【課件】（人教A版2019選擇性必修第一冊）：用空間向量研究距離、夾角問題（同步課件）

人教A版2019選擇性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題APQl我們知道，立體幾何中的距離問題包括點到直線、點到平面、兩條平行直線以及兩個平行平面的距離問題等如何用空間向量解決這些距離問題呢？下面我們先研究用向量方法求直線外一點P到直線l的距離．APQl思考類比點到直線的距離的求法，如何求兩條平行直線之間的距離？APQlACBDyxzA1B1C1D1EF圖1.4-18分析：根據條件建立空間直角坐標系，用坐標表示相關的點、直線的方向向量和平面的法向量，再利用有關公式，通過坐標運算得出相應的距離．ACBDyxzA1B1C1D1EF圖1.4-18ACBDyxzA1B1C1D1EF圖1.4-18與用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”類似，我們可以得出用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾角等問題；（3）把向量運算的結果“翻譯”成相應的幾何結論．ABCDMN與距離類似，角度是立體幾何中另一個重要的度量．下面我們用向量方法研究直線與直線所成的角、直線與平面所成的角以及平面與平面的夾角，先看下列問題．例7

如圖1.4-19，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值．ABCDMN解：化為向量問題ABCDMN進行向量運算ABCDMN回到圖形問題思考以上我們用量方法解決了異面直線AM和CN所成角的問題，你能用向量方法求直線AB與平面BCD所成的角嗎？ABC圖1.4-20ABCC1A1B1xyzPQRABCC1A1B1xyzPQR解：化為向量問題ABCC1A1B1xyzPQR進行向量運算ABCC1A1B1xyzPQR回到圖形問題圖1.4-24例9

圖1.4-23為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°，已知禮物的質量為1kg，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2，精確到0.01N)．分析：因為降落傘勻速下落，所以降落傘8根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大?。?根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對相反向量．圖1.4-24ABCDEFGPzxy分析：本題涉及的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計算兩個平面的夾角，這些問題都可以利用向量方法解決．由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當的空間直角坐標系，用向量及坐標表示問題中的幾何元素，進而解決問題．ABCDEFGPzxyABCDEFGPzxyABCDEFGPzxy用空間向量表示立體圖形中點、直線、平面等元素進行空間向量的運算，研究點、直線、平面之間的關系把運算結果“翻譯”成相應的幾何意義通過本節(jié)的學習，你對立體幾何中的向量法是否有了一定的認識？請結合例題就下面的框圖談談體會．解決立體幾何中的問題，可用三種方法：綜合法、向量法、坐標法．你能說出它們各自的特點嗎？綜合法以邏輯推理作為工具解決問題；向量法利用向量的概念及其運算解決問題，如本