數(shù)字信號(hào)處理復(fù)習(xí)總結(jié)-最終版

緒論：本章介紹數(shù)字信號(hào)處理課程的基本概念。0.1信號(hào)、系統(tǒng)與信號(hào)處理1.信號(hào)及其分類信號(hào)是信息的載體，以某種函數(shù)的形式傳遞信息。這個(gè)函數(shù)可以是時(shí)間域、頻率域或其它域，但最基礎(chǔ)的域是時(shí)域。分類：周期信號(hào)/非周期信號(hào)確定信號(hào)/隨機(jī)信號(hào)能量信號(hào)/功率信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)/離散時(shí)間信號(hào)/數(shù)字信號(hào)按自變量與函數(shù)值的取值形式不同分類：2.系統(tǒng)系統(tǒng)定義為處理（或變換）信號(hào)的物理設(shè)備，或者說(shuō)，凡是能將信號(hào)加以變換以達(dá)到人們要求的各種設(shè)備都稱為系統(tǒng)。3.信號(hào)處理信號(hào)處理即是用系統(tǒng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行某種加工。包括：濾波、分析、變換、綜合、壓縮、估計(jì)、識(shí)別等等。所謂“數(shù)字信號(hào)處理”，就是用數(shù)值計(jì)算的方法，完成對(duì)信號(hào)的處理。0.2數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的基本組成數(shù)字信號(hào)處理就是用數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行變換和處理。不僅應(yīng)用于數(shù)字化信號(hào)的處理，而且第1頁(yè)共60頁(yè)也可應(yīng)用于模擬信號(hào)的處理。以下討論模擬信號(hào)數(shù)字化處理系統(tǒng)框圖。（1）前置濾波器將輸入信號(hào)xa(t)中高于某一頻率（稱折疊頻率，等于抽樣頻率的一半）的分量加以濾除。（2）A/D變換器在A/D變換器中每隔T秒（抽樣周期）取出一次xa(t)的幅度，抽樣后的信號(hào)稱為離散信號(hào)。在A/D變換器中的保持電路中進(jìn)一步變換為若干位碼。（3）數(shù)字信號(hào)處理器（DSP）（4）D/A變換器按照預(yù)定要求，在處理器中將信號(hào)序列x(n)進(jìn)行加工處理得到輸出信號(hào)y(n)。由一個(gè)二進(jìn)制碼流產(chǎn)生一個(gè)階梯波形，是形成模擬信號(hào)的第一步。5）模擬濾波器把階梯波形平滑成預(yù)期的模擬信號(hào)；以濾除掉不需要的高頻分量，生成所需的模擬信號(hào)ya(t)。0.3數(shù)字信號(hào)處理的特點(diǎn)1）靈活性。（2）高精度和高穩(wěn)定性。（3）便于大規(guī)模集成。（4）對(duì)數(shù)字信號(hào)可以存儲(chǔ)、運(yùn)算、系統(tǒng)可以獲得高性能指標(biāo)。0.4數(shù)字信號(hào)處理基本學(xué)科分支數(shù)字信號(hào)處理（DSP）一般有兩層含義，一層是廣義的理解，為數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)——DigitalSignalProcessing，另一層是狹義的理解，為數(shù)字信號(hào)處理器——DigitalSignalProcessor。0.5課程內(nèi)容該課程在本科階段主要介紹以傅里葉變換為基礎(chǔ)的“經(jīng)典”處理方法，包括：（1）離散傅里葉變換及其快速算法。（2）濾波理論（線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)，用于分離相加性組合的信號(hào)，要求信號(hào)頻譜占據(jù)不同的頻段）。在研究生階段相應(yīng)課程為“現(xiàn)代信號(hào)處理”（AdvancedSignalProcessing）。信號(hào)對(duì)象主要是隨機(jī)信號(hào)，主要內(nèi)容是自適應(yīng)濾波（用于分離相加性組合的信號(hào)，但頻譜占據(jù)同一頻段）和現(xiàn)代譜估計(jì)。簡(jiǎn)答題：1．按自變量與函數(shù)值的取值形式是否連續(xù)信號(hào)可以分成哪四種類型?2．相對(duì)模擬信號(hào)處理，數(shù)字信號(hào)處理主要有哪些優(yōu)點(diǎn)?3．?dāng)?shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的基本組成有哪些？第2頁(yè)共60頁(yè)第一章：本章概念較多，需要理解和識(shí)記的內(nèi)容較多，學(xué)習(xí)時(shí)要注意。1.1離散時(shí)間信號(hào)1.離散時(shí)間信號(hào)的定義離散時(shí)間信號(hào)是指一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的數(shù)字序列，它是整數(shù)自變量n的函數(shù)，表示為x(n)。一般由模擬信號(hào)等間隔采樣得到：x(n)xatnTxa(nT)n。時(shí)域離散信號(hào)有三種表示方法：1）用集合符號(hào)表示2）用公式表示3）用圖形表示2.幾種基本離散時(shí)間信號(hào)（記住定義）1）單位采樣序列2）單位階躍序列第3頁(yè)共60頁(yè)3）矩形序列4）實(shí)指數(shù)序列5）正弦序列ω是正弦序列數(shù)字域的頻率，單位是弧度。對(duì)連續(xù)信號(hào)中的正弦信號(hào)進(jìn)行采樣，可得正弦序列。設(shè)連續(xù)信號(hào)為，它的采樣值為，因此（重點(diǎn)）這個(gè)式子具有一般性，它反映了由連續(xù)信號(hào)采樣得到的離散序列，其數(shù)字頻率與模擬頻率的一般關(guān)系。另外需要說(shuō)明的是，ω的單位為弧度，Ω的單位為弧度/秒。本書(shū)中，我們一律以ω表示數(shù)字域頻率，而以Ω及f表示模擬域頻率。例：已知采樣頻率FT=1000Hz,則序列x（n）=cos(0.4πn)對(duì)應(yīng)的模擬頻率為(400π)弧度/s。說(shuō)明：本題旨在理解數(shù)字頻率與模擬頻率之間的關(guān)系：。FT（6）復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列是以余弦序列為實(shí)部、正弦序列為虛部所構(gòu)成的一個(gè)復(fù)數(shù)序列。（7）周期序列(重點(diǎn))所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N,滿足：x(n)x(nN),則稱序列x(n)是周期序列，周期為N。(注意：按此定義，模擬信號(hào)是周期信號(hào)，采用后的離散信號(hào)未必是周期的)例：正弦序列sin(0n)的周期性：2k當(dāng)0N2k，k為整數(shù)時(shí)，sin[N0(nN)]sin(0n)，即為周期性序列。周期0，式中，k、N限取整數(shù)，且k的取值要保證N是最小的正整數(shù)?？煞謳追N情況討論如下：（1）當(dāng)2/0為整數(shù)時(shí)，只要k1，N2/0就為最小正整數(shù)，即周期為2/0。（2）當(dāng)2/0不是整數(shù)，而是一個(gè)有理數(shù)時(shí)，設(shè)2/0P/Q，式中，P、Q是互為素?cái)?shù)的整數(shù)（互為素?cái)?shù)就是兩個(gè)數(shù)沒(méi)有公約數(shù)），取kQ，則NP，即周期為P。（3）當(dāng)2/0是無(wú)理數(shù)時(shí)，則任何k皆不能使N為正整數(shù)，這時(shí)，正弦序列不是周期性的。例：X(n)=cos(0.4πn)的基本周期為(5)。[說(shuō)明]基本周期的定義即計(jì)算公式：N2k，其中N和k均為整數(shù)，N為基本周期（使得N為最小整數(shù)時(shí)k取值）。本題ω=0.4π，代入上式得到：N5,k1。第4頁(yè)共60頁(yè)3.信號(hào)運(yùn)算（1）加法：兩個(gè)信號(hào)之和由同序號(hào)的序列值逐點(diǎn)對(duì)應(yīng)相加得到。（2）乘法：兩個(gè)信號(hào)之積由同序號(hào)的序列值逐點(diǎn)對(duì)應(yīng)相乘得到。（3）移位：當(dāng)，序列右移（稱為延時(shí)）；當(dāng)，序列左移（稱為超前）。（4）翻轉(zhuǎn)：（5）尺度變換：或，其中M和N都是正整數(shù)。當(dāng)時(shí)，序列是通過(guò)取x(n)的每第M個(gè)采樣形成，這種運(yùn)算稱為下采樣。對(duì)于序列，定義如下這種運(yùn)算稱為上采樣。4.信號(hào)分解（重點(diǎn)）任一信號(hào)x(n)可表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和：簡(jiǎn)記為1.2時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散系統(tǒng)定義x(n)T.y(n)y(n)Tx(n)線性系統(tǒng)（重點(diǎn)）判定公式：若y1(n)=T[x1(n)],y2(n)=T[x2(n)]則y(n)T[ax1(n)bx2(n)]ay1(n)by2(n)第5頁(yè)共60頁(yè)時(shí)不變系統(tǒng)（重點(diǎn)）判定公式：y(n)=T[x(n)]y(n-n0)=T[x(n-n0)]例：判斷下列系統(tǒng)是否為線性、時(shí)不變系統(tǒng)。（重點(diǎn)）（1）y(n)x(n)2x(n1)3x(n2)；（2）y(n)x2(n)；解：y'(n)x(nn)2x(nn1)3x(nn2)（1）令：輸入為x(nn0)，輸出為000n)x(nn)2x(nn1)3x(nn2)y'(n)y(n0000故該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。y(n)T[ax1(n)bx2(n)]ax1(n)bx2(n)2(ax1(n1)bx2(n1))3(ax1(n2)bx2(n2))T[ax1(n)]ax1(n)2ax1(n1)3ax1(n2)T[bx2(n)]bx2(n)2bx2(n1)3bx2(n2)T[ax1(n)bx2(n)]aT[x1(n)]bT[x2(n)]故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。（2）y(n)x2(n)令：輸入為x(nn0)，輸出為y'(n)x2(nn0)，因?yàn)閥(nn0)x2(nn0)y'(n)故系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。又因?yàn)門[ax1(n)bx2(n)](ax1(n)bx2(n))2aT[x1(n)]bT[x2(n)]ax12(n)bx22(n)因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTI或者LSI系統(tǒng)）輸入與輸出之間關(guān)系（重點(diǎn)）：h(n)T[(n)]第6頁(yè)共60頁(yè)y(n)x(m)(nm)my(n)T[x(m)(nm)]my（n）=x(m)h(nm)=x（n）*h（n）m重點(diǎn)：線性離不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的卷積【說(shuō)明】離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)為系統(tǒng)對(duì)單位沖激序列δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng)。單位沖激響應(yīng)的概念非常重要。在時(shí)域，LTI系統(tǒng)可以由其單位沖激響應(yīng)h(n)唯一確定，因此，我們常常用單位沖激響應(yīng)描述LTI系統(tǒng)。在這種情況下，LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可以由卷積運(yùn)算描述：y（n）=m

x(m)h(nm)=x（n）*h（n）物理意義：卷積和運(yùn)算具有顯式意義，即可以用來(lái)確定系統(tǒng)的輸出。如果系統(tǒng)確定，則其單位沖激響應(yīng)是唯一的。由此，可求系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)。注意：計(jì)算卷積和的關(guān)鍵是求和區(qū)間的確定。因此，常常需要繪制序列x(m)和h(n-m)的圖形。利用序列x(m)和h(n-m)的圖形可助我們方便地確定求和區(qū)間。卷積的求解方法（重點(diǎn)）：線性卷積是一種非常重要的一種運(yùn)算，對(duì)它的求解，一般我們采用作圖法。線性卷積滿足交換律，設(shè)兩序列長(zhǎng)度分別是N和M，線性卷積后序列的長(zhǎng)度為N＋M－1。卷積的計(jì)算過(guò)程包括翻轉(zhuǎn)、移位、相乘、相加四個(gè)過(guò)程。1）將和用和表示，畫(huà)出和這兩個(gè)序列；2）選擇一個(gè)序列，并將其按時(shí)間翻轉(zhuǎn)形成序列；3）將移位n，得到；4）將和相同m的序列值對(duì)應(yīng)相乘后，再相加。例：設(shè)x(n)n,0≤n≤4，h(n)4,x(n)和h(n)如圖1所示。求x(n)和h(n)的卷積y(n)。（重R(n)點(diǎn)）x(n)R4(n)4n1n012340123圖1解方法一：用圖解法求卷積和。(1)將x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示(圖2中(a)、(b)圖)。第7頁(yè)共60頁(yè)x(m)4R4(m)R4(m)mmm012340123-3-2-10(a)(b)(c)R4(1m)R4(2m)-2-101mmy(n)-101210(d)(e)R4(5m)mn01234501234567(f)(g)圖2圖解法求卷積過(guò)程(2)將h(m)進(jìn)行反折，形成h(m)(圖2中(c)圖)；將h(m)移位n，得到h(nm)(圖2中(d)、(e)、(f)圖)。(3)將x(m)和h(nm)相同m的序列值相乘，再相加，得到y(tǒng)(n)(圖2中(g)圖)。y(n)1,3,6,10,9,7,41≤n≤7再討論解析法求線性卷積。用式y(tǒng)(n)x(m)h(nm)m求解上式首先要根據(jù)x(m)和h(nm)的非零值區(qū)間確定求和的上下限，x(m)的非零值區(qū)間為1≤m≤4，h(nm)的非零值區(qū)間為0≤nm≤3，或n3≤m≤n，由兩個(gè)非零值區(qū)間可得n的取值區(qū)間為1≤n≤7，它們的乘積x(m)h(nm)的非零值區(qū)間應(yīng)滿足：1≤m≤4和n3≤m≤n因此當(dāng)n1、n7時(shí)，y(n)0；nn(n1)y(n)m12當(dāng)1≤n≤3時(shí)，m0；4(n1)(8n)y(n)m1當(dāng)4≤n≤7時(shí)，2。mn3與圖解法結(jié)果一致。y(n)用公式表示為第8頁(yè)共60頁(yè)n(n1)/21≤n≤3y(n)(n1)(8n)/24≤n≤70其他方法二：當(dāng)序列x(n)和h(n)的長(zhǎng)度分別為有限長(zhǎng)N和M時(shí)，可采用“不進(jìn)位乘法”求兩序列線卷積。x(n)0,1,2,3,4h(n)1,1,1,1如圖1所示：，y(n)0,1,3,6,10,9,7,4例：兩線性時(shí)不變系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，其單位取樣響應(yīng)分別為h1(n)和h2(n)，輸入為x(n)，求系統(tǒng)的輸出y(n)。已知：x(n)u(n)，h1(n)(n)(n4)，h2(n)anu(n)。解：設(shè)第一個(gè)系統(tǒng)的輸出為(n)，則(n)x(n)h1(n)u(n)[(n)(n4)]u(n)u(n4)＋(n1)＋(n＋(n)2)(n3)因而輸出為y(n)(n)h2(n)[(n)(n1)(n2)(n3)]anu(n)anu(n)an1u(n1)an2u(n2)an3u(n3)系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性的判定（重點(diǎn)）1)穩(wěn)定系統(tǒng)：有界的輸入產(chǎn)生的輸出也有界的系統(tǒng)，即：若|x(n)|，則|y(n)|（記住!!）線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：n

|h(n)|(系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)絕對(duì)可和)（記住!!）或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1（記住!!）第9頁(yè)共60頁(yè)2)因果系統(tǒng)：n0時(shí)刻的輸出y(n0)只由n0時(shí)刻之前的輸入x(n),nn0決定（記住!!）線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：h(n)0,n0（記住!!）因果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)必然是因果序列。（記住!!）或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域在某圓外部：即：|z|>Rx（記住!!）3）穩(wěn)定因果系統(tǒng)：同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件的系統(tǒng)。線性移不變系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：n

|h(n)|，h(n)0,n0（記住!!）或：H(z)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)H(z)的收斂域滿足：|z|Rx,Rx1（記住!!）例：判斷線性時(shí)不變系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性，并給出依據(jù)。（重點(diǎn)）(1)y(n)1N1x(nk)；Nk0nn0（2）y(n)x(k)；knn0解：（1）只要N1，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因?yàn)檩敵鲋慌cn時(shí)刻的和n時(shí)刻以前的輸入有關(guān)。如果x(n)M，則y(n)M，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。nn0（2）如果x(n)M，y(n)x(k)2n01M，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是非因果的，knn0因?yàn)檩敵鲞€和x(n)的將來(lái)值有關(guān)。注意：如果給出的是h(n)，用上面要求記住的充要條件判斷！例：設(shè)某線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)為h(n)anu(n)（a為實(shí)數(shù)），分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。（重點(diǎn)）解：討論因果性：因?yàn)閚0時(shí)，h(n)0，所以該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。討論穩(wěn)定性：1a1h(n)ann1aann0n0a1∵∴當(dāng)a1時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例：設(shè)某線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)為h(n)anu(n1)（a為實(shí)數(shù)），分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。（重點(diǎn)）解：討論因果性：因?yàn)閚0時(shí)，h(n)0，所以該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。討論穩(wěn)定性：第10頁(yè)共60頁(yè)n1111ah(n)ana()na1nnn1n1aa1∵∴當(dāng)a1時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。1.3線性常系數(shù)差分方程差分方程定義卷積和是一種LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，一般情況下，我們可以用差分方程描述LTI系統(tǒng)的輸入輸出NM關(guān)系。aky[nk]bkx[nk]k0k0差分方程給出了系統(tǒng)響應(yīng)y[n]的內(nèi)部關(guān)系。為得到y(tǒng)[n]的顯式解，必須求解方程。差分方程求解○1經(jīng)典法○2遞推法○3變換域法（參見(jiàn)下章z域變換）（重點(diǎn)）例：設(shè)系統(tǒng)的差分方程為y(n)0.5y(n1)1.5x(n)，輸入序列為x(n)(n)，求輸出序列y(n)。解：一階差分方程需一個(gè)初始條件。設(shè)初始條件為：y(1)0則y(0)0.5y(1)1.5x(0)1.5y(1)0.5y(0)1.5x(1)0.75y(2)0.5y(1)1.5x(2)0.375y(n)1.5(0.5)nu(n)設(shè)初始條件改為：y(1)1則y(0)0.5y(1)1.5x(0)2y(1)0.5y(0)1.5x(1)1y(2)0.5y(1)1.5x(2)0.5y(n)2(0.5)nu(n)該例表明，對(duì)于同一個(gè)差分方程和同一個(gè)輸入信號(hào)，因?yàn)槌跏紬l件不同，得到的輸出信號(hào)是不相同的。幾點(diǎn)結(jié)論（重點(diǎn)）（1）對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)，用遞推解法求解，總是由初始條件向n>0的方向遞推，是一個(gè)因果解。但對(duì)第11頁(yè)共60頁(yè)于差分方程，其本身也可以向n<0的方向遞推，得到的是非因果解。因此差分方程本身不能確定該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)還是非因果系統(tǒng)，還需要用初始條件進(jìn)行限制。2）一個(gè)線性常系數(shù)差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性非時(shí)變系統(tǒng)，這和系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。如果系統(tǒng)是因果的，一般在輸入x(n)=0(n<n0)時(shí)，則輸出y(n)=0(n<n0)，系統(tǒng)是線性非時(shí)變系統(tǒng)。1.4模擬信號(hào)數(shù)字處理方法模擬信號(hào)數(shù)字處理框圖xa(t)：模擬信號(hào)輸入預(yù)濾波：目的是限制帶寬（一般使用低通濾波器）○1采樣：將信號(hào)在時(shí)間上離散化A/DC：模/數(shù)轉(zhuǎn)換○2量化：將信號(hào)在幅度上離散化（量化中幅度值=采樣幅度值）○3編碼：將幅度值表示成二進(jìn)制位（條件fs2fc）數(shù)字信號(hào)處理：對(duì)信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算處理D/AC：數(shù)/模轉(zhuǎn)換（一般用采樣保持電路實(shí)現(xiàn)：臺(tái)階狀連續(xù)時(shí)間信號(hào)在采樣時(shí)刻幅度發(fā)生跳變）平滑濾波：濾除信號(hào)中高頻成分（低通濾波器），使信號(hào)變得平滑ya(t)：輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)處理后的輸出信號(hào)2．連續(xù)信號(hào)的采樣對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行理想采樣，設(shè)采樣脈沖，則采樣輸出在討論理想采樣后，信號(hào)頻譜發(fā)生的變化時(shí)，可遵循下面的思路：1）由；2）由；3）根據(jù)頻域卷積定理，由計(jì)算出。計(jì)算過(guò)程：第12頁(yè)共60頁(yè)1）2）周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，因此其中系數(shù)所以其傅里葉變換3）因此，采樣后信號(hào)頻譜產(chǎn)生周期延拓，周期為Ωs，同時(shí)幅度為原來(lái)的1/T倍。這是一個(gè)非常重要的性質(zhì)，應(yīng)熟練掌握。時(shí)域抽樣定理（重點(diǎn)）一個(gè)限帶模擬信號(hào)xa(t)，若其頻譜的最高頻率為F0，對(duì)它進(jìn)行等間隔抽樣而得x(n)，抽樣周期為T，或抽樣頻率為Fs1/T；只有在抽樣頻率Fs2F0時(shí)，才可由xa(t)準(zhǔn)確恢復(fù)x(n)。例：有一連續(xù)信號(hào)xa(t)cos(2ft),式中，f20Hz,2（1）求出xa(t)的周期。（2）用采樣間隔T0.02s對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣，試寫(xiě)出采樣信號(hào)%xa(t)的表達(dá)式。（3）求出對(duì)應(yīng)x%a(t)的時(shí)域離散信號(hào)(序列)x(n)，并求出x(n)的周期。解：（1）xa(t)周期為T10.05sf第13頁(yè)共60頁(yè)^(tnT)fnT)(tnT)(T0.05s)（2）x(t)x(t)cos(2nn（3）x(n)的數(shù)字頻率ω=0.8π，故225，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8πn+π/2)0.82簡(jiǎn)答題：（重點(diǎn)）1．是不是任意連續(xù)信號(hào)離散后，都可從離散化后的信號(hào)恢復(fù)出原來(lái)的信號(hào)？為什么？2．一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)過(guò)理想采樣以后，其頻譜會(huì)產(chǎn)生怎樣的變化？在什么條件下，頻譜不會(huì)產(chǎn)生失真？3．說(shuō)明時(shí)域采樣定理的要點(diǎn)？4．離散信號(hào)頻譜函數(shù)的一般特點(diǎn)是什么？5．畫(huà)出模擬信號(hào)數(shù)字處理框圖。并說(shuō)明各部分的作用。名詞解釋：（重點(diǎn)）時(shí)域采樣定理線性系統(tǒng)、時(shí)不變系統(tǒng)、穩(wěn)定系統(tǒng)、因果系統(tǒng)第14頁(yè)共60頁(yè)第二章：本章涉及信號(hào)及系統(tǒng)的頻域分析方法，概念較多，但很基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)要注意。2.1序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)1.定義DTFT是一個(gè)用來(lái)確定離散時(shí)間序列頻譜的重要數(shù)學(xué)工具。物理意義：傅里葉變換是將對(duì)信號(hào)的時(shí)域分析轉(zhuǎn)換為對(duì)其在頻域的分析，便于研究問(wèn)題。若序列滿足絕對(duì)可和條件則其離散時(shí)間傅里葉變換（DiscreteTimeFourierTransform-DTFT：非周期序列的傅里葉變換）定義為X(ej)x[n]ejn------（記住!!）n反變換定義為：x[n]1X(ej)ejnd------2傅里葉變換對(duì)例：設(shè)x(n)R4(n)，求其序列傅里葉變換。（重點(diǎn)）解第15頁(yè)共60頁(yè)jx(n)ejnjnX(e)DTFT[x(n)]RN(n)ennN1jNjN/2ejn1eeen01ejej/2eNsinN12ej2sin2當(dāng)N4時(shí)

jN/2ejN/2j/2ej/2X(ej)sin2e3jsin/2(2-5)j2.1所示。X(e)的幅度和相位隨變化曲線如圖41arg[X(e)]20或X(ej)sin(4/2)sin(/2)x(n)1n0123arg[X(ej)]X(ej)42002圖2.1R4(n)的幅度與相位曲線例：試求如下序列的傅里葉變換：（重點(diǎn)）（1）x1(n)(nn0)（2）x2(n)1(n1)(n)1(n1)22（3）x3(n)anu(n2),0a1（4）x4(n)u(n3)u(n4)解：X1(ej)(nn0)ejnejn0（1）nX2(ej)x2(n)ejn1ej11ej1jsin（2）n22X3(ej)anu(n2)ejnanejna2e2j，0a1（3）nn21aej第16頁(yè)共60頁(yè)333（4）X4(ej)u(n3)u(n4)ejnejnejnejnnn3n0n1e1e

4j

e1e

1ej31ejej=

j7sin7jej321sin22.性質(zhì)1）周期性（重點(diǎn)）：DTFT是關(guān)于ω的周期為2π的周期函數(shù)。X(ej)x(n)ej(2M)nX(ej(2M))M為整數(shù)nX1(ej)FT[x1(n)]，X2(ej)FT[x2(n)]，那么2)線性（重點(diǎn)）：設(shè)FT[ax1(n)bx2(n)]aX1(ej)bX2(ej)3）時(shí)移特性（重點(diǎn)）4）頻移特性5）時(shí)域卷積定理（重點(diǎn)）6）頻域卷積定理7）帕斯瓦爾定理時(shí)域總能量等于頻域一周期內(nèi)總能量。幅度頻譜為ω的偶函數(shù)，相位頻譜為ω的奇函數(shù)。X(ejω)的實(shí)部為ω的偶函數(shù)，X(ejω)的虛部為ω的奇函數(shù)。對(duì)稱關(guān)系的總結(jié)（重點(diǎn)）：如果x[n]為復(fù)數(shù)序列，其DTFT為X(ejω),(a)x[n]實(shí)部的DTFT為X(ejω)的共軛對(duì)稱部分-----------xre[n]Xcs(ej)1X(ej)X*(ej)2(b)x[n]虛部的DTFT為X(ejω)的反共軛對(duì)稱部分-----------xim[n]Xca(ej)1X(ej)X*(ej)2第17頁(yè)共60頁(yè)(c)x[n]的共軛對(duì)稱部分的DTFT為X(ejω)的實(shí)部-----------xcs[n]1x[n]x*[n]Xre(ej)2(d)x[n]的反共軛對(duì)稱部分的DTFT為X(ejω)的虛部-----------xca[n]1x[n]x*[n]jXim(ej)2如果實(shí)序列x[n]的DTFT為X(ejω),(e)x[n]的偶對(duì)稱部分的DTFT為X(ejω)的實(shí)部，-----------xev[n]1x[n]x[n]Xre(ej)2(f)x[n]的奇對(duì)稱部分的DTFT為X(ejω)的虛部，-----------xod[n]1x[n]x[n]jXim(ej)2例：設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)anu(n),0a1，輸入序列為x(n)(n)2(n2)，完成下面各題：（1）求出系統(tǒng)輸出序列y(n)；（2）分別求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里葉變換。（重點(diǎn)）解：（1）y(n)h(n)*x(n)anu(n)*[(n)2(n2)]anu(n)2an2u(n2)X(ejw)[(n)2(n2)]ejwn12ej2wn（2）H(ejw)anu(n)ejwnanejwn11nn0aejwY(ejw)H(ejw)gX(ejw)12ej2w1aejw2.2時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系：^X(ejT1Xa(jjks)2X(ejT)s2Fs)Xa(j)Tk式中T2.3序列的Z變換Z變換定義(重點(diǎn))Z變換為離散時(shí)間信號(hào)與LTI系統(tǒng)分析的重要數(shù)學(xué)工具。給定一離散時(shí)間序列x(n)，其z變換定義第18頁(yè)共60頁(yè)為：X(z)x(n)znRxzRx------（記住!!）k其中，zes,sj。z變換存在情況下的Z變量取值范圍稱為收斂域(ROC)。注意：Z變換+不同收斂域?qū)?yīng)不同收斂域的不同序列唯一序列（Z變換+收斂域）(重點(diǎn))例：求以下序列的Z變換及收斂域：（重點(diǎn)）1）2nu(n)；（2）2nu(n1)；（3）2n[u(n)u(n10)]解：（1）ZT[2nu(n)]2nu(n)zn2nzn11z1,z1nn0122ZT[2nu(n1)]2nu(n1)zn2nzn2nzn（2）nn1n12z1112z121z1,z29ZT[2nu(n)u(n10)]2nzn（3）n01210z10z121z1,0[說(shuō)明]上題也可以改為求序列的傅立葉變換?？梢岳肵(ej)X(z)zej。2Z變換和DTFT之間的關(guān)系(重點(diǎn))jDTFT為單位圓上的z變換。數(shù)學(xué)表達(dá)為：X(e)X(z)zej------記住并理解!序列特性與X(z)的收斂域ROC的關(guān)系。(重點(diǎn))收斂區(qū)域要依據(jù)序列的性質(zhì)而定。同時(shí)，也只有Z變換的收斂區(qū)域確定之后，才能由Z變換唯一地確定序列。一般來(lái)來(lái)說(shuō)，序列的Z變換的收斂域在Z平面上的一環(huán)狀區(qū)域：Rx|z|Rx總結(jié)：a.ROC不包含任何極點(diǎn)。b.有理z變換的收斂域ROC由其極點(diǎn)界定。第19頁(yè)共60頁(yè)c.對(duì)于有限長(zhǎng)序列x[n],其z變換的收斂域ROC為整個(gè)z-平面，可能在z=0或z=∞除外。只有序列為(n)時(shí)，收斂域是整個(gè)Z平面。d.對(duì)于右邊序列x[n],其z變換的收斂域ROC由其離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的極點(diǎn)確定，其形式為zRx。e.對(duì)于左邊序列x[n],其z變換的收斂域ROC由其離原點(diǎn)最近的極點(diǎn)確定，其形式為zRx。f.對(duì)于雙邊序列x[n],其z變換的收斂域ROC環(huán)狀收斂域，，其形式為公共收斂域RxzRx。Z反變換(重點(diǎn))常用序列的Z變換(重點(diǎn)--記住!!)：Z[(n)]1,|z|01Z[u(n)]1z1,|z|1Z[anu(n)]11,|z||a|az1Z[bnu(n1)]11,|z||b|bz1逆變換x(n)1j?X(z)zn1dzx，C：收斂域內(nèi)繞原點(diǎn)逆時(shí)針的一條閉合曲線c留數(shù)定理：x(n)[X(z)zn1在C內(nèi)極點(diǎn)留數(shù)之和]留數(shù)輔助定理：x(n)[X(z)zn1在C外極點(diǎn)留數(shù)之和]第20頁(yè)共60頁(yè)利用部分分式展開(kāi)：X(z)Ak，然后利用定義域及常用序列的Z變換求解。(重點(diǎn))1akz1基本要求：用部分分式展開(kāi)法求z反變換。(重點(diǎn))例：假設(shè)X(z)11，收斂域ROC為0.3z0.5,則X(z)的z反變換0.5z110.3z11為((0.5)nu(n1)(0.3)nu(n))。（重點(diǎn)）說(shuō)明：本題要求掌握序列的時(shí)域特性域z變換收斂域之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。具體說(shuō)，有限長(zhǎng)序列的z變換的ROC是怎樣的，右邊序列的z變換的ROC是怎樣的，因果序列的z變換的ROC是怎樣的，左邊序列的z變換的ROC是怎樣的，反因果序列的z變換的ROC是怎樣的。nu(n1)1ROC:z典型序列的z變換表達(dá)式是否記住了？1z1這兩個(gè)典1nu(n)z1ROC:z1型z變換對(duì)，對(duì)求z變換或逆z變換非常重要。X(z)

zz例：已知z0.5z2，試求與X(z)對(duì)應(yīng)的所有可能的序列x(n)。（重點(diǎn)）解：同一個(gè)Z變換函數(shù)，收斂域不同，對(duì)應(yīng)的序列也不同。本題沒(méi)有給定收斂域，所以必須先確定收斂域。X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)：z10.5，z22，因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為邊界，所以收斂域有以下三種情況：z0.5，0.5z2，z2，三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列，分別討論如下：（1）z0.5對(duì)應(yīng)左邊序列∴x(n)0.5nu(n1)2nu(n1)（2）0.5z2對(duì)應(yīng)雙邊序列∴x(n)0.5nu(n)2nu(n1)（3）z2對(duì)應(yīng)右邊序列∴x(n)0.5nu(n)2nu(n)X(z)1(12z1)(10.5z1)z2，用部分分式展開(kāi)法求逆Z變換。（重點(diǎn)）例：設(shè)解：先去掉z的負(fù)冪次，以便于求解，將X(z)的分子分母同乘以z2，得：z2X(z)0.5)(z2)(zX(z)zA1A2將等式兩端同時(shí)除以z，得：z(z2)(z0.5)z2z0.5第21頁(yè)共60頁(yè)A1X(z)(zX(z)z4Res[,2]2)(z2)zzz2(z2)(z0.5)z23A2X(z)(z0.5)X(z)(z0.5)z1Res[,0.5]zz0.52)(z0.5)z23z(z4z1zX(z)23z0.5因而得：3zx(n)42nu(n)10.5nu(n)由收斂域知，x(n)為右邊序列，得：33主要應(yīng)用于單階極點(diǎn)的序列。Z變換的性質(zhì)○線性性質(zhì)(重點(diǎn))M(z)ZT[m(n)]mm1aX(z)bY(z)RzR○2序列的移位性質(zhì)(重點(diǎn))X(z)ZT[x(n)]RxzRxZT[x(nn0)]zn0X(z)RxzRx3序列乘以指數(shù)序列的性質(zhì)(重點(diǎn))○X(z)ZT[x(n)]RxzRxy(n)anx(n)a為常數(shù)Y(z)ZT[anx(n)]X(a1z)aRxzaRx○X(z)ZT[x(n)]xzx4序列乘以n的ZTRRZT[nx(n)]zdX(z)RxzRxdx○X(z)ZT[x(n)]xzx5復(fù)共軛序列的ZTRRZT[x*(n)]X*(z*)RxzRx○6初值定理X(z)ZT[x(n)]x(0)limX(z)z第22頁(yè)共60頁(yè)○終值定理limx(n)lim(z1)x(z)7zz1○8時(shí)域卷積定理(重點(diǎn))設(shè)(n)x(n)*y(n)X(z)ZT[x(n)]RxzRxY(z)ZT[y(n)]RxzRx則W(z)ZT[(n)]X(z)Y(z)RwzRw○X(z)xzx9復(fù)卷積定理ZT[x(n)]RRZT[y(n)]Y(z)RyzRy(n)x(n)y(n)W(z)21j?cX()Y(z)dRxRyzRxRy○X(z)xzx10帕斯維爾定理ZT[x(n)]RRZT[y(n)]Y(z)RyzRyRxRy1，RxRy1那么x(n)y*(n)21cX()Y*(1*)1dnj?2.4離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)定義（重點(diǎn)）一個(gè)線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)在時(shí)域中可以用它的單位取樣響應(yīng)h(n)來(lái)表征，即：y(n)x(n)h(n)對(duì)等式兩邊取Z變換并根據(jù)時(shí)域卷積定理，有：Y(z)X(z)H(z)Y(z)H(z)一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)（系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的則：X(z)Z變換與輸入的Z變換之比），它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。第23頁(yè)共60頁(yè)系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關(guān)系aky(nk)bkx(nk)(給定差分方程，能計(jì)算其系統(tǒng)函數(shù)，或給定系統(tǒng)函數(shù)，能計(jì)算得到k0k0差分方程。)（重點(diǎn)）頻率響應(yīng)（重點(diǎn)）頻率響應(yīng)是一個(gè)重要的概念，根據(jù)頻率響應(yīng)，可理解濾波。頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的DTFT：H(ej)h[n]ejnH(ejj)ejH(e)（重點(diǎn)）n其中，|H(ejω)|稱為幅頻響應(yīng)，H(ej)稱為相頻響應(yīng)。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是以2π為周期的ω的連續(xù)函數(shù)，這一點(diǎn)和連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是不同的，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)加以注意。若h(n)為實(shí)數(shù)，則系統(tǒng)的幅度響應(yīng)在區(qū)間內(nèi)是偶對(duì)稱的，而相位響應(yīng)是奇對(duì)稱的。注意：僅當(dāng)穩(wěn)定系統(tǒng)才有頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)H(ejω)可根據(jù)DTFT與z變換之間的關(guān)系簡(jiǎn)單得到：jjX(e)X(z)zejH(e)H(z)zej穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解結(jié)論：對(duì)于LTI系統(tǒng)，如果輸入為正弦序列x(n)=cos(ω00則輸出響應(yīng)y(n)必為相同形式的正弦序t+φ),列，但需在ω=ωjωH(ej)在ω=ω0的值進(jìn)行移位，0的幅頻響應(yīng)|H(e)|進(jìn)行加權(quán)，并通過(guò)相頻響應(yīng)即：y[n]=|H(ejω000j0)))|cos(ωt+φ+H(e例：假設(shè)實(shí)序列x[n]的DTFT記為X(ej),則其幅值X(ej)是關(guān)于ω的（偶函數(shù)）。說(shuō)明：還記得反復(fù)強(qiáng)調(diào)的一句話，實(shí)序列的DTFT的幅度、實(shí)部是關(guān)于頻率ω偶函數(shù)，而相位和虛部則是關(guān)于頻率ω奇函數(shù)。例：對(duì)于一LTI離散時(shí)間系統(tǒng)其頻率響應(yīng)H(ej)1,如果系統(tǒng)輸x(n)=cos(n),響應(yīng)10.5ej3的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)y(n)=(1.15cos(n0.52))。3H(ej)H(ej)ejH(ej)說(shuō)明：將系統(tǒng)的頻率響應(yīng)寫(xiě)成幅度相位表達(dá)式：，則輸出信號(hào)為：第24頁(yè)共60頁(yè)jjy[n]H(e3)cos(nH(e3))3。這里由于給出了H(ej)的具體表達(dá)式，所以需要分別計(jì)算jH(e3)j出和H(e3)之值。用系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性（重點(diǎn)）MY(z)bizii0（傳輸函數(shù)H(z)為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h（n）的Z變換。）系統(tǒng)函數(shù)：H(z)MX(z)aizik01)穩(wěn)定系統(tǒng)：有界的輸入產(chǎn)生的輸出也有界的系統(tǒng)，即：若|x(n)|，則|y(n)|線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：|h(n)|n或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1（牢記此結(jié)論!）2)因果系統(tǒng)：n0時(shí)刻的輸出y(n0)只由n0時(shí)刻之前的輸入x(n),nn0決定線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：h(n)0,n0或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域在某圓外部：即：|z|>Rx（牢記此結(jié)論!）3）穩(wěn)定因果系統(tǒng)：同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件的系統(tǒng)。線性移不變系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：|h(n)|，h(n)0,n0n或：H(z)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)H(z)的收斂域滿足：|z|Rx,Rx1（牢記此結(jié)論!）例：.一因果LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的傳輸函數(shù)H(z)1n10.5z1,則系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為(0.5u（n）)。說(shuō)明：根據(jù)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，其實(shí)就是將傳遞函數(shù)進(jìn)行逆z變換，但要注意系統(tǒng)的因果性如何。1例：因果IIR離散時(shí)間LTI系統(tǒng)，其傳輸函數(shù)H(z)10.5z

，則系統(tǒng)(穩(wěn)定)。例：一FIR離散時(shí)間LTI系統(tǒng)總是(穩(wěn)定)。說(shuō)明：系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何判斷？按照教材中的說(shuō)法，就是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的收斂域如果包括“單位圓”，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果你熟悉了序列的z變換的ROC的性質(zhì)，則此題不難回答。對(duì)于因果系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，其單位沖激響應(yīng)為因果序列，故其z變換的ROC一定是某圓外部的整個(gè)區(qū)域。而這個(gè)圓就位于離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的極點(diǎn)上，所以，對(duì)于因果系統(tǒng)，如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)都位于單位圓以內(nèi)的話，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對(duì)于FIR系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列，其z變換的ROC為除了無(wú)窮遠(yuǎn)和原點(diǎn)之外的第25頁(yè)共60頁(yè)整個(gè)z平面，自然包括單位圓，所以FIR系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)及極點(diǎn)確定MMMbizi(1ziz1)(zzi)zMX(z)i0Ai1Ai1NNNakzk(1zkz1)(zzk)zNk0k1k1（式中，zk是極點(diǎn)，zi是零點(diǎn)；在極點(diǎn)處，序列x(n)的Z變換是不收斂的，因此收斂區(qū)域內(nèi)不應(yīng)包括極點(diǎn)。）系統(tǒng)函數(shù)H（z）的極點(diǎn)位置主要影響頻響的峰值位置及尖銳程度，零點(diǎn)位置主要影響頻響的谷點(diǎn)位置及形狀。例：設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為y(n)x(n)ay(n1)，0a1，用幾何法分析其幅頻特性。（重點(diǎn)）解：對(duì)差分方程兩邊取Z變換，得：Y(z)X(z)az1Y(z)系統(tǒng)函數(shù)為：左所示：

Y(z)1zH(z)1az1zaza，極點(diǎn)為za，零點(diǎn)為z0，如下圖X(z)當(dāng)0時(shí)，由于極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度最短，幅頻特性出現(xiàn)峰值，隨著的增加，幅度逐漸減小，當(dāng)時(shí)，由于極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度最長(zhǎng)，幅頻特性出現(xiàn)谷值，隨著的增加，幅度逐漸增大，直到2時(shí)，幅頻特性出現(xiàn)峰值，如上圖右所示。簡(jiǎn)答題：（重點(diǎn)）1.說(shuō)明有限長(zhǎng)序列、左邊序列、右邊序列、雙邊序列的概念和收斂域各是什么？2.說(shuō)明系統(tǒng)頻率響應(yīng)的概念？系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)是什么關(guān)系？（單位圓上（zej）的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)）說(shuō)明FIR系統(tǒng)為什么始終是穩(wěn)定的？怎樣在z域表示離散時(shí)間LTI系統(tǒng)?答案：傳輸函數(shù)H(z)表示離散時(shí)間LTI系統(tǒng)。第26頁(yè)共60頁(yè)第三章：DFT是為適應(yīng)計(jì)算機(jī)分析傅里葉變換規(guī)定的一種專門運(yùn)算，本章是數(shù)字信號(hào)處理課程的重點(diǎn)章節(jié)。前言信號(hào)處理中會(huì)遇到幾種信號(hào)形式：（1）連續(xù)周期信號(hào)（2）連續(xù)非周期信號(hào)（3）離散非周期信號(hào)（4）離散周期信號(hào)(重點(diǎn))各種信號(hào)在時(shí)域和頻域之間總的來(lái)說(shuō)都是傅里葉變換，但具體形式及應(yīng)用是不同的。1．連續(xù)周期信號(hào)——傅里葉級(jí)數(shù)（FS）~連續(xù)周期信號(hào)x(t)可展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)：~cnejn0tx(t)（*）n20~T0T0式中，，為x(t)的周期。cn1T0/2傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為：T0T0/2

~jn0tdtx(t)e幅度頻譜是指各次諧波的振幅隨頻率的變化關(guān)系，即：cn~(n0)時(shí)域頻域連續(xù)時(shí)間、周期非周期、離散頻率2．連續(xù)非周期信號(hào)——傅里葉變換（FT）第27頁(yè)共60頁(yè)連續(xù)非周期信號(hào)x(t)的傅里葉變換為：X(j)x(t)ejtdt20T00)變成因?yàn)榉侵芷诳梢暈?，則離散頻譜間距T0，則X(j的連續(xù)函數(shù)。時(shí)域頻域連續(xù)時(shí)間、非周期非周期、連續(xù)頻率3．離散非周期信號(hào)——序列的傅里葉變換（DTFT）X(ej)x(n)ejnn如果把序列看成連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣，采樣間隔為T，則數(shù)字頻率和模擬角頻率的關(guān)系為T，且x(n)x(nT)，代入上式，得：X(ejT)x(nT)ejnTn時(shí)域頻域離散時(shí)間、非周期周期、連續(xù)頻率4．離散周期信號(hào)——離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）~N的周期序列，即：~~rN)r為任意整數(shù)設(shè)x(n)是周期為x(n)x(n表3.1四種傅里葉變換形式的歸納一般規(guī)律：一個(gè)域的離散對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的周期延拓，一個(gè)域的連續(xù)必定對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的非周期。(重點(diǎn))3.1離散傅里葉級(jí)數(shù)1.周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）說(shuō)明：離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。第28頁(yè)共60頁(yè)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)表示，離散周期序列也可以表示成傅里葉級(jí)數(shù)形式。周期為N的復(fù)指數(shù)序列的基頻序列為次諧波序列為由于，即，因而，離散傅里葉級(jí)數(shù)的所有諧波成分中只有N個(gè)是獨(dú)立的。因此在展開(kāi)成離散傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，我們只能取N個(gè)獨(dú)立的諧波分量，通常取k=0到(N-1)，即*）式中，1/N是習(xí)慣上采用的常數(shù)，是k次諧波的系數(shù)。利用將（*）式兩端同乘以，并對(duì)一個(gè)周期求和即由于所以也是一個(gè)以N為周期的周期序列。因此，時(shí)域離散周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域上仍然是一個(gè)周期序列。稱為離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。令，則其中，符號(hào)DFS[.]表示離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換，IDFS[.]表示離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。例：設(shè)x(n)R4(n)，將x(n)以N8~~為周期進(jìn)行周期延拓，得到周期序列x(n)，求x(n)的DFS。解：第29頁(yè)共60頁(yè)~7~2knX(k)＝x(n)ejn03j4knen01ejk441ejk41ejk1ejk4jkjkejke2(e22)jkjkejke8(e88)j3ksin2ke8sin8k其幅度特性為：2.周期序列的傅里葉變換思路：由利用和DTFT的頻移特性，可得第30頁(yè)共60頁(yè)傅里葉變換時(shí)域、頻域?qū)?yīng)關(guān)系：根據(jù)序列的傅里葉變換和離散傅里葉級(jí)數(shù)頻域特性，再結(jié)合連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換頻域特性，我們可以得出傅里葉變換時(shí)、頻域的一般對(duì)應(yīng)關(guān)系：連續(xù)→非周期，離散→周期。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系很重要，要求熟記(重點(diǎn))。3.2有限長(zhǎng)序列的離散傅立葉變換(DFT)說(shuō)明：(DiscreteFourierTransform，DFT離散傅里葉變換)定義(重點(diǎn))N1x(n)WNkn，0≤k≤N1------（記住!!）X(k)DFT[x(n)]{DFS[x(nN)]}RN(k)n0x(n)IDFT[X(k)]{IDFS[X(kN)]}RN(n)1N1X(k)WNkn，0≤n≤N1------Nk0記住!j2其中，WNeN應(yīng)當(dāng)注意，雖然x(n)和X(k)都是長(zhǎng)度為N得有限長(zhǎng)序列，但他們分別是由周期序列xp(n)和Xp(k)截取其主周期得到的，周期為N的周期序列xp(n)可以看成長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)周期延拓的結(jié)果。本質(zhì)上是做DFS或IDFS，所以不能忘記它們的隱含周期性。尤其是涉及其位移特性時(shí)更要注意。(重點(diǎn))DFT的隱含周期性：WNkWNkmNk,m為整數(shù)，N為自然數(shù)(重點(diǎn))例：設(shè)x(n)R4(n)，求x(n)的4點(diǎn)DFT。(重點(diǎn))解：x(n)的4點(diǎn)離散傅里葉變換為：N1j2kn3j2j3sin(k)X(k)Nknkx(n)ee4e4n0n0sin(k)k0,1,2,34第31頁(yè)共60頁(yè)以N4為周期將x(n)延拓成周期序列，得~x(n)：~N1~j2323X(k)x(n)eknejknejkn0n0其離散傅里葉級(jí)數(shù)為：

sin(k)sin(k)4例：設(shè)x(n)R4(n)，求x(n)的8點(diǎn)DFT。(重點(diǎn))解：x(n)的8點(diǎn)離散傅里葉變換為：N1j23j2j3X(k)knknkx(n)eNe8e8n0n0

sin(k)2sin(k)8k0,1,2,,7第32頁(yè)共60頁(yè)以N8為周期將x(n)延拓成周期序列，得~x(n)：其離散傅里葉級(jí)數(shù)為：N1jkn3jknjksin(k)~~2232Ne8e8X(k)x(n)en0n0sin(k)8由例可見(jiàn)，離散傅里葉變換的結(jié)果與變換區(qū)間長(zhǎng)度N的取值有關(guān)。離散傅立葉變換與DTFT、Z變換的關(guān)系(重點(diǎn))X(k)X(j)|2kX(z)|Nze

j2kNDFT的物理意義：X（k）為x(n)的傅里葉變換X(ej)在區(qū)間[0,2]上的等間隔采樣。X(k)為第33頁(yè)共60頁(yè)X(z)在Z平面單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣。時(shí)域分析記住結(jié)論：時(shí)域抽樣對(duì)應(yīng)頻域的周期拓展，頻率抽樣對(duì)應(yīng)時(shí)域的以周期N的周期拓展。y(n)x(nmN)這可以表述為如下公式：m3.3離散傅里葉變換的基本性質(zhì)線性性質(zhì)若y(n)ax1(n)bx2(n)則Y(k)DFT[y(n)]aX1(k)bX2(k)循環(huán)移位性質(zhì)設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，則x(n)的N點(diǎn)循環(huán)移位定義為（NM）：y(n)x((nm))NRN(n)循環(huán)移位的實(shí)現(xiàn)步驟：序列點(diǎn)數(shù)M不夠時(shí)補(bǔ)零，補(bǔ)到所需點(diǎn)數(shù)Nx(n)(補(bǔ)充N-M個(gè)零點(diǎn))將x(n)以N為周期延拓為周期序列~x(n)x((n))N移位~x(nm)x((nm))N取主值序列y(n)x((nm))NRN(n)循環(huán)卷積定理（重點(diǎn)）1）設(shè)序列h(n)和x(n)的長(zhǎng)度分別為N和M。h(n)與x(n)的L點(diǎn)循環(huán)卷積定義為第34頁(yè)共60頁(yè)L1yc(n)[h(m)x((nm))L]RL(n)m0式中，L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度，L≥max［N，M］。2)循環(huán)卷積矩陣y(0)cx(0)x(L1)x(L2)Lx(1)h(0)y(1)cx(1)x(0)x(L1)Lx(2)h(1)y(2)c＝x(2)x(1)x(0)Lx(3)h(2)MMMMOMMy(L1)cx(L1)x(L2)x(L3)Lx(0)h(L1)特點(diǎn)：（1）第1行是序列{x(0),x(1),,x(L－1)}的循環(huán)倒相序列。注意，如果x(n)的長(zhǎng)度M<L，則需要在x(n)末尾補(bǔ)L－M個(gè)零后，再形成第一行的循環(huán)倒相序列。（2）第1行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移1位形成的。3）矩陣的各主對(duì)角線上的序列值均相等。循環(huán)卷積和線性卷積的區(qū)別線性卷積：翻折—>乘加—>移位：y（n）=x（n）*h（n）=∑h（k）x（n-k）循環(huán)卷積：補(bǔ)零—>周期延拓—>翻折—>循環(huán)移位—>對(duì)應(yīng)值相加例：計(jì)算下面給出的兩個(gè)長(zhǎng)度為4的序列h(n)與x(n)的4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積。（重點(diǎn)）yc(0)1432110yc(1)2143110yc(2)3214110解：按照循環(huán)卷積矩陣寫(xiě)出h(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為yc(3)4321110yc(0)1000043211yc(1)2100004313yc(2)3210000416yc(3)43210000110yc(4)0432100009yc(5)0043210007yc(6)0004321004h(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為yc(7)0000432100【補(bǔ)充】①計(jì)算h(n)與x(n)的線性卷積？②哪一種情況下計(jì)算的循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積？【說(shuō)明】當(dāng)循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度L大于等于y(n)=h(n)*x(n)的長(zhǎng)度時(shí)，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積。假設(shè)h(n)和x(n)都是有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度分別是N和M。循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是L≥N＋M－1。（重點(diǎn)）3）時(shí)域循環(huán)卷積定理設(shè)h(n)和x(n)的長(zhǎng)度分別為N和M，其L點(diǎn)循環(huán)卷積為L(zhǎng)1yc(n)h(n)○x(n)h(m)x((nm))LRL(n)Lm0第35頁(yè)共60頁(yè)H(k)DFT[h(n)]L0kL1且DFT[x(n)]LX(k)則由DFT的循環(huán)卷積定理有Yc(k)DFT[yc(n)]LH(k)X(k)0kL14復(fù)共軛序列的DFT性質(zhì)：設(shè)x*(n)是x(n)的復(fù)共軛序列，長(zhǎng)度為N，X(k)DFT[x(n)]N，則DFT[x*(k)]NX*(Nk)0kN1例：給定一16-點(diǎn)實(shí)序列x（n）,其16-點(diǎn)DFT記為X(k),已知X(13)=2+j3,則X*(3)=(2+j3)。說(shuō)明：DFT的性質(zhì)。實(shí)序列的DFT的共軛對(duì)稱性：X(k)＝X*(N-k)，或X(N-k)＝X*(k)。DFT的共軛對(duì)稱性（重點(diǎn)）可總結(jié)出DFT的共軛對(duì)稱性質(zhì)：如果序列x(n)的DFT為X(k)，則x(n)的實(shí)部和虛部（包括j）的DFT分別為X(k)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量；而x(n)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量的DFT分別為X(k)的實(shí)部和虛部乘以j。3.4頻域采樣定理離散傅里葉變換相當(dāng)于信號(hào)傅里葉變換的等間隔采樣，也就是說(shuō)實(shí)現(xiàn)了頻域的采樣，便于計(jì)算機(jī)計(jì)算。那么是否任一序列都能用頻域采樣的方法去逼近呢？這是一個(gè)很吸引人的問(wèn)題。我們考慮一個(gè)任意的絕對(duì)可和的序列x(n)，它的z變換為如果對(duì)X(z)單位圓上進(jìn)行等距離采樣現(xiàn)在要問(wèn)，這樣采樣以后，信息有沒(méi)有損失？或者說(shuō)，采樣后所獲得的有限長(zhǎng)序列xN(n)能不能代表原序列x(n)。為了弄清這個(gè)問(wèn)題，我們從周期序列開(kāi)始第36頁(yè)共60頁(yè)由于所以也即是原非周期序列x(n)的周期延拓序列，其時(shí)域周期為頻域采樣點(diǎn)數(shù)N。在第一章我們看到，時(shí)域的采樣造成頻域的周期延拓，這里又對(duì)稱的看到，頻域采樣同樣造成時(shí)域的周期延拓。因此，如果序列x(n)不是有限長(zhǎng)的，則時(shí)域周期延拓時(shí)，必然造成混疊現(xiàn)象，因而一定會(huì)產(chǎn)生誤差。對(duì)于長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N大于或等于序列長(zhǎng)度M時(shí)，才有即可由頻域采樣值X(k)恢復(fù)出原序列x(n)，否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象，這就是所謂的頻域采樣定理。（重點(diǎn)）1zNN1X(k)X(z)1Wkz1內(nèi)插公式：Nk0N3.5DFT的應(yīng)用舉例1.用DFT計(jì)算線性卷積(重點(diǎn))用循環(huán)（周期）卷積計(jì)算有限長(zhǎng)序列的線性卷積(重點(diǎn))對(duì)周期要求：NN1N21（N1、N2分別為兩個(gè)序列的長(zhǎng)度）(記住!!)2.用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問(wèn)題(重點(diǎn))（1）混疊現(xiàn)象利用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換，為避免混疊失真，按照抽樣定理的要求，采樣頻率至少是信號(hào)最高頻率的兩倍。解決混疊問(wèn)題的唯一方法是保證采樣頻率足夠高。（2）截?cái)嘈?yīng)任何帶限信號(hào)都是非時(shí)限的，任何時(shí)限信號(hào)都是非帶限的。實(shí)際問(wèn)題中遇到的離散時(shí)間序列可能是非時(shí)限的、無(wú)限長(zhǎng)序列，在對(duì)該序列利用DFT進(jìn)行處理時(shí)，由于作DFT的點(diǎn)數(shù)總是有限的，因此就有一個(gè)必須將該序列截?cái)嗟膯?wèn)題。序列截?cái)嗟倪^(guò)程相當(dāng)于給該序列乘上一個(gè)矩形窗口函數(shù)RN(n)。如果原來(lái)序列的頻譜為，矩形窗函數(shù)的頻譜為，則截?cái)嗪笥邢揲L(zhǎng)序列的頻譜為第37頁(yè)共60頁(yè)截?cái)嗪笮蛄械念l譜與原序列頻譜必然有差別，這種差別對(duì)譜分析的影響主要表現(xiàn)在如下兩個(gè)方面：①頻譜泄露：由于矩形窗函數(shù)頻譜的引入，使卷積后的頻譜被展寬了，即的頻譜“泄露”到其它頻率處，稱為頻譜泄露。在進(jìn)行DFT時(shí)，由于取無(wú)限個(gè)數(shù)據(jù)是不可能的，所以序列的時(shí)域截?cái)嗍潜厝坏?，泄露是難以避免的。為了盡量減少泄露的影響，截?cái)鄷r(shí)要根據(jù)具體的情況，選擇適當(dāng)形狀的窗函數(shù)，如漢寧窗或漢明窗等。②譜間干擾。在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾(簡(jiǎn)稱譜間干擾)，特別是強(qiáng)信號(hào)譜的旁瓣可能湮沒(méi)弱信號(hào)的主譜線，或者把強(qiáng)信號(hào)譜的旁瓣誤認(rèn)為是另一頻率的信號(hào)的譜線，從而造成假信號(hào)，這樣就會(huì)使譜分析產(chǎn)生較大偏差。（3）柵欄效應(yīng)由于DFT是有限長(zhǎng)序列的頻譜等間隔采樣所得到的樣本值，這就相當(dāng)于透過(guò)一個(gè)柵欄去觀察原來(lái)信號(hào)的頻譜，因此必然有一些地方被柵欄所遮擋，這些被遮擋的部分就是未被采樣到的部分，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)。由于柵欄效應(yīng)總是存在的，因而可能會(huì)使信號(hào)頻率中某些較大的頻率分量由于被“遮擋”而無(wú)法得到反映。此時(shí)，通常在有限長(zhǎng)序列的尾部增補(bǔ)若干個(gè)零值，借以改變?cè)蛄械拈L(zhǎng)度。這樣對(duì)加長(zhǎng)的序列作DFT時(shí)，由于點(diǎn)數(shù)增加就相當(dāng)于調(diào)整了原來(lái)柵欄的間隙，可以使原來(lái)得不到反映的那些較大的頻率分量落在采樣點(diǎn)上而得到反映。產(chǎn)生原因說(shuō)明：由傅里葉變換理論知道，若信號(hào)持續(xù)時(shí)間有限長(zhǎng)，則其頻譜無(wú)限寬；若信號(hào)的頻譜有限寬，則其持續(xù)時(shí)間必然為無(wú)限長(zhǎng)。(重點(diǎn))如果用DFT分析連續(xù)信號(hào)的頻譜，在對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣時(shí)，無(wú)法滿足采樣定理，那么就會(huì)出現(xiàn)頻譜混疊現(xiàn)象。解決混疊問(wèn)題的唯一方法是保證采樣頻率足夠高。當(dāng)連續(xù)信號(hào)無(wú)限長(zhǎng)或很長(zhǎng)時(shí)，在對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣時(shí)，采樣點(diǎn)數(shù)太多以致無(wú)法存儲(chǔ)和計(jì)算，需要將信號(hào)截?cái)啵@樣將導(dǎo)致頻譜的泄漏現(xiàn)象。為了盡量減少泄露的影響，截?cái)鄷r(shí)要根據(jù)具體的情況，選擇適當(dāng)形狀的窗函數(shù)，如漢寧窗或漢明窗等。用DFT計(jì)算連續(xù)信號(hào)的頻譜只能得到采樣點(diǎn)上的頻譜，而不能看到整個(gè)頻譜，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)?？梢酝ㄟ^(guò)增加點(diǎn)數(shù)，因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)增加就相當(dāng)于調(diào)整了原來(lái)柵欄的間隙，可以使原來(lái)得不到反映的那些較大的頻率分量落在采樣點(diǎn)上而得到反映。3.用DFT進(jìn)行譜分析的參數(shù)選擇問(wèn)題(重點(diǎn))對(duì)模擬信號(hào)頻譜的采樣間隔，稱之為頻率分辨率。（1）在已知信號(hào)的最高頻率fc(即譜分析范圍)時(shí)，為了避免頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣頻率Fs滿足：Fs>2fc。（2）采樣頻率Fs，采樣點(diǎn)數(shù)N，譜分辨率F=Fs/N，如果保持采樣點(diǎn)數(shù)N不變，要提高頻譜分辨率(減小F)，就必須降低采樣頻率，采樣頻率的降低會(huì)引起譜分析范圍變窄和頻譜混疊失真。如維持Fs不變，為提高頻率分辨率可以增加采樣點(diǎn)數(shù)N。因?yàn)镹T=Tp，T=Fs-1，只有增加對(duì)信號(hào)的觀察時(shí)間Tp，才能增加N。3）采樣點(diǎn)數(shù)N>2fc/F4）最小記錄時(shí)間Tp≥1/F例：用DFT對(duì)實(shí)信號(hào)進(jìn)行譜分析，要求頻率分辨率F50Hz，信號(hào)最高頻率為fmax1000Hz，試確定以下參數(shù)：（1）最小記錄時(shí)間；（2）最大取樣間隔；（3）最少采樣點(diǎn)數(shù)；（4）若要求頻率分辨率提高一倍，求最少采樣點(diǎn)數(shù)。（重點(diǎn)）Tpmin10.02s解（1）Fmax第38頁(yè)共60頁(yè)Tmax10.5ms（2）2fmaxNmin2fmaxTpmin40（3）FmaxTmaxNmin2fmax200080（4）Fmax25簡(jiǎn)答題：（重點(diǎn)）一個(gè)序列的DFT與序列的傅里葉變換之間的關(guān)系是什么？2.序列的DTFT和序列的z變換間的關(guān)系是什么？序列的DFT和序列的Z變換間的關(guān)系是什么？有限長(zhǎng)序列x(n)的長(zhǎng)度為M，對(duì)其進(jìn)行頻域采樣，不失真的條件是什么？?jī)蓚€(gè)有限長(zhǎng)序列x1(n),0nM，x2(n),0nN，對(duì)它們進(jìn)行線性卷積，結(jié)果用y(n)表示，y(n)的長(zhǎng)度是多少？如果進(jìn)行循環(huán)卷積，那么什么時(shí)候線性卷積和循環(huán)卷積的結(jié)果相等？用DFT進(jìn)行譜分析帶來(lái)哪些誤差問(wèn)題？采取什么措施可以減少這些誤差？時(shí)域采樣定理的要點(diǎn)是什么？頻域采樣定理的要點(diǎn)是什么？第39頁(yè)共60頁(yè)第四章：快速傅里葉變換并不是一種新的變換，它是離散傅里葉變換的一種快速算法。4.1直接計(jì)算DFT的問(wèn)題及改進(jìn)的途徑直接計(jì)算DFT，需要次復(fù)數(shù)乘法，次復(fù)數(shù)加法。直接計(jì)算離散傅里葉變換，由于計(jì)算量近似正比于N2，顯然對(duì)于很大的N值，直接計(jì)算離散傅里葉變換要求的算術(shù)運(yùn)算量非常大。(重點(diǎn))我們可以利用系數(shù)WNnk的特性來(lái)改善離散傅里葉變換的計(jì)算效率。1）的對(duì)稱性2）的周期性利用的對(duì)稱性和周期性，將大點(diǎn)數(shù)的DFT分解成若干個(gè)小點(diǎn)數(shù)的DFT，F(xiàn)FT正是基于這個(gè)基本思路發(fā)展起來(lái)的。(重點(diǎn))說(shuō)明：快速傅里葉變換FFT(FastFourierTransform)分類：按時(shí)間抽?。―IT）算法和按頻率抽?。―IF）算法。第40頁(yè)共60頁(yè)4.2基2FFT的算法原理和FFT運(yùn)算特點(diǎn)1）數(shù)據(jù)要求：N2M2）計(jì)算效率（乘法運(yùn)算次數(shù)：1NM，加法計(jì)算次數(shù)：NM）（復(fù)數(shù)運(yùn)算）2（DFT運(yùn)算：乘法運(yùn)算次數(shù)：N2，加法計(jì)算次數(shù)：N2）（復(fù)數(shù)運(yùn)算）對(duì)于算法原理，要求能夠看懂分解流圖。1時(shí)域抽取法如下：（DecimationInTime,DIT–FFT）設(shè)序列x(n)長(zhǎng)度為N，且滿足N=2M，M為正整數(shù)。按n的奇偶把x(n)分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的子序列：x(2r)x1(r)rN10,1,L,2,Nx(2r1)x2(r)r0,1,L12則x(n)的DFT為NN1N1122X(k)DFT[x(n)]x(n)WNnkx(2r)WN2rkx(2r1)WN(2r1)kn0r0r0N1N122x1(r)WN2rkWNkx2(r)WN2rkr0r0N1N122x1(r)WNrk/2WNkx2(r)WNrk/2r0r0X1(k)WNkX2(k)所以X(k)X1(k)WNkX2(k)k0,1,N/21N1N1X1(k)2x1(r)WNrk/22x1(r)WNrk/2DFT[x1(r)]N/2r0r0N1N1X2(k)2x2(r)WNrk/22x2(r)WNrk/2DFT[x2(r)]N/2r0r0將X(k)又可以寫(xiě)為X(k)X1(k)WNkX2(k)k0,1,L,N12XkNX1(k)WNkX2(k)k0,1,L,N122第41頁(yè)共60頁(yè)上式將N點(diǎn)DFT分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT運(yùn)算，運(yùn)算過(guò)程如下圖示利用蝶形運(yùn)算求解。運(yùn)算量：由按時(shí)間抽取的FFT流圖可見(jiàn)：每級(jí)都由N/2個(gè)蝶形單元構(gòu)成，因此每級(jí)都需要N/2次復(fù)數(shù)乘法和N次復(fù)數(shù)加法。這樣，M級(jí)運(yùn)算共需要：mFNMNlog2N復(fù)數(shù)乘法：22復(fù)數(shù)加法：aFNMNlog2N而直接計(jì)算DFT需要：復(fù)數(shù)乘法：N2復(fù)數(shù)加法：N(N1)以乘法為例，對(duì)FFT算法與直接DFT算法的運(yùn)算量進(jìn)行比較：NN2Nlog2NN2/(Nlog2N)22864125.41281638444836.6102410485765120204.8可以看出：當(dāng)N越大時(shí)，F(xiàn)FT算法的優(yōu)越性越突出。DIT-FFT算法與DFT運(yùn)算量的比較直接計(jì)算DFT與FFT算法的計(jì)算量之比為N22NN越大，F(xiàn)FT的優(yōu)點(diǎn)越為明顯Nlog2N2Nlog2說(shuō)明：掌握給定點(diǎn)數(shù)的基2DIT-FFT蝶形圖8點(diǎn)DFT的完整FFT流圖：第42頁(yè)共60頁(yè)2頻域抽樣法（DecimationInFrequency,DIF–FFT）將長(zhǎng)度為N=2M的序列x(n)前后對(duì)半分開(kāi),其N點(diǎn)DFT可表示為N1N12N1X(k)x(n)WNnkx(n)WNnkx(n)WNnkn0n0Nn2N1N1NN22nkx(n)WNnkxnWN2n0n02N12NWNNk/2WNnkx(n)xnk0,1,,N1n02按k的奇偶可將X(k)分為兩部分取偶數(shù)時(shí)N12Nr0,1,L,NWN2nrX(2r)x(n)xn1n022N12Nx(n)xnWNnr/2n02k取奇數(shù)時(shí)X(2r1)N12x(n)n0

N1NWNn(2r1)r0,1,L,N12x(n)xnn022xnNWnWnr2NN/2N/21x1(n)x(n)xnNX(2r)rn2x1(n)WN/2令得到n0NN/21WNnx2(n)x(n)xnX(2r1)x2(n)WNrn/22n0注：DIT—FFT與DIF—FFT特點(diǎn)比較(重點(diǎn))第43頁(yè)共60頁(yè)相同之處：1）DIF與DIT兩種算