【講座】高考試題中直觀想象的考查趨勢(shì)分析及教學(xué)建議高中數(shù)學(xué)

高考試題中直觀想象的

考查趨勢(shì)分析及教學(xué)建議高考試題中直觀想象的考查趨勢(shì)分析及教學(xué)建議一、直觀想象核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵及概念理解二、高中數(shù)學(xué)哪些內(nèi)容隱含或滲透該素養(yǎng)三、高考如何考查直觀想象核心素養(yǎng)四、對(duì)今后教學(xué)的建議一、直觀想象核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵及概念理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的含義直觀想象核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵直觀想象核心素養(yǎng)概念的理解對(duì)直觀想象核心素養(yǎng)的反思數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的含義數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體.直觀想象核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專(zhuān)家將直觀想象定義為：借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程。主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述分析數(shù)學(xué)問(wèn)題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路。價(jià)值：直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。主要表現(xiàn)為：(1)利用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立形與數(shù)的聯(lián)系;(2)利用圖形理解數(shù)學(xué)問(wèn)題;(3)利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題;(4)構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路。目標(biāo)：通過(guò)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象的能力；增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí)，提升數(shù)形結(jié)合的能力；形成數(shù)學(xué)直觀感覺(jué)，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì)。直觀想象核心素養(yǎng)概念的理解直觀想象與數(shù)學(xué)抽象的關(guān)系：和抽象一樣，直觀想象是認(rèn)識(shí)事物的基本方式.和抽象不同，直觀想象簡(jiǎn)單、直接、付諸感官，容易掌握和使用.而且，直觀想象是進(jìn)一步抽象的必要基礎(chǔ)，作為直觀與想象的重要結(jié)果，圖形是數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象之一，圖形表示則是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用圖形可以更簡(jiǎn)單、直接地刻畫(huà)和描述問(wèn)題，探索和形成思路，尋找和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，記憶和理解知識(shí)以及建立良好直覺(jué)，把握本質(zhì)規(guī)律.因此《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將幾何直觀和空間觀念作為十大核心概念之二，而高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專(zhuān)家也將直觀想象視為六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.直觀想象是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)抽象是直觀想象的升華，直觀想象與數(shù)學(xué)抽象一樣，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一般性。從直觀想象的4個(gè)表現(xiàn)，我們可以做這樣的解讀首先，從數(shù)學(xué)學(xué)科角度那就是直觀、想象的載體是“圖形”.數(shù)、形是數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)的基本對(duì)象，相對(duì)而言，形直觀，數(shù)抽象，正如華羅庚名言：數(shù)缺形難達(dá)直觀，形缺數(shù)難以入微.其次，相對(duì)以往，對(duì)“圖形”概念擴(kuò)大了范圍，由幾何圖形，拓展包括各種函數(shù)圖像及其變換、向量的幾何意義與運(yùn)算等.還應(yīng)考慮現(xiàn)代技術(shù)手段的介入，特別是一些強(qiáng)大軟件的作圖功能，將原先難以做到的變?yōu)橹庇^，為想象提供更高平臺(tái)和起點(diǎn).再次，直觀想象還是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)，是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的基本要素.簡(jiǎn)單地說(shuō)，直觀想象就是看圖想事，看圖說(shuō)理，看題想圖，看題想構(gòu)直觀模型探思路.對(duì)直觀想象核心素養(yǎng)的反思反思1：高中對(duì)空間觀念的要求比初中的要求高，為什么反而不提空間觀念了？

為什么不與2011年修訂的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)接軌？空間觀念主要是指：根據(jù)物體抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言的描述畫(huà)出圖形等.“普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）”將“直觀感知”和“空間想象”是作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題需經(jīng)歷的思維過(guò)程、具體體現(xiàn)提出來(lái)的6條具體課程目標(biāo)中的第2條，將空間想象要求為五大基本能力之一.從這一比較，我們也可將“直觀想象”這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視為“幾何直觀”、“空間想象”觀念的發(fā)展和融合，但直觀想象不單是空間想象能力，也不單是數(shù)形結(jié)合思想，它是一些數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力的融合.反思2：把“想象”去掉，這一指標(biāo)的內(nèi)容實(shí)際上就是“數(shù)形結(jié)合”，為什么不把問(wèn)題解決中更普遍、更重要的化歸“數(shù)學(xué)結(jié)合”作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？請(qǐng)問(wèn)這是不是“撿了芝麻丟了西瓜”？數(shù)形結(jié)合只是化歸的一種手段，僅僅把數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容之一“數(shù)形結(jié)合”作為核心素養(yǎng)是不夠的，直觀想象高于幾何直觀、空間想象、數(shù)形結(jié)合.二、高中數(shù)學(xué)哪些內(nèi)容隱含或滲透直觀想象核心內(nèi)容函數(shù)與基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、

對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）平面解析幾何初步數(shù)列立體幾何初步算法初步集合平面向量統(tǒng)計(jì)與概率參數(shù)方程與極坐標(biāo)三角函數(shù)與解三角形導(dǎo)數(shù)微積分及其應(yīng)用數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入空間向量與立體幾何圓錐曲線與方程不等式與線性規(guī)劃排列與組合三、高考如何考查直觀想象核心素養(yǎng)1.運(yùn)用“直觀想象”，精準(zhǔn)作圖，化抽象為形象。2.運(yùn)用“直觀想象”，從變換的視角，將復(fù)雜化簡(jiǎn)單3.運(yùn)用“直觀想象”，從極端特殊位置出發(fā)，預(yù)測(cè)相關(guān)量的變化規(guī)律4.運(yùn)用“直觀想象”，引入變量，構(gòu)建問(wèn)題的求解模型，引領(lǐng)通法的實(shí)施5.運(yùn)用“直觀想象”，以形助數(shù)，引領(lǐng)數(shù)形關(guān)系的轉(zhuǎn)換

6.運(yùn)用“直觀想象”，以數(shù)解形，引領(lǐng)形數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)換

7.運(yùn)用“直觀想象”，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為位置關(guān)系問(wèn)題

8.運(yùn)用“直觀想象”，從幾何意義出發(fā)，構(gòu)造新函數(shù)

9.運(yùn)用“直觀想象”，抓住對(duì)稱(chēng)性，將圖式化數(shù)式極

值

點(diǎn)

偏

移

問(wèn)

題

10.運(yùn)用“直觀想象”，探幾何解釋?zhuān)瑢っ}背后的故事

極值點(diǎn)

偏移

問(wèn)題

VS

拐點(diǎn)

偏移

問(wèn)題

三、高考如何考查直觀想象核心素養(yǎng)1.運(yùn)用“直觀想象”，精準(zhǔn)作圖，將抽象化形象2.運(yùn)用“直觀想象”，變換視角，將復(fù)雜化簡(jiǎn)單3.運(yùn)用“直觀想象”，從極端或特殊位置出發(fā)，預(yù)測(cè)相關(guān)量的變化規(guī)律4.運(yùn)用“直觀想象”，引入變量，構(gòu)建問(wèn)題的求解模型，引領(lǐng)通法的實(shí)施5.運(yùn)用“直觀想象”，以形助數(shù)，引領(lǐng)數(shù)形關(guān)系的轉(zhuǎn)化6.運(yùn)用“直觀想象”，以數(shù)解形，引領(lǐng)形數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化7.運(yùn)用“直觀想象”，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為位置關(guān)系問(wèn)題8.運(yùn)用“直觀想象”，從幾何意義出發(fā)，構(gòu)造新函數(shù)9.運(yùn)用“直觀想象”，抓住對(duì)稱(chēng)性，將圖式化數(shù)式10.運(yùn)用“直觀想象”，探幾何解釋?zhuān)瑢っ}背后的故事四、對(duì)今后教學(xué)的建議

1.精準(zhǔn)復(fù)習(xí)，靶向考點(diǎn)“考什么、教什么、學(xué)什么”是高考備考的最大命題，高考復(fù)習(xí)成效的高低，取決于教師能否精準(zhǔn)復(fù)習(xí)，靶向考點(diǎn)，科學(xué)備考.當(dāng)前，高考格局和教學(xué)態(tài)勢(shì)不斷變革，課程精神、考試要求、命題思路均被注入了新的思維、新的氣息，若教師不了解新課程改革的“一體四層四翼”（一體：立德樹(shù)人、服務(wù)選拔、導(dǎo)向教學(xué)的核心立場(chǎng)；四層：考查考生必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)和核心價(jià)值四個(gè)圈層、四翼：基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性）的評(píng)價(jià)體系，教學(xué)便難以立于高處；了解新課程改革“一體四層四翼”的評(píng)價(jià)體系，將教學(xué)立于高處若教師不仔細(xì)閱讀考試大綱、樣題的微小變化，便難以精準(zhǔn)定位復(fù)習(xí)要求.2017年的高考考試大綱主要修訂內(nèi)容：在能力要求內(nèi)涵方面，增加了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的要求，增加了數(shù)學(xué)文化的要求.同時(shí)對(duì)能力要求進(jìn)行了加細(xì)說(shuō)明，使能力要求更加明確具體.在現(xiàn)行考試大綱三個(gè)選考模塊中刪去“幾何證明選講”，其余2個(gè)選考模塊的內(nèi)容和范圍都不變.考生從“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”“不等式選講”2個(gè)模塊中任選1個(gè)作答.1（專(zhuān)家對(duì)這一變化的解讀：北京大學(xué)數(shù)科院教授劉和平：考查內(nèi)容刪去“幾何證明選講”模塊的直接理由是因?yàn)檫@部分內(nèi)容考查的是初中平面幾何的知識(shí)，幾何的主要知識(shí)內(nèi)容在立體幾何和解析幾何中均有體現(xiàn)，不需要再單獨(dú)列為專(zhuān)題考查.同時(shí)在過(guò)去的教學(xué)大綱和2017年修訂后的課程標(biāo)準(zhǔn)中，都不包含這部分內(nèi)容.）

仔細(xì)閱讀考試大綱、樣題的微小變化，精準(zhǔn)定位復(fù)習(xí)要求知曉考試說(shuō)明、考試大綱、課程標(biāo)準(zhǔn)三者之間的關(guān)系考試說(shuō)明、考試大綱、課程標(biāo)準(zhǔn)三者之間的關(guān)系：高考命題的依據(jù)是<<考試說(shuō)明>>.但最根本的依據(jù)是教材，教材是課程的具體化,因此,高考命題最根本的依據(jù)是教材，試題考什么?依據(jù)<<考試說(shuō)明>>制定，試題內(nèi)容怎么呈現(xiàn)?依據(jù)教材.

堅(jiān)持閱讀學(xué)術(shù)刊物，了解高考難度的定位，仔細(xì)研究近年全國(guó)卷，感知細(xì)微變化若教師不堅(jiān)持閱讀學(xué)術(shù)刊物，便不會(huì)了解高考難度的定位，如教育部考試中心任子朝的文章《高考試卷難度與區(qū)分性能分析研究》（數(shù)學(xué)通報(bào)2017.1）指出，“單就現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，難度在0.4左右標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)能達(dá)到比較好的平衡”；若教師沒(méi)有仔細(xì)研究近年的全國(guó)1卷，便難以感知其弱化求深求難的取向而轉(zhuǎn)向“考寬考活”、“學(xué)寬學(xué)活”的變化，難以知曉其對(duì)閱讀能力、應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力考查有新的視角，難以發(fā)現(xiàn)解析幾何部分更重視考查幾何作圖和幾何知識(shí)應(yīng)用能力，更重視圓在研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的作用……精準(zhǔn)復(fù)習(xí)，道阻且長(zhǎng)，行則將至精準(zhǔn)復(fù)習(xí)言之容易，行之路長(zhǎng)，理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解高考、理解學(xué)生是一道道值得深究的學(xué)問(wèn)，教師就要宏觀著眼更要精細(xì)落實(shí)，既要抓準(zhǔn)考綱要求，又要針對(duì)學(xué)情校情，算好明細(xì)賬.2．成敗關(guān)鍵在基礎(chǔ)，無(wú)基礎(chǔ)不素養(yǎng)

數(shù)學(xué)全國(guó)卷最大的特色規(guī)律就是“穩(wěn)定”，全國(guó)Ⅰ卷每年80%的試題內(nèi)容都是穩(wěn)定的，只有20%的內(nèi)容是創(chuàng)新的..2017年全國(guó)Ⅰ卷總體評(píng)價(jià)：遵循考試大綱，整體保持平穩(wěn)；

穩(wěn)中有變，立意創(chuàng)新,平凡中見(jiàn)功底；突出了對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化與應(yīng)用的考查；命題更加科學(xué).雖然每年高考數(shù)學(xué)的主基調(diào)基本穩(wěn)定，不少考題的類(lèi)型都是學(xué)生見(jiàn)過(guò)也做過(guò)，但考試結(jié)果卻不盡如意，花了功夫卻收效甚微.以解析幾何為例，復(fù)習(xí)教學(xué)成效長(zhǎng)期徘徊在低水平，成為考生丟分的重災(zāi)區(qū)，其中的是非曲直、酸甜苦辣，非親歷者無(wú)法體會(huì).解析幾何涉及的基礎(chǔ)面大，技巧多、運(yùn)算繁、交匯多，問(wèn)題的理解與解決，往往發(fā)于簡(jiǎn)單、紛繁于變化、作圖、設(shè)點(diǎn)、列式、求值、檢驗(yàn)、作答，每一步看似都是“規(guī)定動(dòng)作”，演變卻各有巧妙，不同的考生得分也是千差萬(wàn)別.試題敘述簡(jiǎn)明清晰，題意通透順暢，沒(méi)有復(fù)雜的文字包裝，沒(méi)有紛繁的情境設(shè)置，但不少考生解答起來(lái)舉步維艱、頻頻失分：（1）問(wèn)只有結(jié)果，沒(méi)有緣由，以圖代征，思維粗糙，對(duì)而不全；（2）問(wèn)看似掌握了直線與圓錐曲線的必殺技“坐標(biāo)法”，但一路下來(lái)卻“傷痕累累”，有的解方程組不過(guò)關(guān)，留下滿(mǎn)紙的遺憾，有的忘了k和判別式的討論，思維缺漏導(dǎo)致無(wú)謂失分；有的遇見(jiàn)了字母計(jì)算便底氣不足，逃之夭夭；有的將K1+K2=-1坐標(biāo)化后，不知整體消元，半途而廢；有的對(duì)直線過(guò)定點(diǎn)的代數(shù)意義本質(zhì)領(lǐng)悟不到便止步，離成功只有一步之遙……當(dāng)下，“基礎(chǔ)問(wèn)題”成為教學(xué)之癢，數(shù)學(xué)之痛“基礎(chǔ)”關(guān)乎教學(xué)、關(guān)乎能力、關(guān)乎過(guò)程、關(guān)乎記憶、關(guān)乎經(jīng)驗(yàn)……無(wú)基礎(chǔ)何來(lái)素養(yǎng).當(dāng)下，“基礎(chǔ)問(wèn)題”成為教學(xué)之癢，數(shù)學(xué)之痛.基礎(chǔ)的落實(shí)與強(qiáng)化，有賴(lài)于教學(xué)示范、學(xué)生演練、示范矯正、錯(cuò)題訂正、分層作業(yè)、分層教學(xué)等等措施，有賴(lài)于長(zhǎng)期堅(jiān)持不懈、科學(xué)合理的推進(jìn).數(shù)學(xué)日作業(yè)、周練習(xí)、月考、錯(cuò)題訂正、及時(shí)講評(píng)、課后輔導(dǎo)等每一步看似簡(jiǎn)單樸素，其實(shí)最難落實(shí)，夯實(shí)基礎(chǔ)需要工匠精神、釘子精神和知行合一精神的堅(jiān)持，誰(shuí)能持之以恒，誰(shuí)便能笑傲高考.3．穿插“微專(zhuān)題”，對(duì)傳統(tǒng)復(fù)習(xí)進(jìn)行補(bǔ)充和完善

“微專(zhuān)題”是指一個(gè)相關(guān)聯(lián)的、可以單獨(dú)研究的知識(shí)體系，或者某種數(shù)學(xué)思想方法、一個(gè)研究主題等，根據(jù)學(xué)生不同學(xué)習(xí)階段具有一定彈性，又稱(chēng)“小專(zhuān)題”.“微專(zhuān)題”教學(xué)是指針對(duì)某一具體知識(shí)點(diǎn)，從該知識(shí)的基本概念、基本原理、基本規(guī)律入手，內(nèi)化知識(shí)，構(gòu)建結(jié)構(gòu)進(jìn)行知識(shí)遷移，整合并運(yùn)用概念和原理解決實(shí)際問(wèn)題的一種“小切口”教學(xué)方法.其涵蓋的內(nèi)容適量，知識(shí)間聯(lián)系緊密，可以在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，活化知識(shí)的運(yùn)用，提升解決問(wèn)題的能力.有機(jī)地在傳統(tǒng)復(fù)習(xí)模式中穿插“微專(zhuān)題”，可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)中的一些不足與缺陷，可以通過(guò)“考點(diǎn)”的細(xì)化、“知識(shí)點(diǎn)”的延伸、“易錯(cuò)易混點(diǎn)”的辨析、“思維角度”的轉(zhuǎn)換等方式構(gòu)建“微專(zhuān)題”.案例：“阿波羅尼斯圓”定理及其運(yùn)用

例如：源于“知識(shí)點(diǎn)”的延伸構(gòu)建“微專(zhuān)題”，這類(lèi)知識(shí)點(diǎn)往往是命題的熱點(diǎn)，具有深遠(yuǎn)的背景，教師通過(guò)教學(xué)積累或閱讀雜志文章，根據(jù)學(xué)情控制拓展的深度、廣度和難度，有效提升學(xué)生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的處理能力.例如，近幾年活躍在各類(lèi)考試中的“阿波羅尼斯圓”，根據(jù)課本題的延伸拓展，可以設(shè)置一節(jié)“微專(zhuān)題”.環(huán)節(jié)一：教材入手，奠定基礎(chǔ)環(huán)節(jié)二：特殊到一般，完善定理

環(huán)節(jié)三：數(shù)學(xué)運(yùn)用，鏈接高考環(huán)節(jié)四：延伸拓展，深化思維“微專(zhuān)題”切口小、主題強(qiáng)、形式多、角度新由于“微專(zhuān)題”切口小、主題強(qiáng)、形式多、角度新，抓住問(wèn)題內(nèi)隱的思維線索，從低結(jié)構(gòu)到高結(jié)構(gòu)，從知識(shí)層面到核心價(jià)值層面，讓學(xué)生在知識(shí)的碰撞中、在問(wèn)題的辨別中找關(guān)系、尋規(guī)律、抓本質(zhì)，達(dá)到“綱舉目張”的效果