平面問題有限元解法公式推導(dǎo)講解

平面問題有限元解法公式推導(dǎo)講解有限單元法基本思想有限單元法的思想是將物體（連續(xù)的求解域）離散成有限個(gè)且按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元組合，來模擬或逼近原來的物體，從而將一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題簡化為離散的有限自由度問題求解的一種數(shù)值分析法。物體被離散后，通過對其中各個(gè)單元進(jìn)行單元分析，最終得到對整個(gè)物體的分析。有限單元法的分析步驟如下：物體離散化單元特性分析單元組集，整體分析求解未知節(jié)點(diǎn)的位移由節(jié)點(diǎn)的位移求解各單元的位移和應(yīng)力2020/12/24有限元單元模型中幾個(gè)重要概念單元網(wǎng)格劃分中每一個(gè)小的塊體節(jié)點(diǎn)確定單元形狀、單元之間相互聯(lián)結(jié)的點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力單元上節(jié)點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)內(nèi)力載荷作用在單元節(jié)點(diǎn)上的外力（集中力、分布力）約束限制某些節(jié)點(diǎn)的某些自由度彈性模量（楊式模量）E泊松比（橫向變形系數(shù)）μ密度單元單元載荷節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力約束2020/12/241.研究內(nèi)容內(nèi)容：彈性體在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、位移等分布規(guī)律。

任務(wù)：解決彈性體的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。

彈性力學(xué)的內(nèi)容及基本假定2.研究對象一般彈性實(shí)體結(jié)構(gòu)：三維彈性固體、板狀結(jié)構(gòu)、桿件等2020/12/24彈性力學(xué)的內(nèi)容及基本假定3.研究方法由平衡方程、幾何方程、物理方程三方面分析4.數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)——偏微分方程（高階，二、三個(gè)變量）數(shù)值解法：能量法（變分法）、差分法、有限單元法等。2020/12/24彈性力學(xué)的內(nèi)容及基本假定5.基本假定（1）.連續(xù)性假定整個(gè)物體的體積都被組成物體的介質(zhì)充滿，不留下任何空隙。作用：使得σ、ε、u等量表示成坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。2020/12/24彈性力學(xué)的內(nèi)容及基本假定（2）.完全彈性假定

假定物體完全服從虎克（Hooke）定律，應(yīng)力與應(yīng)變間成線性比例關(guān)系。脆性材料——一直到破壞前，都可近似為線彈性的；塑性材料——比例階段，可視為線彈性的。（3）.均勻性假定

假定整個(gè)物體是由同一種材料組成的，各部分材料性質(zhì)相同。作用：彈性常數(shù)（E、μ）等——不隨位置坐標(biāo)而變化；取微元體分析的結(jié)果可應(yīng)用于整個(gè)物體。2020/12/24彈性力學(xué)的內(nèi)容及基本假定（4）.各向同性假定（5）.小變形假定

假定物體內(nèi)一點(diǎn)的力學(xué)性質(zhì)在所有各個(gè)方向都相同。作用：彈性常數(shù)（E、μ）——不隨坐標(biāo)方向而變化；

假定位移和形變是微小的，即物體受力后物體內(nèi)各點(diǎn)位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的原來的尺寸。作用：建立方程時(shí)，可略去高階微量；可用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。使求解的方程線性化。2020/12/24基本概念：外力、應(yīng)力、形變、位移。1.外力：體力、面力(1)體力——分布在物體體積內(nèi)的力——體力分布集度（矢量）xyzO單位：N/m3kN/m3說明：f是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念p2020/12/24(2)面力——分布在物體表面的力——面力分布集度（矢量）xyzO單位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)說明：彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；p2020/12/242.應(yīng)力(1)一點(diǎn)應(yīng)力的概念ΔAΔF內(nèi)力(1)物體內(nèi)部分子或原子間的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考慮)P截面上P點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)力矢量.的極限方向應(yīng)力分量n(法線)應(yīng)力的法向分量——正應(yīng)力應(yīng)力的切向分量——切應(yīng)力單位:MPa(兆帕)應(yīng)力關(guān)于坐標(biāo)連續(xù)分布彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念2020/12/24(2)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通過一點(diǎn)P的各個(gè)面上應(yīng)力狀況的集合——稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)x面的應(yīng)力：y面的應(yīng)力：z面的應(yīng)力：彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念2020/12/24用矩陣表示：其中，只有6個(gè)量獨(dú)立。切應(yīng)力互等定理應(yīng)力正負(fù)號的規(guī)定：正應(yīng)力——拉為正，壓為負(fù)。切應(yīng)力——坐標(biāo)正面上，與坐標(biāo)正向一致時(shí)為正；坐標(biāo)負(fù)面上，與坐標(biāo)正向相反時(shí)為正。xyzO彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念2020/12/243.形變形變——物體的形狀改變xyzO（1）線段長度的改變（2）兩線段間夾角的改變。PBCA——用正應(yīng)變?chǔ)哦攘俊袘?yīng)變?chǔ)枚攘浚ㄇ袘?yīng)變——兩垂直線段夾角（直角）的改變量）三個(gè)方向的正應(yīng)變：三個(gè)平面內(nèi)的切應(yīng)變：(1)一點(diǎn)形變的度量應(yīng)變的正負(fù)：正應(yīng)變：伸長時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)；切應(yīng)變：以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)；彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念2020/12/24(2)一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)其中應(yīng)變無量綱；4.位移注：一點(diǎn)的位移——矢量S應(yīng)變分量均為位置坐標(biāo)的函數(shù)xyzOSwuvP位移分量：u——x方向的位移分量；v——y方向的位移分量；w——z方向的位移分量。量綱：m或mm彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念2020/12/24工程力學(xué)問題建立力學(xué)模型的過程中，一般從三方面進(jìn)行簡化：結(jié)構(gòu)簡化如空間問題向平面問題的簡化，向軸對稱問題的簡化，實(shí)體結(jié)構(gòu)向板、殼結(jié)構(gòu)的簡化。受力簡化如：根據(jù)圣維南原理，復(fù)雜力系簡化為等效力系等。材料簡化根據(jù)各向同性、連續(xù)、均勻等假設(shè)進(jìn)行簡化。2020/12/24平面問題的基本理論任何一個(gè)實(shí)際的彈性力學(xué)問題都是空間問題，但是如果所考察的彈性體具有某種特殊的形狀，并且承受的是某些特殊的外力和約束，就可以把空間問題簡化為近似的平面問題。兩種典型的平面問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題2020/12/24平面應(yīng)力問題(1)幾何特征xyyztba一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸小得多?！桨迦纾喊迨降蹉^，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（體力、面力）和約束，僅平行于板面作用，沿z

方向不變化。2020/12/24xyyztba(3)應(yīng)力特征如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為xy平面，垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z軸方向不變?？烧J(rèn)為整個(gè)薄板的各點(diǎn)都有：由切應(yīng)力互等定理，有結(jié)論：平面應(yīng)力問題只有三個(gè)應(yīng)力分量：xy應(yīng)變分量、位移分量也僅為x、y的函數(shù)，與z無關(guān)。2020/12/24平面應(yīng)變問題(1)幾何特征水壩滾柱厚壁圓筒

一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸大得多，且沿長度方向幾何形狀和尺寸不變化。

——近似認(rèn)為無限長(2)外力特征

外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長度z方向不變化。

約束——沿長度z方向不變化。(3)變形特征如圖建立坐標(biāo)系：以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸。設(shè)z方向?yàn)闊o限長，則沿z方向都不變化，僅為x，y的函數(shù)。任一橫截面均可視為對稱面2020/12/24水壩任一橫截面均可視為對稱面，則有所有各點(diǎn)的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移問題——平面應(yīng)變問題注：平面應(yīng)變問題中但是，2020/12/24如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題？平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題非平面問題2020/12/24三大基本方程根據(jù)靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，建立三套方程。平面問題中，根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程： (1-1)根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系，建立幾何方程：

(1-2)根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程： (1-3)(1-3‘)2020/12/24平衡微分方程從彈性體中取出一個(gè)微分體，根據(jù)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式，也就是平面問題的平衡微分方程。從彈性體中取出一個(gè)微小的正平行六面體，它在x和y方向的尺寸分別為dx和dy，在z方向的尺寸為一個(gè)單位長度。以x為投影軸，列出投影的平衡方程：約簡以后，兩邊除以dxdy，得：同理，以y為投影軸，列出投影的平衡方程，化簡得：2020/12/24幾何方程經(jīng)過彈性體內(nèi)的任意一點(diǎn)P，沿x軸和y軸的正方向取兩個(gè)微小長度的線段PA＝dx和PB＝dy。假定彈性體受力后，P,A,B三點(diǎn)分別移動(dòng)到P’,A’,B’.線段PA的正應(yīng)變是：注:由于位移微小，y方向的位移v引起的PA的伸縮，是高一階微量，略去不計(jì)。線段PB的正應(yīng)變是：線段PA與

PB之間的直角的改變，即切應(yīng)變線段PA的轉(zhuǎn)角α是：線段PB的轉(zhuǎn)角β是：2020/12/24物理方程在理想的彈性體中，形變分量和應(yīng)力分量之間的關(guān)系，在材料力學(xué)根據(jù)胡克定律導(dǎo)出如下：在平面應(yīng)力問題中，式變?yōu)椋涸谄矫鎽?yīng)變問題中，只要將上式中的E換為，μ換為就得到平面應(yīng)變問題的物理方程。2020/12/24假定已知任一點(diǎn)P處坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量σx，σ

y，τxy=τyx

。求經(jīng)過該點(diǎn)的，平行于z軸而傾斜于x軸和

y軸的任何傾斜面上應(yīng)力。在P點(diǎn)附近取一個(gè)平面AB，它平行于上述斜面，并經(jīng)過P點(diǎn)劃出一個(gè)微小的三棱柱PAB。當(dāng)AB無限小而趨于P點(diǎn)時(shí)，平面AB上的應(yīng)力就成為斜面上的應(yīng)力。平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)設(shè)斜面AB的長度為ds，則PB面及PA面的長度分別為lds及mds，而PAB的面積為

ldsmds/2，棱柱的厚度設(shè)為1。由x軸平衡條件，得：其中，fx為體力分量。將上式除以ds，并令ds趨于0（斜面AB趨于P點(diǎn)），即得：由y軸平衡條件，得：用n表示斜面AB的外法線方向，其方向余弦為：2020/12/24邊界條件若在su部分邊界上給定了約束位移分量和，則對于此邊界上的每一點(diǎn)，位移函數(shù)u和v應(yīng)滿足條件：其中（u）s和（v）s是位移的邊界值，和在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它可以分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：若在su部分邊界上給定了面力和，則由平衡條件得出平面應(yīng)力問題的應(yīng)力(或面力）邊界條件為：其中，l,m是邊界面外法線的方向余弦。2020/12/24圣維南原理在求解彈性力學(xué)問題時(shí)，應(yīng)力分量、形變分量和位移分量必須滿足區(qū)域內(nèi)的三套基本方程，還必須滿足邊界上的邊界條件。但是，要使邊界條件得到完全滿足，往往遇到很大的困難。圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大方便。圣維南原理表明，如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢相同，對同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。2020/12/24圣維南原理的應(yīng)用例，設(shè)有柱形構(gòu)件，在兩端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力F（a）。如果把一端或兩端的拉力變換為靜力等效的力，則只有虛線劃出的部分的應(yīng)力分布有顯著的改變，而其余部分所受影響是可以不計(jì)的。由于（d）圖中，面力連續(xù)分布，邊界條件簡單，應(yīng)力容易求得。其它三種情況，應(yīng)力難以求得。把d情況下的應(yīng)力解答應(yīng)用到其它三個(gè)情況，雖不能滿足兩端的應(yīng)力邊界條件，但仍然可以表明離桿端較遠(yuǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，沒有顯著的誤差。圖e，構(gòu)件右端有位移邊界條件，，d情況的解答，不能滿足位移邊界條件，但e圖右端的面力，一定是合成為經(jīng)過截面形心的力F。所以把圖d情況的解答應(yīng)用于圖e時(shí)，仍然只是在靠近兩端處有顯著的誤差，而在離兩端較遠(yuǎn)之處，誤差可以不計(jì)。2020/12/24圣維南原理的應(yīng)用例，厚度δ=1的梁中，左右兩端x=±l，的邊界面是正、負(fù)x面，其上作用有一般分布的面力±。按照嚴(yán)格的應(yīng)力邊界條件，應(yīng)力分量在邊界上滿足：上式要求在邊界上y值不同的各點(diǎn)，應(yīng)力分量與對應(yīng)的面力分量必須處處相等，這種嚴(yán)格的條件是較難滿足的。當(dāng)l>>h時(shí)，x=±l是梁的邊界的一小部分，可以應(yīng)用圣維南原理，利用靜力等效條件來代替，即，使應(yīng)力的主矢量和主矩分別等于對應(yīng)的面力的主矢量和主矩。2020/12/24圣維南原理的應(yīng)用應(yīng)力的主矢量和主矩的絕對值分別等于面力的主矢量和主矩的絕對值；面力的主矢量和主矩的方向就是應(yīng)力的主矢量和主矩的方向。2020/12/24按位移法求解平面問題以上幾節(jié)已經(jīng)建立了彈性力學(xué)平面問題的基本方程和邊界條件，即：平衡微分方程、幾何方程和物理方程，以及位移的邊界條件和應(yīng)力的邊界條件。求解彈性力學(xué)平面問題即求解3個(gè)應(yīng)力分量、3個(gè)形變分量及2個(gè)位移分量的未知函數(shù)。通常采用類似于代數(shù)方程中消元法進(jìn)行求解。按位移求解的方法，稱為位移法。它以位移分量為基本未知函數(shù)。按應(yīng)力求解的方法，稱為應(yīng)力法。它以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)。2020/12/24按位移法求解平面問題平面問題中，取位移分量u和v為基本未知函數(shù)。從方程中消去形變分量和應(yīng)力分量：將幾何方程代入上式利用平衡微分方程和邊界條件，導(dǎo)出用位移表示的平衡微分方程：2020/12/24按位移法求解平面問題利用應(yīng)力邊界條件得到用位移表示的應(yīng)力邊界條件其中：位移邊界條件如（1-4）不變按位移法求解平面應(yīng)力問題時(shí)，要使位移分量在區(qū)域內(nèi)滿足平衡微分方程，在邊界上滿足位移邊界條件或應(yīng)力邊界條件。2020/12/24按位移法求解平面問題（例題）設(shè)有如圖所示的桿件，在y方向的上端為固定，而下端為自由，受自重體力fx＝0，fy＝ρg的作用。試用位移法求解此問題。解：將這個(gè)問題簡化為一維問題處理。設(shè)u=0,v=v(y)，泊松比μ＝0。代入位移表示的平衡微分方程，得：第一式自然滿足，第二式成為：解出：2020/12/24按位移法求解平面問題（例題）設(shè)有左圖所示的桿件，在y方向的上端為固定，而下端為自由，受自重體力fx＝0，fy＝ρg的作用。試用位移法求解此問題。解出：上下邊的邊界條件分別要求：將（a）式代入（b）式得：B＝0，再代入（c）式，即得：得到解答：2020/12/24有限元單元法分析步驟（一）結(jié)構(gòu)離散化

將結(jié)構(gòu)分成有限個(gè)小的單元體，單元與單元、單元與邊界之間通過節(jié)點(diǎn)連接。結(jié)構(gòu)的離散化是有限元法分析的第一步，關(guān)系到計(jì)算精度和效率，包括以下三個(gè)方面：單元類型的選擇。選定單元類型，確定單元形狀、單元節(jié)點(diǎn)數(shù)、節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)等。單元?jiǎng)澐帧＞W(wǎng)格劃分越細(xì)，節(jié)點(diǎn)越多，計(jì)算結(jié)果越精確，但計(jì)算量越大。網(wǎng)格加密到一定程度后計(jì)算精度提高就不明顯，對應(yīng)應(yīng)力變化平緩區(qū)域不必要細(xì)分網(wǎng)格。節(jié)點(diǎn)編碼。

注意：有限元分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是由同樣材料、眾多單元以一定方式連接成的離散物體。用有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果是近似的（滿足工程要求即可）。平面問題有限單元法基本概念2020/12/24有限元單元法分析步驟（二）單元特性分析

選擇未知量模式選擇節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時(shí)，稱為位移法；選節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量時(shí)，稱為力法；取一部分節(jié)點(diǎn)位移和一部分節(jié)點(diǎn)力作為未知量，稱為混合法。分析單元力學(xué)性質(zhì)根據(jù)單元材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置等，找出單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系式，應(yīng)用幾何方程和物理方程建立力和位移的方程式，從而導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?。?jì)算等效節(jié)點(diǎn)力作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點(diǎn)上去，即用等效力來替代所有作用在單元上的力。2020/12/24有限元單元法分析步驟（三）整體分析集成整體節(jié)點(diǎn)載荷矢量F。結(jié)構(gòu)離散化后，單元之間通過節(jié)點(diǎn)傳遞力，作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點(diǎn)上去，形成等效節(jié)點(diǎn)載荷。將所有節(jié)點(diǎn)載荷按照整體節(jié)點(diǎn)編碼順序組集成整體節(jié)點(diǎn)載荷矢量。組成整體剛度矩陣K，得到總體平衡方程：引進(jìn)邊界約束條件，解總體平衡方程求出節(jié)點(diǎn)位移。

通過上述分析可以看出有限單元法的基本思想是“一分一合”，分是為了進(jìn)行單元分析，合是為了對整體的結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合分析。2020/12/24有限單元法中基本量的矩陣表示有限單元法(FEM)中，為了簡潔清晰地表示各個(gè)基本量以及它們之間的關(guān)系，也為了便于編制程序利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，廣泛采用矩陣表示和矩陣運(yùn)算。平面問題中，物體受體力，可用體力列陣表示：(1)物體受面力，可用面力列陣表示：(2)3個(gè)應(yīng)力分量的應(yīng)力列陣表示：(3)3個(gè)形變分量的應(yīng)變列陣表示：(4)2個(gè)位移分量的位移列陣表示：(5)2020/12/24彈性力學(xué)中基本方程的矩陣表示幾何方程的矩陣表示為： (6)物理方程矩陣表示為： (7)利用應(yīng)力列陣和應(yīng)變列陣（3）、（4）得： (8)其中矩陣 (9)只與彈性常數(shù)E及μ有關(guān)，稱為平面問題的彈性矩陣。2020/12/24虛位移原理用u*和v*表示虛位移，用表示與該虛位移相應(yīng)的虛應(yīng)變。根據(jù)虛功方程：處于平衡狀態(tài)的變形體，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。對于厚度為t的薄板，虛功方程可用矩陣表示為：其中，分別為體力列陣，面力列陣和應(yīng)力列陣。為虛位移列陣有限單元法中，作用于彈性體的各種外力常以作用于某些點(diǎn)的等效集中力來代替。在厚度為t的薄板上，設(shè)作用于i點(diǎn)的集中力沿x及y方向的分量為Fix,Fiy,作用于j點(diǎn)的力為Fjx,Fjy等。這些集中力以及它們相應(yīng)的虛位移用列陣表示為：為虛應(yīng)變列陣2020/12/24虛位移原理(續(xù))代入虛功方程，得：上式為集中力作用下的虛功方程。集中力列陣（13）虛位移列陣（14）外力在虛位移上所做的功為：2020/12/24（1）取三角形單元的節(jié)點(diǎn)位移為基本未知量：

(a)其中，

稱為單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣；（2）應(yīng)用插值公式，由單元節(jié)點(diǎn)位移求出單元的位移函數(shù)： (b)其中，N稱為形函數(shù)矩陣；（3）應(yīng)用幾何方程，由單元的節(jié)點(diǎn)位移求出單元的應(yīng)變： (c)其中，B是表示與之間關(guān)系的矩陣；

三角形單元離散化結(jié)構(gòu)分析步驟2020/12/24

(f)其中，F(xiàn)e

是單元的節(jié)點(diǎn)力，k稱為單元?jiǎng)哦攘嘘嚕?/p>

對三角形板單元，節(jié)點(diǎn)力為：

(e)

（5）應(yīng)用虛功方程，導(dǎo)出單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。對右圖中的i節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)對單元的作用力為節(jié)點(diǎn)力，作用于單元上。三角形單元離散化結(jié)構(gòu)分析步驟(續(xù)）（4）應(yīng)用物理方程，由單元的節(jié)點(diǎn)位移求出單元的應(yīng)力：

(d)其中，S稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣；

Fe是作用于單元的外力，此外，單元內(nèi)部還作用有應(yīng)力。根據(jù)虛功方程，從而得到節(jié)點(diǎn)力的公式：2020/12/24（7）列出各節(jié)點(diǎn)的平衡方程，組成整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組。由于節(jié)點(diǎn)i受有環(huán)繞節(jié)點(diǎn)的單元移置而來的節(jié)點(diǎn)載荷和節(jié)點(diǎn)力因而i節(jié)點(diǎn)的平衡方程為：

（i=1,2,…,n）(h)三角形單元離散化結(jié)構(gòu)分析步驟(續(xù)）（6）應(yīng)用虛功方程，將單元中的外力載荷向節(jié)點(diǎn)移置，化為節(jié)點(diǎn)載荷（即求出單元的節(jié)點(diǎn)載荷）： (g)

將（f）代入（h），整理得：（j)其中，K稱為整體剛度矩陣，F(xiàn)L是整體節(jié)點(diǎn)載荷列陣，δ是整體節(jié)點(diǎn)位移列陣。

在上述求解步驟中，（2）至（6）是針對每個(gè)單元進(jìn)行的，稱為單元分析；（7）是針對整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行的稱為整體分析。2020/12/24對三角形i,j,m三個(gè)節(jié)點(diǎn)，位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谠摴?jié)點(diǎn)的位移值，即：

三角形單元的位移模式對每個(gè)單元，只要求得單元中的位移函數(shù)，就可以應(yīng)用幾何方程求得應(yīng)變，再應(yīng)用物理方程求得應(yīng)力。有限單元法中常取節(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，由單元的節(jié)點(diǎn)位移求出單元中的位移函數(shù)是首先必須解決的問題?？梢约俣ㄒ粋€(gè)位移模式，來表示單元中的位移函數(shù)（即在單元中做出位移插值函數(shù)）。三角形單元中，可以假定位移分量只是坐標(biāo)的線性函數(shù)，即假定：6個(gè)方程解出α1-6，代入u，v式整理得：其中：2020/12/24三角形單元的位移模式Ni也可以寫成為：其中系數(shù)ai,bi,ci是：其中A就等于三角形ijm的面積：按照解析幾何學(xué)，在圖示的坐標(biāo)系中，為了得出的面積A不致成為負(fù)值，節(jié)點(diǎn)i，j，m的次序必須是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的。

Ni，Nj，Nm這三個(gè)函數(shù)，表明了單元ijm的位移形態(tài)（也就是位移在單元內(nèi)的變化規(guī)律），因而稱為形態(tài)函數(shù)，簡稱形函數(shù)。2020/12/24三角形單元的位移模式位移模式的表示式可用矩陣表示為：簡寫為：其中是單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣。是形態(tài)函數(shù)矩陣或形函數(shù)矩陣。有限單元法中，應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣和勁度矩陣的建立以及載荷的移置等，都依賴于位移模式。2020/12/24簡寫為：其中應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣B可寫成分塊形式：

其子矩陣為：單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣?yán)脦缀畏匠毯臀锢矸匠蹋蟪鰡卧械膽?yīng)變和應(yīng)力，用節(jié)點(diǎn)位移表示：將位移函數(shù)(16)和(18)代入幾何方程(6)，得出用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變。2020/12/24將D表達(dá)式(9)和B表達(dá)式(27)代入上式，并寫成分塊形式，即得到平面應(yīng)力問題中的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣：單元的應(yīng)力列陣（續(xù)）再將單元的應(yīng)變式(26)代入物理方程(8)，得出用節(jié)點(diǎn)位移表示單元中應(yīng)力的表達(dá)式。

其中子矩陣為：簡寫為：其中，2020/12/24由式(26)引起的虛應(yīng)變?yōu)椋河捎诠?jié)點(diǎn)力在虛位移上的虛功應(yīng)當(dāng)?shù)扔趹?yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功，即：

單元的結(jié)點(diǎn)列陣與勁度矩陣對于任一單元，均假設(shè)所受的外力載荷已經(jīng)被移置到節(jié)點(diǎn)上，并且單元已經(jīng)切開，如右圖所示：單元只受到結(jié)點(diǎn)對單元的作用力，即結(jié)點(diǎn)力：假想在結(jié)點(diǎn)i,j,m處發(fā)生了虛位移，即：對單元而言，這些節(jié)點(diǎn)力是外力，使單元內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力。2020/12/24從而建立了單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。對于三角形單元，B中的元素為常量。并且，因此，k可簡寫為：

k稱為單元的勁度矩陣。單元的結(jié)點(diǎn)列陣與勁度矩陣（續(xù)）由于中的元素是常量，并且虛位移的值可以是任意的：則將B和D表達(dá)式代入上式，得：令則式可以簡寫為2020/12/24載荷向節(jié)點(diǎn)移置，單元的載荷列陣設(shè)單元ijm在坐標(biāo)為（x，y）的任意一點(diǎn)M，在單位厚度上受有集中載荷fP，其坐標(biāo)方向的分量為fPx和fPy，用矩陣表示為fP=（fPx

fPy）T，將此集中力移置到單元的節(jié)點(diǎn)處，轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)載荷，并且單元節(jié)點(diǎn)載荷列陣表示為：假想單元的各點(diǎn)發(fā)生了虛位移：由位移模式，相應(yīng)于集中力fP的作用點(diǎn)（x,y）的虛位移為：集中載荷的移置2020/12/24載荷向節(jié)點(diǎn)移置，單元的載荷列陣（續(xù)）由于虛位移可以是任意的，所以：把N的表達(dá)式（25）代入上式，上式改寫為：其中，Ni,

Nj,

Nm，為它們在M點(diǎn)的函數(shù)值：根據(jù)靜力等效原則，節(jié)點(diǎn)載荷在節(jié)點(diǎn)虛位移上的虛功等于原載荷集中力在其作用點(diǎn)的虛位移上的虛功，即：2020/12/24載荷向節(jié)點(diǎn)移置，單元的載荷列陣（續(xù)）例，設(shè)單元ijm的密度為ρ，試求自重的等效節(jié)點(diǎn)載荷。分析：因?yàn)閒x=0，

fy=-ρg，故由式（43）得：由設(shè)上述單元受有分布的體力f=（fx

fy）T，可將微分體積tdxdy上的體力ftdxdy當(dāng)作集中力，利用（40）式積分，得到：體力的移置注意單元的自重為-ρgtA，可見移置到每個(gè)結(jié)點(diǎn)的載荷均為1/3自重。2020/12/24載荷向節(jié)點(diǎn)移置，單元的載荷列陣（續(xù)）設(shè)上述單元的某一邊上受有分布的面力

，可將微分面積tds上的面力當(dāng)作集中載荷，利用（40）式積分，得到：面力的移置例，設(shè)在ij邊上受有沿x方向的均布面力q，試求等效節(jié)點(diǎn)載荷。分析：因?yàn)?/p>

，故由式（45）得：2020/12/24注意：式(46)和(48）中的編碼i,j,m僅是每個(gè)單元的局部編碼，對于整個(gè)結(jié)構(gòu)，則將節(jié)點(diǎn)的平衡方程按整體結(jié)點(diǎn)編碼1，2，…，n排列起來，就組成整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)平衡方程組：

整體的結(jié)構(gòu)分析節(jié)點(diǎn)平衡方程組因此，節(jié)點(diǎn)i的平衡方程是：以上幾節(jié)的分析都是針對單元進(jìn)行的，即將單元上的外力載荷都向節(jié)點(diǎn)移置而成為節(jié)點(diǎn)載荷；另一方面求出節(jié)點(diǎn)載荷與單元之間的相互作用力，如圖所示。結(jié)點(diǎn)對單元的作用力是節(jié)點(diǎn)力，相反，單元對節(jié)點(diǎn)的作用力。于是，作用于節(jié)點(diǎn)i上的力，有節(jié)點(diǎn)載荷FLi，和單元對節(jié)點(diǎn)的作用力。即：其中，是對環(huán)繞節(jié)點(diǎn)i的單元求和，寫成標(biāo)量形式：

2020/12/24由整體平衡方程組，解出節(jié)點(diǎn)位移δ，便可由式(23)和(30)求出每個(gè)單元的位移函數(shù)、應(yīng)力和應(yīng)變。整體的結(jié)構(gòu)分析節(jié)點(diǎn)平衡方程組其中，整體節(jié)點(diǎn)位移列陣：整體節(jié)點(diǎn)載荷列陣：K是整體剛度矩陣，其元素是： 整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)平衡方程組即整體勁度矩陣的元素,Krs就是按整體節(jié)點(diǎn)編碼的、同下標(biāo)rs的單元?jiǎng)哦染仃囋丿B加而得到的。2020/12/24平面有限元解法（例）設(shè)有對角受壓的正方形薄板（如上圖所示），載荷沿厚度均勻分布，為2N/m。試對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，建立單元?jiǎng)偠染仃?、整體剛度矩陣和整體節(jié)點(diǎn)載荷列陣，建立整體節(jié)點(diǎn)方程組，通過編程求解出節(jié)點(diǎn)的位移，并從而求出各單元的應(yīng)力。（為簡單起見，取板的厚度t=1,彈性常數(shù)E=1,泊松比μ＝0）2020/12/24平面有限元解法——?jiǎng)澐謫卧捎谄矫姹“逖豿z面和yz面均對稱，所以只取1/4之一部分作為分析和計(jì)算對象。將對象劃分成4個(gè)單元，共有6個(gè)節(jié)點(diǎn)，單元和節(jié)點(diǎn)上均編上號碼，其中節(jié)點(diǎn)的整體編碼1至6，以及個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)局部編碼i,j,m,均示于上圖中。單元號ⅠⅡⅢⅣ局部編碼整體編碼i3526j1253m24352020/12/24平面有限元解法——整體勁度矩陣每個(gè)單元，節(jié)點(diǎn)的局部編碼和整體編碼對應(yīng)關(guān)系已經(jīng)確定，每個(gè)單元?jiǎng)哦染仃囍腥我蛔泳仃囋谡w勁度矩陣中的位置及其力學(xué)意義也就明確了。如單元Ⅰ的kii，即k33，它的四個(gè)元素表示當(dāng)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)3沿x或y方向有單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)3的x方向或y方向引起的節(jié)點(diǎn)力。暫時(shí)不考慮位移邊界條件，把所分析結(jié)構(gòu)的整體節(jié)點(diǎn)平衡方程組列出：整體勁度矩陣寫成6×6的矩陣，它的每個(gè)子塊是2×2的矩陣，實(shí)際它是一個(gè)12×