是階方陣，且，證明．證明設(shè)的秩為，的秩為，那么由知，的每一列向量都是以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解向量．當(dāng)時(shí),該齊次線性方程組只有零解,故此時(shí),，，結(jié)論成立．(2)當(dāng)時(shí),該齊次方程組的根基解系中含有個(gè)向量,從而的列向量組的秩,即,此時(shí),結(jié)論成立。綜上,．22．設(shè)階矩陣滿足,為階單位矩陣,證明(提示:利用題11及題21的結(jié)論)證明所以由21題所證可知又由11題所證可知由此．23．求以下非齊次方程組的一個(gè)解及對應(yīng)的齊次線性方程組的根基解系：(1)(2)解(1)(2)24．設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解,是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)根基解系,證明:(1)線性無關(guān)；(2)線性無關(guān)。證明(1)反證法,假設(shè)線性相關(guān),那么存在著不全為0的數(shù)使得下式成立:(1)其中,否那么,線性相關(guān),而與根基解系不是線性相關(guān)的產(chǎn)生矛盾。由于為特解，為根基解系，故得而由(1)式可得故，而題中,該方程組為非齊次線性方程組,得產(chǎn)生矛盾,假設(shè)不成立,故線性無關(guān).(2)反證法,假使線性相關(guān).那么存在著不全為零的數(shù)使得下式成立:〔2〕即假設(shè),由于是線性無關(guān)的一組根基解系,故,由(2)式得此時(shí)與假設(shè)矛盾.假設(shè)由題(1)知,線性無關(guān),故與假設(shè)矛盾,綜上,假設(shè)不成立,原命題得證.25.設(shè)是非齊次線性方程組的個(gè)解，為實(shí)數(shù)，滿足.證明也是它的解.證明由于是非齊次線性方程組的個(gè)解.故有而即〔〕從而也是方程的解．26．設(shè)非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，是它的個(gè)線性無關(guān)的解(由題24知它確有個(gè)線性無關(guān)的解)．試證它的任一解可表示為〔其中〕.證明設(shè)為的任一解．由題設(shè)知：線性無關(guān)且均為的解．取，那么它的均為的解．用反證法證：線性無關(guān)．反設(shè)它們線性相關(guān)，那么存在不全為零的數(shù)：使得即亦即由線性無關(guān)知矛盾，故假設(shè)不對．線性無關(guān)，為的一組基．由于均為的解，所以為的解可由線性表出．令那么,證畢．第五章相似矩陣及二次型1．試用施密特法把以下向量組正交化：(1)；(2)解(1)根據(jù)施密特正交化方法:令，，，故正交化后得:．(2)根據(jù)施密特正交化方法令故正交化后得2．以下矩陣是不是正交陣:(1);(2)．解(1)第一個(gè)行向量非單位向量,故不是正交陣．(2)該方陣每一個(gè)行向量均是單位向量，且兩兩正交，故為正交陣．3．設(shè)與都是階正交陣，證明也是正交陣．證明因?yàn)槭请A正交陣，故，故也是正交陣．4．求以下矩陣的特征值和特征向量:(1);(2);(3).并問它們的特征向量是否兩兩正交?解(1)①故的特征值為．②當(dāng)時(shí),解方程,由得根基解系所以是對應(yīng)于的全部特征值向量．當(dāng)時(shí),解方程,由得根基解系所以是對應(yīng)于的全部特征向量．③故不正交．(2)①故的特征值為．②當(dāng)時(shí)，解方程，由得根基解系故是對應(yīng)于的全部特征值向量.當(dāng)時(shí),解方程，由得根基解系故是對應(yīng)于的全部特征值向量當(dāng)時(shí)，解方程，由得根基解系故是對應(yīng)于的全部特征值向量．③，，，所以兩兩正交．(3)=,當(dāng)時(shí)，取為自由未知量，并令，設(shè).故根基解系為當(dāng)時(shí)，可得根基解系綜上所述可知原矩陣的特征向量為5．設(shè)方陣與相似，求.解方陣與相似，那么與的特征多項(xiàng)式一樣，即．6．設(shè)都是階方陣，且，證明與相似．證明那么可逆那么與相似．7．設(shè)3階方陣的特征值為；對應(yīng)的特征向量依次為，，求.解根據(jù)特征向量的性質(zhì)知可逆,得:可得得8．設(shè)3階對稱矩陣的特征值6，3，3，與特征值6對應(yīng)的特征向量為,求.解設(shè)由，知①3是的二重特征值,根據(jù)實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)定理知