【課件】1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題——距離問題空間的距離問題有：線線距、線面距、面面距我們知道，立體幾何中的距離問題包括點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條平行直線以及兩個(gè)平行平面的距離問題等，如何用空間向量解決這些距離問題呢?

下面我們先研究用向量方法求直線l外一點(diǎn)P到直線l的距離.

探究已知直線l的單位方向向量為,A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn).如何利用這些條件求點(diǎn)P到直線l的距離?AlPQ如圖示，向量

在直線l上的投影向量為

，則△APQ是直角三角形，因?yàn)锳，P都是定點(diǎn)，所以與的夾角∠PAQ都是確定的.于是可求再利用勾股定理，可以求出點(diǎn)P到直線l的距離PQ.設(shè)，則向量在直線l上的投影向量

在Rt△APQ中，由勾股定理，得若直線l的法向量為，則點(diǎn)P到直線l的距離為d1.點(diǎn)到直線的距離：3.向量法.立體幾何中點(diǎn)到平面距離的求法：1.直接法；2.等體積法；下面我們探究用空間向量求平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離.如圖示，已知平面α的法向量為，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，則是直線l的方向向量，且點(diǎn)P到平面α的距離d就是AP在直線l上的投影向量的長(zhǎng)度.因此αAlQPd思考類比點(diǎn)到直線的距離的求法，如何求兩條平行直線之間的距離?2.兩平行直線間的距離：兩條平行直線之間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離求解.mnA?d3.點(diǎn)到平面的距離：4.直線到平面的距離：直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解.3.兩個(gè)平行平面之間的距離：αAlQdP?兩個(gè)平行平面之間的距離也可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解.αAQdP?β例6如圖示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)B到直線AC1的距離;

(2)求直線FC到平面AEC1的距離.xyzBAA1B1C1D1CDEF例6如圖示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn).

(2)求直線FC到平面AEC1的距離.xyzBAA1B1C1D1CDEF用向量法求平面α一個(gè)點(diǎn)P到平面α的距離的步驟：(3)利用點(diǎn)到平面的距離公式即可求出點(diǎn)到平面的距離d．(1)求出該平面α的一個(gè)法向量；αAQPd(2)找出從點(diǎn)P出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；1.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)A到平面B1C的距離等于_____；直線DC到平面AB1的距離等于_______；平面DA1到平面CB1的距離等于_______.xyzA1D1B1DBCC1A1112.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)A1到直線B1E的距離;

(2)求直線FC1到直線AE的距離;

(3)求點(diǎn)A1到平面AB1E的距離;

(4)求直線FC1到平面AB1E的距離.BAA1B1C1D1CDEF2.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)A1到直線B1E的距離;xyzBAA1B1C1D1CDEF2.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)A1到直線B1E的距離;BAA1B1C1D1CDEFM2.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1的中點(diǎn).

(2)求直線FC1到直線AE的距離;xyzBAA1B1C1D1CDEF2.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1的中點(diǎn).(3)求點(diǎn)A1到平面AB1E的距離;xyzBAA1B1C1D1CDEF2.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1的中點(diǎn).

(4)求直線FC1到平面AB1E的距離.xyzBAA1B1C1D1CDEF3.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB與平面D1CB1的距離.xyzBAA1B1C1D1CDxyz【鞏固訓(xùn)練1】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面GEF的距離.DABCGFE解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz．由題設(shè)得

B(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2)．則設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為設(shè)點(diǎn)B到平面GEF的距離為d，則∴點(diǎn)B到平面GEF的距離為取x=1,則y=1,z=3.【鞏固訓(xùn)練2】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，求點(diǎn)BD到平面GEF的距離.xyzDABCGFExyz【鞏固訓(xùn)練3】如圖，正方體ABCD和ABEF的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在平面互相垂直，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BF上，若CM=BN=，求MN的長(zhǎng).解1：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則有【鞏固訓(xùn)練3】如圖，正方體ABCD和ABEF的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在平面互相垂直，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BF上，若CM=BN=，求MN的長(zhǎng).解2：【鞏固訓(xùn)練4】如圖，兩條異面直線a,b所成的角為θ，在直線a,b上分別取點(diǎn)A′,E和點(diǎn)A,F，使AA′⊥a，且AA′⊥b(AA′稱為異面直線a,b的公垂線).已知A′E=m,AF=n，EF=l，求公垂線AA′的長(zhǎng).A′AbaFE1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題——夾角問題空間的角常見的有：線線角、線面角、面面角1.線線角(異面直線所成的角)距離類似，角度是立體幾何中另一個(gè)重要的度量.下面我們用向量方法研究直線與直線所成的角、直線與平面所成的角以及平面與平面的夾角，先看線線角.一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角來(lái)求得.也就是說(shuō)，若異面直線l1,l2所成的角為θ，其方向向量分別是

則l1l2l1l2例7如圖示，在棱長(zhǎng)為1的正四面體(四個(gè)面都是正三角形)ABCD中，M,N分別為BC,AD的中點(diǎn)，求直線AM和CN夾角的余弦值.ACDBMN1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1.則BD1與AF1所成角的余弦值是().ACBA1C1B1F1D1xyzA1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1.則BD1與AF1所成角的余弦值是().ACBA1C1B1F1D1A2.線面角(直線與平面所成的角)類似地，直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.如圖示，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量

，平面α的法向量為

，則αABC【例題】在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,AD=8,AA1=6，M是B1C1上的一點(diǎn)，且B1M=2，點(diǎn)N在線段A1D上,A1N=5,求AD與平面ANM所成角的正弦值.zyxABCA1B1C1D1DNM

3.如圖，在三棱錐O-ABC中，OA,OB,OC兩兩垂直，OA=OC=3，OB=2.求直線OB與平面ABC所成角的正弦值.(P41練習(xí)3)BOCAxyz

2.PA,PB,PC是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是().(P38練習(xí)2)PBCADOFE解:過(guò)PC上任取一點(diǎn)D并作PO⊥平面APB,則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角.過(guò)點(diǎn)O作OE⊥PA,OF⊥PB,∵DO⊥平面APB,則DE⊥PA,DF⊥PB.∴△DEP≌△DFP,∴EP=FP，∴△OEP≌△OFP.∴點(diǎn)O在∠APB的平分線上,即∠OPE=30°.

2.PA,PB,PC是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是().(P38練習(xí)2)解2:如圖示,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則PCBAxyzO3.面面角(平面與平面的夾角)如圖示，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.

類似于兩條異面直線所成的角，若平面α,β的法向量分別是和，則平面α與平面β的夾角即為向量和的夾角或其補(bǔ)角，設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則思考右圖中有幾個(gè)二面角?兩個(gè)平面的夾角與這兩個(gè)平面形成的二面角有什么關(guān)系?相等或互補(bǔ)設(shè)二面角α-l-β的平面角為θ0，則有例8如圖示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q,R分別在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1.

求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值.ACBA1C1B1QPRxyz3.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，求平面AA1B與平面A1BC1夾角的余弦值.(P38練習(xí)3)ACBA1C1B1xyzO4.如圖，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求:

(1)直線AD與直線BC所成角的大小;DBCAxyzO4.如圖，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求:

(2)直線AD與平面BCD所成角的大小;DBCAxyzO4.如圖，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求:

(3)平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值.DBCAxyzO例9某種禮物降落傘的示意圖如圖示，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同.求降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2，精確到0.01N).如圖示，設(shè)水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為.因?yàn)?30°，所以在上的投影向量為.

所以8根繩子拉力的合力為又因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣?，所以∴每根繩子拉力的大小為1.41N.解：例10如圖示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

(1)求證:PA//平面EDB;

(2)求證:PB⊥平面EFD;

(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.BCDAPEFxyz(1)證明:連接AC,交BD于點(diǎn)G,連接EG.依題意得如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)DC=2.解:G因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,所以點(diǎn)G是它的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,1,0),且A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1).即PA//EG.而EG平面EDB，且PA平面EDB,因此PA//平面EDB.例10如圖示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

(1)求證:PA//平面EDB;

(2)求證:PB⊥平面EFD;

(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.BCDAPEFxyz依題意得B(2,2,0).G∴PB⊥DE.由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD.(2)證明:例10如圖示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

(1)求證:PA//平面EDB;

(2)求證:PB⊥平面EFD;

(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.BCDAPEFxyz已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD是平面CPB與平面PBD的夾角.設(shè)F(