章建躍數(shù)學(xué)教育之取勢(shì)明道優(yōu)術(shù)

數(shù)學(xué)教育之取勢(shì)明道優(yōu)術(shù)人民教育出版社章建躍zhangjy@一、數(shù)學(xué)的育人功能在哪里？數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)教育課程體系中的特殊地位，在于它是發(fā)展學(xué)生的智力、培養(yǎng)邏輯思維能力的主要學(xué)科。數(shù)學(xué)學(xué)科的最大用處是育人，它在培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力、運(yùn)算能力、邏輯推理能力、數(shù)據(jù)處理能力，以及鍛煉學(xué)生的心智、培育理性精神上都是不可替代的。二、如何發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能？從數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的內(nèi)部尋找。教學(xué)中，要以數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問題和解決問題為核心任務(wù)，以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程和理解數(shù)學(xué)知識(shí)的心理過程為基本線索，為學(xué)生構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使他們?cè)谡莆諗?shù)學(xué)知識(shí)的過程中學(xué)會(huì)思考。“取勢(shì)、明道、優(yōu)術(shù)”兼顧

數(shù)學(xué)教育才能如愿成功！取勢(shì)、明道、優(yōu)術(shù)就是“明確方向，把握規(guī)律，辦事有方”。做事首先應(yīng)看清方向，方向不對(duì)則越努力就越壞事，“大勢(shì)所趨”、“順勢(shì)而為”，這就是取勢(shì)；其次，“道”就是事物發(fā)展的規(guī)律性，把握好規(guī)律，按規(guī)律辦事，才能保證事業(yè)成功；第三，“術(shù)”是做事的策略和方法，做任何事情都要有好的方法，這樣才能提高辦事的效率，確保辦事質(zhì)量。目前的問題是：只追求“術(shù)”，把數(shù)學(xué)搞成解題術(shù)——注重雕蟲小技，而忘卻了數(shù)學(xué)的根本。三、取勢(shì)“勢(shì)”是方向，“取勢(shì)”是“順勢(shì)而為”?！爸虚L(zhǎng)期規(guī)劃綱要”的頒布標(biāo)志著我國(guó)課程改革進(jìn)入了新階段。十八大和十八屆三中全會(huì)提出了教育的立德樹人根本任務(wù)，要求進(jìn)一步提升綜合育人水平，更好地促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展、健康成長(zhǎng)。教育部最近發(fā)布了《全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》，提出“大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，把培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀融入國(guó)民教育全過程”的新要求。落實(shí)在數(shù)學(xué)教育中回歸數(shù)學(xué)教育的本來面目，發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的目標(biāo)，這就是大勢(shì)所趨。具體而言，就是要為學(xué)生的終生發(fā)展考慮，著眼于學(xué)生的長(zhǎng)期利益，充分挖掘數(shù)學(xué)所蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，以培育學(xué)生的理性精神、發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力為核心，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考的過程中，成為善于認(rèn)識(shí)問題、解決問題的人才。四、明道明即明白、懂得，道即規(guī)律、原則。明數(shù)學(xué)教學(xué)之道，歸根到底是“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)”。要明白“數(shù)學(xué)之道”，懂得數(shù)學(xué)研究的“基本套路”。要理解“思維之道”，知道學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一般規(guī)律。例

幾何研究的“基本套路”背景——定義——表示——分類——性質(zhì)（判定）——特例——聯(lián)系和應(yīng)用如何獲得數(shù)學(xué)研究對(duì)象？（從具體事例中抽象出“基本圖形”）如何分類？分類標(biāo)準(zhǔn)從哪里來？從哪些角度展開研究？（幾何學(xué)是研究物體的形狀、大小和位置關(guān)系的科學(xué)。）如何展開對(duì)幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究？如何構(gòu)建“點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系”的研究線索？為什么把“平行”“垂直”兩種位置關(guān)系作為研究的主題？——它們反映了空間的本質(zhì)，是研究物體的形狀、大小和位置關(guān)系的基礎(chǔ)。什么叫性質(zhì)？性質(zhì)是指事物所具有的本質(zhì)，即事物內(nèi)部穩(wěn)定的聯(lián)系。問題：這里的“事物內(nèi)部”指什么？“穩(wěn)定的聯(lián)系”是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能發(fā)現(xiàn)這種“聯(lián)系”？從三角形的“內(nèi)角和為180°”、“兩邊之和大于第三邊”、“大邊對(duì)大角”、“等邊對(duì)等角”等你想到了什么？“內(nèi)部”可以是“三角形的組成要素”，“穩(wěn)定的聯(lián)系”是指“三角形要素之間確定的關(guān)系”。幾何對(duì)象組成要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)。從“外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和”、“三條高交于一點(diǎn)”、“等腰三角形三線合一”等又想到了什么？把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關(guān)要素，這些“相關(guān)要素”也可以看成是“三角形的內(nèi)部”。要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系也是性質(zhì)。從兩條直線平行，“同位角相等”、“內(nèi)錯(cuò)角相等”以及“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，我們又能想到什么？這時(shí)的“性質(zhì)”是借助“第三條直線”，與“兩條平行線”構(gòu)成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些角之間有什么確定的關(guān)系。研究?jī)蓚€(gè)幾何事物的某種位置關(guān)系下具有什么性質(zhì)，就是探索這種位置關(guān)系下的兩個(gè)幾何事物與其他幾何事物之間所形成的確定的關(guān)系。幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究棱柱要素、相關(guān)要素：面、棱、頂點(diǎn)、面對(duì)角線、體對(duì)角線、高……要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系：面與面、棱與棱、面與棱……特例：長(zhǎng)方體——正方體，平行六面體……直線與平面平行的性質(zhì)位置關(guān)系：直線l

∥平面α；其他事物：直線、平面；命題：（1）如果

a∥l，那么a

∥α

；（2）如果

a

∥α

，那么a

∥l；（3）如果a

⊥l，那么a⊥α；（4）如果a⊥α，那么a⊥

l；（5）如果β∥l，那么β∥α；（6）如果β∥α，那么β∥l；（7）如果β⊥l，那么β⊥α；（8）如果

β⊥

α

，那么β

⊥l。（9）與“公理”相聯(lián)系，直線l與平面α

內(nèi)任意一點(diǎn)A確定一個(gè)平面β

，α

∩

β=m

，那么

m∥l；（10）l∥α

，所以l∩α=Φ。如果m在α

內(nèi)，則或者m∥l，或者m與l是異面直線。（11）直線m與直線l異面，則過直線m有且只有一個(gè)平面與直線l平行。（12）l∥α，β∩γ=l，α∩β=l1，α∩γ=l2，那么l1∥l2。培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維把認(rèn)識(shí)對(duì)象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地考察認(rèn)識(shí)對(duì)象的一種思維方法……系統(tǒng)思維能極大地簡(jiǎn)化人們對(duì)事物的認(rèn)知。系統(tǒng)思維給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)思維是邏輯抽象能力強(qiáng)的集中表現(xiàn)。每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都可看成一個(gè)小系統(tǒng)。研究數(shù)學(xué)對(duì)象的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)定義——表示——分類（以要素為標(biāo)準(zhǔn)）——性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）——特例（性質(zhì)和判定）——聯(lián)系（應(yīng)用）；定性研究（平直性、對(duì)稱性等）——定量研究（角、距離、面積、體積等等）。數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，只要緊緊抓住這一結(jié)構(gòu)，再通過橫向或縱向的類比與聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識(shí)和把握具體數(shù)學(xué)對(duì)象的要素和功能的關(guān)系，就能使他們建立起研究數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)，并形成完整的認(rèn)識(shí)。培養(yǎng)系統(tǒng)思維，使學(xué)生養(yǎng)成全面思考問題的習(xí)慣，避免“見木不見林”，進(jìn)而使他們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，能把解題目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過程、解題過程的優(yōu)化以及對(duì)問題的拓展、深化等作為一個(gè)整體進(jìn)行研究。這樣，“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，成為善于認(rèn)識(shí)和解決問題的人才”就能落在實(shí)處。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維之道數(shù)學(xué)教學(xué)還要掌握學(xué)生的“思維之道”，按學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律教學(xué)。例如，“數(shù)列”的學(xué)習(xí)應(yīng)該按照這種“認(rèn)知的規(guī)律”，為學(xué)生構(gòu)建一個(gè)研究“一列數(shù)”的“基本套路”，使學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過程，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)認(rèn)識(shí)和解決問題的能力。等差數(shù)列的理解與教學(xué)數(shù)列的概念和表示——注意從函數(shù)的研究中得到啟發(fā)；等差數(shù)列：概念、表示（通項(xiàng)公式）、性質(zhì)（等差中項(xiàng)等），等差數(shù)列的“原型”就是自然數(shù)列{n}；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：從概念和性質(zhì)中推出的自然結(jié)果；應(yīng)用——作為知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)。等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式如何教概念？問題：觀察下列數(shù)列，你有什么發(fā)現(xiàn)？（1）0，5，10，15，……；（2）5.5，7.5，9.5，11.5，……；（3）0，2.5，5.0，7.5，……追問：是相鄰兩項(xiàng)的差嗎？從第二項(xiàng)起……這個(gè)過程存在哪些問題？為什么？如何改進(jìn)？問題：沒有“如何思考”的引導(dǎo)，源于：（1）對(duì)概念理解不到位——“等差”是由運(yùn)算引發(fā)的！等差數(shù)列是一類特殊的數(shù)列，“考察特例”是一種“基本套路”；（2）對(duì)教材不理解——教材是這樣開頭的：初中學(xué)了實(shí)數(shù)及其運(yùn)算、性質(zhì)。現(xiàn)在我們面對(duì)一列數(shù)（數(shù)列），能不能也像研究實(shí)數(shù)一樣，研究它的項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系、運(yùn)算和性質(zhì)呢？我們先從一些特殊的數(shù)列入手；（3）對(duì)學(xué)生不理解——這些數(shù)列的共同特征不只是“等差”，沒有從關(guān)系、運(yùn)算等作必要引導(dǎo)，學(xué)生的觀察沒有方向。如何教通項(xiàng)公式？什么叫“通項(xiàng)公式”？——研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的“基本套路”是：獲得對(duì)象（下定義）—表示對(duì)象—研究性質(zhì)—建立與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系?！巴?xiàng)公式”——等差數(shù)列的一種表示，就像函數(shù)的解析式一樣，要回答的是“第n項(xiàng)an與序號(hào)n的關(guān)系”?！扒笸?xiàng)公式”——從定義出發(fā)。等差數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算中出現(xiàn)的規(guī)律性——有了運(yùn)算，數(shù)的力量無限。最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列：三項(xiàng)——“等差中項(xiàng)”；如何看“等差中項(xiàng)”？——平均數(shù)！當(dāng)m+n=p+q時(shí)，am+an=ap+aq

；……前n項(xiàng)和公式的教學(xué)設(shè)計(jì)作為自然數(shù)列性質(zhì)的自然延伸、一般化——將a1=1，d=1一般化。如何看1+2+3+…+n=

？有多種角度：“平均數(shù)”，不同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和，等；“平均數(shù)”本質(zhì)上是等差數(shù)列的性質(zhì)：am+an=ap+aq

，當(dāng)m+n=p+q時(shí)——這是“倒序求和”技巧的源頭。教科書的設(shè)計(jì)思路總體思想：希望學(xué)生領(lǐng)悟到“倒序求和”技巧的來源。問題1高斯是如何求出1+2+…+100的？問題2如果從數(shù)列的角度看，你認(rèn)為他利用了數(shù)列1，2，3，……的什么特性？問題3你能用高斯的方法求1+2+…+101嗎？問題4如何用高斯的方法求1+2+…+n？追問：能否避免奇偶討論？問題5一般地，設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}，你能求出Sn=a1+a2+…+an嗎？（什么叫求Sn？）回到概念去，回到基本性質(zhì)去——返璞歸真，至精至簡(jiǎn)，以簡(jiǎn)馭繁，大巧若拙?！暗剐蚯蠛汀笔堑裣x小技！加強(qiáng)認(rèn)識(shí)和解決問題方法的教學(xué)如何獲得研究對(duì)象；構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本線索；發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的具體問題；掌握研究問題的基本方法。例解析幾何課程的整體設(shè)計(jì)思路1．“課標(biāo)”對(duì)解析幾何內(nèi)容的安排坐標(biāo)法為核心，依“直線與方程——圓與方程——圓錐曲線與方程——極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”螺旋上升地展開內(nèi)容。解析幾何是方法論——代數(shù)方法研究幾何。直線與圓——基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)與平面幾何研究方法的比較，坐標(biāo)法的體驗(yàn)。圓錐曲線——體現(xiàn)坐標(biāo)法的威力（有限接觸）坐標(biāo)系與參數(shù)方程——充分展示坐標(biāo)法的綜合性：坐標(biāo)系的多樣性、曲線方程的多樣性、聯(lián)系方式的多樣性等。局限：缺少直觀形象支撐（數(shù)缺形時(shí)少直觀）——《幾何證明選講》中用綜合法進(jìn)行了研究。2．坐標(biāo)法為核心，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想形式上：“三步曲”；經(jīng)歷用坐標(biāo)法解決問題的完整過程：先用平面幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法解決。平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，可以討論哪些問題？一點(diǎn)的坐標(biāo)；兩個(gè)點(diǎn)之間的距離；三個(gè)點(diǎn)——定比分點(diǎn)；等。直線與方程的結(jié)構(gòu)在平面直角坐標(biāo)系中，確定直線位置的幾何要素——平面幾何是”兩點(diǎn)確定一條直線”；這里要發(fā)揮直角坐標(biāo)系的力量，因此引入傾斜角和斜率的概念。斜率：概念、公式（不同條件下的不同形式）、性質(zhì)（特例、關(guān)系）直線的方程：“一點(diǎn)和一個(gè)方向，或兩點(diǎn)，唯一確定一條直線”的代數(shù)化。求解的過程是“同一事物的兩種表示等價(jià)”。從哪些角度討論直線方程？不同的條件下的不同形式——可以問學(xué)生：你認(rèn)為可以從哪些角度確定一條直線？與直線相關(guān)的幾何問題有哪些？如何利用直線方程進(jìn)行討論？——平面幾何的經(jīng)驗(yàn)，討論“相交線與平行線”，“相交線”中有交點(diǎn)坐標(biāo)、交角、點(diǎn)到直線的距離等，特例是垂直；“平行線”中，平行的條件，平行線間的距離。還可以討論哪些問題？二元一次不等式表示平面區(qū)域如何提出問題？如何獲得猜想？從具體到抽象、從特殊到一般——強(qiáng)調(diào)歸納的過程。直角坐標(biāo)系中，方程x－y－6=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線l上；同時(shí)，直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x－y－6=0的解——由此你能提出什么新問題？(x0,y0)不在直線l上，則x0－y0－6≠0——x0－y0－6＞0或x0－y0－6＜0。坐標(biāo)平面被直線x－y－6=0分成三個(gè)部分，它們與x－y－6＞0，x－y－6=0，x－y－6＜0有什么關(guān)系呢？任意取點(diǎn)，代入，找規(guī)律——發(fā)現(xiàn)“同側(cè)同號(hào)”。如何證明“同側(cè)同號(hào)”點(diǎn)P0(x0,y0)在直線Ax+By+C=0的“左上方”、“右下方”如何用數(shù)量關(guān)系表達(dá)？y

P(x0,y0)·

O

x獲得證明思路的關(guān)鍵對(duì)解析幾何的基本思想（坐標(biāo)法）的理解深度；對(duì)“先用平面幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決”的認(rèn)識(shí)；在直角坐標(biāo)系中，幾何方位的代數(shù)化——以坐標(biāo)軸為基準(zhǔn)，用不等式表示“上下左右”的關(guān)系。所以，歸根到底是對(duì)直角坐標(biāo)系、點(diǎn)的坐標(biāo)等概念的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用。五、優(yōu)術(shù)“術(shù)”的基本解釋是方法、技藝，如技術(shù)、藝術(shù)、學(xué)術(shù)、戰(zhàn)術(shù)、心術(shù)等，是知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、技術(shù)、方法、手段等的集合體，也是解決問題的流程和策略?！靶g(shù)”是“明道”后轉(zhuǎn)化而來的具體操作方法，是可以提高辦事效果和效率的技巧。“優(yōu)術(shù)”即提升方法、技藝的水平，積累實(shí)用的策略，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)并從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律（經(jīng)驗(yàn)之中有規(guī)律）等等。例如何“解三角形”教學(xué)設(shè)計(jì)中，加強(qiáng)思想方法、解決問題的策略等方面的思考：如何發(fā)現(xiàn)問題；從定性到定量地研究問題；將新問題化歸為舊問題；從知識(shí)的相互聯(lián)系性思考問題；等等。如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（問題）數(shù)學(xué)中，往往是在定性研究問題后，希望得到定量的結(jié)果。一個(gè)三角形有六個(gè)要素，由全等三角形的“基本事實(shí)”——SSS，SAS，ASA，你能提出什么新的問題？六個(gè)要素中，只要知道三個(gè)（其中至少有一個(gè)是邊），三角形就唯一確定。也就是說，其余三個(gè)要素可以由這三個(gè)要素唯一確定。從定量角度，由這三個(gè)要素可以求出其余三個(gè)要素。解直角三角形問題的引出關(guān)于解一般三角形對(duì)于“解三角形”，你會(huì)哪些知識(shí)？——會(huì)解直角三角形，對(duì)于一般三角形，只有“內(nèi)角和定理”。給定兩邊一夾角，求其他邊、角——化歸為直角三角形。還有沒有其他方法？——從知識(shí)的聯(lián)系性出發(fā)，與解三角形相關(guān)的知識(shí)還有哪些？怎么用？你還能提出哪些問題？對(duì)于一個(gè)確定的三角形，其外接圓是唯一確定的，因此外接圓的半徑可以用三角形的邊、角來表示。怎樣用三角形的邊、角來表示它的外接圓半徑？對(duì)于一個(gè)確定的三角形，它的高、中線、角平分線、面積等都是唯一確定的，怎樣用三角形的邊、角來表示它們的度量？研究性學(xué)習(xí)課題——“解三角形”一個(gè)三角形包含的各種幾何量，如三邊的邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積、外徑、內(nèi)徑、高、中線長(zhǎng)、角平分線長(zhǎng)等，這是三角形這個(gè)整體中的各種要素。對(duì)它們之間存在的各種函數(shù)關(guān)系的研究中，可以體現(xiàn)出