吳持恭水力學(xué)第二章液體運動流束理論

2-4恒定總流的能量方程

連續(xù)性方程說明了流速與過水?dāng)嗝娴年P(guān)系，是運動學(xué)方程；水流能量方程則是從動力學(xué)的觀點討論水流各運動要素之間的關(guān)系，是能量守恒在水流運動中的具體表現(xiàn)。2.4.1理想液體恒定流微小流束的能量方程式今在理想液體恒定流中取一微小流束，并截取1-1和2-2斷面間的ds微分流段來研究。1

根據(jù)牛頓第二定律：作用在ds流段上的外力沿s方向的合力，應(yīng)等于該流段質(zhì)量ρdAds與其加速度的乘積。1-1斷面動水壓力pdA2-2斷面動水壓力(p+dp)dA

2則對微小流束上任意兩個過水?dāng)嗝娌豢蓧嚎s理想液體沿s方向應(yīng)用牛頓第二定律，則有：重力沿s方向分力3

對一元恒定流有：代入可得：將上式沿流程s積分得：4ｚ：液體中某一點處的幾何高度，單位重量液體的位能；：代表單位重量液體的壓能；

：該質(zhì)點所具有的動能。對微小流束上任意兩個過水?dāng)嗝嬗校?該式表明：在不可壓縮理想液體恒定流情況下，微小流束內(nèi)不同的過水?dāng)嗝嫔?，單位重量液體所具有機(jī)械能保持相等（守恒）。該式是由瑞士科學(xué)家伯諾里（Bernoulli）于1738年首先推導(dǎo)出來的。6

2.4.2實際液體恒定流微小流束的能量方程式

理想液體沒有粘滯性無須克服內(nèi)摩擦力而消耗能量，其機(jī)械能保持不變。對實際液體，令單位重量液體從斷面1-1流至斷面2-2損失的能量為h'w。則1-1斷面和2-2斷面能量方程為：上式為不可壓縮實際液體恒定流微小流束的能量方程式。應(yīng)用中需將其對總流過水?dāng)嗝娣e分推廣為總流的能量方程。

72.4.3.1均勻流均勻流：當(dāng)水流的流線為相互平行的直線時，該水流稱為均勻流。2-4-3均勻流與非均勻流8

1．均勻流的過水?dāng)嗝鏋槠矫妫疫^水?dāng)嗝娴男螤詈统叽缪爻滩蛔儭?．均勻流中，同一流線上不同點的流速應(yīng)相等，從而各過水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植枷嗤?，斷面平均流速相等?．均勻流過水?dāng)嗝嫔系膭铀畨簭?qiáng)分布規(guī)律與靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，即在同一過水?dāng)嗝嫔细鼽c測壓管水頭為一常數(shù)。均勻流具有以下特性：9在管道均勻流中任意選擇1-1與2-2兩過水?dāng)嗝妫謩e在兩過水?dāng)嗝嫔涎b上測壓管，則同一斷面上各測壓管水面必上升至同一高度。即，但不同斷面上測壓管水面所上升的高程是不同的。10為證明該特性，今在均勻流過水?dāng)嗝嫔先∫晃⒎种w，其軸線n-n與流線正交，并與鉛垂線呈夾角α。

作用于微分柱體下端動水壓力為：pdA上端動水壓力為:

(p+dp)dA

內(nèi)摩擦力及側(cè)面動水壓力投影為零。柱體自重沿n方向的投影為11N方向無加速度故有：上式表明：均勻流過水?dāng)嗝嫔系膭铀畨簭?qiáng)分布規(guī)律與靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律相同。因此，靜水壓強(qiáng)及靜水總壓力的公式仍然適用。12

2.4.3.2非均勻流

若水流的流線不是相互平行的直線該水流稱為非均勻流按照流線不平行和彎曲的程度，分為漸變流、急變流兩種類型：

1．漸變流

當(dāng)水流的流線雖然不是相互平行直線，但幾乎近于平行直線時稱為漸變流（緩變流）。漸變流的極限情況就是均勻流。

132．急變流

若水流的流線之間夾角很大或者流線的曲率半徑很小，這種水流稱為急變流。注意：漸變流動水壓強(qiáng)服從靜水壓強(qiáng)分布；而急變流動水壓強(qiáng)分布特性復(fù)雜。14

漸變流和急變流判斷

通常邊界近于平行直線時水流往往是漸變流。管道轉(zhuǎn)彎、斷面突然擴(kuò)大或收縮，水工建筑物引起水面突變的水流為急變流。15急變流情況下，過水?dāng)嗝嫔蟿铀畨簭?qiáng)分布特性（a)流線上凸的急變流（b)流線下凹的急變流（a)圖中因n-n線上離心慣性力與重力相反，故動水壓強(qiáng)比靜水壓強(qiáng)?。唬╞）圖中n-n線上離心慣性力與重力方向相同，故動水壓強(qiáng)比靜水壓強(qiáng)大。16判斷：

均勻流過水?dāng)嗝媸且黄矫妫瑵u變流過水?dāng)嗝娼破矫妗?)判斷:

均勻流一定是恒定流，急變流一定是非恒定流。()思考：何謂漸變流，漸變流有哪些重要性質(zhì)？

思考：何謂均勻流及非均勻流？以上分類與過流斷面上流速分布是否均勻有無關(guān)系？172-4-4實際液體恒定總流的能量方程式2.4.4.1實際液體恒定總流能量方程的推導(dǎo)不可壓縮實際液體恒定流微小流束的能量方程為：各項乘以ρgdQ，并分別在總流的兩個過水?dāng)嗝鍭1及A2上積分得：18若過水?dāng)嗝鏋闈u變流，則在斷面上有積分可得：共含有三種類型積分：1．第一類積分19

2．第二類積分因所以：式中為動能修正系數(shù)，流速分布愈均勻，愈接近于1；不均勻分布時，α>1；在漸變流時，一般α=1.05～1.1。為計算簡便起見，通常取α≈1。

20

動能修正系數(shù)是能量方程中一個重要的參數(shù)，計算河道水面線時經(jīng)常遇到。舉例來說，下圖丁壩（一種航道整治建筑物）水槽實驗中，下游水流流速分布復(fù)雜，某些斷面出現(xiàn)倒流，此時動能修正系數(shù)取值需按實驗結(jié)果取值。21

3．第三類積分

假定各個微小流束單位重量液體所損失的能量h'w都用一個平均值hw來代替，則第三類積分變?yōu)椋?/p>

22上式反映了總流中不同過水?dāng)嗝嫔?)值和斷面平均流速v的變化規(guī)律及其相互關(guān)系，是水動力學(xué)中第二個最重要的基本方程。

將三類積分代入能量方程整理得不可壓縮實際液體恒定總流的能量方程：23稱為測壓管水頭。Z代表總流過水?dāng)嗝嫔蠁挝恢亓恳后w所具有的平均位能，一般稱為位置水頭。2.4.4.2實際液體恒定總流能量方程的圖示實際液體恒定總流能量方程中共包含了四個物理量。其中：p/ρg

代表過水?dāng)嗝嫔蠁挝恢亓恳后w所具有的平均壓能，反映了過水?dāng)嗝嫔细鼽c平均動水壓強(qiáng)所對應(yīng)的壓強(qiáng)高度（壓強(qiáng)水頭）。24水力學(xué)中，習(xí)慣把單位重量液體所具有總機(jī)械能稱為總水頭，用表示。代表過水?dāng)嗝嫔蠁挝恢亓恳后w所具有的平均動能，一般稱為流速水頭。hw

為單位重量液體從一個過水?dāng)嗝媪髦亮硪粋€過水?dāng)嗝婵朔髯枇ψ鞴λ鶕p失的平均能量，一般稱為水頭損失。25

實際液體總流的總水頭線和測壓管水頭線

因為能量方程中各項都具有長度量綱，因此可用水頭把各項繪制在圖上得到測壓管水頭線和總水頭線如圖。實際液體總流的總水頭線必定是一條逐漸下降的線（直線或曲線）：而測壓管水頭線則可能是下降的線（直線或曲線）也可能是上升的線甚至可能是一條水平線。26對于河渠中的漸變流，其測壓管水頭線就是水面線，如左圖所示。

總水頭線坡度：總水頭線沿流程的降低值與流程長度之比。也稱水力坡度，常用J來表示。27條件：

1．水流必須是恒定流。2．作用于液體上的質(zhì)量力只有重力。3．在所選的兩個過水?dāng)嗝嫔?，水流?yīng)符合漸變流條件，但在所取的兩個斷面之間，水流可以不是漸變流。2.4.4.3應(yīng)用恒定總流能量方程式的條件及注意之點

4.在所取的兩過水?dāng)嗝嬷g，流量保持不變，其間沒有流量加入或分出。28有分支和匯合情況下的能量方程

因總流能量方程中各項都是指單位重量液體的能量，所以在有分支或匯合時，仍可以對每一支水流建立能量方程。29如圖所示兩支會合的水流，從1-1斷面及2-2斷面在單位時間內(nèi)輸入的液體總能量，應(yīng)當(dāng)?shù)扔?-3斷面輸出的總能量加上兩支水流能量損失，即：30

因Q3=Q1+Q2有：31上式若要左端兩項之和等于零，必須是要求各自分別為零，因為根據(jù)其物理意義，它每一項是表示其一支水流的輸入總能量與輸出總能量之差，因此它不可能是一項為正，另一項為負(fù)。即對每一支有：32

注意4點：1．基準(zhǔn)面的選擇是可以任意的，但在計算不同斷面的位置水頭z值時，必須選取同一基準(zhǔn)面。2．能量方程中p/ρg

項，可以用相對壓強(qiáng)，也可以用絕對壓強(qiáng)，但對同一問題必須采用相同的標(biāo)準(zhǔn)。3．在計算過水?dāng)嗝娴臏y壓管水頭值z+p/ρg時，可以選取過水?dāng)嗝嫔先我恻c來計算，以計算方便為宜。對于管道一般可選管軸中心點來計算較為方便，對于明渠一般在自由表面上選一點來計算比較方便。334．不同過水?dāng)嗝嫔系貏幽苄拚禂?shù)α1與α2嚴(yán)格講來是不相等的，且不等于1。實用上對漸變流多數(shù)情況可令α1=α2=1，但在某些特殊情況下，α值需根據(jù)具體情況酌定。342.4.5流程中途有能量輸入或輸出時的能量方程

圖21為抽水管路，由抽水機(jī)向管路加入能量；圖22為電站有壓管路，通過水輪發(fā)動機(jī)將管路水流能量轉(zhuǎn)化成電能輸出。如圖所選1-1和2-2斷面間能量方程可表達(dá)為：35

上式中Ht為1-1至2-2斷面間，通過外加設(shè)備使單位重量液體所獲得或減少的機(jī)械能。當(dāng)為輸入能量時，式中Ht

前符號取“+”號，輸出能量時取“-”號。

1.馬達(dá)和抽水機(jī):

Pp=馬達(dá)功率(瓦)

ηP=總機(jī)械效率

2.水輪機(jī)與發(fā)電機(jī):

Pg=發(fā)電機(jī)出力(瓦)

ηg=總效率36

2.4.6.1畢托管測流速

原理：

彎管前端封閉，側(cè)面孔置于測點A，水面上升高度h1，則A點處水流總能量；同一彎管側(cè)面不開孔，前端開孔，置于A點，受彎管水流阻擋，流速變零，動能全部轉(zhuǎn)化為壓能，故H=h2，則可得:2-4-6能量方程式應(yīng)用舉例37修正原因：

1．兩個小孔的位置不同。2．畢托管放入水流中所產(chǎn)生的擾動影響。

μ稱為畢托管的校正系數(shù)，一般μ

約為0.98~1.0。真正畢托管:將兩根管子納入一根彎管，即將兩個小孔由不同的通道接到兩支測壓管上。38

文丘里是測量管道中流量大小的一種裝置，由兩段錐形管和一段較細(xì)的管子相聯(lián)結(jié)而成。前面部分為收縮段，中間叫喉管，后面部分叫擴(kuò)散段。對1-1和2-2斷面寫總流的能量方程。不計水頭損失有而2.4.6.2文丘里流量計39所以有因此通過文丘里流量計的流量為：式中:水頭損失會促使流量減少，對于這個誤差一般也是用文丘里管修正系數(shù)來改正，實際流量流量系數(shù)μ一般約為0.95～0.9840如果文丘里管流量計上直接安裝水銀差壓計，由差壓計原理有：流量計的流量為：

pApBs41

2.4.6.3孔口恒定出流的計算

在容器側(cè)壁上開孔，液體將從孔中流出，這種水流現(xiàn)象稱為孔口出流。

1．恒定流

當(dāng)容器中水面保持恒定不變，通過孔口的水流則為恒定流。過水?dāng)嗝娴氖湛s：流線只能逐漸彎曲不能拐直角，孔口平面上流線不相互平行，其后流束橫斷面積比孔口面積小。而c-c斷面(距孔口d/2,d-孔徑），該斷面流線彼此平行，稱收縮斷面。42

對斷面1-1：對c-c斷面列能量方程得令，，H：孔口水頭。H0孔口全水頭。行進(jìn)流速水頭。則有：式中φ為流速系數(shù)。43流量為：式中ε為孔口的收縮系數(shù)。μ=εφ為孔口出流的流量系數(shù)。根據(jù)實驗，小孔口的ε=0.63~0.64，φ=0.97~0.98，

μ=0.60～0.62。不同邊界形式的孔口的流速系數(shù)φ、收縮系數(shù)ε或流量系數(shù)μ可參考有關(guān)手冊。44

2．非恒定流

當(dāng)容器上游水位改變時為孔口非恒定流，如水池放空、船閘充水和泄水等。均需計算充水和放水時間。不計行近水頭有，在dt時段內(nèi)從孔口流過的體積為。

同一時段內(nèi)容器內(nèi)水體積的變化量為，兩體積相等，故有：

(a)45（1）若孔口水頭從H1變化到H2，對上式進(jìn)行積分，得所需時間：46（2）當(dāng)H2=0，即放空容器，或使容器充水漲至與上游水位齊平時所需時間：

由此可見變水頭時放空或充滿容器所需的時間是水頭不變的恒定流時放水或充水(同體積)所需時間的2倍。(b)47

2.4.6.4管嘴恒定出流的計算

管嘴出流：若在孔口上連接一段長為（3～4）d的短管（d為孔徑）液體經(jīng)短管而流出的現(xiàn)象。1-1斷面與收縮斷面c-c斷面能量方程為：同樣令則有：48

其中則通過管嘴的流量：在孔口面積相同的情況下，通過管嘴的流量比孔口要大。管嘴的有效水頭多了一項，此項恰為收縮斷面上的真空值。

49

例2-1有一直徑緩慢變化的錐形水管（如圖），1-1斷面處直徑d1為0.15m，中心點A的相對壓強(qiáng)為7.2kPa，2-2斷面處直徑d2為0.3m，中心點B的相對壓強(qiáng)為6.1kPa,斷面平均流速v2為1.5m/s，A、B兩點高差為1米，試判別管中水流方向，并求1、2兩斷面的水頭損失。50

解：首先利用連續(xù)原理求斷面1-1的平均流速。因，故

因水管直徑變化緩慢，1-1及2-2斷面水流可近似看作漸變流，以過A點水平面為基準(zhǔn)面分別計算兩斷面的總能量。51

因，管中水流應(yīng)從A流向B。水頭損失52例2.2如圖在水塔引出的水管末端連接一個消防噴水槍，將水槍置于和水塔液面高差為10米的地方，如水管及噴水槍系統(tǒng)的水頭損失為3米，試問噴水槍所噴出的液體最高能達(dá)到的高度h為多少？（不計在空氣中的能量損失）153解：以噴水槍出口水平面為基準(zhǔn)面，水塔液面為1-1斷面，噴水槍噴出水柱末端為2-2斷面，寫能量方程：1542-5恒定總流的動量方程式

2.5.1恒定總流動量方程的推導(dǎo)

質(zhì)點系運動的動量定律：質(zhì)點系的動量在某一方向的變化，等于作用于該質(zhì)點系上所有外力的沖量在同一方向上投影的代數(shù)和。55今在恒定總流中，取出某一流段來研究。該流段兩端過水?dāng)嗝鏋?-1及2-2。經(jīng)微小時段dt后，設(shè)原流段1-2移至新的位置1`-2`。流段內(nèi)動量的變化應(yīng)等于1`-2`與1-2流段內(nèi)液體的動量P1`-2`和P1-2之差。5657其中動量修正系數(shù)是表示單位時間內(nèi)通過斷面的實際動量與單位時間內(nèi)以相應(yīng)的斷面平均流速通過的動量的比值。常采用β=1.0，因為Q1=Q2=Q，故有：58設(shè)ΣFdt為所有外力沖量的代數(shù)和，于是得恒定總流的動量方程為：在直角坐標(biāo)系中的投影為：59上述動量方程可推廣應(yīng)用于流場中任意選取的封閉體。如圖所示分叉管路，當(dāng)對分叉段水流應(yīng)用動量方程時，可以把沿管壁以及上下游過水?dāng)嗝嫠M成的封閉體作為控制體，此時該封閉體的動量方程為：60

應(yīng)用動量方程式時要注意以下各點：1．動量方程式是向量式，因此，必須首先選定投影軸，標(biāo)明正方向，其選擇以計算方便為宜。2．控制體一般取整個總流的邊界作為控制體邊界，橫向邊界一般都是取過水?dāng)嗝妗?．動量方程式的左端，必須是輸出的動量減去輸入的動量，不可顛倒。

614．對欲求的未知力，可以暫時假定一個方向，若所求得該力的計算值為正，表明原假定方向正確，若所求得的值為負(fù)，表明與原假定方向相反。5．動量方程只能求解一個未知數(shù)，若方程中未知數(shù)多于一個時，必須借助于和其他方程式（如連續(xù)性方程、能量方程）聯(lián)合求解。622-5-2恒定總流動量方程式應(yīng)用舉例2.5.2.1彎管內(nèi)水流對管壁的作用力

彎管中水流為急變流，動水壓強(qiáng)分布規(guī)律和靜水壓強(qiáng)不同，因此不能用靜水壓力的計算方法來計算彎管中液體對管壁的作用力。取如圖所示控制體，作用于控制體上的力包括兩端斷面上的動水壓力，還有管壁對水流的反作用力。63

沿x軸方向動量方程為

因，代入上式可解出64沿z軸動量方程由上式可解出液體對彎管離心力的作用使彎頭有發(fā)生位移的趨勢，同時由于動水壓力的脈動影響可以使管道產(chǎn)生振動，為此在工程大型管道轉(zhuǎn)彎的地方，都設(shè)置有體積較大的鎮(zhèn)墩將彎道加以固定。

65

2.5.2.2水流對溢流壩面的水平總作用力

流經(jīng)圖示溢流壩壩體附近時，流線彎曲較劇烈，故壩面上動水壓強(qiáng)分布也不符合靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律，不能按靜水壓力計算方法來確定壩面上的動水總壓力。66

取如圖所示控制體，并把1-1和2-2斷面取在符合漸變流條件位置。作用在控制體積上的外力在X軸方向上的投影，包括1-1斷面上的動水壓力Fp1；2-2斷面上的動水壓力Fp2；壩體對水流的反作用力FRx，液體的重力在x方向投影為零。67

因，

沿x軸方向動量方程式為：因令，可解出：

68

2.5.2.3射流對垂直固定平面壁的沖擊力

設(shè)從噴嘴中噴出的水流，以速度v0射向一與水流方向垂直的固定平面壁，當(dāng)水流被平面壁阻擋以后，對稱地分開。沿壁面的流速為v，若考慮的流動在一個平面上，則重力不起作用，求此時射流對壁面的沖擊力。寫x方向的動量方程，有：故射流的沖擊力為：69例2-3有一沿鉛垂直立墻壁敷設(shè)的彎管如圖所示，彎頭轉(zhuǎn)角為900，起始斷面1-1與終止斷面2-2間的軸線長度L為3.14m，兩斷面中心高差ΔZ為2m，已知1-1斷面中心處動水壓強(qiáng)p1為117.6kN/m2，兩斷面之間水頭損失hw為0.1m，已知管徑d為0.2m，試求當(dāng)管中通過流量Q為0.06m3/s時，水流對彎頭的作用力。70

解：（1）求管中流速

（2）求2-2斷面中心處動水壓強(qiáng)p2

以2-2斷面為基準(zhǔn)面，對1-1與2-2斷面寫能量方程為

于是

oo71（3）求彎頭內(nèi)水重

（4）計算作用于1-1斷面與2-2斷面上動水總壓力

將hw=0.1m，=117.6kN/m2代入上式可求出：72

（5）對彎頭內(nèi)水流沿x、y方向分別寫動量方程式

令管壁對水體的反作用力在水平和鉛垂方向的分力為FRx及FRy。1）沿X方向動量方程：

73

2）沿y方向動量方程：74管壁對水流的總作用力:

令反作用力FR與水平軸x的夾角為θ，則

水流對管壁的作用力與FR大小相等，方向相反。752-6量綱分析與π定理

解決水力學(xué)問題時僅靠三大基本方程是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要借助其它科學(xué)試驗的手段。在研究某些水流運動規(guī)律過程中量綱分析常?？山o予很大的幫助。2.6.1量綱分析的基本概念

物理量的量綱又可分為基本量綱和導(dǎo)出量綱兩類。長度[L]、時間[T]、質(zhì)量[M]這三個量綱屬于基本量綱，流速的量綱[L/T]屬于導(dǎo)出量綱。

761．物理方程中各項的量綱應(yīng)當(dāng)相同。稱為量綱和諧性（或齊次性）。

如能量方程各項都具長度量綱2．任一有量綱的物理方程可以改寫為量綱一的項組成的方程而不會改變物理過程的規(guī)律性。

比如能量方程除以某一水頭H，就變成各項量綱一組成的方程。物理方程中各項物理量的量綱之間存在著下列規(guī)律性：772.6.2量綱分析的基本定理——π定理

任何一個物理過程，包含有k＋1個有量綱的物理量，如果選擇其中m個作為基本物理量，那么該物理過程可以由[（k+1）－m]個無量綱數(shù)所組成的關(guān)系式來描述。因為這些無量綱數(shù)是用π來表示，故稱為π定理。π定理又稱布金漢(Buckingham)定理。78設(shè)某物理過程含有k+1個物理量（一個因變量，k個自變量），由于不知道其具體表達(dá)式，可以寫成如下的一般形式：N=f(N1,N2,N3,…,Nk)(2.80)則各物理量之間