【講座】高中試題中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的考查趨勢(shì)分析及教學(xué)建議

高中試題中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的考查趨勢(shì)分析及教學(xué)建議目錄1.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的概念理解及內(nèi)涵2.高中數(shù)學(xué)哪些內(nèi)容隱含或滲透數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)3.“數(shù)學(xué)抽象”立意的高考試題分析4.基于“數(shù)學(xué)抽象”的教學(xué)建議內(nèi)涵

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征。價(jià)值

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用中。抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng)。目標(biāo)

通過數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠更好的理解數(shù)學(xué)的概念、命題、方法和體系，形成一般性思考問題的習(xí)慣；能夠在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中化繁為簡(jiǎn)，理解該學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征。1.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的概念理解及內(nèi)涵概念：集合、映射、函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性、周期性、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)、三角函數(shù)及性質(zhì)、平面向量、曲線與方程、導(dǎo)函數(shù)等。定理如：正弦定理、余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)的應(yīng)用方面如：線性規(guī)劃求解最值問題、函數(shù)零點(diǎn)、導(dǎo)函數(shù)應(yīng)用等2.高中數(shù)學(xué)哪些內(nèi)容隱含或滲透數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)案例1:復(fù)合函數(shù)單調(diào)性案例分析與評(píng)價(jià)學(xué)生開始對(duì)教師講的不明白，教師答疑后，學(xué)生認(rèn)為明白了.但后來(lái)對(duì)類似問題，依然沒有思路，再次“明白”后，還是不能正確解決同類問題.學(xué)生的歸因是“忘了”.是真的忘了，還是對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)等知識(shí)根本就沒有理解，因而不能夠有效地把握問題和完整地、正確地解決問題？教師的反思：答疑時(shí)，我自認(rèn)為講得很清楚，學(xué)生受到了一定的啟發(fā).但是反思后我發(fā)現(xiàn)，自己的講解并沒有很好地針對(duì)學(xué)生的知識(shí)水平，從根本上解決她存在的問題，只是一味地想要她按照某個(gè)固定程序去解決這一類問題.學(xué)生雖然說(shuō)明白了,卻并不真正理解問題的本質(zhì)性的東西,如復(fù)合函數(shù)的意義、復(fù)合函數(shù)中函數(shù)間的相互關(guān)系、換元的目的、函數(shù)單調(diào)性的定義等.由于我沒有在她原有的知識(shí)水平、經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上幫助建構(gòu)，引導(dǎo)她注意新知識(shí)中的某些關(guān)鍵點(diǎn)，因此她的思維過程無(wú)法連續(xù)地進(jìn)行，新舊知識(shí)的聯(lián)系不牢固，表面上看是記憶的問題：“忘了”,其實(shí)她還是沒有真正理解我所講解的內(nèi)容.這恐怕是學(xué)校教育中普遍存在的一種現(xiàn)象.3.“數(shù)學(xué)抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學(xué)抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學(xué)抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學(xué)抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學(xué)抽象”立意的高考試題分析【評(píng)析】：（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來(lái)解決.（3）最值問題如何巧妙轉(zhuǎn)化3.“數(shù)學(xué)抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學(xué)抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學(xué)抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學(xué)抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學(xué)抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學(xué)抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學(xué)抽象”立意的高考試題分析例6【評(píng)析】：對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)問題,通常要根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無(wú)漏、最簡(jiǎn)；解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.這里的構(gòu)造對(duì)突出了對(duì)數(shù)學(xué)抽象的考查。3.“數(shù)學(xué)抽象”立意的高考試題分析3.“數(shù)學(xué)抽象”立意的高考試題分析直觀想象數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)抽象4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議如何將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中？本文認(rèn)為，就數(shù)學(xué)抽象而言就是：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼睛看”。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是否是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必然產(chǎn)物？答案是否定的！死記硬背作為當(dāng)下中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)依然存在的一種方式，其結(jié)果能否促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？不言而喻，采取死記硬背方式，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解和把握大多是不正確的，死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練所形成的數(shù)學(xué)技能往往是片面、畸形的，相應(yīng)的數(shù)學(xué)能力其實(shí)很難形成盡管我國(guó)基礎(chǔ)教育課程改革歷時(shí)十五年有余，被動(dòng)接受仍是學(xué)生最常見的學(xué)習(xí)狀態(tài)。國(guó)際上極負(fù)盛名的荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗蘭登塔爾（H.Freudenthal，1905—1990）的經(jīng)典觀點(diǎn)“與其說(shuō)學(xué)數(shù)學(xué)，倒不如說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化”，這個(gè)觀點(diǎn)道出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。“數(shù)學(xué)化其實(shí)就是從（數(shù)學(xué)外部的）現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)內(nèi)部，從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展，再到現(xiàn)實(shí)世界中（以及應(yīng)用于其他學(xué)科之中）的全過程，數(shù)學(xué)化的本質(zhì)在于三個(gè)階段，即現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律化、數(shù)學(xué)內(nèi)容現(xiàn)實(shí)化”。這恰恰就是我們這邊談到的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

數(shù)學(xué)化是學(xué)生自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)，畢竟，無(wú)論經(jīng)驗(yàn)的積淀、基本思想的初步形成，還是數(shù)學(xué)抽象能力、推理能力、建模能力的培養(yǎng)，都離不開學(xué)生的主動(dòng)參與、獨(dú)立思考和親身實(shí)踐，離不開學(xué)生的自我建構(gòu)。因此，（學(xué)生發(fā)展所必需的）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動(dòng)之后所積淀和升華的產(chǎn)物，這種產(chǎn)物對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)上的全面、和諧、可持續(xù)發(fā)展起決定作用。4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議4.1常用數(shù)學(xué)“微探究”，讓數(shù)學(xué)本質(zhì)理解更透徹4.2多用“變式教學(xué)”，讓數(shù)學(xué)思維更加生動(dòng)4.3活用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議4.1常用數(shù)學(xué)“微探究”，讓數(shù)學(xué)本質(zhì)理解更透徹所謂微探究即探究程度輕，范圍小、時(shí)間短。在探究過程中，教師提供較多幫助，學(xué)生相對(duì)自主，探究的開放度??；不追求探究過程的完整性，即對(duì)某一局部?jī)?nèi)容從某個(gè)角度、在某個(gè)環(huán)節(jié)有所側(cè)重地進(jìn)行探究，探究的時(shí)間一般為幾分鐘到十幾分鐘，探究活動(dòng)可靈活地實(shí)施于課堂教學(xué)中.4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議4.1常用數(shù)學(xué)“微探究”，讓數(shù)學(xué)本質(zhì)理解更透徹學(xué)生獲取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)依賴于經(jīng)驗(yàn)的積累，因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中，要抓住數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、知道學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，創(chuàng)設(shè)合適的情境、提出合適的問題，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、鼓勵(lì)學(xué)生與他人交流，在掌握知識(shí)技能的同時(shí)理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

案例1：導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)解決問題：導(dǎo)數(shù)求解的是瞬時(shí)變化率問題；定積分求解的是總量問題。解決思路：導(dǎo)數(shù)是“化靜為動(dòng)，動(dòng)靜轉(zhuǎn)換”的辯證轉(zhuǎn)化與否定之否定思想的成功運(yùn)用；定積分是“化整為零、積零為整”的辯證思想的成功應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)概念的引入——百米跑老師：小王的100米成績(jī)是12秒，很快的速度。這里講的是他跑這100米的平均速度，在他撞線時(shí)肯定有速度，我們能否知道他撞線時(shí)的速度？學(xué)生議論：不知道加速度呀，也不一定是勻加速呀……老師說(shuō)明：百米賽跑剛起跑加速度大，中間幾乎是勻速，沖刺時(shí)又可能加速，整個(gè)過程不可能是勻加速運(yùn)動(dòng)。學(xué)生的討論陷入了僵局。這時(shí)老師就處于不能自己講又不能一味等的兩難境地。合理的問題引導(dǎo)才是讓學(xué)生思維突破的上策。老師引導(dǎo)：速度是路程與時(shí)間的比值，我們能不能找一種近似的方法來(lái)描述撞線的速度呢？受到啟發(fā)后，隨即有同學(xué)舉手回答：用最后1秒里跑的路程除以時(shí)間，或者是找出最后一段時(shí)間里的路程除以時(shí)間。(很多同學(xué)認(rèn)可！)老師繼續(xù)引導(dǎo)：假設(shè)第12秒里小王跑了10米，那么第12秒里的平均速度就是10米/秒，我們可以用10米/秒來(lái)近似地描述他撞線的速度。如果他在最后的0.5秒里跑了5.5米，那么他在最后半秒里的速度是11米/秒，我們也可以用這個(gè)速度近似描述他撞線的速度。請(qǐng)同學(xué)思考：這種用一段較短時(shí)間里的平均速度近似描述撞線速度的辦法，怎樣描述才會(huì)更精確一些呢？學(xué)生搶著回答：時(shí)間取得越短越精確。另一學(xué)生又站起來(lái)說(shuō)：時(shí)間越來(lái)越小漸漸趨向于0時(shí)，平均速度就越來(lái)越接近于瞬時(shí)速度。同學(xué)們喜形于色，議論紛紛。老師繼續(xù)引導(dǎo)：那平均速度與瞬時(shí)速度是不是一回事呀？同學(xué)齊答：不是。……案例2：余弦定理4.1常用數(shù)學(xué)“微探究”，讓數(shù)學(xué)本質(zhì)理解更透徹

數(shù)學(xué)家丘成桐曾說(shuō)過：“大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)根本沒有清晰的概念，對(duì)定理不甚了了，只是做習(xí)題的機(jī)器。這樣的教育體系，難以培養(yǎng)出什么數(shù)學(xué)人才?！睂W(xué)生只有親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動(dòng)，才能真正形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。傳統(tǒng)意義上的死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練，對(duì)于積淀和形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并沒有多少正面的促進(jìn)作用，相反地，其負(fù)面影響更大。毋庸置疑，“大膽猜測(cè)、小心論證”“定性思考、定量把握”作為基礎(chǔ)教育階段典型的數(shù)學(xué)思維方式，其培養(yǎng)過程必須融入中小學(xué)校的日常教學(xué)之中。4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.2多用“變式教學(xué)”，讓數(shù)學(xué)思維更加生動(dòng)

數(shù)學(xué)是思維學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)要滲透數(shù)學(xué)思維。解決數(shù)學(xué)問題的過程實(shí)際上就是思維過程，解題過程就是把所學(xué)知識(shí)、方法和數(shù)學(xué)問題聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行分析探索的過程。習(xí)題講評(píng)課要把培養(yǎng)學(xué)生思維能力作為一個(gè)主要任務(wù)，通過“變式”教學(xué)，使學(xué)生能夠達(dá)到觸類旁通，舉一反三的效果，教師在課堂教學(xué)中要充分發(fā)揮“變式”教學(xué)的功能，增強(qiáng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想．在“變式”中糾正錯(cuò)誤從而發(fā)展學(xué)生潛能，拓展思維。4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.2多用“變式教學(xué)”，讓數(shù)學(xué)思維更加生動(dòng)

4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.2多用“變式教學(xué)”，讓數(shù)學(xué)思維更加生動(dòng)

4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.2多用“變式教學(xué)”，讓數(shù)學(xué)思維更加生動(dòng)

4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.2多用“變式教學(xué)”，讓數(shù)學(xué)思維更加生動(dòng)

數(shù)學(xué)是思維學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)要滲透數(shù)學(xué)思維。解決數(shù)學(xué)問題的過程實(shí)際上就是思維過程，解題過程就是把所學(xué)知識(shí)、方法和數(shù)學(xué)問題聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行分析探索的過程。習(xí)題講評(píng)課要把培養(yǎng)學(xué)生思維能力作為一個(gè)主要任務(wù)，通過“變式”教學(xué)，使學(xué)生能夠達(dá)到觸類旁通，舉一反三的效果，從而發(fā)展學(xué)生潛能，拓展思維。4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.2多用“變式教學(xué)”，讓數(shù)學(xué)思維更加生動(dòng)

4.3活用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體數(shù)學(xué)語(yǔ)言是表達(dá)數(shù)學(xué)思維的科學(xué)語(yǔ)言，是反映數(shù)量關(guān)系和空間形式的語(yǔ)言它是數(shù)學(xué)知識(shí)與文化的載體，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和交流的工具，是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式.斯托利亞爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》一書中指出“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)”.

4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議4.3活用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體數(shù)學(xué)解題就是從具體的問題中抽象出數(shù)量關(guān)系與變化規(guī)律，同時(shí)能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)，能理解符號(hào)所代表的數(shù)量關(guān)系以及意義，能進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)譯，能選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)公式、定理、法則并能選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決數(shù)學(xué)問題.“譯”，即理解與轉(zhuǎn)化，是指正確理解已知條件并加以恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，讓抽象問題更加具體，讓復(fù)雜問題更加簡(jiǎn)單，讓不可能變成可能，從而達(dá)到數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展。4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議4.3活用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體4.3.1“譯”數(shù)學(xué)語(yǔ)言①文字語(yǔ)言向圖形、符號(hào)語(yǔ)言“轉(zhuǎn)譯”，讓數(shù)學(xué)性質(zhì)更加顯著②符號(hào)語(yǔ)言向圖形語(yǔ)言“轉(zhuǎn)譯”，讓數(shù)學(xué)概念更加具體生動(dòng)③圖形語(yǔ)言向符號(hào)語(yǔ)言“轉(zhuǎn)譯”，讓數(shù)學(xué)表達(dá)更加簡(jiǎn)潔4.2“譯”數(shù)學(xué)知識(shí)

①“譯”知識(shí)之間的聯(lián)系②“譯”知識(shí)之間的差異4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.3活用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.3活用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.3活用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.3活用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.3活用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.3活用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.3活用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.3活用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.3活用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

4.基于“數(shù)學(xué)抽象”教學(xué)建議

4.3活用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“譯術(shù)”，讓抽象變得更加具體

“譯”題的方式多種多樣，本質(zhì)上就是通過理解題意，