【課件】6.2.2向量的減法運(yùn)算高一下學(xué)期人教A版2019必修第二冊(cè)課件

6.2.2

向量的減法運(yùn)算

必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)1.相反向量導(dǎo)思1.相反向量的含義是什么?2.平面向量減法運(yùn)算的定義是什么?其幾何意義是什么?定義與向量a長(zhǎng)度_____,方向_____的向量,叫做a的相反向量,記作___規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量結(jié)論a和-a互為相反向量,于是-(-a)=__a+(-a)=(-a)+a=__如果a,b互為相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=__相等相反-aa002.向量的減法(1)定義:向量a加上b的相反向量,叫做a與b的差,即a-b=_______.求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.(2)本質(zhì):向量加法的逆運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果仍是一個(gè)向量.(3)應(yīng)用:①求兩個(gè)向量的差;②為向量的綜合運(yùn)算奠定基礎(chǔ).a+(-b)3.向量減法的幾何意義作法已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則=____圖示

a-b【思考】(1)已知a,b是不共線(xiàn)的向量,如何在同一個(gè)平行四邊形中作出a-b和a+b?提示:如圖所示,作平行四邊形OACB,設(shè)=a,=b,

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量減法的三角形法則,有=a+b,=a-b.(2)在代數(shù)運(yùn)算中的移項(xiàng)法則,在向量中是否仍然成立?提示:成立.在向量等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)向量仍得到向量等式,因此移項(xiàng)法則對(duì)向量等式也是適用的.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)相反向量就是方向相反的向量. (

)(2)相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.(

)(3)與是相反向量,且-=. (

)提示:(1)×.相反向量是長(zhǎng)度相等,方向相反的向量.(2)×.由平行向量與相反向量的定義可知,相反向量必為平行向量,平行向量不一定是相反向量.(3)√.根據(jù)相反向量的定義可知其正確.√××2.在平行四邊形ABCD中,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 (

)C【解析】選C.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以=,所以=0,A正確;=+,由向量加法的平行四邊形法則可知,+=,B正確;=,C錯(cuò)誤;因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以與互為相反向量,所以=0,D正確.3.(例題改編)已知?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于O,且=a,=b,則=

,=

.(用a,b表示)

【解析】如圖,

答案:b-a

-a-b關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類(lèi)型一向量減法的幾何意義(直觀想象)【例1】1.對(duì)于非零向量a,b,當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí),有|a-b|=||a|-|b||.

2.如圖,已知向量a,b,c不共線(xiàn),求作向量a+b-c.【思路導(dǎo)引】1.根據(jù)向量減法的幾何意義分析a,b之間的關(guān)系.2.先作a+b,再作a+b-c.作向量的差時(shí),可以依據(jù)定義也可以依據(jù)向量減法的三角形法則.【解析】1.當(dāng)a,b不同向時(shí),根據(jù)向量減法的幾何意義,知一定有|a-b|>||a|-|b||,所以只有兩向量同向時(shí),才有|a-b|=||a|-|b||.答案:a與b同向2.方法一:如圖所示,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則=a+b,再作=c,則=a+b-c.方法二:如圖所示,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則=a+b,再作=c,連接OC,

則=a+b-c.【變式探究】在本例2的條件下,作出向量:a-b+c.【解析】如圖所示:【解題策略】作兩個(gè)向量的差的兩種方法(1)用向量減法的三角形法則①步驟②口訣:共起點(diǎn),連終點(diǎn),指向被減.(2)用向量減法的定義根據(jù)a-b=a+(-b)轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算,再作圖.【跟蹤訓(xùn)練】如圖所示,O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),=a,=b,=c,求作:b+c-a.【解析】方法一:以,為鄰邊作平行四邊形OBDC,連接OD,AD,

則方法二:作=b,

連接AD,則=c-a,=c-a+b=b+c-a.【變式訓(xùn)練】如圖,已知向量a,b,c,求作a-b-c.【解析】如圖,以A為起點(diǎn)分別作向量和,使=a,=b.連接CB,得向量,再以C為起點(diǎn)作向量,使=c.連接DB,得向量.則向量即為所求作的向量a-b-c.類(lèi)型二向量的加減法運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【例2】1.(2020·運(yùn)城高一檢測(cè))化簡(jiǎn):=

.

2.化簡(jiǎn):(1)【思路導(dǎo)引】首先用向量加法的運(yùn)算律或向量減法的定義進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化,然后用向量加法(或減法)的三角形法則化簡(jiǎn).【解析】1.答案:

2.(1)(6)方法一:方法二:【解題策略】向量減法運(yùn)算的常用方法【跟蹤訓(xùn)練】1.下列四式中不能化簡(jiǎn)為的是 (

)D【解析】選D.A中,B中,C中,D中,顯然不能化簡(jiǎn)為.2.化簡(jiǎn)下列各式:(1)(2)【解析】(1)(2)【變式訓(xùn)練】下列各式中不能化簡(jiǎn)為的是 (

)D【解析】選D.選項(xiàng)A中,選項(xiàng)B中,選項(xiàng)C中,

選項(xiàng)D中,類(lèi)型三向量加減法運(yùn)算的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)

角度1利用已知向量表示未知向量

【例3】如圖所示,四邊形ACDE是平行四邊形,點(diǎn)B是該平行四邊形外一點(diǎn),且=a,=b,=c,試用向量a,b,c表示向量【思路導(dǎo)引】利用向量加減法運(yùn)算的三角形法則及相等向量的定義進(jìn)行解答.【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可知=c,由向量的減法可知:=b-a,由向量的加法可知=b-a+c.【變式探究】本例中的條件“點(diǎn)B是該平行四邊形外一點(diǎn)”若換為“點(diǎn)B是該平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)”,其他條件不變,其結(jié)論又如何呢?【解析】如圖,因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形,所以=c,=b-a,=b-a+c.角度2向量加減法與平面幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用

【例4】若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿(mǎn)足試判斷△ABC的形狀.【思路導(dǎo)引】先進(jìn)行向量加減法運(yùn)算,化簡(jiǎn)后分析以AB、AC為鄰邊的平行四邊形的形狀.【解析】因?yàn)樗砸訟B、AC為鄰邊的平行四邊形對(duì)角線(xiàn)相等,所以以AB、AC為鄰邊的平行四邊形為矩形,所以∠BAC=90°,得△ABC的形狀是直角三角形.【解題策略】1.用已知向量表示其他向量的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線(xiàn)向量以及構(gòu)成三角形的三個(gè)向量之間的關(guān)系,確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道.(2)注意綜合應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及向量加法的結(jié)合律、交換律來(lái)分析解決問(wèn)題.(3)注意在封閉圖形中利用向量加法的多邊形法則.例如,在四邊形ABCD中,=0.2.平行四邊形中有關(guān)向量的結(jié)論平行四邊形中有關(guān)向量的以下結(jié)論,在解題中可以直接使用:(1)對(duì)角線(xiàn)的平方和等于四邊的平方和,即|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).(2)若|a+b|=|a-b|,則以a,b為鄰邊的平行四邊形為矩形.【跟蹤訓(xùn)練】1.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=2,則||=

.

【解析】因?yàn)椤螪AB=60°,AB=AD,所以△ABD為等邊三角形.又因?yàn)閨|=2,所以O(shè)B=1.在Rt△AOB中,所以答案:22.如圖所示,在正八邊形ABCDEFGH中,=a,=b,=c,=d,=e,

(1)試用已知向量表示;(2)試用已知向量表示.【解析】(1)由題圖可知=-(b+c+d+e);(2)由題圖可知,=c+d+e+=c+d+e-=c+d+e-b.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知菱形ABCD邊長(zhǎng)都是2,求向量的模.【解析】因?yàn)樗?.如圖,在△ABC中,D,E分別為邊AC,BC上的任意一點(diǎn),O為AE,BD的交點(diǎn),已知=a,=b,=c,=e,用a,b,c,e表示向量.【解析】在△OBE中,有=e-c,在△ABO中,=e-c-a,在△ABD中,=a+b,所以在△OAD中,=e-c-a+a+b=e-c+b.核心知識(shí)方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)1.相反向量.2.向量減法的概念.3.向量減法的幾何意義.（1）起點(diǎn)必須相同；（2）指向被減向量的終點(diǎn).用三角形法則作向量減法時(shí)相反向量:

從“長(zhǎng)度”和“方向”兩方面進(jìn)行定義，相反向量必為平行向量．1.數(shù)學(xué)抽象：向量減法的定義.2.邏輯推理：向量減法的法則.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求兩個(gè)向量的差.4.直觀想象：向量減法的幾何意義.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.設(shè)b是a的相反向量,則下列說(shuō)法一定錯(cuò)誤的是 (

)

A.a與b的長(zhǎng)度相等 B.a∥bC.a與b一定不相等 D.a是b的相反向量【解析】選C.由相反向量的定