初中數(shù)學(xué)競賽試題與答案匯編

...wd......wd......wd...全國初中數(shù)學(xué)競賽初賽試題匯編〔1998-2018〕目錄1998年全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷11999年全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷62000年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題解答92001年TI杯全國初中數(shù)學(xué)競賽試題B卷142002年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題152003年“TRULY?信利杯〞全國初中數(shù)學(xué)競賽試題172004年“TRULY?信利杯〞全國初中數(shù)學(xué)競賽試題252005年全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷302006年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題322007年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題382008年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題462009年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題472010年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題522011年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題572012年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題602013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題732014年全國初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽772015年全國初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽852016年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題942017年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷1032018年初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題1051998年全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷一、選擇題：〔每題6分，共30分〕1、a、b、c都是實數(shù)，并且，那么以下式子中正確的選項是〔〕〔Ａ〕〔Ｂ〕〔Ｃ〕〔Ｄ〕2、如果方程的兩根之差是1，那么p的值為〔〕〔Ａ〕2〔Ｂ〕4〔Ｃ〕〔Ｄ〕3、在△ABC中，BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面積等于〔〕〔Ａ〕12〔Ｂ〕14〔Ｃ〕16〔Ｄ〕184、，并且，那么直線一定通過第〔〕象限〔Ａ〕一、二〔Ｂ〕二、三〔Ｃ〕三、四〔Ｄ〕一、四5、如果不等式組的整數(shù)解僅為1，2，3，那么適合這個不等式組的整數(shù)a、b的有序數(shù)對〔a、b〕共有〔〕〔Ａ〕17個〔Ｂ〕64個〔Ｃ〕72個〔Ｄ〕81個二、填空題：〔每題6分，共30分〕6、在矩形ABCD中，兩鄰邊AD=12，AB=5，P是AD邊上任意一點，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分別是垂足，那么PE+PF=___________。7、直線與拋物線相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，那么△OAB的面積等于___________。8、圓環(huán)內(nèi)直徑為acm，外直徑為bcm，將50個這樣的圓環(huán)一個接一個環(huán)套地連成一條鎖鏈，那么這條鎖鏈拉直后的長度為___________cm。9、方程〔其中a是非負(fù)整數(shù)〕，至少有一個整數(shù)根，那么a=___________。10、B船在A船的西偏北450處，兩船相距km，假設(shè)A船向西航行，B船同時向南航行，且B船的速度為A船速度的2倍，那么A、B兩船的最近距離是___________km。三、解答題：〔每題20分，共60分〕11、如圖，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，點E為腰AC中點，點F在底邊BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面積。12、設(shè)拋物線的圖象與x軸只有一個交點，〔1〕求a的值；〔2〕求的值。13、A市、B市和C市有某種機器10臺、10臺、8臺，現(xiàn)在決定把這些機器支援給D市18臺，E市10臺。：從A市調(diào)運一臺機器到D市、E市的運費為200元和800元；從B市調(diào)運一臺機器到D市、E市的運費為300元和700元；從C市調(diào)運一臺機器到D市、E市的運費為400元和500元?！?〕設(shè)從A市、B市各調(diào)x臺到D市，當(dāng)28臺機器調(diào)運完畢后，求總運費W〔元〕關(guān)于x〔臺〕的函數(shù)關(guān)系式，并求W的最大值和最小值?！?〕設(shè)從A市調(diào)x臺到D市，B市調(diào)y臺到D市，當(dāng)28臺機器調(diào)運完畢后，用x、y表示總運費W〔元〕，并求W的最大值和最小值。解答1．根據(jù)不等式性質(zhì)，選B．．2．由△=p2-4＞0及p＞2，設(shè)x1，x2為方程兩根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，3．如圖3－271，連ED，那么又因為DE是△ABC兩邊中點連線，所以應(yīng)選C．4．由條件得三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0．當(dāng)p=2時，y=2x＋2，那么直線通過第一、二、三象限．y=-x-1，那么直線通過第二、三、四象限．綜合上述兩種情況，直線一定通過第二、三象限．應(yīng)選B．，的可以區(qū)間，如圖3－272．+1，3×8＋2，3×8＋3，……3×8＋8，共8個，9×8=72(個)．應(yīng)選C．6．如圖3－273，過A作AG⊥BD于G．因為等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰距離的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因為AD=12，AB=5，所以BD=13，所7．如圖3-274，直線y=-2x+3與拋物線y=x2的交點坐標(biāo)為A(1，1)，B(-3，9)．作AA1，BB1分別垂直于x軸，垂足為A1，B1，所以8．如圖3－275，當(dāng)圓環(huán)為3個時，鏈長為當(dāng)圓環(huán)為50個時，鏈長為9．因為a≠0，解得故a可取1，3或5．10．如圖3－276，設(shè)經(jīng)過t小時后，A船、B船分別航行到A1，A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，所以11．解法1如圖3－277，過C作CD⊥CE與EF的延長線交于D．因為∠ABE＋∠AEB=90°，∠CED＋∠AEB=90°，所以∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分線，點F到CE和CD的距離相等，所以所以解法2如圖3－278，作FH⊥CE于H，設(shè)FH=h．因為∠ABE＋∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠FEH，于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因為所以12．(1)因為拋物線與x軸只有一個交點，所以一元二次方程有兩個相等的實根，于是(2)由(1)知，a2=a＋1，反復(fù)利用此式可得a4=(a＋1)2=a2＋2a+1=3a+2，a8=(3a＋2)2=9a2＋12a＋4=21a＋13，a16=(21a+13)2=441a2＋546a＋169＝987a＋610，a18＝(987a＋610)(a＋1)＝987a2＋1597a＋610=2584a＋1597．又因為a2-a-1=0，所以64a2-64a-65=-1，即(8a+5)(8a-13)=-1．所以a18＋323a－6=2584a＋1597＋323(-8a＋13)=5796．13．(1)由題設(shè)知，A市、B市、C市發(fā)往D市的機器臺數(shù)分別為x，x，18-2x，發(fā)往E市的機器臺數(shù)分別為10-x，10-x，2x-10．于是W=200x＋300x+400(18-2x)＋800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800x＋17200．W=-800x＋17200(5≤x≤9，x是整數(shù))．由上式可知，W是隨著x的增加而減少的，所以當(dāng)x=9時，W取到最小值10000元；當(dāng)x=5時，W取到最大值13200元．(2)由題設(shè)知，A市、B市、C市發(fā)往D市的機器臺數(shù)分別為x，y，18-x-y，發(fā)往E市的機器臺數(shù)分別為10-x，10-y，x＋y-10．于是W=200x+800(10-x)+300y＋700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)=-500x-300y+17200．W=-500x-300y+17200，且W=-200x-300(x+y)+17200≥-200×10-300×18＋17200=9800．當(dāng)x=10，y=8時，W=9800，所以W的最小值為9800．又W=-200x-300(x＋y)＋17200≤-200×0-300×10+17200=14200，當(dāng)x=0，y=10時，W=14200，所以W的最大值為14200．1999年全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷

一、選擇題〔此題共6小題，每題5分，總分值30分．每題均給出了代號為A，B，C，D的四個結(jié)論，其中只有一個是正確的．請將正確答案的代號填在題后的括號里〕1．一個凸n邊形的內(nèi)角和小于1999°，那么n的最大值是〔〕．A．11B．12C．13D．142．某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費：用煤氣如果不超過60立方米，按每立方米0.8元收費；如果超過60立方米，超過局部按每立方米1.2元收費．某用戶4月份的煤氣費平均每立方米0.88元，那么4月份該用戶應(yīng)交煤氣費〔〕．A．60元B．66元C．75元D．78元3．，那么代數(shù)式的值為〔〕．A．B．－C．－D．4．在三角形ABC中，D是邊BC上的一點，AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面積是〔〕．A．30B．36C．72D．1255．如果拋物線與x軸的交點為A，B，項點為C，那么三角形ABC的面積的最小值是〔〕．A．1B．2C．3D．46．在正五邊形ABCDE所在的平面內(nèi)能找到點P，使得△PCD與△BCD的面積相等，并且△ABP為等腰三角形，這樣的不同的點P的個數(shù)為〔〕．A．2B．3C．4D．5二、填空題〔此題共6小題，每題5分，總分值30分〕7．，那么x2+y2的值為．8．如圖1，正方形ABCD的邊長為10cm，點E在邊CB的延長線上，且EB=10cm，點P在邊DC上運動，EP與AB的交點為F．設(shè)DP=xcm，△EFB與四邊形AFPD的面積和為ycm2，那么，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是〔0＜x＜10〕．9．a(chǎn)b≠0，a2+ab－2b2=0，那么的值為．10．如圖2，邊長為1的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中，A，B兩點在第Ⅰ象限內(nèi)，OA與x軸的夾角為30°，那么點B的坐標(biāo)是．11．設(shè)有一個邊長為1的正三角形，記作A1〔如圖3〕，將A1的每條邊三等分，在中間的線段上向形外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A2〔如圖4〕；將A2的每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A3〔如圖5〕；再將A3的每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A4，那么A4的周長是．12．江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等．如果用兩臺抽水機抽水，40分鐘可抽完；如果用4臺抽水機抽水，16分鐘可抽完．如果要在10分鐘內(nèi)抽完水，那么至少需要抽水機臺．三、解答題〔此題共3小題，每題20分，總分值60分〕13．設(shè)實數(shù)s，t分別滿足19s2+99s+1=0，t2+99t+19=0，并且st≠1，求的值．14．如圖6，四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓O，對角線AC是直徑，對角線AC和BD的交點是P，AB=BD，且PC=0.6，求四邊形ABCD的周長．15．有人編了一個程序：從1開場，交織地做加法或乘法〔第一次可以是加法，也可以是乘法〕每次加法，將上次的運算結(jié)果加2或加3；每次乘法，將上次的運算結(jié)果乘2或乘3．例如，30可以這樣得到：．〔1〕〔10分〕證明：可以得到22；〔2〕〔10分〕證明：可以得到2100+297－2．1999年全國初中數(shù)學(xué)競賽答案一、1．C2．B3．D4．B5．A6．D二、7．108．y=5x+509．10．11．12．6三、13．解：∵s≠0，∴第一個等式可以變形為：．又∵st≠1，∴，t是一元二次方程x2+99x+19=0的兩個不同的實根，于是，有．即st+1=－99s，t=19s．∴．14．解：設(shè)圓心為O，連接BO并延長交AD于H．∵AB=BD，O是圓心，∴BH⊥AD．又∵∠ADC=90°，∴BH∥CD．從而△OPB∽△CPD．，∴CD=1．于是AD=．又OH=CD=，于是AB=，BC=．所以，四邊形ABCD的周長為．15．證明：〔1〕．也可以倒過來考慮：．〔或者．〕〔2〕．或倒過來考慮：．注意：加法與乘法必須是交織的，否那么不能得分．2000年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題解答一、選擇題〔只有一個結(jié)論正確〕1、設(shè)a，b，c的平均數(shù)為M，a，b的平均數(shù)為N，N，c的平均數(shù)為P，假設(shè)a＞b＞c，那么M與P的大小關(guān)系是〔〕?！睞〕M＝P；〔B〕M＞P；〔C〕M＜P；〔D〕不確定。答：〔B〕?！進(jìn)＝，N＝，P＝，M－P＝，∵a＞b＞c，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。2、某人騎車沿直線旅行，先前進(jìn)了a千米，休息了一段時間，又原路返回b千米〔b﹤a〕，再前進(jìn)c千米，那么此人離起點的距離S與時間t的關(guān)系示意圖是〔〕。答：〔C〕。因為圖〔A〕中沒有反映休息所消耗的時間；圖〔B〕雖說明折返后S的變化，但沒有表示消耗的時間；圖〔D〕中沒有反映沿原始返回的一段路程，唯圖〔C〕正確地表述了題意。3、甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙10歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲，那么〔〕?！睞〕甲比乙大5歲；〔B〕甲比乙大10歲；〔C〕乙比甲大10歲；〔D〕乙比甲大5歲。答：〔A〕。由題意知3×〔甲－乙〕＝25－10，∴甲－乙＝5。4、一個一次函數(shù)圖象與直線y=平行，與x軸、y軸的交點分別為A、B，并且過點〔－1，－25〕，那么在線段AB上〔包括端點A、B〕，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點有〔〕?！睞〕4個；〔B〕5個；〔C〕6個；〔D〕7個。答：〔B〕。在直線AB上，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點的坐標(biāo)是x＝－1＋4N，y＝－25＋5N，〔N是整數(shù)〕．在線段AB上這樣的點應(yīng)滿足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。5、設(shè)a，b，c分別是△ABC的三邊的長，且，那么它的內(nèi)角∠A、∠B的關(guān)系是〔〕?！睞〕∠B＞2∠A；〔B〕∠B＝2∠A；〔C〕∠B＜2∠A；〔D〕不確定。答：〔B〕。由得，延長CB至D，使BD＝AB，于是CD＝a+c，在△ABC與△DAC中，∠C為公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。6、△ABC的三邊長分別為a，b，c，面積為S，△A1B1C1的三邊長分別為a1，b1,C1面積為S1，且a＞a1，b＞b1，c＞c1那么S與S1的大小關(guān)系一定是〔〕?！睞〕S＞S1；〔B〕S＜S1；〔C〕S＝S1；〔D〕不確定。答：〔D〕。分別構(gòu)造△ABC與△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，顯然，即S＞S1；②設(shè)，那么，S＝10，，那么S1＝×100＞10，即S＜S1；③設(shè)，那么，S＝10，，那么，S1＝10，即S＝S1；因此，S與S1的大小關(guān)系不確定。二、填空題7、：，那么＝________。答：1。∵，即?！唷?、如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝6，∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，那么梯形ABCD的面積等于________。答：66＋6〔平方單位〕。作AE、BF垂直于DC，垂足分別為E、F，由BC＝6，∠BCD＝45°，得AE＝BF＝FC＝6。由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，因為AE＝6得DE＝2，AB＝EF＝8，DC＝2＋8＋6＝14＋2，∴。9、關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)有________個。答：5。①當(dāng)時，；②當(dāng)時，易知是方程的一個整數(shù)根，再由且是整數(shù)，知，∴；由①、②得符合條件的整數(shù)有5個。10、如圖，工地上豎立著兩根電線桿AB、CD，它們相距15米，分別自兩桿上高出地面4米、6米的A、C處，向兩側(cè)地面上的E、D；B、F點處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿。那么鋼絲繩AD與BC的交點P離地面的高度為________米。答：2.4米。作PQ⊥BD于Q，設(shè)BQ＝米，QD＝米，PQ＝米，由AB∥PQ∥CD，得及，兩式相加得，由此得米。即點P離地面的高度為2.4米?！沧ⅲ河缮鲜鼋夥ㄖ?，AB、CD之間相距多遠(yuǎn)，與題目結(jié)論無關(guān)。〕11、如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點B的坐標(biāo)為〔15，6〕，直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩局部，那么＝________。答：。直線通過點D〔15，5〕，故BD＝1。當(dāng)時，直線通過，兩點，那么它恰好將矩形OABC分成面積相等的兩局部。12、某商場經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨時價格比原進(jìn)價降低了6.4％，使得利潤率增加了8個百分點，那么經(jīng)銷這種商品原來的利潤率是________。〔注：×100％〕答：17％。設(shè)原進(jìn)價為元，銷售價為元，那么按原進(jìn)價銷售的利潤率為×100％，原進(jìn)價降低6.4％后，在銷售時的利潤率為×100％，依題意得：×100％＋8％＝×100％，解得＝1.17，故這種商品原來的利潤率為×100％＝17％。三、解答題13、設(shè)是不小于的實數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根?！?〕假設(shè)，求的值。〔2〕求的最大值。解：因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，∴。根據(jù)題設(shè)，有?！?〕因為，即。由于，故?！?〕。設(shè)上是遞減的，所以當(dāng)時，取最大值10。故的最大值為10。14、如上圖：四邊形ABCD外接圓O的半徑為2，對角線AC與BD的交點為E，AE＝EC，AB＝AE，且BD＝2，求四邊形ABCD的面積。解：由題設(shè)得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，從而AB＝AD。連結(jié)AD，交BD于H，那么BH＝HD＝。∴OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1?！啵逧是AC的中點，∴，，∴，∴。15、一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多能容納32人，而且只能在第2層至第33層中的某一層停一次。對于每個人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意。現(xiàn)在有32個人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一層，問：電梯停在哪一層，可以使得這32個人不滿意的總分到達(dá)最小最小值是多少〔有些人可以不乘電梯而直接從樓梯上樓〕解：易知，這32個人恰好是第2至第33層各住1人。對于每個乘電梯上、下樓的人，他所住的層數(shù)一定大于直接走樓梯上樓的人所住的層數(shù)。事實上，設(shè)住第s層的人乘電梯，而住第t層的人直接走樓梯上樓，。交換兩人上樓方式，其余的人不變，那么不滿意總分不增，現(xiàn)分別考慮如下：設(shè)電梯停在第層。①當(dāng)時，假設(shè)住第s層的人乘電梯，而住第t層的人直接走樓梯上樓，那么這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，那么這兩者不滿意總分也為。②當(dāng)時，假設(shè)住第s層的人乘電梯，而住第t層的人直接走樓梯上樓，那么這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，那么這兩者不滿意總分也為。③當(dāng)時，假設(shè)住第s層的人乘電梯，而住第t層的人直接走樓梯上樓，那么這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，那么這兩者不滿意總分為，前者比后者多。④當(dāng)時，假設(shè)住第層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，那么這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，那么這兩者不滿意總分為，前者比后者多。⑤當(dāng)時，假設(shè)住第層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，那么這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，那么這兩者不滿意總分為，前者比后者多。今設(shè)電梯停在第層，在第一層有人直接走樓梯上樓，那么不滿意總分為：當(dāng)x＝27，y＝6時，s＝316。所以，當(dāng)電梯停在第27層時，這32個人不滿意的總分到達(dá)最小，最小值為316分。2001年TI杯全國初中數(shù)學(xué)競賽試題B卷選擇題〔30分〕1、化簡，得〔〕〔A〕(B)(C)(D)2、如果是三個任意整數(shù)，那么〔〕〔A〕都不是整數(shù)〔B〕至少有兩個整數(shù)〔C〕至少有一個整數(shù)〔D〕都是整數(shù)3、如果是質(zhì)數(shù)，且那么的值為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4、如圖，假設(shè)將正方形分成個全等的矩形，其中上、12下各橫排兩個，中間豎排假設(shè)干個，那么的值為〔〕……〔A〕6〔B〕8〔C〕10〔D〕12345、如圖，假設(shè)PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點D,且PB=4，PD=3，那么ADDC等于〔〕P〔A〕6〔B〕7〔C〕12〔D〕16DCAB6、假設(shè)是正數(shù)，且滿足，那么之間的大小關(guān)系是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕不能確定填空題〔30分〕7、：。那么8、假設(shè)那么的值為9、用長為1，4，4，5的線段為邊作梯形，那么這個梯形的面積等于10、銷售某種商品，如果單價上漲％，那么售出的數(shù)量就將減少。為了使該商品的銷售總金額最大，那么的值應(yīng)該確定為11、在直角坐標(biāo)系中，軸上的動點M〔x，0〕到定點P〔5，5〕、Q〔2，1〕的距離分別為MP和MQ，那么當(dāng)MP+MQ取最小值時，點M的橫坐標(biāo)12、實數(shù)滿足，那么t的取值范圍是解答題〔60分〕13、某個學(xué)生參加軍訓(xùn)，進(jìn)展打靶訓(xùn)練，必須射擊10次。在第6、第7、第8、第9次射擊中，分別得了9.0環(huán)、8.4環(huán)、8.1環(huán)、9.3環(huán)。他的前9次射擊所得的平均環(huán)數(shù)高于前5次射擊所得的平均環(huán)數(shù)。如果他要使10次射擊的平均環(huán)數(shù)超過8.8環(huán)。那么他在第10次射擊中至少要得多少環(huán)〔每次射擊所得環(huán)數(shù)都準(zhǔn)確到0.1環(huán)〕14、如圖，點P是⊙O外一點，PS、PT是⊙O的兩條切線，過點P作⊙O的割線PAB，交⊙O于A,B兩點，并交ST于點C。求證：.PSACOT15、：關(guān)于x的方程有實根。求取值范圍；假設(shè)原方程的兩個實數(shù)根為，且，求的值。,2002年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題〔每題5分，共30分〕1、設(shè)a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，那么的值為A、B、C、2D、32、a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，那么多項式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值為A、0B、1C、2D、33、如圖，點E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點，連AF、CE交于點G，那么等于A、B、C、D、4、設(shè)a、b、c為實數(shù)，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，那么x、y、z中至少有一個值A(chǔ)、大于0B、等于0C、不大于0D、小于05、設(shè)關(guān)于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有兩個不等的實數(shù)根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范圍是A、＜a＜B、a＞C、a＜D、＜a＜06、A1A2A3…A9是一個正九邊形，A1A2＝a，A1A3＝b，那么A1A5等于A、B、C、D、a＋b二、填空題〔每題5分，共30分〕7、設(shè)x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的兩個實數(shù)根，那么(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值為。8、a、b為拋物線y＝(x－c)(x－c－d)－2與x軸交點的橫坐標(biāo)，a＜b，那么的值為。9、如圖，在△ABC中，∠ABC＝600，點P是△ABC內(nèi)的一點，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，那么PB＝。10、如圖，大圓O的直徑AB＝acm，分別以O(shè)A、OA為直徑作⊙O1、⊙O2，并在⊙O與⊙O1和⊙O2的空隙間作兩個等圓⊙O3和⊙O4，這些圓互相內(nèi)切或外切，那么四邊形O1O2O3O4的面積為cm2。11、滿足(n2－n－1)n＋2＝1的整數(shù)n有___________個。12、某商品的標(biāo)價比成本高p%，當(dāng)該商品降價出售時，為了不賠本，售價的折扣〔即降價的百分?jǐn)?shù)〕不得超過d%，那么d可以用p表示為。三、解答題〔每題20分，共60分〕13、某項工程，如果由甲、乙兩隊承包，天完成，需付180000元；由乙、丙兩隊承包，天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，天完成，需付160000元?，F(xiàn)在工程由一個隊單獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個隊的承包費用最少14、如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB＝CD＝EF，且對角線AD、BE、CF交于一點Q，設(shè)AD與CE的交點為P。求證：〔2〕求證：15、如果對一切x的整數(shù)值，x的二次三項式ax2＋bx＋c的值都是平方數(shù)〔即整數(shù)的平方〕。證明：〔1〕2a、2b、c都是整數(shù)；〔2〕a、b、c都是整數(shù)，并且c是平方數(shù)；反過來，如果〔2〕成立，是否對一切的x的整數(shù)值，x的二次三項式ax2＋bx＋c的值都是平方數(shù)2003年“TRULY?信利杯〞全國初中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題〔共5小題，每題6分，總分值30分.以下每道小題均給出了英文代號的四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的.請將正確結(jié)論的代號填入題后的括號里.不填、多填或錯填，得零分〕1．假設(shè)4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，那么的值等于().(A)(B)(C)(D)2．在本埠投寄平信，每封信質(zhì)量不超過20g時付郵費0.80元，超過20g而不超過40g時付郵費1.60元，依次類推，每增加20g需增加郵費0.80元〔信的質(zhì)量在100g以內(nèi)〕。如果所寄一封信的質(zhì)量為72.5g，那么應(yīng)付郵費().(A)2.4元(B)2.8元(C)3元(D)3.2元3．如以以下列圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=〔〕.(A)360°(B)450°(C)540°(D)720°〔第〔第3題圖〕〔第4題圖〕4．四條線段的長分別為9，5，x，1〔其中x為正實數(shù)〕，用它們拼成兩個直角三角形，且AB與CD是其中的兩條線段〔如上圖〕，那么x可取值的個數(shù)為〔〕.(A)2個(B)3個(C)4個(D)6個5．某校初三兩個畢業(yè)班的學(xué)生和教師共100人一起在臺階上拍畢業(yè)照留念，攝影師要將其排列成前多后少的梯形隊陣〔排數(shù)≥3〕，且要求各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的空擋處，那么，滿足上述要求的排法的方案有().(A)1種(B)2種(C)4種(D)0種二、填空題〔共5小題，每題6分，總分值30分〕6．，那么.7．假設(shè)實數(shù)x，y，z滿足，，，那么xyz的值為.8．觀察以以下列圖形：①②③④根據(jù)圖①、②、③的規(guī)律，圖④中三角形的個數(shù)為.〔第9題圖〕9．如以下列圖，電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD與地面成45o，∠A=60oCD=4m，BC=m，那么電線桿AB的長為_______m.〔第9題圖〕10．二次函數(shù)〔其中a是正整數(shù)〕的圖象經(jīng)過點A〔－1，4〕與點B〔2，1〕，并且與x軸有兩個不同的交點，那么b+c的最大值為.三、解答題〔共4題，每題15分，總分值60分〕11．如以下列圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結(jié)AC，與DE交于點P.問EP與PD是否相等證明你的結(jié)論.解：(第11題圖)(第11題圖)12．某人租用一輛汽車由A城前往B城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通過兩城市之間所需的時間〔單位：小時〕如以下列圖.假設(shè)汽車行駛的平均速度為80千米/小時，而汽車每行駛1千米需要的平均費用為1.2元.試指出此人從A城出發(fā)到B城的最短路線〔要有推理過程〕，并求出所需費用最少為多少元解：(第12題圖)(第12題圖)13B．如以下列圖，在△ABC中，∠ACB=90°.〔1〕當(dāng)點D在斜邊AB內(nèi)部時，求證：.〔2〕當(dāng)點D與點A重合時，第〔1〕小題中的等式是否存在請說明理由.〔3〕當(dāng)點D在BA的延長線上時，第〔1〕小題中的等式是否存在請說明理由.(第13B題圖)(第13B題圖)14B．實數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=2，abc=4.〔1〕求a，b，c中的最大者的最小值；〔2〕求的最小值.注：13B和14B相對于下面的13A和14A是較容易的題.13B和14B與前面的12個題組成考試卷.后面兩頁13A和14A兩題可留作考試后的研究題。13A．如以下列圖，⊙O的直徑的長是關(guān)于x的二次方程〔k是整數(shù)〕的最大整數(shù)根.P是⊙O外一點，過點P作⊙O的切線PA和割線PBC，其中A為切點，點B，C是直線PBC與⊙O的交點.假設(shè)PA，PB，PC的長都是正整數(shù)，且PB的長不是合數(shù)，求的值.解：(第13A題圖)(第13A題圖)14A．沿著圓周放著一些數(shù)，如果有依次相連的4個數(shù)a，b，c，d滿足不等式>0，那么就可以交換b，c的位置，這稱為一次操作.〔1〕假設(shè)圓周上依次放著數(shù)1，2，3，4，5，6，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a，b，c，d，都有≤0請說明理由.〔2〕假設(shè)圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003個正整數(shù)1，2，…，2003，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a，b，c，d，都有≤0請說明理由.解：〔1〕〔2〕2003年“TRULY?信利杯〞全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題〔每題6分，總分值30分〕1．D由解得代入即得.2．D因為20×3<72.5<20×4，所以根據(jù)題意，可知需付郵費0.8×4=3.2〔元〕.3．C如以下列圖，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，而∠BMN+∠FNM=∠D＋180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.(第3題圖)(第4題圖)(第3題圖)(第4題圖)4．D顯然AB是四條線段中最長的，故AB=9或AB=x。〔1〕假設(shè)AB=9，當(dāng)CD=x時，，；當(dāng)CD=5時，，；當(dāng)CD=1時，，.〔2〕假設(shè)AB=x，當(dāng)CD=9時，，；當(dāng)CD=5時，，；當(dāng)CD=1時，，.故x可取值的個數(shù)為6個.5．B設(shè)最后一排有k個人，共有n排，那么從后往前各排的人數(shù)分別為k，k+1，k+2，…，k+〔n－1〕，由題意可知，即.因為k，n都是正整數(shù)，且n≥3，所以n<2k+〔n－1〕，且n與2k+〔n－1〕的奇偶性不同.將200分解質(zhì)因數(shù)，可知n=5或n=8.當(dāng)n=5時，k=18；當(dāng)n=8時，k=9.共有兩種不同方案.6．.＝。7．1.因為，所以，解得.從而，.于是.8．161.根據(jù)圖中①、②、③的規(guī)律，可知圖④中三角形的個數(shù)為1+4+3×4++=1+4+12+36+108=161〔個〕.9．.如圖，延長AD交地面于E，過D作DF⊥CE于F.(第9題圖)因為∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，所以CF=DF=m，EF=DFtan60°=〔m〕.(第9題圖)因為，所以〔m〕.10.－4.由于二次函數(shù)的圖象過點A〔－1，4〕，點B〔2，1〕，所以解得因為二次函數(shù)圖象與x軸有兩個不同的交點，所以，，即，由于a是正整數(shù)，故，所以≥2.又因為b+c=－3a+2≤－4，且當(dāng)a=2，b=－3，c=－1時，滿足題意，故b+c的最大值為－4.三、解答題〔共4題，每題15分，總分值60分〕11．如以下列圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結(jié)AC，與DE交于點P.問EP與PD是否相等證明你的結(jié)論.解：DP=PE.證明如下：因為AB是⊙O的直徑，BC是切線，所以AB⊥BC.由Rt△AEP∽Rt△ABC，得(第11題圖).①……(第11題圖)又AD∥OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC.故②……〔12分〕由①，②得ED=2EP.所以DP=PE.……〔15分〕12．某人租用一輛汽車由A城前往B城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通過兩城市之間所需的時間〔單位：小時〕如以下列圖.假設(shè)汽車行駛的平均速度為80千米/小時，而汽車每行駛1千米需要的平均費用為1.2元.試指出此人從A城出發(fā)到B城的最短路線〔要有推理過程〕，并求出所需費用最少為多少元解：從A城出發(fā)到達(dá)B城的路線分成如下兩類：〔1〕從A城出發(fā)到達(dá)B城，經(jīng)過O城.因為從A城到O城所需最短時間為26小時，從O城到B城所需最短時間為22小時.所以，此類路線所需最短時間為26+22=48〔小時〕.……〔5分〕〔2〕從A城出發(fā)到達(dá)B城，不經(jīng)過O城.這時從A城到達(dá)B城，必定經(jīng)過C，D，E城或F，G，H城，所需時間至少為49小時.……〔10分〕綜上，從A城到達(dá)B城所需的最短時間為48小時，所走的路線為：A→F→O→E→B.……〔12分〕所需的費用最少為：80×48×1.2=4608〔元〕…〔14分〕答：此人從A城到B城最短路線是A→F→O→E→B，所需的費用最少為4608元……〔15分〕((第12題圖)13B．如以下列圖，在△ABC中，∠ACB=90°.〔1〕當(dāng)點D在斜邊AB內(nèi)部時，求證：.〔2〕當(dāng)點D與點A重合時，第〔1〕小題中的等式是否存在請說明理由.〔3〕當(dāng)點D在BA的延長線上時，第〔1〕小題中的等式是否存在請說明理由.解：〔1〕作DE⊥BC，垂足為E.由勾股定理得所以.因為DE∥AC，所以.故.……〔10分〕〔2〕當(dāng)點D與點A重合時，第〔1〕小題中的等式仍然成立。此時有AD=0，CD=AC，BD=AB.所以，.從而第〔1〕小題中的等式成立.……〔13分〕〔3〕當(dāng)點D在BA的延長線上時，第〔1〕小題中的等式不成立.作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，那么而,所以.……〔15分〕〖說明〗第〔3〕小題只要答復(fù)等式不成立即可〔不成立的理由表述不甚清者不扣分〕.14B．實數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=2，abc=4.〔1〕求a，b，c中的最大者的最小值；〔2〕求的最小值.解：〔1〕不妨設(shè)a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由題設(shè)知a>0，且b+c=2-a，.于是b，c是一元二次方程的兩實根，≥0，≥0，≥0.所以a≥4.……〔8分〕又當(dāng)a=4，b=c=-1時，滿足題意.故a，b，c中最大者的最小值為4.……〔10分〕〔2〕因為abc>0，所以a，b，c為全大于0或一正二負(fù).假設(shè)a，b，c均大于0，那么由〔1〕知，a，b，c中的最大者不小于4，這與a+b+c=2矛盾.2〕假設(shè)a，b，c為或一正二負(fù)，設(shè)a>0，b<0，c<0，那么，由〔1〕知a≥4，故2a-2≥6，當(dāng)a=4，b=c=-1時，滿足題設(shè)條件且使得不等式等號成立。故的最小值為6.……〔15分〕13A．如以下列圖，⊙O的直徑的長是關(guān)于x的二次方程〔k是整數(shù)〕的最大整數(shù)根.P是⊙O外一點，過點P作⊙O的切線PA和割線PBC，其中A為切點，點B，C是直線PBC與⊙O的交點.假設(shè)PA，PB，PC的長都是正整數(shù)，且PB的長不是合數(shù)，求的值.解：設(shè)方程的兩個根為，，≤.由根與系數(shù)的關(guān)系得(第13A圖)，(第13A圖).②由題設(shè)及①知，，都是整數(shù).從①，②消去k，得，.由上式知，，且當(dāng)k=0時，，故最大的整數(shù)根為4.于是⊙O的直徑為4，所以BC≤4.因為BC=PC－PB為正整數(shù)，所以BC=1，2，3或4.……〔6分〕連結(jié)AB，AC，因為∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，。故③……〔10分〕〔1〕當(dāng)BC=1時，由③得，，于是，矛盾！〔2〕當(dāng)BC=2時，由③得，，于是，矛盾！〔3〕當(dāng)BC=3時，由③得，，于是，由于PB不是合數(shù)，結(jié)合，故只可能解得此時.〔4〕當(dāng)BC=4，由③得，，于是，矛盾.綜上所述.……〔15分〕14A．沿著圓周放著一些數(shù)，如果有依次相連的4個數(shù)a，b，c，d滿足不等式>0，那么就可以交換b，c的位置，這稱為一次操作.〔1〕假設(shè)圓周上依次放著數(shù)1，2，3，4，5，6，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a，b，c，d，都有≤0請說明理由.〔2〕假設(shè)圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003個正整數(shù)1，2，…，2003，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a，b，c，d，都有≤0請說明理由.解：〔1〕答案是肯定的.具體操作如下：(1－4)(2－3)(1－4)(2－3)>0交換2，3(1－2)(3－4)>0交換3，4(3－6)(2－5)>0交換2，5(3－5)(2－4)>0交換2，4……〔5分〕〔2〕答案是肯定的.考慮這2003個數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為P.……〔7分〕開場時，=1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1，經(jīng)過k〔k≥0〕次操作后，這2003個數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為，此時假設(shè)圓周上依次相連的4個數(shù)a，b，c，d滿足不等式>0，即ab+cd>ac+bd，交換b，c的位置后，這2003個數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為，有.所以，即每一次操作，相鄰兩數(shù)乘積的和至少減少1，由于相鄰兩數(shù)乘積總大于0，故經(jīng)過有限次操作后，對任意依次相連的4個數(shù)a，b，c，d，一定有≤0.…2004年“TRULY?信利杯〞全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題〔共5小題，每題6分，總分值30分.以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里.不填、多填或錯填得零分〕1.實數(shù)，且滿足，.那么的值為〔〕.〔A〕23〔B〕〔C〕〔D〕答：選〔B〕∵a、b是關(guān)于x的方程的兩個根，整理此方程，得，∵，∴，.故a、b均為負(fù)數(shù).因此.2.假設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為、，斜邊長為，斜邊上的高為，那么有〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答：選〔C〕∵，，∴，；因此，結(jié)論〔A〕、〔D〕顯然不正確.設(shè)斜邊為c，那么有，，即有，因此，結(jié)論〔B〕也不正確.由化簡整理后，得，因此結(jié)論〔C〕是正確的.3．一條拋物線的頂點為〔4，〕，且與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)為一正一負(fù)，那么a、b、c中為正數(shù)的〔〕.〔A〕只有〔B〕只有〔C〕只有〔D〕只有和答：選〔A〕由頂點為〔4，〕，拋物線交x軸于兩點，知a>0.設(shè)拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)為，，即為方程的兩個根.由題設(shè)，知，所以.根據(jù)對稱軸x=4，即有，知b<0.故知結(jié)論〔A〕是正確的.4．如以下列圖，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距離之比為1:2.假設(shè)△ABC的面積為32，△CDE的面積為2，那么△CFG的面積S等于〔〕.〔A〕6〔B〕8〔C〕10〔D〕12〔第4題圖〕答：選〔B〕〔第4題圖〕由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，所以，又由題設(shè)知，所以，，故，于是，.因此，結(jié)論〔B〕是正確的.5．如果x和y是非零實數(shù)，使得和，那么x+y等于〔〕.〔A〕3〔B〕〔C〕〔D〕答：選〔D〕將代入，得.〔1〕當(dāng)x>0時，，方程無實根；〔2〕當(dāng)x<0時，，得方程解得，正根舍去，從而.于是.故.因此，結(jié)論〔D〕是在正確的.二、填空題〔共5小題，每題6分，總分值30分〕6．如以下列圖，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，，那么〔度〕.答：°解：設(shè)，由AB=AC知，〔第6題圖〕，〔第6題圖〕由AD=AE知，，所以.7．據(jù)有關(guān)資料統(tǒng)計，兩個城市之間每天的通話次數(shù)T與這兩個城市的人口數(shù)m、n〔單位：萬人〕以及兩城市間的距離d〔單位：km〕有的關(guān)系(k為常數(shù)).現(xiàn)測得A、B、C三個城市的人口及它們之間的距離如以下列圖，且A、B兩個城市間每天的通話次數(shù)為t，那么B、C兩個城市間每天的通話次數(shù)為次〔用t表示〕.答：解：據(jù)題意，有，∴.〔第7題圖〕因此，B、C兩個城市間每天的通話次數(shù)為〔第7題圖〕.8．實數(shù)a、b、x、y滿足，，那么.答：解：由，得，∵，∴.因而，.9．如以下列圖，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，，BC=CD=12,，假設(shè)AE=10，那么CE的長為.答：4或6〔第9題圖〕解：延長DA至M，使BM⊥BE.過B作BG⊥AM，G為垂足.易知四邊形BCDG為正方形，所以BC=BG.又，〔第9題圖〕∴Rt△BEC≌Rt△BMG.∴BM=BE，，∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10.設(shè)CE=x，那么AG=，AD=，DE=.在Rt△ADE中，，∴，即，解之，得，.故CE的長為4或6.10．實數(shù)x、y、z滿足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，那么z的最大值是.答：解：∵，，∴x、y是關(guān)于t的一元二次方程的兩實根.∵，即，.∴，當(dāng)時，.故z的最大值為.三、解答題〔共4題，每題15分，總分值60分〕11．通過實驗研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中學(xué)生聽課的注意力指標(biāo)數(shù)是隨著教師講課時間的變化而變化的，講課開場時，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)的狀態(tài)，隨后開場分散.學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)y隨時間x〔分鐘〕變化的函數(shù)圖象如以下列圖〔y越大表示學(xué)生注意力越集中〕.當(dāng)時，圖象是拋物線的一局部，當(dāng)和時，圖象是線段.〔1〕當(dāng)時，求注意力指標(biāo)數(shù)y與時間x的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕一道數(shù)學(xué)競賽題需要講解24分鐘.問教師能否經(jīng)過適當(dāng)安排，使學(xué)生在聽這道題時，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于36.解：〔1〕當(dāng)時，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，由于它的圖象經(jīng)過點〔0，20〕，〔5，39〕，〔10，48〕，所以〔第11〔A〕題圖〕解得，，，.〔第11〔A〕題圖〕所以，.…〔5分〕〔2〕當(dāng)時，.所以，當(dāng)時，令y=36，得，解得x=4，〔舍去〕；當(dāng)時，令y=36，得，解得.……〔10分〕因為，所以，教師可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?，在學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)不低于36時，講授完這道競賽題.……〔15分〕12．a(chǎn)，b是實數(shù)，關(guān)于x，y的方程組有整數(shù)解，求a，b滿足的關(guān)系式.解：將代入，消去a、b，得，………〔5分〕.假設(shè)x+1=0，即，那么上式左邊為0，右邊為不可能.所以x+1≠0，于是.因為x、y都是整數(shù)，所以，即或0，進(jìn)而y=8或0.故或………〔10分〕當(dāng)時，代入得，；當(dāng)時，代入得，.綜上所述，a、b滿足關(guān)系式是，或者，a是任意實數(shù).………〔15分〕13．D是△ABC的邊AB上的一點，使得AB=3AD，P是△ABC外接圓上一點，使得，求的值.解：連結(jié)AP，那么，所以，△APB∽△ADP，…………〔5分〕∴，所以，∴，…………〔10分〕〔第13〔A〕題圖〕所以.…………〔第13〔A〕題圖〕14．，，，且，求的最小值.〔第14〔A〕題圖〕解：令，由，，，判別式，所以這個二次函數(shù)的圖象是一條開口向下的拋物線，且與x軸有兩個不同的交點，，因為，不妨設(shè)，那么，對稱軸，于是〔第14〔A〕題圖〕，………………〔5分〕所以，…〔10分〕故，當(dāng)，b=0，c=1時，等號成立.所以，的最小值為4.………〔15分〕2005年全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷題號一二三總分1~56~1011121314得分一、選擇題(總分值30分)1.如圖a，ABCD是一矩形紙片，AB=6cm，AD=8cm,E是AD上一點，且AE=6cm，操作：⑴將AB向AE折過去，使AB與AE重合，得折痕AF，如圖b；⑵將△AFB以BF為折痕向右折過去，得圖c，那么△GFC的面積為()A.2B.3C.4D.52.假設(shè)M=3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13(x，y是實數(shù))，那么M的值一定是()A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.零D.整數(shù)3.點I是銳角△ABC的內(nèi)心，A1，B1，C1分別是點I關(guān)于邊BC，CA，AB的對稱點。假設(shè)點B在△A1B1C1的外接圓上，那么∠ABC等于()A.30°B.45°C.60°D.90°4.設(shè)，那么與A最接近的正整數(shù)是()A.18B.20C.24D.255.在自變量x的取值范圍59≤x≤60內(nèi)，二次函數(shù)的函數(shù)值中整數(shù)的個數(shù)是()A.59B.120C.118D.60二、填空題(總分值30分)6.在一個圓形的時鐘的外表，OA表示秒針，OB表示分針(O為兩針的旋轉(zhuǎn)中心)。假設(shè)現(xiàn)在時間恰好是12點整，那么經(jīng)過_____秒后，△OAB的面積第一次到達(dá)最大。7.在直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B的兩點。假設(shè)A，B兩點到原點的距離分別為OA，OB，且滿足，那么m=_____.8.有兩幅撲克牌，每幅的排列順序是：第一張是大王，第二張是小王，然后是黑桃、紅桃、方塊、梅花四種花色排列，每種花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的順序排列。某人把按上述排列的兩幅撲克牌上下疊放在一起，然后從一到下把第一張丟去，把第二張放在最底層，再把第三張丟去，把第四張放在底層，……如此下去，直至最后只剩下一張牌，那么所剩的這張牌是_________9.D，E分別是△ABC的邊BC，CA上的點，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。連結(jié)AD和BE，它們交于點P。過P分別作PQ∥CA，PR∥CB，它們分別與邊AB交于點Q，R，那么△PQR的面積與△ABC的面積的比是________10.x1,x2,x3,…x19都是正整數(shù)，且x1+x2+x3+…+x19=59，x12+x22+x32+…+x192的最大值為A，最小值為B，那么A+B的值等于_________。三、解答題、(總分值60分)11.8人乘速度一樣的兩輛小汽車同時趕往火車站，每輛車乘4人(不包括司機)。其中一輛小汽車在距離火車站15km地方出現(xiàn)故障，此時距停頓檢票的時間還有42分鐘。這時惟一可用的交通工具是另一輛小汽車，包括司機在內(nèi)這輛車限乘5人，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。試設(shè)計兩種方案，通過計算說明這8個人能夠在停頓檢票前趕到火車站。12.如圖，半徑不等的兩圓相交于A、B兩點，線段CD經(jīng)過點A，且分別交兩圓于C、D兩點。連結(jié)BC、BD，設(shè)P，Q，K分別是BC，BD，CD的中點。M，N分別是弧BC和弧BD的中點。求證：(1)(2)①△KPM∽△NQK13..p，q都是質(zhì)數(shù)，且使得關(guān)于x的二次方程x2－(8p－10q)x＋5pq=0至少有一個正整數(shù)根，求所有的質(zhì)數(shù)對(p，q).14.從1，2….，205個共205個正整數(shù)中，最多能取出多少個數(shù)。使得對于取出來的數(shù)中的任意三個數(shù)a,b,c(a,<b<c),都有ab≠c.2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題考試時間2006年4月2日上午9∶30－11∶30總分值120分一、選擇題〔共5小題，每題6分，總分值30分。以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分〕1．在高速公路上，從3千米處開場，每隔4千米經(jīng)過一個限速標(biāo)志牌；并且從10千米處開場，每隔9千米經(jīng)過一個速度監(jiān)控儀．剛好在19千米處第一次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施，那么第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是〔〕〔A〕36〔B〕37〔C〕55〔D〕902．，，且=8，那么a的值等于〔〕〔A〕－5〔B〕5〔C〕－9〔D〕93．Rt△ABC的三個頂點A，B，C均在拋物線上，并且斜邊AB平行于x軸．假設(shè)斜邊上的高為h，那么〔〕〔A〕h<1〔B〕h=1〔C〕1<h<2〔D〕h>24．一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩局部；拿出其中一局部，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩局部；又從得到的三局部中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩局部……如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，那么至少要剪的刀數(shù)是〔〕〔A〕2004〔B〕2005〔C〕2006〔D〕2007〔第5題圖〕ABCDO〔第5題圖〕ABCDOQP〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二、填空題〔共5小題，每題6分，總分值30分〕〔第7題圖〕A〔第7題圖〕ABCDGFE7．如圖，面積為的正方形DEFG內(nèi)接于面積為1的正三角形ABC，其中a，b，c為整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，那么的值等于．8．正五邊形廣場ABCDE的周長為2000米．甲、乙兩人分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿A→B→C→D→E→A→…方向繞廣場行走，甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分．那么出發(fā)后經(jīng)過分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上．9．0<a<1，且滿足，那么的值等于．(表示不超過x的最大整數(shù))10．小明家號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字8，成為一個七位數(shù)的號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字2，成為一個八位數(shù)的號碼．小明發(fā)現(xiàn)，他家兩次升位后的號碼的八位數(shù)，恰是原來號碼的六位數(shù)的81倍，那么小明家原來的號碼是．三、解答題〔共4題，每題15分，總分值60分〕11．，，為互質(zhì)的正整數(shù)〔即，是正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1〕，且≤8，．試寫出一個滿足條件的x；求所有滿足條件的x．12．設(shè)，，為互不相等的實數(shù)，且滿足關(guān)系式①②求a的取值范圍．〔第13題〕ABCOPEK13．如圖，點P為⊙O外一點，過點P作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B．過點A作PB的平行線，交⊙〔第13題〕ABCOPEK14．10個學(xué)生參加n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學(xué)生至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學(xué)生，他們都不在這兩個課外小組中．求n的最小值．參考答案一、選擇題〔共5小題，每題6分，總分值30分。以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分〕1．在高速公路上，從3千米處開場，每隔4千米經(jīng)過一個限速標(biāo)志牌；并且從10千米處開場，每隔9千米經(jīng)過一個速度監(jiān)控儀．剛好在19千米處第一次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施，那么第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是〔〕〔A〕36〔B〕37〔C〕55〔D〕90答：C．解：因為4和9的最小公倍數(shù)為36，19＋36=55，所以第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是在55千米處．應(yīng)選C．2．，，且=8，那么a的值等于〔〕〔A〕－5〔B〕5〔C〕－9〔D〕9答：C．解：由可得，．又=8，所以解得a=－9應(yīng)選C．3．Rt△ABC的三個頂點A，B，C均在拋物線上，并且斜邊AB平行于x軸．假設(shè)斜邊上的高為h，那么〔〕〔A〕h<1〔B〕h=1〔C〕1<h<2〔D〕h>2答：B．解：設(shè)點A的坐標(biāo)為〔a，a2〕，點C的坐標(biāo)為〔c，c2〕〔|c|<|a|〕，那么點B的坐標(biāo)為〔－a，a2〕，由勾股定理，得，，所以．由于，所以a2－c2=1，故斜邊AB上高h(yuǎn)=a2－c2=1應(yīng)選B．4．一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩局部；拿出其中一局部，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩局部；又從得到的三局部中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩局部……如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，那么至少要剪的刀數(shù)是〔〕〔A〕2004〔B〕2005〔C〕2006〔D〕2007答：B．解：根據(jù)題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩局部時，每剪開一次，使得各局部的內(nèi)角和增加360°．于是，剪過k次后，可得(k＋1)個多邊形，這些多邊形的內(nèi)角和為(k＋1)×360°．因為這(k＋1)個多邊形中有34個六十二邊形，它們的內(nèi)角和為34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多邊形有(k＋1)－34=k－33(個)，而這些多邊形的內(nèi)角和不少于(k－33)×180°．所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－33)×180°，解得k≥2005．當(dāng)我們按如下方式剪2005刀時，可以得到符合條件的結(jié)論．先從正方形上剪下1個三角形，得到1個三角形和1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形，得到2個三角形和1個六邊形……如此下去，剪了58刀后，得到58個三角形和1個六十二邊形．再取33個三角形，在每個三角形上剪一刀，又可得到33個三角形和33個四邊形，對這33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34個六十二邊形和33×58個三角形．于是共剪了58＋33＋33×58=2005〔刀〕．應(yīng)選B．〔第5題圖〕ABCDO〔第5題圖〕ABCDOQP〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答：D．〔第5題圖〕ABC〔第5題圖〕ABCDOQPQA=r－m．在⊙O中，根據(jù)相交弦定理，得QA·QC=QP·QD．即(r－m)(r＋m)=m·QD，所以QD=．連結(jié)DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，即，解得所以，應(yīng)選D．二、填空題〔共5小題，每題6分，總分值30分〕6．a(chǎn)，b，c為整數(shù)，且a＋b=2006，c－a=2005．假設(shè)a<b，那么a＋b＋c的最大值為．答：5013．解：由，，得．因為，a<b，a為整數(shù)，所以，a的最大值為1002．〔第7題圖〕A〔第7題圖〕ABCDGFE7．如圖，面積為的正方形DEFG內(nèi)接于面積為1的正三角形ABC，其中a，b，c為整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，那么的值等于．答：．解：設(shè)正方形DEFG的邊長為x，正三角形ABC的邊長為m，那么，由△ADG∽△ABC，可得，解得于是，由題意，，，，所以．8．正五邊形廣場ABCDE的周長為2000米．甲、乙兩人分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿A→B→C→D→E→A→…方向繞廣場行走，甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分．那么出發(fā)后經(jīng)過分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上．答：104．解：設(shè)甲走完x條邊時，甲、乙兩人第一次開場行走在同一條邊上，此時甲走了400x米，乙走了46×=368x米．于是368(x－1)＋800－400(x－1)>400，所以，12.5≤x<13.5．故x=13，此時．9．0<a<1，且滿足，那么的值等于．(表示不超過x的最大整數(shù))答：6．解：因為0<，所以，，…，等于0或1．由題設(shè)知，其中有18個等于1，所以=0，=1，所以，1≤＜2．故18≤30a＜19，于是6≤10a＜，所以=6．10．小明家號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字8，成為一個七位數(shù)的號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字2，成為一個八位數(shù)的號碼．小明發(fā)現(xiàn)，他家兩次升位后的號碼的八位數(shù)，恰是原來號碼的六位數(shù)的81倍，那么小明家原來的號碼是．答：282500．解：設(shè)原來號碼的六位數(shù)為，那么經(jīng)過兩次升位后號碼的八位數(shù)為．根據(jù)題意，有81×=．記，于是，解得x=1250×(208－71a)．因為0≤x＜，所以0≤1250×(208－71a)＜，故≤．因為a為整數(shù)，所以a=2．于是x=1250×(208－71×2)=82500．所以，小明家原來的號碼為282500．三、解答題〔共4題，每題15分，總分值60分〕11．，，為互質(zhì)的正整數(shù)〔即，是正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1〕，且≤8，．〔1〕試寫出一個滿足條件的x；〔2〕求所有滿足條件的x．解：〔1〕滿足條件．……………5分〔2〕因為，，為互質(zhì)的正整數(shù)，且≤8，所以，即．當(dāng)a=1時，，這樣的正整數(shù)不存在．當(dāng)a=2時，，故=1，此時．當(dāng)a=3時，，故=2，此時．當(dāng)a=4時，，與互質(zhì)的正整數(shù)不存在．當(dāng)a=5時，，故=3，此時．當(dāng)a=6時，，與互質(zhì)的正整數(shù)不存在．當(dāng)a=7時，，故=3，4，5此時，，．當(dāng)a=8時，，故=5，此時所以，滿足條件的所有分?jǐn)?shù)為，，，，，，．………………15分12．設(shè)，，為互不相等的實數(shù)，且滿足關(guān)系式①②求a的取值范圍．解法一：由①－2×②得，所以a>－1．當(dāng)a>－1時，=．………………10分又當(dāng)時，由①，②得，③④將④兩邊平方，結(jié)合③得化簡得，故，解得，或．所以，a的取值范圍為a>－1且，．………15分解法二：因為，，所以，所以．又，所以，為一元二次方程⑤的兩個不相等實數(shù)根，故，所以a>－1．當(dāng)a>－1時，=．………………10分另外，當(dāng)時，由⑤式有，即或，解得，或．當(dāng)時，同理可得或．所以，a的取值范圍為a>－1且，．………15分〔第13題〕ABCOPEK13．如圖，點P為⊙O外一點，過點P作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B．過點A作PB的平行線，交⊙〔第13題〕ABCOPEK證明：因為AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切線，所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是△KPE∽△KAP，所以，即．由切割線定理得所以．…………10分因為AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是故，即PE·AC=CE·KB．………………15分14．10個學(xué)生參加n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學(xué)生至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學(xué)生，他們都不在這兩個課外小組中．求n的最小值．解：設(shè)10個學(xué)生為，，…，，n個課外小組，，…，．首先，每個學(xué)生至少參加兩個課外小組．否那么，假設(shè)有一個學(xué)生只參加一個課外小組，設(shè)這個學(xué)生為，由于每兩個學(xué)生至少在某一個小組內(nèi)出現(xiàn)過，所以其它9個學(xué)生都與他在同一組出現(xiàn)，于是這一組就有10個人了，矛盾．………………5分假設(shè)有一學(xué)生恰好參加兩個課外小組，不妨設(shè)恰好參加，，由題設(shè)，對于這兩組，至少有兩個學(xué)生，他們沒有參加這兩組，于是他們與沒有同過組，矛盾．所以，每一個學(xué)生至少參加三個課外小組．于是n個課外小組，，…，的人數(shù)之和不小于3×10=30．另一方面，每一課外小組的人數(shù)不超過5，所以n個課外小組，，…，的人數(shù)不超過5n，故5n≥30，所以n≥6．……………10分下面構(gòu)造一個例子說明n=6是可以的．，，，，，．容易驗證，這樣的6個課外小組滿足題設(shè)條件．所以，n的最小值為6．……………15分中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“?數(shù)學(xué)周報?杯〞2007年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題〔共5小題，每題6分，總分值30分.以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里.不填、多填或錯填得零分〕1．方程組的解的個數(shù)為〔〕．〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕4答：〔A〕．解：假設(shè)≥0，那么于是，顯然不可能．假設(shè)，那么于是，解得，進(jìn)而求得．所以，原方程組的解為只有1個解．應(yīng)選〔A〕．2．口袋中有20個球，其中白球9個，紅球5個，黑球6個．現(xiàn)從中任取10個球，使得白球不少于2個但不多于8個，紅球不少于2個，黑球不多于3個，那么上述取法的種數(shù)是〔〕．〔A〕14〔B〕16〔C〕18〔D〕20答：〔B〕．解：用枚舉法：紅球個數(shù)白球個數(shù)黑球個數(shù)種數(shù)5