高中數(shù)學(xué) 第七章 第五節(jié)-空間中的垂直關(guān)系課件 新人教版

1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．2．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．

1.直線與平面垂直(1)定義如果一條直線和一個(gè)平面相交于點(diǎn)O，并且和這個(gè)平面內(nèi)過(guò)交點(diǎn)O的

都垂直，則這條直線和這個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理①如果一條直線與平面內(nèi)的

直線都垂直，則這條直線與這平面垂直．

任何直線兩條相交②判定定理的符號(hào)表示

aαbαa∩b=Al⊥al⊥b(3)性質(zhì)定理①如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線

．②性質(zhì)定理的符號(hào)表示?a∥b.

平行a⊥αb⊥α?l⊥

a2．平面與平面垂直(1)兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是

，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理①如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的

，那么兩個(gè)平面互相垂直．②符號(hào)表示?α⊥β.

l⊥βlα直二面角垂線(3)性質(zhì)定理①兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們

的直線垂直于另一個(gè)平面．②符號(hào)表示

?a⊥β.

交線α⊥βα∩β=laαa⊥l[思考探究]垂直于同一平面的兩平面是否平行？

提示：垂直于同一平面的兩平面可能平行，也可能相交.1.直線a⊥直線b，a⊥平面β，則b與β的位置關(guān)系是(

)A.b⊥β

B.b∥βC.b?βD.b?β或b∥β解析：由垂直和平行的有關(guān)性質(zhì)可知b?β或b∥β.答案：D2．設(shè)平面α⊥β，且α∩β＝l，直線a?α，直線

b?β，且a不與l垂直，b不與l垂直，則a與b(

)A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行

解析：當(dāng)a∥l，b∥l時(shí)，a∥b.假設(shè)a⊥b，如圖：過(guò)a上一點(diǎn)，作c⊥l，則c⊥β.∴b⊥c.∴b⊥α.∴b⊥l，與已知矛盾．答案：B3.已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有下列命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確的命題是(

)A.①與②

B.③與④

C.②與④

D.①與③解析：對(duì)①，l⊥α，α∥β?l⊥β，又∵m?β，∴l(xiāng)⊥m，∴①正確；對(duì)②，α⊥β，l⊥α，則l∥β或l?β，∴l(xiāng)不一定與m平行，∴②錯(cuò)誤；對(duì)③，∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又m?β，∴α⊥β，∴③正確；④錯(cuò)誤.答案：D4.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥

平面ABC，PC＝4，M是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值

為

.解析：∵PC⊥平面ABC，CM?平面ABC，∴PC⊥CM，∴PM＝＝要使PM最小，只需CM最小，此時(shí)CM⊥AB，∴CM＝＝2，∴PM的最小值為2.答案：25.如圖，平面ABC⊥平面BDC，

∠BAC＝∠BDC＝90°，且

AB＝AC＝a，則AD＝

.解析：取BC中點(diǎn)E，連結(jié)ED、AE，∵AB＝AC，∴AE⊥BC.∵平面ABC⊥平面BDC，∴AE⊥平面BCD.∴AE⊥ED.在Rt△ABC和Rt△BCD中，AE＝ED＝BC＝a，∴AD＝＝a.答案：a1.證明直線和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理.(2)利用平行線垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α).(3)利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β).(4)利用面面垂直的性質(zhì).當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，該直線垂直于平面內(nèi)的任一直線，

常用來(lái)證明線線垂直.2.直線和平面垂直的性質(zhì)定理可以作為兩條直線平行的

判定定理，可以并入平行推導(dǎo)鏈中，實(shí)現(xiàn)平行與垂直

的相互轉(zhuǎn)化，即線線垂直?線面垂直?線線平行?線

面平行.

(2009·福建高考改編)如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.求證：AB⊥DE.[思路點(diǎn)撥][課堂筆記](méi)在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝＝2.∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE.本例中，ED與平面ABD垂直嗎？證明：由例1知，AB⊥BD，∵CD∥AB，∴CD⊥BD，從而DE⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，ED?平面EBD，∴ED⊥平面ABD.1.證明平面與平面垂直的方法主要有：(1)利用定義證明.只需判定兩平面所成的二面角為直二面角

即可.(2)利用判定定理.在審題時(shí)，要注意直觀判斷哪條直線可能

是垂線，充分利用等腰三角形底邊的中線垂直于底邊，

勾股定理等結(jié)論.2.關(guān)于三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可結(jié)合下圖記憶.

(2009·江蘇高考)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分別是A1B、A1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D在B1C1上，A1D⊥B1C.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.[思路點(diǎn)撥](1)利用線面平行判定定理，由中點(diǎn)證EF∥BC.(2)轉(zhuǎn)化為證線面垂直，由條件證A1D⊥平面BB1C1C.

[課堂筆記](méi)

(1)因?yàn)镋、F分別是A1B、A1C的中點(diǎn)，所以EF∥BC，又EF?平面ABC，BC?平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1為直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，B1C∩BB1＝B1.所以A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.翻折與展開(kāi)是一個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)方面，不論是翻折還是展開(kāi)，均要注意平面圖形與立體圖形中各個(gè)對(duì)應(yīng)元素的相對(duì)變化，元素間大小與位置關(guān)系，哪些變化，哪些不變化，這是至關(guān)重要的．一般說(shuō)來(lái)，在翻折過(guò)程中，處在同一個(gè)半平面內(nèi)的元素是不變的，弄清楚這一點(diǎn)是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．

如圖①，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿對(duì)角線BD折起，記折起后點(diǎn)的位置為P，且使平面PBD⊥平面BCD，如圖②.(1)求證：平面PBC⊥平面PDC；(2)在折疊前的四邊形ABCD中，作AE⊥BD于E，過(guò)E作EF⊥BC于F，求折起后的圖形中∠PFE的正切值.[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)翻折前后元素的關(guān)系變化；(2)結(jié)合面面垂直的判定定理求解．

[課堂筆記](méi)

(1)折疊前，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，所以△ABD為等腰直角三角形.又因?yàn)椤螧CD＝45°，所以∠BDC＝90°.折疊后，因?yàn)槊鍼BD⊥面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥面PBD.又因?yàn)镻B?面PBD，所以CD⊥PB.又因?yàn)镻B⊥PD，PD∩CD＝D，所以PB⊥面PDC.又PB?面PBC，故平面PBC⊥平面PDC.(2)AE⊥BD，EF⊥BC，折疊后的位置關(guān)系不變，所以PE⊥BD.又面PBD⊥面BCD，所以PE⊥面BCD，所以PE⊥EF.設(shè)AB＝AD＝a，則BD＝a，所以PE＝a＝BE.在Rt△BEF中，EF＝BE·sin45°＝a×＝a.在Rt△PFE中，tan∠PFE＝＝＝.近年來(lái)開(kāi)放型問(wèn)題不斷在高考試題中出現(xiàn)，這說(shuō)明高考對(duì)學(xué)生的能力要求越來(lái)越高，這也符合新課標(biāo)的理念，因而在復(fù)習(xí)過(guò)程中要善于對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究(2009年浙江高考體現(xiàn)了這一考查方向).

[考題印證](2009·浙江高考)如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG∥平面BOE；

(2)證明：在△ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE，并求點(diǎn)M到OA、OB的距離.【證明】

(1)如圖，取PE的中點(diǎn)為H，連結(jié)HG、HF.因?yàn)辄c(diǎn)E，O，G，H分別是PA，AC，OC，PE的中點(diǎn)，所以HG∥OE，HF∥EB.┄┄┄┄4分因此平面FGH∥平面BOE.┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分因?yàn)镕G在平面FGH內(nèi)，所以FG∥平面BOE.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分(2)在平面OAP內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥OE，交OA于點(diǎn)N，交OE于點(diǎn)Q.連結(jié)BN，過(guò)點(diǎn)F作FM∥PN，交BN于點(diǎn)M.┄┄┄9分下證FM⊥平面BOE.由題意，得OB⊥平面PAC，所以O(shè)B⊥PN，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分又因?yàn)镻N⊥OE，所以PN⊥平面BOE.因此FM⊥平面BOE.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分在Rt△OAP中，OE＝PA＝5，PQ＝，cos∠NPO＝＝，ON＝OP·tan∠NPO＝＜OA，所以點(diǎn)N在線段OA上.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分因?yàn)镕是PB的中點(diǎn)，所以M是BN的中點(diǎn).┄┄13分因此點(diǎn)M在△AOB內(nèi)，點(diǎn)M到OA，OB的距離分別為OB＝4，ON＝.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分

[自主體驗(yàn)]如圖所示，已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，E為線段AD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BD1的中點(diǎn).(1)求證：EF∥平面ABCD；

(2)設(shè)M為線段C1C的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)谋戎禐槎嗌贂r(shí)，DF⊥平面D1MB，并說(shuō)明理由解：(1)證明：∵E、F分別是AD1和BD1的中點(diǎn)，∴EF∥AB，又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.(2)設(shè)＝λ(λ＞0)，AD＝a，則DD1＝λa，連結(jié)MF.若DF⊥平面D1MB，則有DF⊥D1B，DF⊥FM.在Rt△BDD1中，DF＝＝＝.又F、M分別是BD1，CC1的中點(diǎn)，易證FM＝a，又DM＝＝a，∴在Rt△DFM中，DF2＋FM2＝DM2，即，解得λ2＝2，∴λ＝，即當(dāng)＝時(shí)，DF⊥平面D1MB.1.若兩直線a與b異面，則過(guò)a且與b垂直的平面(

)A.有且只有一個(gè)B.至多有一個(gè)

C.有無(wú)數(shù)多個(gè)

D.一定不存在解析：當(dāng)a⊥b時(shí)，存在一個(gè)過(guò)a且與b垂直的平面；若a與b不垂直，則不存在這樣的平面.答案：B2.下列三個(gè)命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)為(

)①平面α∥平面β，平面β⊥平面γ，則α⊥γ；②平面α∥平面β，平面β∥平面γ，則α∥γ；③平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則α⊥γ.A.1B.2C.3D.0解析：①正確；②正確；③錯(cuò)誤.答案：B3.已知直線a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么

α⊥β是a⊥b的(

)A.充分但不必要條件

B.必要但不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件解析：若α⊥β，由a⊥α則容易推出a?β或a∥β，而b⊥β，于是a⊥b；若a⊥b，則容易推出α⊥β，故α⊥β是a⊥b的充分必要條件.答案：C4.正四棱錐S－ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，高為2，E是邊BC的中

點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PE⊥AC，則