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人教A版必修第一冊(cè)1.1集合的概念第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)“集合”是日常生活中的一個(gè)常用詞,現(xiàn)代漢語(yǔ)解釋為:許多的人或物聚在一起.
在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中,集合是一種簡(jiǎn)潔、高雅的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,我們?cè)鯓永斫鈹?shù)學(xué)中的“集合”?下面我們看一個(gè)個(gè)思考問(wèn)題
康托爾(G.Cantor,1845-1918).德國(guó)數(shù)學(xué)家,集合論創(chuàng)始人.人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日.情景導(dǎo)學(xué)通知9月1號(hào)下午7點(diǎn)整,請(qǐng)高一年級(jí)的全體學(xué)生在體育館集合組織入學(xué)教育.
德育處想一想?
這個(gè)通知的對(duì)象是全體高一學(xué)生還是個(gè)別對(duì)象?高一學(xué)生全體
此時(shí)高一學(xué)生的全體構(gòu)成一個(gè)集合,這節(jié)課我們就具體地研究集合的相關(guān)知識(shí).初中我們已經(jīng)接觸過(guò)一些集合:1.將下列數(shù)字填入相應(yīng)的集合:自然數(shù)集合有理數(shù)集合2.圓的定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.合作探究1集合的定義
看下面幾個(gè)例子
(1)1~20以內(nèi)的所有偶數(shù);(2)立德中學(xué)今年入學(xué)的全體高一學(xué)生;(3)所有正方形;(4)到直線l的距離等于定長(zhǎng)d的所有的點(diǎn);(5)方程
的所有實(shí)數(shù)根;(6)地球上的四大洋。思考:
上述每個(gè)問(wèn)題都由若干個(gè)對(duì)象組成,每組對(duì)象的全體都能組成集合嗎?如果把研究的對(duì)象統(tǒng)稱為元素,那么它們的元素分別是什么?探究結(jié)果每一組的元素是:
(1)1~20以內(nèi)的每一個(gè)偶數(shù);(2)立德中學(xué)今年入學(xué)的每一位高一學(xué)生;(3)每一個(gè)正方形;(4)到直線l的距離等于定長(zhǎng)d的每一個(gè)點(diǎn);(5)方程
的每一個(gè)實(shí)數(shù)根;(6)地球上四大洋中的每一大洋。都能夠構(gòu)成一個(gè)集合
一般地,我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素.我們把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集).
其中元素通常用小寫拉丁字母a,b,c,...來(lái)表示.
集合通常用大寫拉丁字母A,B,C,...來(lái)表示.問(wèn)題:組成集合的元素一定是數(shù)嗎?
組成集合的元素可以是物、數(shù)、圖、點(diǎn)等歸納總結(jié)1.所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個(gè)集合?由此說(shuō)明什么?集合中的元素具有確定性
合作探究2集合中元素的性質(zhì)由于“帥”是一個(gè)含糊不清的概念,具有相對(duì)性,多么“帥”才算“帥”?沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn),也就是說(shuō),是一些不能夠確定的對(duì)象.因此,不能構(gòu)成集合.2.由2,3,1,6,3這些數(shù)組成的一個(gè)集合中有5個(gè)元素,這種說(shuō)法正確嗎?集合中的元素具有互異性不正確.集合中只有4個(gè)不同元素2,3,1,6.
合作探究2集合中元素的性質(zhì)3.高一(6)班的全體同學(xué)組成一個(gè)集合,調(diào)整座位后這個(gè)集合有沒(méi)有變化?集合中的元素具有無(wú)序性通過(guò)以上的學(xué)習(xí)你能給出集合中元素的具有哪些特性?確定性、互異性、無(wú)序性
由于元素相同
集合沒(méi)有變化
合作探究2集合中元素的性質(zhì)兩個(gè)集合中若元素完全一樣,則稱兩集合相等.提示:任何集合的元素都有滿足確定性、互異性、無(wú)序性.我們還可以用這些性質(zhì)繼續(xù)去探求集合與元素的關(guān)系.1.判斷以下元素的全體是否組成集合,并說(shuō)明理由:(1)大于3小于11的偶數(shù);(2)我國(guó)的小河流.(3)由1,2,2,3這四個(gè)數(shù)練習(xí)已知下面的兩個(gè)實(shí)例:(1)用A表示高一(1)班全體學(xué)生組成的集合.(2)用a表示高一(1)班的一位同學(xué),b表示高一(2)班的一位同學(xué).a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.合作探究3
元素和集合的關(guān)系思考:那么a,b與集合A分別有什么關(guān)系?元素a與集合A的關(guān)系
如果a是集合A的元素,就說(shuō)a屬于集合A,記作a∈A;
如果a不是集合A中的元素,就說(shuō)a不屬于集合A,記作a?A.注意:屬于符號(hào)和不屬于符號(hào)具有方向性,左邊是元素右邊是集合。歸納總結(jié)常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法QRNZN*或N+
學(xué)習(xí)集合與元素的概念后,為了方便書寫,數(shù)學(xué)中規(guī)定了一些常用數(shù)集及其記法:
求解此類問(wèn)題必須要做到以下兩點(diǎn):①熟記常見的數(shù)集的符號(hào);②正確理解元素與集合之間的“屬于”關(guān)系.練習(xí)1.列舉法
問(wèn)題1:地球上的四大洋組成的集合如何表示?
{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}.
合作探究4集合的表示方法問(wèn)題2:方程(x+1)(x+2)=0的所有根組成的集合又如何用列舉法表示呢?
{-1,-2}
定義:把集合的元素一一列舉出來(lái),并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.元素滿足
確定無(wú)序互異性注意:
元素間要用逗號(hào)隔開.
通過(guò)思考以上問(wèn)題大家能總結(jié)歸納出列舉法的概念嗎?歸納總結(jié)元素必須用花括號(hào)括起來(lái)
問(wèn)題
能否用列舉法表示不等式x-3<7的解集?
分析:由于小于10的實(shí)數(shù)有無(wú)窮多個(gè),而且無(wú)法一一列舉出來(lái),因此這個(gè)集合不能用列舉法表示.但是可以看出,這個(gè)集合中的元素滿足性質(zhì):(1)集合中的元素都小于10.(2)集合中的元素都是實(shí)數(shù)
這個(gè)集合可以通過(guò)描述其元素性質(zhì)的方法來(lái)表示,記作:
2.描述法描述法定義:用這個(gè)集合A所含元素x的共同特征p(x)表示集合的方法.奇數(shù)集合表示為偶數(shù)的集合怎樣表示為
還可以把奇數(shù)集合表示為
思考例1用列舉法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合.(2)方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合.解:(1)設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A,
則A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}={0,2,1,5,4,3,6,9,8,7}
(2)設(shè)方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為B,那么B={1,0}={0,1}.例題解析例2試分別用列舉法和描述法表示下列集合.(1)方程x2-2=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合.(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.方程x2-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為,
因此,用列舉法表示為A={}.解:(1)設(shè)方程x2-2=0的實(shí)數(shù)根為x,并且滿足條件x2-2=0,因此,用描述法表示為A={x∈R|x2-2=0}.大于10小于20的整數(shù)有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列舉法表示為B={x∈Z∣10<x<20}.B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.(2)設(shè)大于10小于20的整數(shù)為x,它滿足條件x∈Z,且10<x<20,因此,用描述法表示為思考:你能說(shuō)出列舉法和描述法的優(yōu)缺點(diǎn)嗎?
優(yōu)點(diǎn)
缺點(diǎn)列舉法直觀、明了不易看出元素
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