中考數(shù)學(xué)真題 解析版

2021年遼寧省本溪市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．﹣5的相反數(shù)是（）A． B． C．﹣5 D．52．下列漂亮的圖案中似乎包含了一些曲線，其實(shí)它們這種神韻是由多條線段呈現(xiàn)出來的，這些圖案中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．下列運(yùn)算正確的是（）A．x2?x＝2x2 B．（xy3）2＝x2y6 C．x6÷x3＝x2 D．x2+x＝x34．如圖，該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．5．下表是有關(guān)企業(yè)和世界衛(wèi)生組織統(tǒng)計(jì)的5種新冠疫苗的有效率，則這5種疫苗有效率的中位數(shù)是（）疫苗名稱克爾來福阿斯利康莫德納輝瑞衛(wèi)星V有效率79%76%95%95%92%A．79% B．92% C．95% D．76%6．反比例函數(shù)y＝的圖象分別位于第二、四象限，則直線y＝kx+k不經(jīng)過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．如圖為本溪、遼陽(yáng)6月1日至5日最低氣溫的折線統(tǒng)計(jì)圖，由此可知本溪，遼陽(yáng)兩地這5天最低氣溫波動(dòng)情況是（）A．本溪波動(dòng)大 B．遼陽(yáng)波動(dòng)大 C．本溪、遼陽(yáng)波動(dòng)一樣 D．無法比較8．一副三角板如圖所示擺放，若∠1＝80°，則∠2的度數(shù)是（）A．80° B．95° C．100° D．110°9．如圖，在△ABC中，AB＝BC，由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線BD與AC交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF，若BE＝AC＝2，則△CEF的周長(zhǎng)為（）A．+1 B．+3 C．+1 D．410．如圖，在矩形ABCD中，BC＝1，∠ADB＝60°，動(dòng)點(diǎn)P沿折線AD→DB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q沿折線DB→BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)P，Q在矩形邊上的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)P，Q在矩形對(duì)角線上的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△PBQ的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．二、填空題（本題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分）11．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．12．分解因式：2x2﹣4x+2＝．13．有5張看上去無差別的卡片，上面分別寫著﹣，﹣1，0，，2．從中隨機(jī)抽取一張，則抽出卡片上寫的數(shù)是的概率為．14．若關(guān)于x的一元二次方程3x2﹣2x﹣k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為．15．為了弘揚(yáng)我國(guó)書法藝術(shù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的書寫能力，某校舉辦了書法比賽，學(xué)校準(zhǔn)備為獲獎(jiǎng)同學(xué)頒獎(jiǎng)．在購(gòu)買獎(jiǎng)品時(shí)發(fā)現(xiàn)，A種獎(jiǎng)品的單價(jià)比B種獎(jiǎng)品的單價(jià)多10元，用300元購(gòu)買A種獎(jiǎng)品的數(shù)量與用240元購(gòu)買B種獎(jiǎng)品的數(shù)量相同．設(shè)B種獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元，則可列分式方程為．16．如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D，則tan∠ADC＝．17．如圖，AB是半圓的直徑，C為半圓的中點(diǎn)，A（2，0），B（0，1），反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為．18．如圖，將正方形紙片ABCD沿PQ折疊，使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)E落在邊AB上，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，EF交AD于點(diǎn)G，連接CG交PQ于點(diǎn)H，連接CE．下列四個(gè)結(jié)論中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四邊形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ?GD，正確的是（填序號(hào)即可）．三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）19．（10分）先化簡(jiǎn)，再求值：÷（1+），其中a＝2sin30°+3．20．（12分）為迎接建黨100周年，某校組織學(xué)生開展了黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．競(jìng)賽項(xiàng)目有：A．回顧重要事件；B．列舉革命先烈；C．講述英雄故事；D．歌頌時(shí)代精神．學(xué)校要求學(xué)生全員參加且每人只能參加一項(xiàng)，為了解學(xué)生參加競(jìng)賽情況，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生共有名；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中“B項(xiàng)目”所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為，并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）從本次被調(diào)查的小華、小光、小艷、小萍這四名學(xué)生中，隨機(jī)抽出2名同學(xué)去做宣講員，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好小華和小艷被抽中的概率．四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）21．（12分）某班計(jì)劃購(gòu)買兩種畢業(yè)紀(jì)念冊(cè)，已知購(gòu)買1本手繪紀(jì)念冊(cè)和4本圖片紀(jì)念冊(cè)共需135元，購(gòu)買5本手繪紀(jì)念冊(cè)和2本圖片紀(jì)念冊(cè)共需225元．（1）求每本手繪紀(jì)念冊(cè)和每本圖片紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格分別為多少元？（2）該班計(jì)劃購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)和圖片紀(jì)念冊(cè)共40本，總費(fèi)用不超過1100元，那么最多能購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)多少本？22．（12分）如圖，某地政府為解決當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶網(wǎng)絡(luò)銷售農(nóng)特產(chǎn)品物流不暢問題，計(jì)劃打通一條東西方向的隧道AB．無機(jī)從點(diǎn)A的正上方點(diǎn)C，沿正東方向以8m/s的速度飛行15s到達(dá)點(diǎn)D，測(cè)得A的俯角為60°，然后以同樣的速度沿正東方向又飛行50s到達(dá)點(diǎn)E，測(cè)得點(diǎn)B的俯角為37°．（1）求無人機(jī)的高度AC（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求AB的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）五、解答題（滿分12分）23．（12分）某網(wǎng)店銷售一款市場(chǎng)上暢銷的蒸蛋器，進(jìn)價(jià)為每個(gè)40元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，這款蒸蛋器銷售單價(jià)為60元時(shí)，每星期賣出100個(gè)．如果調(diào)整銷售單價(jià)，每漲價(jià)1元，每星期少賣出2個(gè)，現(xiàn)網(wǎng)店決定提價(jià)銷售，設(shè)銷售單價(jià)為x元，每星期銷售量為y個(gè)．（1）請(qǐng)直接寫出y（個(gè)）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)是多少元時(shí)，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤(rùn)是2400元？（3）當(dāng)銷售單價(jià)是多少元時(shí)，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？六、解答題（滿分12分）24．（12分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D，以AD為直徑作⊙O，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使BF＝EF．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的長(zhǎng)．七、解答題（滿分12分）25．（12分）在?ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交對(duì)角線AC于點(diǎn)G，交射線AB于點(diǎn)E，將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得線段EP．（1）如圖1，當(dāng)α＝120°時(shí)，連接AP，請(qǐng)直接寫出線段AP和線段AC的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，過點(diǎn)B作BF⊥EP于點(diǎn)，連接AF，請(qǐng)寫出線段AF，AB，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)α＝120°時(shí)，連接AP，若BE＝AB，請(qǐng)直接寫出△APE與△CDG面積的比值．八、解答題（滿分14分）26．（14分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)C（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），連接AB，BC，點(diǎn)P是拋物線第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，作PF⊥PD于點(diǎn)P，使PF＝OA，以PE，PF為鄰邊作矩形PEGF．當(dāng)矩形PEGF的面積是△BOC面積的3倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q在直線PD上，若以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q縱坐標(biāo)n的取值范圍．

2021年遼寧省本溪市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．﹣5的相反數(shù)是（）A． B． C．﹣5 D．5【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得答案．【解答】解：﹣5的相反數(shù)是5．故選：D．2．下列漂亮的圖案中似乎包含了一些曲線，其實(shí)它們這種神韻是由多條線段呈現(xiàn)出來的，這些圖案中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【解答】解：A．既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；B．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．故選：A．3．下列運(yùn)算正確的是（）A．x2?x＝2x2 B．（xy3）2＝x2y6 C．x6÷x3＝x2 D．x2+x＝x3【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算，從而作出判斷．【解答】解：A．x2?x＝x3，故此選項(xiàng)不符合題意；B．（xy3）2＝x2y6，計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；C．x6÷x3＝x3，故此選項(xiàng)不符合題意；D．x2，x不是同類項(xiàng)，不能合并計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．4．如圖，該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)左視圖的意義，從左面看該幾何體所得到的圖形即可，注意能看見的輪廓線用實(shí)線表示，看不見的輪廓線用虛線表示．【解答】解：從左面看該幾何體所得到的圖形是一個(gè)長(zhǎng)方形，被擋住的棱用虛線表示，圖形如下：故選：D．5．下表是有關(guān)企業(yè)和世界衛(wèi)生組織統(tǒng)計(jì)的5種新冠疫苗的有效率，則這5種疫苗有效率的中位數(shù)是（）疫苗名稱克爾來福阿斯利康莫德納輝瑞衛(wèi)星V有效率79%76%95%95%92%A．79% B．92% C．95% D．76%【分析】找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)（或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）為中位數(shù)．【解答】解：從小到大排列此數(shù)據(jù)為：76%、79%、92%、95%、95%，92%處在第3位為中位數(shù)．故選：B．6．反比例函數(shù)y＝的圖象分別位于第二、四象限，則直線y＝kx+k不經(jīng)過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過第二、四象限可判斷出k的符號(hào)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象分別位于第二、四象限，∴k＜0，∴一次函數(shù)y＝kx+k的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，即不經(jīng)過第一象限．故選：A．7．如圖為本溪、遼陽(yáng)6月1日至5日最低氣溫的折線統(tǒng)計(jì)圖，由此可知本溪，遼陽(yáng)兩地這5天最低氣溫波動(dòng)情況是（）A．本溪波動(dòng)大 B．遼陽(yáng)波動(dòng)大 C．本溪、遼陽(yáng)波動(dòng)一樣 D．無法比較【分析】利用方差的定義列式計(jì)算，再比較大小，從而根據(jù)方差的意義得出答案．【解答】解：本溪6月1日至5日最低氣溫的平均數(shù)為＝12.8（℃），遼陽(yáng)6月1日至5日最低氣溫的平均數(shù)為＝13.8（℃）；本溪6月1日至5日最低氣溫的方差S12＝×[（12﹣12.8）2×3+（15﹣12.8）2+（13﹣12.8）2]＝1.36，遼陽(yáng)6月1日至5日最低氣溫的方差S22＝×[（13﹣13.8）2×3+（16﹣13.8）2+（14﹣13.8）2]＝1.36，∵S12＝S22，∴本溪、遼陽(yáng)波動(dòng)一樣．故選：C．8．一副三角板如圖所示擺放，若∠1＝80°，則∠2的度數(shù)是（）A．80° B．95° C．100° D．110°【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠5，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠3，根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠4，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：如圖，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°，∴∠4＝∠3＝35°，∴∠2＝∠4+∠5＝95°，故選：B．9．如圖，在△ABC中，AB＝BC，由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線BD與AC交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF，若BE＝AC＝2，則△CEF的周長(zhǎng)為（）A．+1 B．+3 C．+1 D．4【分析】由題意得BE是∠ABC的平分線，再由等腰三角形的性質(zhì)得BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，由勾股定理得BC＝，然后由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得EF＝BC＝BF＝CF，求解即可．【解答】解：由圖中的尺規(guī)作圖得：BE是∠ABC的平分線，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，∴∠AEC＝90°，∴BC＝＝＝，∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴EF＝BC＝BF＝CF，∴△CEF的周長(zhǎng)＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，故選：C．10．如圖，在矩形ABCD中，BC＝1，∠ADB＝60°，動(dòng)點(diǎn)P沿折線AD→DB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q沿折線DB→BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)P，Q在矩形邊上的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)P，Q在矩形對(duì)角線上的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△PBQ的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【分析】分別求出點(diǎn)P在AD，BD上，利用三角形面積公式構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠CDB＝30°，∴BD＝2AD＝2，當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，S＝?（2﹣2t）?（1﹣t）?sin60°＝（1﹣t）2（0＜t＜1），當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，S＝（4﹣2t）?（t﹣1）＝﹣t2+t﹣（1＜t≤2），觀察圖象可知，選項(xiàng)D滿足條件，故選：D．二、填空題（本題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分）11．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是x≤2．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由題意得，2﹣x≥0，解得，x≤2，故答案為：x≤2．12．分解因式：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【分析】先提取公因數(shù)2，再利用完全平方公式進(jìn)行二次分解．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．【解答】解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．13．有5張看上去無差別的卡片，上面分別寫著﹣，﹣1，0，，2．從中隨機(jī)抽取一張，則抽出卡片上寫的數(shù)是的概率為．【分析】根據(jù)概率公式即可求解．【解答】解：∵有5張看上去無差別的卡片，上面分別寫著﹣，﹣1，0，，2，∴從中隨機(jī)抽取一張，抽出卡片上寫的數(shù)是的概率為1÷5＝．故答案為：．14．若關(guān)于x的一元二次方程3x2﹣2x﹣k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為．【分析】利用判別式的意義得到△＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣k）＝0，然后解關(guān)于k的方程即可．【解答】解：∵一元二次方程3x2﹣2x﹣k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣k）＝0，解得k＝．故答案為．15．為了弘揚(yáng)我國(guó)書法藝術(shù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的書寫能力，某校舉辦了書法比賽，學(xué)校準(zhǔn)備為獲獎(jiǎng)同學(xué)頒獎(jiǎng)．在購(gòu)買獎(jiǎng)品時(shí)發(fā)現(xiàn)，A種獎(jiǎng)品的單價(jià)比B種獎(jiǎng)品的單價(jià)多10元，用300元購(gòu)買A種獎(jiǎng)品的數(shù)量與用240元購(gòu)買B種獎(jiǎng)品的數(shù)量相同．設(shè)B種獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元，則可列分式方程為＝．【分析】設(shè)B種獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元，則A種獎(jiǎng)品的單價(jià)是（x+10）元，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用300元購(gòu)買A種獎(jiǎng)品的數(shù)量與用240元購(gòu)買B種獎(jiǎng)品的數(shù)量相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【解答】解：設(shè)B種獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元，則A種獎(jiǎng)品的單價(jià)是（x+10）元，依題意得：＝．故答案為：＝．16．如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D，則tan∠ADC＝．【分析】先利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，∠ADC＝∠ABC，再利用正切的定義得到tan∠ABC＝，從而得到tan∠ADC的值．【解答】解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝，∵∠ADC＝∠ABC，∴tan∠ADC＝．故答案為．17．如圖，AB是半圓的直徑，C為半圓的中點(diǎn)，A（2，0），B（0，1），反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為．【分析】設(shè)半圓圓心為D，連接DC，過C作CG⊥OA于G，交AB于E，先求出tan∠BAO＝＝，cos∠BAO＝＝，sin∠BAO＝＝，Rt△CDE中，tanC＝，cosC＝，求出DE＝，CE＝，AE＝，Rt△AGE中，sin∠BAO＝，cos∠BAO＝，可得GE＝，AG＝，即得C（，），把C（，）代入y＝得k＝．【解答】解：設(shè)半圓圓心為D，連接DC，過C作CG⊥OA于G，交AB于E，如圖：∵A（2，0），B（0，1），∴AB＝，DA＝DC＝，∴tan∠BAO＝＝，cos∠BAO＝＝，sin∠BAO＝＝，∵C為半圓的中點(diǎn)，∴∠CDE＝∠EGA＝90°，又∠CED＝∠AEG，∴∠C＝∠BAO，Rt△CDE中，tanC＝，cosC＝，∴＝，＝，∴DE＝，CE＝，∴AE＝AD﹣DE＝，Rt△AGE中，sin∠BAO＝，cos∠BAO＝，∴＝，＝，∴GE＝，AG＝，∴OG＝OA﹣AG＝，CG＝CE+GE＝，∴C（，），把C（，）代入y＝得k＝，故答案為：．18．如圖，將正方形紙片ABCD沿PQ折疊，使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)E落在邊AB上，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，EF交AD于點(diǎn)G，連接CG交PQ于點(diǎn)H，連接CE．下列四個(gè)結(jié)論中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四邊形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ?GD，正確的是①③④（填序號(hào)即可）．【分析】①利用有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行判定即可；②過點(diǎn)C作CM⊥EG于M，通過證明△BEC≌△MEC，進(jìn)而說明△CMG≌△CDG，可得S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四邊形CDQH，可得②不正確；③由折疊可得：∠GEC＝∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC＝∠DCE，結(jié)論③成立；④連接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，所以∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，由于EC⊥HP，則∠CHP＝45°，由折疊可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，則EH⊥CG；利用勾股定理可得EG2﹣EH2＝GH2；由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC＝∠EHC＝90°，所以E，M，H，C四點(diǎn)共圓，所以∠HMC＝∠HEC＝45°，通過△CMH≌△CDH，可得∠CDH＝∠CMH＝45°，這樣，∠GDH＝45°，因?yàn)椤螱HQ＝∠CHP＝45°，易證△GHQ∽△GDH，則得GH2＝GQ?GD，從而說明④成立．【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．由折疊可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．∴∠BEP+∠AEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠BEP＝∠AGE．∵∠FGQ＝∠AGE，∴∠BEP＝∠FGQ．∵∠B＝∠F＝90°，∴△PBE～△QFG．故①正確；②過點(diǎn)C作CM⊥EG于M，由折疊可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，在△BEC和△MEC中，，∴△BEC≌△MEC（AAS）．∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．∵CG＝CG，∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），∴S△CMG＝S△CDG，∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四邊形CDQH，∴②不正確；③由折疊可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，即EC平分∠BEG．∴③正確；④連接DH，MH，HE，如圖，∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，∵EC⊥HP，∴∠CHP＝45°．∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．由折疊可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，∴EH⊥CG．∴EG2﹣EH2＝GH2．由折疊可知：EH＝CH．∴EG2﹣CH2＝GH2．∵CM⊥EG，EH⊥CG，∴∠EMC＝∠EHC＝90°，∴E，M，H，C四點(diǎn)共圓，∴∠HMC＝∠HEC＝45°．在△CMH和△CDH中，，∴△CMH≌△CDH（SAS）．∴∠CDH＝∠CMH＝45°，∵∠CDA＝90°，∴∠GDH＝45°，∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．∵∠HGQ＝∠DGH，∴△GHQ∽△GDH，∴．∴GH2＝GQ?GD．∴GE2﹣CH2＝GQ?GD．∴④正確；綜上可得，正確的結(jié)論有：①③④．故答案為：①③④．三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）19．（10分）先化簡(jiǎn)，再求值：÷（1+），其中a＝2sin30°+3．【分析】根據(jù)分式的加法和除法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將a的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【解答】解：÷（1+）＝÷＝＝，當(dāng)a＝2sin30°+3＝2×+3＝1+3＝4時(shí)，原式＝＝2．20．（12分）為迎接建黨100周年，某校組織學(xué)生開展了黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．競(jìng)賽項(xiàng)目有：A．回顧重要事件；B．列舉革命先烈；C．講述英雄故事；D．歌頌時(shí)代精神．學(xué)校要求學(xué)生全員參加且每人只能參加一項(xiàng)，為了解學(xué)生參加競(jìng)賽情況，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生共有60名；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中“B項(xiàng)目”所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為90°，并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）從本次被調(diào)查的小華、小光、小艷、小萍這四名學(xué)生中，隨機(jī)抽出2名同學(xué)去做宣講員，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好小華和小艷被抽中的概率．【分析】（1）根據(jù)A項(xiàng)目的人數(shù)和所占的百分比求出總?cè)藬?shù)；（2）用總?cè)藬?shù)減去其它項(xiàng)目的人數(shù)，求出B項(xiàng)目的人數(shù)，再用360°乘以“B項(xiàng)目”所占的百分比即可得出“B項(xiàng)目”所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)，最后補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）根據(jù)題意列出圖表得出所有等可能的情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生共有：9÷15%＝60（名）；（2）B項(xiàng)目的人數(shù)有：60﹣9﹣12﹣24＝15（人），圖中“B項(xiàng)目”所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為：360°×＝90°；補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：（3）根據(jù)題意列表如下：小華小光小艷小萍小華（小光，小華）（小艷，小華）（小萍，小華）小光（小華，小光）（小艷，小光）（小萍，小光）小艷（小華，小艷）（小光，小艷）（小萍，小艷）小萍（小華，小萍）（小光，小萍）（小艷，小萍）由表格可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有12種，并且它們出現(xiàn)的可能性相等，其中恰好小華和小艷被抽中的情況有2種．則恰好小華和小艷被抽中的概率是＝．四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）21．（12分）某班計(jì)劃購(gòu)買兩種畢業(yè)紀(jì)念冊(cè)，已知購(gòu)買1本手繪紀(jì)念冊(cè)和4本圖片紀(jì)念冊(cè)共需135元，購(gòu)買5本手繪紀(jì)念冊(cè)和2本圖片紀(jì)念冊(cè)共需225元．（1）求每本手繪紀(jì)念冊(cè)和每本圖片紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格分別為多少元？（2）該班計(jì)劃購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)和圖片紀(jì)念冊(cè)共40本，總費(fèi)用不超過1100元，那么最多能購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)多少本？【分析】（1）設(shè)每本手繪紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為x元，每本圖片紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為y元，根據(jù)“購(gòu)買1本手繪紀(jì)念冊(cè)和4本圖片紀(jì)念冊(cè)共需135元，購(gòu)買5本手繪紀(jì)念冊(cè)和2本圖片紀(jì)念冊(cè)共需225元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)可以購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)m本，則購(gòu)買圖片紀(jì)念冊(cè)（40﹣m）本，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過1100元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)每本手繪紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為x元，每本圖片紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為y元，依題意得：，解得：．答：每本手繪紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為35元，每本圖片紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格為25元．（2）設(shè)可以購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)m本，則購(gòu)買圖片紀(jì)念冊(cè)（40﹣m）本，依題意得：35m+25（40﹣m）≤1100，解得：m≤10．答：最多能購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)10本．22．（12分）如圖，某地政府為解決當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶網(wǎng)絡(luò)銷售農(nóng)特產(chǎn)品物流不暢問題，計(jì)劃打通一條東西方向的隧道AB．無機(jī)從點(diǎn)A的正上方點(diǎn)C，沿正東方向以8m/s的速度飛行15s到達(dá)點(diǎn)D，測(cè)得A的俯角為60°，然后以同樣的速度沿正東方向又飛行50s到達(dá)點(diǎn)E，測(cè)得點(diǎn)B的俯角為37°．（1）求無人機(jī)的高度AC（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求AB的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】（1）利用正切函數(shù)即可求出AC的長(zhǎng)；（2）過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，則四邊形ABFC是矩形，得到BF＝AC＝120，AB＝CF，在△BEF中利用正切函數(shù)即可求得EF，進(jìn)而即可求得AB＝CF＝CE﹣EF＝243米．【解答】解：（1）由題意，CD＝8×15＝120（m），在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，∴AC＝CD?tan∠ADC＝CD?tan60°＝120×＝120（m），答：無人機(jī)的高度AC是120米；（2）過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，則四邊形ABFC是矩形，∴BF＝AC＝120，AB＝CF，在Rt△BEF中，tan∠BEF＝，∴EF＝＝≈276.8（m），∵CE＝8×（15+50）＝520（m），∴AB＝CF＝CE﹣EF＝520﹣276.8＝243（米），答：隨道AB的長(zhǎng)度約為243米．五、解答題（滿分12分）23．（12分）某網(wǎng)店銷售一款市場(chǎng)上暢銷的蒸蛋器，進(jìn)價(jià)為每個(gè)40元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，這款蒸蛋器銷售單價(jià)為60元時(shí)，每星期賣出100個(gè)．如果調(diào)整銷售單價(jià)，每漲價(jià)1元，每星期少賣出2個(gè)，現(xiàn)網(wǎng)店決定提價(jià)銷售，設(shè)銷售單價(jià)為x元，每星期銷售量為y個(gè)．（1）請(qǐng)直接寫出y（個(gè)）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)是多少元時(shí)，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤(rùn)是2400元？（3）當(dāng)銷售單價(jià)是多少元時(shí)，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【分析】（1）依據(jù)每個(gè)星期的銷售利潤(rùn)＝每件的利潤(rùn)×銷售的件數(shù)列方程求解即可；（2）根據(jù)銷售利潤(rùn)為2400元列出關(guān)于x的一元二次方程，從而可求得售價(jià)；（3）利用配方法可求得拋物線的最大值以及此時(shí)自變量的取值．【解答】解：（1）由題意，得：y＝（x﹣40）[100﹣2（x﹣60）]＝﹣2x2+300x﹣8800，∴y＝﹣2x2+300x﹣8800（60≤x≤110）；（2）令y＝2400得：﹣2x2+300x﹣8800＝2400，解得：x＝70或x＝80，答：當(dāng)銷售價(jià)為70元或80元時(shí)，每星期的銷售利潤(rùn)恰為2400元；（3）y＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝75時(shí)，y有最大值，最大值為245元，答：每件定價(jià)為75元時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2450元．六、解答題（滿分12分）24．（12分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D，以AD為直徑作⊙O，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使BF＝EF．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OE，求出OE∥BF推出∠AEO＝90°，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）連接DE，根據(jù)已知條件求出⊙O的直徑AD＝10，在Rt△ADE中，求出DE＝6，cos∠DAE＝，在Rt△ABC中，求出cos∠BAC＝，根據(jù)∠BAC＝∠DAE，求出AB＝5，進(jìn)而得到BE＝13，根據(jù)相似三角形的判定證得△FBE∽△ODE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出BF．【解答】證明（1）連接OE，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠OAE＝∠BAC，∴∠OEA＝∠BAC，∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：連接DE，∵OC＝9，AC＝4，∴OA＝OC﹣AC＝5，∵AD＝2OA，∴AD＝10，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AED＝90°，在Rt△ADE中，∵DE＝＝＝6，∴cos∠DAE＝＝＝，在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴＝，∴AB＝5，∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵EF是⊙O的切線，∴∠FEO＝90°，∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，∴∠FEB＝∠OED，∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，∴△FBE∽△ODE，∴＝，∴＝，∴BF＝．七、解答題（滿分12分）25．（12分）在?ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交對(duì)角線AC于點(diǎn)G，交射線AB于點(diǎn)E，將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得線段EP．（1）如圖1，當(dāng)α＝120°時(shí)，連接AP，請(qǐng)直接寫出線段AP和線段AC的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，過點(diǎn)B作BF⊥EP于點(diǎn)，連接AF，請(qǐng)寫出線段AF，AB，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)α＝120°時(shí)，連接AP，若BE＝AB，請(qǐng)直接寫出△APE與△CDG面積的比值．【分析】（1）如圖1，延長(zhǎng)PE交CD于點(diǎn)F，連接AF，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可證得四邊形ADFE是菱形，進(jìn)而得出△AEF是等邊三角形，再證明△AEP≌△AFC（SAS），即可得出答案；（2）如圖2，連接CF，證明△BCF≌△EAF（SAS），進(jìn)而得出∠AFC＝90°，利用三角函數(shù)可得AC＝＝AF，再運(yùn)用勾股定理即可；（3）設(shè)BE＝a，則PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，如圖3，過點(diǎn)G作GM⊥AD于點(diǎn)M，作GN⊥CD于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作CK⊥AD于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作AH⊥PE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，利用角平分線性質(zhì)得出S△ACD＝AD?CK＝a?2a?sin60°＝a2，S△CDG＝S△ACD＝a2，即可得出答案；②如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得出S△CDG＝?S△ACD＝a2，S△APE＝PH?AE＝a2，即可求出答案．【解答】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)PE交CD于點(diǎn)Q，連接AQ，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，∴PE∥BC∥AD，∴四邊形ADQE和四邊形BCQE是平行四邊形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴四邊形ADQE是菱形，∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，∴△AEQ是等邊三角形，∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，∵四邊形BCQE是平行四邊形，∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，∴∠AEP＝∠AQC，∴△AEP≌△AQC（SAS），∴AP＝AC；（2）AB2+AD2＝2AF2，理由：如圖2，連接CF，在?ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∵BF⊥EP，∴∠BFE＝90°，∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴BF＝EF，∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，∴∠CBF＝∠AEF，∴△BCF≌△EAF（SAS），∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，∴∠ACF＝∠CAF＝45°，∵sin∠ACF＝，∴AC＝＝＝＝AF，在Rt△ABC中，AB