第5講 數(shù)列的綜合應(yīng)用

n13213213123142n132132131231421113132*2n12nn1nn1nnn1nn47第5

數(shù)列的綜合應(yīng)一、選擇題1．已知{a}為等比數(shù)列．下面結(jié)論中正確的是

()．A．a(chǎn)＋a≥2aC．若a＝a，則＝a

B．2＋2≥a2D．若a>，則aa解析

設(shè)公比為q，對于選項A，當(dāng)<0q≠1時不正確；選項當(dāng)q＝－1時不正確；選項D，當(dāng)a＝1，q＝－2時不正確；選項B正確，因為a2＋a2≥2aa＝22.答案

B2滿足a＝1a＝loga＋1(n∈*)它前n項和為S則滿足S>102512n2nnn的最小n值是

()．A．9

B．C11D．12解析

因為a＝，loga＝loga＋1(n∈N)，所以＝2a，a＝2

n1，S＝2n答案

－1，則滿足SnC

>1025的最小值是11.3．某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生1產(chǎn)已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)年的累計產(chǎn)量為f(n＝n(n＋1)(2＋1)噸如2果年產(chǎn)量超過150噸，將會給環(huán)境造成危害．為保護(hù)環(huán)境，環(huán)保部門應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長的生產(chǎn)期限是

()．A．5年

B．年

C．7年

D．8年解析

由已知可得第n年的產(chǎn)量a＝f(n)－fn－1)＝3n2當(dāng)n＝1時也適合題意令a

n

≥150n≥52數(shù)列從第8項開始超過150這條生產(chǎn)線最多生產(chǎn)7年．答案

C4．在等差數(shù)列{a}，滿足3a＝7a，且a>0，是數(shù)列{a}前項的和，若n1114331137n4n2na2nnn12nn1114331137n4n2na2nnn12nS取得最大值，則n＝A．7B．

C．9

()．D．10解析

設(shè)公差為d，由題設(shè)3(a＋3d)＝7(a＋6d)，所以d＝－

433

a<0.解不等式a

n

>0即a(n－1)a所以n<，則n≤9，4當(dāng)n≤9時，a

n

>0，同理可得n≥10時，a<0.故當(dāng)n＝9時，S答案C

n

取得最大值．5．設(shè)＝f(x)是一次函數(shù)，若f(0)＝，且，f(4)，(13)成等比數(shù)列，則f(2)＋f(4)＋…＋(2n)等于

()．A．n(2＋3)C．2n(2＋3)

B．(n＋4)D．2n(n＋4)解析

由題意可設(shè)f(x)kx1(k≠則(k＋1)2

＝k＋1)×k＋1)，解得k＝2，f(2)f(4)…＋f(2n)＝(22＋1)＋×4＋1)＋＋(2×n＋1)＝2n

2

＋3n.答案

A6．若數(shù)列{a}為等比數(shù)列，且a＝1，＝2，則Tn1n可化為()

1a12

＋

1a23

＋…＋

1an＋1

的結(jié)果A．1－

14n

B．1－

n21C.3

1D.1解析a＝2－1，設(shè)b＝＝n＋11則T＝b＋…＋b＝＋2n4nnnn2nacnn123nn123＝lg＝21223nnnn4nnnn2nacnn123nn123＝lg＝21223nnn112421＝＝131－4答案

C二、填空題7．設(shè)關(guān)于x的不等式2－＜2nxn∈N*

的解集中整數(shù)的個數(shù)為a，數(shù)列a}的前n項和為S，則的值為________．解析

由x

－x2nx(N，得0＜x2n＋1，因此知a＝2n.∴S

100＝2

＝10100.答案

10100ac8．已知ab，c成等比數(shù)列，如a，，b和b，，都成等差數(shù)列，則＝xy________.解析

賦值法．如令abc別為2,4,8，可求出x

a＋bb＋c＝3y＝＝6，22＋＝2.xy答案

29．設(shè)曲線y＝n

(n∈N在點(1,1)的切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為，令a

n＝lgx，則a＋＋a＋…＋a的值為________．解析

由y′＝(n＋1)

n

xN)，所以在點(1,1)的切線斜率kn＋1，故切線方程為＝n＋1)(x－＋1＝0得x＝an＋1

＋a＋＋…a

＝lgx1－2.答案

12991＋lgx＋…＋lgx＝lg(x··…·x)＝lg××…×99＋199＋1－210．?dāng)?shù)列{a}的前n項和為S，若數(shù)列{a}的各項按如下規(guī)律排列：812345678910n4kk1kn38nn1k812345678910n4kk1kn38nn1k112123123412n－1，，，，，，，，，，…，，，…，2334445555nnn

，…，有如下運算和結(jié)論：3①a＝；②數(shù)列a，a＋a，a＋a＋a，a＋a＋a＋，…是等比數(shù)列；n2＋n③數(shù)列aa＋aa＋a＋aa＋a＋a＋…的前n項和為T＝；1234567895④若存在正整數(shù)k，使S<10，≥10，則a＝.＋7其中正確的結(jié)論有________．(將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上)解析

依題意列{a}中的項依次按分母相同的項分成一組組中的數(shù)的規(guī)律是：第n組中的數(shù)共有n個，并且每個數(shù)的分母均是＋1，分子由1依次增大到n，第n組中的各數(shù)和等于

1＋2＋3＋…＋nn＋1

＝

n2

.對于①，注意到21＝

67<24<22

＝28，因此數(shù)列{a

n

}中的第24項應(yīng)是第7組中的第3個數(shù)，即a＝，因此①正確．對于②、③，設(shè)b

n

為②、③中的數(shù)列的通項，則b＝1＋2＋3＋…＋nn＋1

＝，顯然該數(shù)列是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列，其n項和21nn2n等于×＝，因此②不正確，③正確．224對于④，注意到數(shù)列的前6組的所有項的和等于

6

2

＋6＝10，因此滿足條件42的a

k

應(yīng)是第6組中的第個數(shù)，即a＝

57

，因此④正確．綜上所述，其中正確的結(jié)論有①③④.答案

①③④nn557nnnnnnn53571nnnnn－1－nn＋1223nnnn557nnnnnnn53571nnnnn－1－nn＋1223nnnnn11231n12n12212331231321nn1n1n三、解答題11．已知等差數(shù)列{a}的前n項和為S，S＝，a和a的等差中項為13.(1)求a及S；4(2)令b＝(n∈N*，求數(shù)列的前n項和T.a2－1解

(1)設(shè)等差數(shù)列a}的公差為d，因為S＝5a＝35，a＋a＝26，2＝7，所以＋d＝26，

解得a＝3，d＝2，所以a＝3＋2(n－1)＝2n＋1，nS＝3n＋×2＝n2

2

＋2n.(2)由知a＝2n＋1，4111所以b＝＝＝－，a2－1nnn＋111111所以T＝1n＝1－＝.n＋1n＋112．設(shè)數(shù)列a}的前項和為S，滿足S＝a－2n1＋5，a成等差數(shù)列．求a的值；求數(shù)列{a}的通項公式；1113(3)證明：對一切正整數(shù)，有＋＋…＋<.aaa2

＋1，∈N*，aa＋(1)解

當(dāng)n＝1時，2a＝a－4＋1＝a－3，

①當(dāng)n＝2時，2(＋a＝a－8＋1＝a－7，又a，a＋5，a成等差數(shù)列，所以＋a＝a＋5)，由①②③解得a＝1.

(2)解

∵2S＝a－2n＋1＋

＋1，∴當(dāng)n≥2時，有2S＝a－2－

n

＋1，n1n＋n1nnnn11＋2－1nn0＋22n－1n2nn321－∴＋＋…＋<1＋22222n－1n137nnnnnnnK1nn13n1n＋n1nnnn11＋2－1nn0＋22n－1n2nn321－∴＋＋…＋<1＋22222n－1n137nnnnnnnK1nn1322n11nnnnnnnnnna3a兩式相減整理得a－a＝2n，則－·＝1，＋222n－1a3a即＋2＝＋2＋2＝3，知222項為

33，公比為的等比數(shù)列，2a∴＋2＝32n－1

n

－1

，即a＝3n－n，n＝1時也適合此式，∴＝3n－2n.(3)證明

11由(得＝.an3n－2n當(dāng)n≥2時，即3－2n>2n，111113.a1a2an213．已知各項均不相等的等差數(shù){a}的前四項和為，a，，a恰為等比數(shù)列的前三項．(1)分別求數(shù)列a}，的前n項和S，；ST(2)記數(shù)列ab}的前n和為K，設(shè)c＝，求證：c>(n∈N)．nnnnn＋1nn(1)解

＋d＝14，設(shè)公差為d，則解得d＝1或d＝0(舍去)，a＝2，n所以a＝n＋1，＝.2又a＝2，d＝1，所以＝4，即b＝4.b所以數(shù)列的首項為b＝2，公比q＝＝2，b所以b＝2n，＝n1－(2)證明

因為K＝2·2＋3·2

＋…＋n＋1)·2n

，

①故2K＝2·22

＋3·23

＋…＋·2n

＋n＋1)·2n

＋1

，

②①－②得－K＝2·2122＋23＋…＋n－n＋1)·21

，∴K＝n·2n1

ST，則c＝＝.K2n1n1n＋n1nnnn12n12nn222111221122122121n22n11n1n1n＋n1nnnn12n12nn222111221122122121n22n11n12n1n2n12n1n2n12n2＋2an1＋n22nn2n2221222222222222222222c－c＝－222n＋1

－1＝

2

n

＋1＋n＋2>0，2n＋2所以c>(n∈N)．＋14．設(shè)數(shù)列{a}的前項和S滿足S＝aS＋a，其中a≠0.＋(1)求證：a}是首項為的等比數(shù)列；n(2)若a＞－1，求證：≤a＋a，并給出等號成立的充要條件．21n證明

(1)由S＝S＋，得a＋a＝aa＋a，即a＝aa.a因a≠0，故a＝1，得＝a，a又由題設(shè)條件知S＝S＋a，S＝aS＋a，＋＋＋兩式相減得S－S＝a(S－S)，＋＋＋即a

n＋2

＝aa

＋

，由a≠0，知a

n＋1

a≠0，因此＝a.n＋1a綜上，＝a對所有∈*成立．從而{a}是首項為1，公比為a的等比數(shù)a列．n(2)當(dāng)n＝1或2時，顯然S＝a＋a)，等號成立．1n設(shè)n≥3，a＞－且a≠0，由(知，a＝1，a＝an所以要證的不等式化為：n1＋a＋a＋…＋an1≤(1＋n－1)(n≥3)，222

－1，即證：1＋a＋a＋…＋a

n≤2

n＋12

(1＋

n)(n≥2)，當(dāng)a＝1時，上面不等式的等號成立．當(dāng)－1＜a＜1時，ar－1與an－r－1，r＝1,2，…，n－1)同為負(fù)