2022年湖北省孝感市文昌中學高考考前模擬數(shù)學試題含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（）A． B．0 C．1 D．32．函數(shù)在上的大致圖象是（）A． B．C． D．3．已知底面為邊長為的正方形，側(cè)棱長為的直四棱柱中，是上底面上的動點.給出以下四個結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）①與點距離為的點形成一條曲線，則該曲線的長度是；②若面，則與面所成角的正切值取值范圍是；③若，則在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為.A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，在定義域上單調(diào)遞增，且值域為的是（）A． B． C． D．5．已知，則“直線與直線垂直”是“”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知定義在R上的函數(shù)（m為實數(shù)）為偶函數(shù)，記，，則a，b，c的大小關系為()A． B． C． D．7．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)，，則A． B．C． D．9．若的展開式中的系數(shù)為150，則（）A．20 B．15 C．10 D．2510．拋物線的準線與軸的交點為點，過點作直線與拋物線交于、兩點，使得是的中點，則直線的斜率為（）A． B． C．1 D．11．復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A． B． C． D．12．設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，雙曲線的一條準線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為______.14．設滿足約束條件且的最小值為7，則＝_________.15．若函數(shù)（）的圖象與直線相切，則______.16．四面體中，底面，，，則四面體的外接球的表面積為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程是是參數(shù)），若直線與圓相切，求實數(shù)的值.18．（12分）已知動圓過定點，且與直線相切，動圓圓心的軌跡為，過作斜率為的直線與交于兩點，過分別作的切線，兩切線的交點為，直線與交于兩點．（1）證明：點始終在直線上且；（2）求四邊形的面積的最小值．19．（12分）在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin（θ+）.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C交于M，N兩點，求△MON的面積.20．（12分）如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.（1）證明：平面；（2）設為棱的中點，當四面體的體積取得最大值時，求二面角的余弦值.21．（12分）已知，均為正項數(shù)列，其前項和分別為，，且，，，當，時，，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當時，證明：對；（2）若函數(shù)在上存在極值，求實數(shù)的取值范圍。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

先根據(jù)奇偶性，求出的解析式，令，即可求出。【詳解】因為、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，用替換，得，化簡得，即令，所以，故選C?！军c睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應用。2．D【解析】

討論的取值范圍，然后對函數(shù)進行求導，利用導數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，則，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，當時，，故切線的斜率變小，當時，，故切線的斜率變大，可排除A、B；當時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，，當時，，故切線的斜率變大，當時，，故切線的斜率變小，可排除C，故選：D【點睛】本題考查了識別函數(shù)的圖像，考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系以及導數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.3．C【解析】

①與點距離為的點形成以為圓心，半徑為的圓弧，利用弧長公式，可得結(jié)論；②當在（或時，與面所成角（或的正切值為最小，當在時，與面所成角的正切值為最大，可得正切值取值范圍是；③設，，，則，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影長，即可求出六個面上的正投影長度之和．【詳解】如圖：①錯誤，因為，與點距離為的點形成以為圓心，半徑為的圓弧，長度為；②正確，因為面面，所以點必須在面對角線上運動，當在（或）時，與面所成角（或）的正切值為最?。橄碌酌婷鎸蔷€的交點），當在時，與面所成角的正切值為最大，所以正切值取值范圍是；③正確，設，則，即，在前后、左右、上下面上的正投影長分別為，，，所以六個面上的正投影長度之，當且僅當在時取等號.故選：.【點睛】本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識點，綜合性強，屬于難題．4．B【解析】

分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對于，圖象如下圖所示：則函數(shù)在定義域上不單調(diào)，錯誤；對于，的圖象如下圖所示：則在定義域上單調(diào)遞增，且值域為，正確；對于，的圖象如下圖所示：則函數(shù)單調(diào)遞增，但值域為，錯誤；對于，的圖象如下圖所示：則函數(shù)在定義域上不單調(diào)，錯誤.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題，屬于基礎題.5．B【解析】

由兩直線垂直求得則或，再根據(jù)充要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，“直線與直線垂直”則，解得或，所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件，故選B.【點睛】本題主要考查了兩直線的位置關系，及必要不充分條件的判定，其中解答中利用兩直線的位置關系求得的值，同時熟記充要條件的判定方法是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題.6．B【解析】

根據(jù)f（x）為偶函數(shù)便可求出m＝0，從而f（x）＝﹣1，根據(jù)此函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可作出判斷.【詳解】解：∵f（x）為偶函數(shù)；∴f（﹣x）＝f（x）；∴﹣1＝﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，并且a＝f（||）＝f（），b＝f（），c＝f（2）；∵0＜＜2＜；∴a<c<b．故選B．【點睛】本題考查偶函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對于偶函數(shù)比較函數(shù)值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間[0，+∞）上，根據(jù)單調(diào)性去比較函數(shù)值大?。?．B【解析】

求出導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，根據(jù)零點存在定理可確定參數(shù)范圍．【詳解】，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，∴在上只有一個極大值也是最大值，顯然時，，時，，因此要使函數(shù)有兩個零點，則，∴．故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)的零點，考查用導數(shù)研究函數(shù)的最值，根據(jù)零點存在定理確定參數(shù)范圍．8．B【解析】

由可得，所以，故選B．9．C【解析】

通過二項式展開式的通項分析得到，即得解.【詳解】由已知得，故當時，，于是有，則.故選：C【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項和系數(shù)問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.10．B【解析】

設點、，設直線的方程為，由題意得出，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，結(jié)合可求得的值，由此可得出直線的斜率.【詳解】由題意可知點，設點、，設直線的方程為，由于點是的中點，則，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得，整理得，由韋達定理得，得，，解得，因此，直線的斜率為.故選：B.【點睛】本題考查直線斜率的求解，考查直線與拋物線的綜合問題，涉及韋達定理設而不求法的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.11．C【解析】

直接利用復數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可．【詳解】由得：本題正確選項：【點睛】本題考查復數(shù)的除法的運算法則的應用，考查計算能力．12．D【解析】構造函數(shù)，令，則，由可得，則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù)，且，當x∈(0,1)時,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當x∈(1,+∞)時,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當x∈(-1,0)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當x∈(-∞,-1)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項.點睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中．某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用．因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的．根據(jù)題目的特點，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧．許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，求出準線方程，求出三角形的頂點的坐標，然后求解面積．【詳解】解：雙曲線：雙曲線中，，，則雙曲線的一條準線方程為，雙曲線的漸近線方程為：，可得準線方程與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點的坐標，，，，則三角形的面積為．故答案為：【點睛】本題考查雙曲線方程的應用，雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力，屬于中檔題．14．3【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，再把目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為，對參數(shù)a分類討論，當時顯然不滿足題意；當時，直線經(jīng)過可行域中的點A時，截距最小，即z有最小值，再由最小值為7，得出結(jié)果；當時，的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當時，的截距沒有最大值，即z沒有最小值，綜上可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域如下：由，可得出交點，由可得，當時顯然不滿足題意；當即時，由可行域可知當直線經(jīng)過可行域中的點A時，截距最小，即z有最小值，即，解得或（舍）；當即時，由可行域可知的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當即時，根據(jù)可行域可知的截距沒有最大值，即z沒有最小值.綜上可知滿足條件時.故答案為：3.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，約束條件和目標函數(shù)中都有參數(shù)，要對參數(shù)進行討論.15．2【解析】

設切點由已知可得,即可解得所求.【詳解】設，因為，所以，即，又，.所以，即，.故答案為:.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,難度較易.16．【解析】

由題意畫出圖形，補形為長方體，求其對角線長，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求．【詳解】解：如圖，在四面體中，底面，，，可得，補形為長方體，則過一個頂點的三條棱長分別為1，1，，則長方體的對角線長為，則三棱錐的外接球的半徑為1．其表面積為．故答案為：．【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，補形是關鍵，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．【解析】

將圓的極坐標方程化為直角坐標方程，直線的參數(shù)方程化為普通方程，再根據(jù)直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求實數(shù)的值.【詳解】由，得，，即圓的方程為，又由消，得，直線與圓相切，，．【點睛】本題重點考查方程的互化，考查直線與圓的位置關系，解題的關鍵是利用圓心到直線的距離等于半徑,研究直線與圓相切.18．（1）見解析（2）最小值為1．【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，判斷出的軌跡為拋物線，并由此求得軌跡的方程.設出兩點的坐標，利用導數(shù)求得切線的方程，由此求得點的坐標.寫出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，根據(jù)韋達定理求得點的坐標，并由此判斷出始終在直線上，且.（2）設直線的傾斜角為，求得的表達式，求得的表達式，由此求得四邊形的面積的表達式進而求得四邊形的面積的最小值．【詳解】(1)∵動圓過定點，且與直線相切，∴動圓圓心到定點和定直線的距離相等，∴動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，∴軌跡的方程為：，設，∴直線的方程為：，即：①，同理，直線的方程為：②，由①②可得：，直線方程為：，聯(lián)立可得：，，∴點始終在直線上且；（2）設直線的傾斜角為，由（1）可得：，，∴四邊形的面積為：，當且僅當或，即時取等號，∴四邊形的面積的最小值為1.【點睛】本小題主要考查動點軌跡方程的求法，考查直線和拋物線的位置關系，考查拋物線中四邊形面積的最值的計算，考查運算求解能力，屬于中檔題.19．(1)直線l的普通方程為x＋y－4＝0.曲線C的直角坐標方程是圓：(x－)2＋(y－1)2＝4.(2)4【解析】

（1）將直線l參數(shù)方程中的消去，即可得直線l的普通方程，對曲線C的極坐標方程兩邊同時乘以，利用可得曲線C的直角坐標方程；（2）求出點到直線的距離，再求出的弦長，從而得出△MON的面積．【詳解】解：(1)由題意有，得，x＋y＝4，直線l的普通方程為x＋y－4＝0.因為ρ＝4sin所以ρ＝2sinθ＋2cosθ，兩邊同時乘以得，ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，因為，所以x2＋y2＝2y＋2x，即(x－)2＋(y－1)2＝4，∴曲線C的直角坐標方程是圓：(x－)2＋(y－1)2＝4.(2)∵原點O到直線l的距離直線l過圓C的圓心(，1)，∴|MN|＝2r＝4，所以△MON的面積S＝|MN|×d＝4.【點睛】本題考查了直線與圓的極坐標方程與普通方程、參數(shù)方程與普通方程的互化知識，解題的關鍵是正確使用這一轉(zhuǎn)化公式，還考查了直線與圓的位置關系等知識.20．（1）見證明；（2）【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到，利用勾股定理得到，利用線面垂直的判定定理證得平面；（2）設，利用椎體的體積公式求得，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得時，四面體的體積取得最大值，之后利用空間向量求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因為，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以.因為，所以，所以，因為，所以平面.（2）解：設，則，四面體的體積.，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.故當時，四面體的體積取得最大值.以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，，.設平面的法向量為，則，即，令，得，同理可得平面的一個法向量為，則.由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點睛】該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，椎體的體積，二面角的求法，在解題的過程中，注意巧用導數(shù)求解體積的最大值.21．（1），（2）【解析】

（1），所，兩式相減，即可得到數(shù)列遞推關系求解通項公式，由，整理得，得到，即可求解通項公式；（2）由（1）可知，，即可求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）因為，所，兩式相減，整理得，當時，，解得，所以數(shù)列是首項和公比均為的等比數(shù)列，即，因為，整理得，又因為，所以，所以，即，因為，所以數(shù)列是以首項和公差均為1的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）可知，，，