山西省長(zhǎng)治、運(yùn)城、大同、朔州、陽(yáng)泉五地市2022年高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
山西省長(zhǎng)治、運(yùn)城、大同、朔州、陽(yáng)泉五地市2022年高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷含解析_第2頁(yè)
山西省長(zhǎng)治、運(yùn)城、大同、朔州、陽(yáng)泉五地市2022年高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷含解析_第3頁(yè)
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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則()A. B. C.2 D.3.已知,則p是q的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知雙曲線:的左右焦點(diǎn)分別為,,為雙曲線上一點(diǎn),為雙曲線C漸近線上一點(diǎn),,均位于第一象限,且,,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.正三棱柱中,,是的中點(diǎn),則異面直線與所成的角為()A. B. C. D.6.根據(jù)如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸入的值為3時(shí),輸出的值等于()A.1 B. C. D.7.如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,異面直線SC與OE所成角的正切值為()A. B. C. D.8.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是邊長(zhǎng)為4的正三角形,俯視圖是由邊長(zhǎng)為4的正三角形和一個(gè)半圓構(gòu)成,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.9.下列函數(shù)中,圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的為()A. B.,C. D.10.若與互為共軛復(fù)數(shù),則()A.0 B.3 C.-1 D.411.若集合M={1,3},N={1,3,5},則滿(mǎn)足M∪X=N的集合X的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.412.已知函數(shù),,若對(duì)任意的總有恒成立,記的最小值為,則最大值為()A.1 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿(mǎn)足:,,若對(duì)任意的正整數(shù)均有,則實(shí)數(shù)的最大值是_____.14.某校高二(4)班統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)中午在食堂用餐時(shí)間,有7人用時(shí)為6分鐘,有14人用時(shí)7分鐘,有15人用時(shí)為8分鐘,還有4人用時(shí)為10分鐘,則高二(4)班全體同學(xué)用餐平均用時(shí)為_(kāi)___分鐘.15.如圖,某市一學(xué)校位于該市火車(chē)站北偏東方向,且,已知是經(jīng)過(guò)火車(chē)站的兩條互相垂直的筆直公路,CE,DF及圓弧都是學(xué)校道路,其中,,以學(xué)校為圓心,半徑為的四分之一圓弧分別與相切于點(diǎn).當(dāng)?shù)卣顿Y開(kāi)發(fā)區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟(jì),其中分別在公路上,且與圓弧相切,設(shè),的面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)為何值時(shí),面積為最小,政府投資最低?16.已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)重合,直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與拋物線交于、兩點(diǎn)和橢圓交于、兩點(diǎn),為拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足,,當(dāng)面積最大時(shí),直線的方程為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)橢圓:()的離心率為,它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)是直線上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,求證:直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).18.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)對(duì)及,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)的內(nèi)角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、,已知.(1)求的值;(2)若,點(diǎn)是線段的中點(diǎn),,求的面積.21.(12分)已知(1)若,且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的范圍;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且存在滿(mǎn)足,令函數(shù),試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明.22.(10分)已知,,函數(shù)的最小值為.(1)求證:;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知,雙曲線的漸近線方程是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用.2.D【解析】

把已知等式變形,然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案.【詳解】解:,則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題.3.B【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)再分析即可.【詳解】因?yàn)?所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點(diǎn)分別為,為雙曲線上的一點(diǎn),為雙曲線的漸近線上的一點(diǎn),且都位于第一象限,且,可知為的三等分點(diǎn),且,點(diǎn)在直線上,并且,則,,設(shè),則,解得,即,代入雙曲線的方程可得,解得,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),離心率的求法,考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力,雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見(jiàn)有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).5.C【解析】

取中點(diǎn),連接,,根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì),得出//,則即為異面直線與所成角,求出,即可得出結(jié)果.【詳解】解:如圖,取中點(diǎn),連接,,由于正三棱柱,則底面,而底面,所以,由正三棱柱的性質(zhì)可知,為等邊三角形,所以,且,所以平面,而平面,則,則//,,∴即為異面直線與所成角,設(shè),則,,,則,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)幾何法求異面直線的夾角,考查計(jì)算能力.6.C【解析】

根據(jù)程序圖,當(dāng)x<0時(shí)結(jié)束對(duì)x的計(jì)算,可得y值.【詳解】由題x=3,x=x-2=3-1,此時(shí)x>0繼續(xù)運(yùn)行,x=1-2=-1<0,程序運(yùn)行結(jié)束,得,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖,是基礎(chǔ)題.7.D【解析】

可過(guò)點(diǎn)S作SF∥OE,交AB于點(diǎn)F,并連接CF,從而可得出∠CSF(或補(bǔ)角)為異面直線SC與OE所成的角,根據(jù)條件即可求出,這樣即可得出tan∠CSF的值.【詳解】如圖,過(guò)點(diǎn)S作SF∥OE,交AB于點(diǎn)F,連接CF,則∠CSF(或補(bǔ)角)即為異面直線SC與OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的定義及求法,直角三角形的邊角的關(guān)系,平行線分線段成比例的定理,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】由題意得到該幾何體是一個(gè)組合體,前半部分是一個(gè)高為底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的三棱錐,后半部分是一個(gè)底面半徑為2的半個(gè)圓錐,體積為故答案為A.點(diǎn)睛:思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系,遵循“長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等”的基本原則,其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高,長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng);俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng),寬是幾何體的寬;側(cè)視圖的高是幾何體的高,寬是幾何體的寬.由三視圖畫(huà)出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫(huà)出整體,然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.9.D【解析】

圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.【詳解】圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為偶函數(shù);A中,,,故為奇函數(shù);B中,的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),故為非奇非偶函數(shù);C中,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,為奇函數(shù);D中,且,,故為偶函數(shù).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法:對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)都有,則函數(shù)是奇函數(shù);都有,則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法:函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(軸)對(duì)稱(chēng).10.C【解析】

計(jì)算,由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】,又由共軛復(fù)數(shù)概念得:,.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù)的概念.11.D【解析】可以是共4個(gè),選D.12.C【解析】

對(duì)任意的總有恒成立,因?yàn)?,?duì)恒成立,可得,令,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】對(duì)任意的總有恒成立,對(duì)恒成立,令,可得令,得當(dāng),當(dāng),,故令,得當(dāng)時(shí),當(dāng),當(dāng)時(shí),故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問(wèn)題,解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2【解析】

根據(jù)遞推公式可考慮分析,再累加求出關(guān)于關(guān)于參數(shù)的關(guān)系,根據(jù)表達(dá)式的取值分析出,再用數(shù)學(xué)歸納法證明滿(mǎn)足條件即可.【詳解】因?yàn)?累加可得.若,注意到當(dāng)時(shí),,不滿(mǎn)足對(duì)任意的正整數(shù)均有.所以.當(dāng)時(shí),證明:對(duì)任意的正整數(shù)都有.當(dāng)時(shí),成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立,即,則,即結(jié)論對(duì)也成立.由數(shù)學(xué)歸納法可知,對(duì)任意的正整數(shù)都有.綜上可知,所求實(shí)數(shù)的最大值是2.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問(wèn)題,需要根據(jù)遞推公式累加求解,同時(shí)注意結(jié)合參數(shù)的范圍問(wèn)題進(jìn)行分析.屬于難題.14.7.5【解析】

分別求出所有人用時(shí)總和再除以總?cè)藬?shù)即可得到平均數(shù).【詳解】故答案為:7.5【點(diǎn)睛】此題考查求平均數(shù),關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計(jì)算出所有數(shù)據(jù)之和,易錯(cuò)點(diǎn)在于概念辨析不清導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò).15.(1);(2).【解析】

(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,在中,設(shè),又,故,,進(jìn)而表示直線的方程,由直線與圓相切構(gòu)建關(guān)系化簡(jiǎn)整理得,即可表示OA,OB,最后由三角形面積公式表示面積即可;(2)令,則,由輔助角公式和三角函數(shù)值域可求得t的取值范圍,進(jìn)而對(duì)原面積的函數(shù)用含t的表達(dá)式換元,再令進(jìn)行換元,并構(gòu)建新的函數(shù),由二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】解:(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,在中,設(shè),又,故,.所以直線的方程為,即.因?yàn)橹本€與圓相切,所以.因?yàn)辄c(diǎn)在直線的上方,所以,所以式可化為,解得.所以,.所以面積為.(2)令,則,且,所以,.令,,所以在上單調(diào)遞減.所以,當(dāng),即時(shí),取得最大值,取最小值.答:當(dāng)時(shí),面積為最小,政府投資最低.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,應(yīng)優(yōu)先結(jié)合實(shí)際建立合適的數(shù)學(xué)模型,再按模型求最值,屬于難題.16.【解析】

根據(jù)均值不等式得到,,根據(jù)等號(hào)成立條件得到直線的傾斜角為,計(jì)算得到直線方程.【詳解】由橢圓,可知,,,,,,,(當(dāng)且僅當(dāng),等號(hào)成立),,,,,直線的傾斜角為,直線的方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線,橢圓,直線的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】

(1)根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)列出方程組,即可得出橢圓方程;(2)設(shè)點(diǎn),,,由,,結(jié)合斜率公式化簡(jiǎn)得出,,即,滿(mǎn)足,由的任意性,得出直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【詳解】(1)依題意得,解得即橢圓:;(2)設(shè)點(diǎn),,其中,由,得,即,注意到,于是,因此,滿(mǎn)足由的任意性知,,,即直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓的方程,直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,屬于中檔題.18.(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】

詳解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),不成立;當(dāng)時(shí),由,解得.所以不等式的解集為.(Ⅱ)因?yàn)?,所?由題意知對(duì),,即,因?yàn)?,所以,解?【點(diǎn)睛】⑴絕對(duì)值不等式解法的基本思路是:去掉絕對(duì)值號(hào),把它轉(zhuǎn)化為一般的不等式求解,轉(zhuǎn)化的方法一般有:①絕對(duì)值定義法;②平方法;③零點(diǎn)區(qū)域法.⑵不等式的恒成立可用分離變量法.若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值,進(jìn)而求出參數(shù)范圍.這種方法本質(zhì)也是求最值.一般有:①為參數(shù))恒成立②為參數(shù))恒成立.19.(1)(2)【解析】

(1)判斷公比不為1,運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式,解方程可得公比,進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式;(2)求得,運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和,以及等比數(shù)列的求和公式,計(jì)算可得所求和.【詳解】解:(1)設(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,可得時(shí),,不成立;當(dāng)時(shí),,即,解得(舍去),則;(2),前項(xiàng)和,,兩式相減可得,化簡(jiǎn)可得.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用,考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和,考查方程思想和運(yùn)算能力,屬于中檔題.20.(1)(2)【解析】

(1)利用正弦定理的邊化角公式,結(jié)合兩角和的正弦公式,即可得出的值;(2)由題意得出,兩邊平方,化簡(jiǎn)得出,根據(jù)三角形面積公式,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)由正弦定理得即即在中,,所以(2)因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn),所以?xún)蛇吰椒降糜傻谜淼?,解得或(舍)所以的面積【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的邊化角公式,三角形的面積公式,屬于中檔題.21.(1)(2)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和【解析】試題分析:(1)求

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