【創(chuàng)新設計】2011屆高三數學一輪復習 第7單元 7-4 直線與平面平行 平面與平面平行課件 理 新人教A版

(認識和理解空間中線面平行的有關性質與判定/能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題)7.4直線與平面平行平面與平面平行1．直線和平面的位置關系(1)直線在平面內(無數個公共點)；(2)直線和平面

(有且只有一個公共點)；(3)直線和平面

(沒有公共點)．2．線面平行的判定定理：如果

一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．相交平行平面外的3．線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線

．4．平行平面的定義：如果兩個平面沒有

，那么這兩個平面互相平行．5．平行平面的判定定理：如果一個平面內有兩條

直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行．平行公共點相交6．推論：如果一個平面內有兩條

直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面互相平行．7．平行平面的性質定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面

，那么它們的交線平行．8．性質：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的

平行于另一個平面．相交相交直線1．若P是平面α外一點，則下列命題正確的是()A．過P只能作一條直線與平面α相交B．過P可作無數條直線與平面α垂直C．過P只能作一條直線與平面α平行D．過P可作無數條直線與平面α平行答案：D2．已知平面α外不共線的三點A，B，C到α的距離都相等，則正確的結論是()A．平面ABC必不垂直于αB．平面ABC必平行于αC．平面ABC必與α相交D．存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內答案：D3．(2009·江西)如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形， 則下列命題中錯誤的為()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成角為45°答案：C4．已知l、m是空間兩條不同直線，α、β是空間兩個不同平面，給出下列四個條件： ①平面α、β都垂直于平面γ； ②平面α內存在不共線的三點到平面β的距離相等； ③l、m是平面α內兩條直線，且l∥β，m∥β； ④l、m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.其中可判斷平面α與平面β平行的條件是________．(寫出所有正確條件的序號)解析：①當α、β、γ如長方體的三個相交平面時，其兩兩相互垂直，∴不正確；②當α、β相交，α內兩條平行于交線且關于交線對稱的直線上所有點到面β的距離相等，∴不正確；③當α、β的交線與m、l都平行時，滿足l∥β，m∥β，∴不正確；④l、m為兩異面直線，則可以平移一條直線使其兩直線相交得到一平面γ，l∥α，m∥α，可以得γ∥α，同理可得γ∥β.γ∥α，γ∥β得到α∥β，故④正確．答案：④1.直線與平面平行的判定定理是由線線平行推出線面平行；而直線與平面平行的性質定理則是由線面平行推出線線平行，要注意直線與平面平行性質定理和判定定理的交替使用．2．由直線與平面平行，可在該平面內找到直線的平行線，可通過作輔助平面完成，而直線與平面平行的性質定理則是作輔助平面的重要理論依據．3．證明直線與平面平行可利用空間向量完成，例如可證直線的方向向量與平面的法向量垂直等．【例1】如右圖所示，在空間四邊形ABCD中，截面EFGH為平行四邊形， 試證：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH. 證明：證法一：∵截面EFGH為平行四邊形，∴EH∥FG，根據直線 與平面平行的判定定理知：EH∥平面BCD，又EH?平面ABD，平 面ABD∩平面CBD＝BD， 根據直線與平面平行的性質定理知BD∥EH， 因此，BD∥平面EFGH，同理：AC∥平面EFGH.證法二：如右圖，設由EFGH為平行四邊形知：m＝λa＋μb，且m＝yb＋zc，∴即m＝μb.∴m∥b，即BD∥EH，因此BD∥平面EFGH.同理AC∥平面EFGH.變式1.(1)如右圖，已知平面α、β，α∩β＝l，直線m∥α，m∥β， 試用向量法證明：m∥l； (2)若a、b為異面直線， 求證：有且只有一個平面經過a且與b平行． 證明：(1)如題圖，取基向量a、b、c作為基底，在直線m上取向量m≠0， 由m∥α知，m＝λa＋μc，由m∥β知，m＝xb＋yc， 由空間向量基本定理知λ＝0，x＝0，μ＝y，

∴m＝μc，即m∥c，因此m∥l.(2)如圖，在直線a上取一點O，過O作b′∥b，則a與b′確定一個平面，設此平面為α，b∥b′，b?α，b′?α，∴b∥α；假設存在α、β平面，兩平面都經過a，且與b平行，則α∩β＝a，由變式(1)知a∥b，此與a、b異面矛盾.平面平行的判定定理，是利用了線面平行來推證的，即需要找到或證出兩條相交直線平行于另一平面．這是判定兩平面平行的主要方法．還可以通過一些垂直關系來判定．【例2】正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分別是對角線

AC和BF上的點，且AM＝FN. (1)求證：MN∥平面BEC； (2)設正方形的邊長為a，AM＝FN＝b，求MN的長； (3)若α和β分別表示直線MN和AC及MN和BF所成的銳角，當線段MN的長度最短時，計算α和β的度數．解答：(1)證法一：如右圖①，過點M作MH⊥AB于H，則MH∥BC，且不難知Rt△AMH∽Rt△ABC.∴.連結HN，又∵AM＝FN，且AC＝BF，∴.∴HN∥AF，即HN∥BE，∴平面MHN∥平面BEC.∴MN∥平面BEC.證法二：如右圖②連結AN，并延長與BE相交于G，連結CG.∵AF∥BG，∴△ANF∽△GNB，∴.∵FN＝AM，AC＝BF，∴.∴，則MN∥CG.由于MN是平面BGC外的一條直線，∴MN∥平面BGC，即MN∥平面BEC.(2)如圖①∵平面ABCD⊥平面ABEF，MH⊥AB，

∴MH⊥平面ABEF.而HN?平面ABEF，∴MH⊥HN.從(1)可知HN⊥AB，又由AC為正方形的對角線，可知MH＝AH，Rt△ANH≌Rt△HNM，∴MN＝AN.在△ANF中，AN2＝AF2＋FN22AF·NF·cos∠AFN＝a2＋b2－2abcos45°，AN＝，∴MN＝.(3)由(2)可知：MN＝， ∴當b＝a時，MN的長度最短．此時可求出α＝β＝60°.【例3】如右圖，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中點，AB＝a. (1)求證：A1D⊥B1C1； (2)求點D到平面ACC1的距離； (3)判斷A1B與平面ADC1的位置關系，并證明你的結論．面面平行需要由線面平行判定，而直線與平面平行問題可以轉化為面面平行問題．解答：(1)證法一：∵點D是正△ABC中BC邊上的中點，∴AD⊥BC.又AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC，∴BC⊥平面A1AD.∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.證法二：如右圖所示，

∵三棱柱ABC—A1B1C1為正三棱柱，

∴A1C＝A1B.∵點D是等腰△A1CB的底邊BC的中點，∴A1D⊥BC.∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.(2)解法一：如右圖，作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的長為點D到平面ACC1的距離，在Rt△ADC中，AC＝2CD＝a，AD＝a，∴所求距離DE＝＝a.解法二：設點D到平面ACC1的距離為x，∵

，∴

a2·CC1＝

a·CC1·x，解得x＝a，即點D到平面ACC1的距離是a.(3)直線A1B∥平面ADC1.以下給出證明：證法一：如右圖，設A1C交AC1于F，則F為A1C的中點．∵D是BC的中點，∴DF∥A1B.又DF?平面ADC1，A1B?平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.證法二：如右圖，取C1B1的中點D1，則AD∥A1D1，C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，∴平面ADC1∥平面A1D1B.∵A1B?平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1.變式3.如圖ABC—A1B1C1是各棱長均為a的正三棱柱，D是 側棱CC1的中點． (1)求證：平面AB1D⊥平面ABB1A1； (2)若O為△ABC的中心，P為BB1上一點，當OP∥

平面AB1D時，試確定點P的位置．解答：(1)證明：如圖，取AB1、AB中點分別為E、F，連接DE，EF，CF，則EF綊BB1，又CD綊BB1，則EF綊CD，因此四邊形CDEF為平行四邊形，又面ABC⊥面AA1BB1，則CF⊥面AA1B1B，∴DE⊥面ABB1A1，又DE?平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面ABB1A1；(2)由OP∥平面AB1D，FO∥平面AB1D，知平面PFO∥平面AB1D，因此PF∥AB1，又F為AB的中點，所以P為BB1的中點.【方法規(guī)律】

1．在解決直線與平面、平面與平面平行問題的過程中，要特別注意判定定理和性質定理的聯合交替使用．2．可利用共面向量定理證明直線與平面平行和四點共面等問題3．利用直線和平面平行可進行點到平面距離的轉化．4．直線與平面平行的判定定理及平面與平面平行的性質定理都是極為重要的作圖的理論和依據.

(本題滿分12分)如右圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點，M、N分別是AE、CD1的中點，AD＝AA1＝a，AB＝2a.(1)求證：MN∥面ADD1A1；(2)求二面角P—AE—D的大小．解答：(1)證明：如圖，取CD的中點K，連結MK、NK.∵M、N、K分別為AE、CD1、CD的中點，∴MK∥AD，NK