【學(xué)海導(dǎo)航】高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 9.8 空間的距離課件

第九章

直線、平面、簡單幾何體19.8空間的距離考點搜索●空間兩點間的距離，點到直線的距離，點到平面的距離，兩條平行直線間的距離，兩條異面直線間的距離，直線到與它平行的平面的距離，兩個平行平面間的距離高2高考猜想1.用幾何法或向量法求點到平面的距離是考查的重點.2.利用化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，融計算與證明于一體解決有關(guān)距離的問題，是高考試題的基本走向.3

1.兩點間的距離——連結(jié)兩點的①______的長度.

2.點到直線的距離——從直線外一點向直線引垂線，②__________________的長度.3.點到平面的距離——從點向平面引垂線，③____________________的長度.

4.平行直線間的距離——從兩條平行線中一條上任意取一點向另一條直線引垂線，④_________________的長度.線段點與垂足的連線段點與垂足的連線段點與垂足的連線段4

5.異面直線間的距離——兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的⑤_____的長度.

6.直線與平面間的距離——如果一條直線和一個平面平行，從直線上任意一點向平面引垂線，⑥__________________的長度.

7.兩平行平面間的距離——夾在兩個平面之間的⑦_(dá)__________的長度.點與垂足的連線段線段公垂線段5

8.若線段AB∥平面α，則兩端點A、B到平面α的距離⑧______；若線段AB的中點在平面α內(nèi)，則兩端點A、B到平面α的距離⑨______.

9.設(shè)PA為平面α的一條斜線段，A為斜足，n為平面α的一個法向量，點P到平

面α的距離為d，則d=⑩________.相等相等6

10.如圖，AB為異面直線a、b的公垂

線,AC=m,BD=n,CD=l,a、b所成的角為θ,則AB=

___________________.

盤點指南：①線段；②點與垂足的連線段;③點與垂足的連線段;④點與垂足的連線段；⑤線段；⑥點與垂足的連線段；⑦公垂線段；⑧相等；⑨相等；⑩;11117

ABCD是邊長為2的正方形，以BD為棱把它折成直二面角A-BD-C，E是CD的中點，則異面直線AE、BC的距離為()A.B.C.D.1

解：易證CE是異面直線AE與BC的公垂線段，其長為所求.易得CE=1，所以選D.D8

在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一點P到A、B、C的距離都是14，則P到α的距離是()A.13B.11C.9D.7

解：作PO⊥α于點O，連結(jié)OA、OB、OC.因為PA=PB=PC，所以O(shè)A=OB=OC.所以O(shè)是△ABC的外心.所以所以,所以選B.B91.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點E為CC1的中點，求點D1到平面BDE的距離.

解法1：連結(jié)B1D1，則B1D1∥BD，所以B1D1∥平面BDE.分別取BD、B1D1的中點M、N，題型1求點到平面的距離10連結(jié)MN、ME、MC.因為BD⊥⊥MC，BD⊥⊥CC1，所以BD⊥平面MNC1C.所以平平面BDE⊥平面MNC1C，且ME為它們們的交交線.過點N作NH⊥⊥ME，垂足足為H，則NH⊥平面BDE，所以NH等于點點D1到平面面BDE的距離離.11由已知知可得得MN=2，MC=，CE=1，從而ME=.在Rt△△MHN中，NH=MNsin∠∠NMH=MNcos∠∠EMC=MN·故點D1到平面面BDE的距離離是.12解法2：設(shè)點D1到平面面BED的距離離為d.因為VD1-BDE=VB-DD1E，BC⊥平面CC1D1D，所以S△BDE·d=S△DD1E·BC.取BD的中點點M，連結(jié)結(jié)EM，則EM⊥BD.由已知知可得得，BD=，所以S△BDE=BD·ME=.又S△DD1E=××2×1=1，BC=1，13所以d=1，則d=.故點D1到平面BDE的距離是.解法3：如圖所示建建立空間直直角坐標(biāo)系系,則B(1,1,0),E(0,1,1),D1(0,0,2).設(shè)n=(x，y，z)為平面BDE的一個法向向量.因為n⊥，n⊥，所以，即14取x=1，則y=-1，z=1.所以n=(1，-1，1)，所以n·=2，|n|=.所以點D1到平面BDE的距離15點評：求點到平面面的距離，，一般是先先找到點在在平面內(nèi)的的射影，然然后轉(zhuǎn)化為為求這兩點點連線段的的長度，利利用解三角角形知識可可求得.若若用向量法法來解，先先求得平面面的一個法法向量，然然后求此點點與平面內(nèi)內(nèi)任意一點點連線的向向量在法向向量上的投投影長度即即為所求的的距離.16如圖，在四四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以AC的中點O為球心、AC為直徑的球球面交PD于點M，交PC于點N.求點N到平面ACM的距離.解法1：在Rt△PAC中，PC=.因為AN⊥NC，由,得PN=.17所以NC∶∶PC=5∶9.故N點到平面ACM的距離等于于P點到平面ACM的距離的.依題設(shè)知，，AC是所作球面面的直徑，，則AM⊥MC.又因為PA⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面ＰＡＤＤ，則CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，所以AM⊥PD，又PA=AD,則M是PD的中點.18所以P、D到平面ACM的距離相等等.易得AM=且M到平面ABCD的距離為2,則,S△ACD=4.設(shè)D到平面ACM的距離為h，由VD-ACM=VM-ACD，即h=8,可求得h=，所以所求距離離為.19解法2:如圖所示，建建立空間直角角坐標(biāo)系，則則A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2),設(shè)平面面ACM的一個法向量量n=(x,y,z),由n⊥,n⊥，可得令z=1,則n=(2,-1,1).由條件可得，，AN⊥NC.20在Rt△PAC中，PA2=PN·PC,所以PN=,則NC=PC-PN=,所以,所以所求距離離等于點P到平面ACM的距離的.設(shè)點P到平面ACM的距離為h，則h=,所以所求的距距離為.212.在長方方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，E、F分別為AB、CD的中點，求直直線AF到平面CD1E的距離.解法1：連結(jié)DE，交AF于點M.在矩形ABCD中，因為AB=2，AD=1，E為AB的中點所以CE⊥DE.又D1D⊥CE，所以CE⊥平面D1DE，題型2求平行線面間間的距離22所以平面CD1E⊥平面D1DE，且它們的交線是D1E.過點M作MN⊥D1E，垂足為N，則MN⊥平面CD1E，所以MN的長即為點M到平面CD1E的距離.由已知，DE=，DD1=1，所以D1E=又F是CD的中點，所以以M是DE的中點，故ME=.23由△ENM∽△EDD1，得，所以MN=.因為AF∥平面CD1E，所以點M到平面CD1E的距離即為直直線AF到平面CD1E的距離.故直線AF到平面CD1E的距離為.24解法2：如圖所示建立立空間直角坐坐標(biāo)系，則E(1，1，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)所以=(0，1，0)，=(1，-1，0)，=(0，-2，1).設(shè)n=(x，y，z)為平面CD1E的法向量.由得取y=1，則x=1，z=2.25所以n=(1，1，2)，所以以n·=1，|n|=.所以點點A到平面面CD1E的距離離.因為AF∥∥平面CD1E，所以以點A到平面面CD1E的距離離即為為直線線AF到平面面CD1E的距離離.故直線線AF到平面面CD1E的距離

點評：求平行線面間的距離,也就是轉(zhuǎn)化為求該線上某點到平面的距離，然后求得的點面距離即為線面距離.26在棱棱長長為為4的的正正方方體體ABCD-A1B1C1D1中，，M、、N、、E、、F分別別是是A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中中點點，，求求平平面面AMN與平平面面BDEF間的的距距離離.解：：如圖圖所所示示建建立立空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系，，則E(0，，2，，4)，，B(4，，4，，0)，，A(4，，0，，0).所以以=(0，，2，，4)，，=(4，，4，，0)，，=(0，，4，，0).27設(shè)n=(x，，y，，z)為為平平面面BDEF的法法向向量量.由得取y=2，，則則x=-2，，z=-1.所以以n=(-2，，2，，-1)，，所所以以n·=8，，|n|=3.所以以點點A到平平面面BDEF的距距離離故平平面面AMN與平平面面BDEF間的的距距離離為為.281.四棱棱錐錐P-ABCD的底底面面是是邊邊長長為為a的正正方方形形，，PA⊥底面面ABCD，PA=a，求求異異面面直直線線PC和AB的距距離離.解法法1：分分別別取取AB、PC的中中點點M、N，連連結(jié)結(jié)PM、CM、MN.由已已知知可可得得△PAM≌≌△△CBM，所以以PM=CM，從從而而MN⊥⊥PC.連結(jié)結(jié)AC，取AC的中中點點E，連連結(jié)結(jié)ME、NE，則ME∥∥BC，NE∥∥PA.題型異異面直直線間的的距離29因為AB⊥BC，AB⊥PA，所以AB⊥⊥ME，AB⊥NE，從而AB⊥平面MNE，所以AB⊥⊥MN，所以MN為異面直直線PC和AB的公垂線線.因為PA⊥平面ABCD，所以NE⊥平面ABCD.在Rt△MEN中，所以故異面直直線PC和AB的距離是是.30解法2：如圖所示示建立空空間直角角坐標(biāo)系系.由已知可可得，P(0，0，a)，B(a，0，0)C(a，a，0)，所以=(0，0，a)，=(a，0，0)，=(a，a，-a).設(shè)n=(x，y，z)為異面直直線PC和AB的公垂線線的一個個方向向向量.由得得31取z=1，則x=0，y=1.所以n=(0，1，1)，從而n·=a，|n|=.因為向量量在n方向上的的投影長長故異面直直線PC和AB的距離為為.322.在四棱錐錐P-ABCD中，底面面ABCD為矩形，，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點.過點E作平面PAC

解法1：在平面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線，交AB于F，則∠ADF=.題型點點到直線線的距離離33連結(jié)PF，則在Rt△ADF中，因為DF⊥AC，DF⊥PA，所以DF⊥平面PAC.又因為NE⊥平面PAC，且點E在側(cè)面PAB內(nèi)，所以NE∥DF且N為PF的中點.所以點N到AB的距離為AP=1，故點N到AP的距離為.34解法2：如圖所示建建立空間由于點N在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)點N的坐標(biāo)為(x，0，z)，則

=(-x,12,1-z).由NE⊥平面PAC，可得即