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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.對(duì)于函數(shù),若滿足,則稱為函數(shù)的一對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”.若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”,則的最大值為()A. B. C. D.2.在平面直角坐標(biāo)系中,已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在直線上,則()A. B. C. D.3.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.4.若雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.5.已知下列命題:①“”的否定是“”;②已知為兩個(gè)命題,若“”為假命題,則“”為真命題;③“”是“”的充分不必要條件;④“若,則且”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號(hào)為()A.③④ B.①② C.①③ D.②④6.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則a的值為()A. B.3 C.1 D.7.已知直線與直線則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為,從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為,則在方程表示雙曲線的條件下,方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的概率為()A. B. C. D.9.若函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可能是()A. B. C. D.10.下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)何種變換可以得到的圖象()A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位11.是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要12.的展開(kāi)式中的系數(shù)是-10,則實(shí)數(shù)()A.2 B.1 C.-1 D.-2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若雙曲線C:(,)的頂點(diǎn)到漸近線的距離為,則的最小值________.14.如圖所示,在△ABC中,AB=AC=2,,,AE的延長(zhǎng)線交BC邊于點(diǎn)F,若,則____.15.已知函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)__________.16.若變量,滿足約束條件則的最大值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,,其中.(1)求的值;(2)若,且,求的值.18.(12分)如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,底面,是的中點(diǎn).(1).求證:平面平面;(2).若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,.(1)證明:平面平面ABCD;(2)設(shè)H在AC上,,若,求PH與平面PBC所成角的正弦值.20.(12分)等差數(shù)列中,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),記為數(shù)列前項(xiàng)的和,若,求.21.(12分)已知離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)薦橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓分別交于,若直線、、的斜率成等差數(shù)列,請(qǐng)問(wèn)的面積是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,且.若點(diǎn)為的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的兩條切線,其中為切點(diǎn).(1)求拋物線的方程;(2)求證:直線恒過(guò)定點(diǎn),并求面積的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
根據(jù)已知有,可得,只需求出的最小值,根據(jù),利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知,與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn)”,所以,故(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).又與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn),所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景,考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.2.C【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式,將化簡(jiǎn)為關(guān)于的形式,結(jié)合終邊所在的直線可知的值,從而可求的值.【詳解】因?yàn)?,且,所?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換中的二倍角公式,屬于給角求值類型的問(wèn)題,難度一般.求解值的兩種方法:(1)分別求解出的值,再求出結(jié)果;(2)將變形為,利用的值求出結(jié)果.3.B【解析】
根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,將代入計(jì)算即可求出值.【詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.4.C【解析】
利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關(guān)系.【詳解】由已知,雙曲線的漸近線方程為,故圓心到漸近線的距離等于1,即,所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求法,求雙曲線離心率問(wèn)題,關(guān)鍵是建立三者間的方程或不等關(guān)系,本題是一道基礎(chǔ)題.5.B【解析】
由命題的否定,復(fù)合命題的真假,充分必要條件,四種命題的關(guān)系對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷.【詳解】“”的否定是“”,正確;已知為兩個(gè)命題,若“”為假命題,則“”為真命題,正確;“”是“”的必要不充分條件,錯(cuò)誤;“若,則且”是假命題,則它的逆否命題為假命題,錯(cuò)誤.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假判斷,掌握四種命題的關(guān)系,復(fù)合命題的真假判斷,充分必要條件等概念是解題基礎(chǔ).6.D【解析】
整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實(shí)部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因?yàn)榧兲摂?shù),所以,則,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.7.B【解析】
利用充分必要條件的定義可判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系.【詳解】若,則,故或,當(dāng)時(shí),直線,直線,此時(shí)兩條直線平行;當(dāng)時(shí),直線,直線,此時(shí)兩條直線平行.所以當(dāng)時(shí),推不出,故“”是“”的不充分條件,當(dāng)時(shí),可以推出,故“”是“”的必要條件,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷,前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來(lái)考慮,后者依據(jù)兩個(gè)條件之間的推出關(guān)系,本題屬于中檔題.8.A【解析】
設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”,分別計(jì)算出,再利用公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”,由題意,,,則所求的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用定義計(jì)算條件概率的問(wèn)題,涉及到雙曲線的定義,是一道容易題.9.A【解析】
由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗(yàn)證,通過(guò)排除法求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)B,為奇函數(shù)可判斷B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,可判斷C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無(wú)增區(qū)間,故D錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問(wèn)題,通過(guò)函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.10.D【解析】
根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個(gè)解析式為,再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為,根據(jù)圖像:,,故,即,,,取,得到,函數(shù)向右平移個(gè)單位得到.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式,三角函數(shù)平移,意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.11.B【解析】
利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價(jià)關(guān)系,即可得出?!驹斀狻吭O(shè)對(duì)應(yīng)的集合是,由解得且對(duì)應(yīng)的集合是,所以,故是的必要不充分條件,故選B。【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。設(shè),如果,則是的充分條件;如果B則是的充分不必要條件;如果,則是的必要條件;如果,則是的必要不充分條件。12.C【解析】
利用通項(xiàng)公式找到的系數(shù),令其等于-10即可.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,得,則,所以,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的系數(shù),考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)雙曲線的方程求出其中一條漸近線,頂點(diǎn),再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【詳解】由雙曲線C:(,,可得一條漸近線,一個(gè)頂點(diǎn),所以,解得,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),所以的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式求最值,注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
過(guò)點(diǎn)做,可得,,由可得,可得,代入可得答案.【詳解】解:如圖,過(guò)點(diǎn)做,易得:,,,故,可得:,同理:,,可得,,由,可得,可得:,可得:,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,由題意作出是解題的關(guān)鍵.15.【解析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,利用點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】因?yàn)?,所以,又故切線方程為,整理為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程,屬于容易題.16.9【解析】
做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形,即可求出的最大值.【詳解】做出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分所示,目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值,聯(lián)立,解得,即,所以最大值為9.故答案為:9.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2).【解析】
(1)根據(jù),由向量,的坐標(biāo)直接計(jì)算即得;(2)先求出,再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系解得.【詳解】(1)由題,向量,,則.(2),.,,整理得,化簡(jiǎn)得,即,,,,即.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,以及向量平行,是常考題型.18.(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】試題分析:(1)根據(jù)平面有,利用勾股定理可證明,故平面,再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論;(2)在點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用二面角的余弦值為建立方程求得,在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.試題解析:(Ⅰ)平面平面因?yàn)?所以,所以,所以,又,所以平面.因?yàn)槠矫?,所以平面平面.(Ⅱ)如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn),分別為軸、軸、軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則.設(shè),則取,則為面法向量.設(shè)為面的法向量,則,即,取,則依題意,則.于是.設(shè)直線與平面所成角為,則即直線與平面所成角的正弦值為.19.(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)記,連結(jié),推導(dǎo)出,平面,由此能證明平面平面;(2)推導(dǎo)出,平面,連結(jié),由題意得為的重心,,從而平面平面,進(jìn)而是與平面所成角,由此能求出與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明:記,連結(jié),中,,,,,,平面,平面,平面平面.(2)中,,,,,,,,,,平面,∴,連結(jié),由題意得為的重心,,,,平面平面平面,∴在平面的射影落在上,是與平面所成角,中,,,,.與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明,考查線面角的正弦值的求法,考查線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.20.(1)(2)【解析】
(1)由基本量法求出公差后可得通項(xiàng)公式;(2)由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得,可求得.【詳解】解:(1)設(shè)的公差為,由題設(shè)得因?yàn)?,所以解得,故.?)由(1)得.所以數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以,由得,解得.【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,解題方法是基本量法.21.(1);(2)是,【解析】
(1)根據(jù)及可得,再將點(diǎn)代入橢圓的方程與聯(lián)立解出,即可求出橢圓的方程;(2)可設(shè)所在直線的方程為,,,,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,用根與系數(shù)的關(guān)系求出,然后將直線、、的斜率、、分別用表示,利用可求出,從而可確定點(diǎn)恒在一條直線上,結(jié)合圖形即可求出的面積.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,所以,即,又,所以,①因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,②由①②解得,所以橢圓C的方程為.(1)可知,,可設(shè)所在直線的方程為,由,得,設(shè),,,則,,設(shè)直線、、的斜率分別為、、,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以,即,所以,又,因?yàn)橹本€、、的斜率成等差數(shù)列,所以,即,化簡(jiǎn)得,即點(diǎn)恒在一條直線上,又因?yàn)橹本€方程為,且,所以是定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問(wèn)題,屬于中檔題.22.(1)(2)見(jiàn)解析,最小值為4【解析】
(1)根據(jù)焦點(diǎn)到直線的距離列方程,求得的值,由此求得拋物線的方程.(2)設(shè)出的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,
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