【高考風(fēng)向標(biāo)】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三章 第5講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 課件

考綱要求考綱研讀1.以空間直線、平面的位置關(guān)系及四個公理為出發(fā)點認識和理解空間中的垂直關(guān)系．2．理解直線和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理．3．理解并能證明直線和平面垂直、平面和平面垂直的性質(zhì)定理．4．能用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.1.從立體幾何的有關(guān)定義、定理和公理出發(fā)，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定．2．正確使用線面垂直判定的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線與已知直線垂直；要證面面垂直可轉(zhuǎn)化為線面垂直．明確線線、線面及面面垂直的判定方法及相互轉(zhuǎn)化是正確解答有關(guān)垂直問題的關(guān)鍵.第5講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1．直線與平面垂直任意垂直

(1)直線與平面垂直定義：如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的_____一條直線都______，那么這條直線和這個平面垂直． (2)直線與平面垂直判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條_____直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．

(3)直線與平面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線_____．平行相交

2．平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面，叫做互相垂直的平面． (2)平面與平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的_____，那么這兩個平面互相垂直．垂線

(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們_____的直線垂直于另一個平面． 3．直線與平面所成的角 (1)如果直線與平面平行或者在平面內(nèi)，則直線與平面所成的角等于0°.交線

(2)如果直線和平面垂直，則直線與平面所成的角等于90°. (3)平面的斜線與它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線與平面所成的角，其范圍是(0°，90°)．斜線與平面所成的_______是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最___的角．4．二面角線面角小

從一條直線出發(fā)的兩個半平面組成的圖象叫做二面角．從二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做___________．直二面角1．垂直于同一條直線的兩條直線一定()DA．平行C．異面B．相交D．以上都有可能2．A，B為空間兩點，l為一條直線，則過A，B且垂直于l的平面()BA．不存在C．有且只有1個B．至多1個D．有無數(shù)個4．如圖13－5－1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列結(jié)論D圖13－5－1中正確的個數(shù)是()①BD1⊥AC；②BD1⊥A1C1；③BD1⊥B1C.A．0個B．1個C．2個D．3個3．設(shè)直線m與平面α相交但不垂直，則下列說法中正確的是()A．在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B．過直線m有且只有一個平面與平面α垂直C．與直線m垂直的直線不可能與平面α平行D．與直線m平行的平面不可能與平面α垂直B

5．給定下列四個命題： ①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行； ②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直； ③垂直于同一直線的兩條直線相互平行； ④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是()DA．①和②B．②和③C．③和④D．②和④考點1直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例1：如圖

3－5－2，已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面AC，再過A作AE⊥SB于E點，過E作EF⊥SC交SC于F點． (1)求證：AF⊥SC

(2)若平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD.

圖13－5－2解析：(1)證明：因為BC⊥面SAB，且AE在面SAB內(nèi)，所以AE⊥BC.又因為AE⊥SB，SB∩BC＝B，所以AE⊥面SBC.而SC在面SBC內(nèi)，所以AE⊥SC.又因為EF⊥SC，EF∩AE＝E，所以SC⊥面AEF.而AF在面AEF內(nèi)，所以AF⊥SC.直線線與與直直線線垂垂直直?直線線與與平平面面垂垂直直??平平面面與與平平面垂垂直直?直線線與與平平面垂垂直直??直直線線與與直直線線垂垂直直，，通通過過直直線線與與平平面面位位置關(guān)關(guān)系系的的不不斷斷轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化來來處處理理有有關(guān)關(guān)垂垂直直的的問問題題．．出出現(xiàn)現(xiàn)中中點點時時，，平平行行要要聯(lián)想想到到三三角角形形中中位位線線，，垂垂直直要要聯(lián)聯(lián)想想到到三三角角形形的的高高；；出出現(xiàn)現(xiàn)圓圓周周上上的的點時時，，聯(lián)聯(lián)想想直直徑徑所所對對圓圓周周角角為為直直角角．．【互互動動探探究究】】1．．如如圖圖13－－5－－3，，PA⊥⊙⊙O所在在的的平平面面，，AB是⊙⊙O的直直徑徑，，C是⊙⊙O上的的一一點點，，E，F(xiàn)分別別是是A在PB，PC上的的射射影影，，給給出出下下面結(jié)結(jié)論論，，其其中中正正確確命命題題的的個個數(shù)數(shù)是是()B圖13－5－－3①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.A．2個個C．4個個B．3個個D．5個個解析：①②③正正確，又又AF⊥平面PBC，④錯誤誤．考點2平面與平平面垂直直的判定定與性質(zhì)質(zhì)例2：(2011年江蘇)如圖13－5－4，在四棱棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點．．求證：(1)直直線EF∥平面PCD；(2)平平面BEF⊥平面PAD圖13－5－－4BF⊥AD?BF⊥面PAD(因為平面面PAD⊥平面ABCD)?平面BEF⊥平面PAD(因為BF?平面BEF)．前者者利用面面面垂直的的性質(zhì)定定理，后后者利用用面面垂垂直的判判定定理理．證明：(1)∵E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點，∴EF∥PD.又∵PD?面PCD，EF?面PCD，∴直線EF∥平面PCD.(2)∵AB＝AD，∠BAD＝60°，F(xiàn)是AD的中點，∴BF⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴BF⊥面PAD.∴平面BEF⊥平面PAD.【互動探探究】2．(2011年浙江)下列命題題中錯誤誤的是()DA．如果果平面α⊥平面β，那么平平面α內(nèi)一定存存在直線線平行于于平面βB．如果果平面α不垂直于于平面β，那么平平面α內(nèi)一定不不存在直直線垂直于平平面βC．如果果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果果平面α⊥平面β，那么平平面α內(nèi)所有直直線都垂垂直于平平面β解析：因為若這這條線是是平面α和平面β的交線l，則交線線l在平面α內(nèi)，明顯顯可得交交線l在平面β內(nèi)，所以以交線l不可能垂垂直于平平面β，平面α內(nèi)所有直直線都垂垂直于平平面β是錯誤的的．考點3線面所成成的角例3：如圖13－5－5，，在正方方體ABCD－A1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD所成的角角．圖13－5－－5求直線和和平面所所成的角角時，應(yīng)應(yīng)注意的的問題是是：(1)先判斷直直線和平平面的位位置關(guān)系系．(2)當(dāng)當(dāng)直線和和平面斜斜交時，，常有以下步驟驟：①作—作出或找找到斜線線與射影影所成的的角；②②證—論論證所作或找到到的角為為所求的的角；③③算—常用解解三角形形的方法法求角；；④結(jié)論——點明斜線和和平面所所成的角角值．【互動探探究】3．如圖圖13－5－－6，在在長方體體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則則AC1與平面A1B1C1D1所成角的的正弦值值為()圖13－5－－6答案：D圖D27考點4立體幾何何中的探探索性問問題例4：(2011年廣東茂茂名一模模)如圖13－5－7，在四棱棱錐P－ABCD中，底面面ABCD為菱形，，∠BAD＝60°°，Q為AD的中點．．(1)若若PA＝PD，求證：：平面PQB⊥平面PAD；(2)點點M在線段PC上，PM＝tPC，試確定定t的值，使使PA∥平面MQB.圖13－5－－7解析：(1)如圖13－5－8，連接BD，∵四邊邊形ABCD菱形，∠BAD＝60°，，∴△ABD為正三角角形．又又∵Q為AD中點，∴∴AD⊥BQ.∵PA＝PD，Q為AD的中點，，∴AD⊥PQ.又BQ∩PQ＝Q，∴AD⊥平面PQB.又AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD.圖13－5－8探索性問問題是一一種具有有開放性性和發(fā)散散性的問問題，此類題目目的條件件或結(jié)論論不完備備．要求求解答者者自己去去探索，，結(jié)合已已有條件，進行行觀察、分析析、比較和概概括．它對學(xué)學(xué)生的數(shù)學(xué)思思想、數(shù)學(xué)意識及綜綜合運用數(shù)學(xué)學(xué)方法的能力力提出了較高高的要求．它它有利于培養(yǎng)學(xué)生探探索、分析、、歸納、判斷斷、討論與證證明等方面的的能力，使學(xué)生經(jīng)歷一一個發(fā)現(xiàn)問題題、研究問題題、解決問題題的全過程．．【互動探究】】4．(2011年廣東深圳一一模)如圖13－5－9，在四棱錐S－ABCD中，AB⊥AD，AB//線段AD上一點，AM＝AB，DM＝DC，SM⊥AD. (1)證明：BM⊥平面SMC；圖13－5－9(1)證明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SM?平面SAD，SM⊥AD，∴SM⊥平面ABCD.∵BM?平面ABCD,∴SM⊥BM.∵四邊形ABCD是直角梯形，，AB//CD，AM＝AB，DM＝DC，∴△MAB，△MDC都是等腰直角角三角形，∴∠AMB＝∠CMD＝45°，∴∠BMC＝90°.∴BM⊥CM.∵SM?平面SMC，CM?平面SMC，SM∩CM＝M，∴BM⊥平面SMC.(2)解：三棱錐C－SBM與三棱錐S－CBM的體積相等等，由(1)知SM⊥平面ABCD，1．證明線線面垂直的的方法(1)用線線面垂直的的定義：若若一直線垂垂直于平面面內(nèi)任一直直線，這條直線垂直直于該平面面．(2)用線線面垂直的的判定定理理：若一直直線垂直于于平面內(nèi)兩兩條相交直線，這條條直線垂直直于該平面面．(3)用線線面垂直的的性質(zhì)定理理：若兩平平行直線之之一垂直于于平面，則另一條直直線也垂直直于該平面面．(4)用面面面垂直的的性質(zhì)定理理：若兩個個平面垂直直，在一個個平面內(nèi)垂直于交線線的直線必必垂直于另另一個平面面．(5)如果果一條直線線垂直于兩兩個平行平平面中的一一個，那么么也垂直于另一個平平面．(6)如果果兩個相交交平面都和和第三個平平面垂直，，那么相交交平面的交線也垂直直于第三個個平面．2．判定面面面垂直的的方法(1)定義義法：首先先找二面角角的平面角角，然后證證明其為直直角．(2)用用面面面面垂垂直直的的判判定定定定理理：：一一個個平平面面經(jīng)經(jīng)過過另另一一個個平平面面的的一一條條垂線線．．3．．垂垂直直于于同同一一個個平平面面的的兩兩條條直直線線平平行行，，是是判判定定兩兩條條直直線線平平行行的又又一一重重要要方方法法，，是是實實現(xiàn)現(xiàn)空空間間中中平平行行關(guān)關(guān)系系和和垂垂直直關(guān)關(guān)系系在在一一定定條條件件下相相互互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化的的一一種種手手段段．．4．．本本節(jié)節(jié)教教材材中中線線面面垂垂直直的的性性質(zhì)質(zhì)定定理理的的證證明明用用到到反反證證法法，，反反證證法屬屬邏邏輯輯方方法法范范疇疇，，它它的的嚴嚴謹謹體體現(xiàn)現(xiàn)在在它它的的原原理理上上，，即即““否否定定之之否否定等等于于肯肯定定””，，其其中中第第一一個個否否定定是是指指否否定定結(jié)結(jié)論論，，第第二二個個否否定