數(shù)列通項(xiàng)公式求法集錦

數(shù)列通項(xiàng)公式的求法集形如anan1f

(n=2、3、4…...)f(1f(2f(n1例 在數(shù)列{

a1=anan1n

(n=2、3、4……)，求

aa a4a3anan1n

n-ana112（n-1=

n(n1)故an

n(n1)

a1

n2n2

a11an

n2n2

(nN例2．在數(shù)列{ 中，a=， a2n(nN),求a n2時(shí),a2a1 aa 解：n=時(shí)

a4

n-

a ana12

...

1

22，故an

2a1

1且a11na2nn

nN)形如an

f

3．在數(shù)列ana1=an1nananan1

n=、2、3……(nn-a2.a3.

(n1)!故

(na1a2

aa0!=a

(n

(nN 滿(mǎn)足a=2，

naa

n1 an1

n1

n=，2，3，….(n上式得n-個(gè)等式累乘，即a2.a3.a4......an=12 na1a2

1an1，又因?yàn)閍2也滿(mǎn)足該式，所以a21

原數(shù)列

anan1banc或an1banfnn=bacnb、cfnn 滿(mǎn)足a=

=2a

解：構(gòu)造新數(shù)列anpp為常數(shù)，使之成為公比是an2an1p2(an

an12anp使之滿(mǎn)足an12an

即a1是首項(xiàng)為a1=2，q=2的等比數(shù)列∴a1=2 a=2n 例6 理2）設(shè)數(shù)列{ 的首項(xiàng)a(0,1)，a=3an1，n=2、3、 （）求an解：構(gòu)造新數(shù)列

p，使之成為q12即ap=1 整理得：a=1 3p滿(mǎn)足a=3 2 得3p= ∴p=- 即新數(shù)列a1首項(xiàng)為a1，q1 等比數(shù) 2例7（07理22）已知數(shù)列{ 中，a=2， =2

1)(a

nN（）求

222解：構(gòu)造新數(shù)列anp，使之成為q 1的等比數(shù)22222222an1p=22222

1)(an

整理得an1=

1)an+

2)使之滿(mǎn)足已知條件

an1=

1)an+2

1)∴

2)p

1)解得22222p 22222

2是首項(xiàng)為2

q 12an =(22

2)

∴an=

1)n 中，a=， =2a3n，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 新數(shù)列{a3n}，其中為常數(shù)，使之為公比是a n解：構(gòu)造數(shù)列{a3n}0q=2n 即 3n1=2(a3n 整理得： =2a(23n 滿(mǎn)足 =2a

23n3n1

1新數(shù)列{a3n是首項(xiàng)為na31=2，q=2的等比數(shù)列∴a3n=2 ∴a=3nn 例9（07文20）在數(shù)列{

a1=2an14an3n

，求數(shù)列的通項(xiàng)an解：構(gòu)造新數(shù)列{ann}q=4的等比數(shù)列，則an1(n14(an整理得：an1=4an3nan1=4an3n13n3n1n1∴新數(shù)列{ann的首項(xiàng)為a111，q=4nn∴ann

∴a4n122 數(shù)列{an既不等差，也不等比，遞推關(guān)系式形如 ba f(n) n同除以bn1后，想法構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，從而間接求出an（07 滿(mǎn)足a 2n1(n2)且a81。求(1)a a、 (2)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使此數(shù)列{an}為等差數(shù)列？若存在求出的值 an解：(1)由a=2a24 得a=33；又∵a=2a231=33得a=3 a2a221=3a (2假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使此數(shù)列{ana

a

2n1

1即 n1 =n =

=1 {an

a1∴

}為首

2，d=∴an1=2+(n1)1 ∴a=(n1)2n 例、數(shù)列{ 滿(mǎn)足 =2a(2)n1(nN)，首項(xiàng)為a2，求數(shù)列{ 的項(xiàng)公式。解：a

兩邊同除以(2)n1

∴數(shù)列

}

=，d=

=+(n1)1nan例2．?dāng)?shù)列{ 中，a=5，且

3n

4……

{an，anan1 整理得a 3nd+3，讓該式滿(mǎn)足a 3n1∴取d a2

1

{an

2

2

a故 23(n1)1n

∴a=(n1)3n 例3（07理2在數(shù)列{

n1(2

（nN 其中＞0，(求數(shù)列

an

2n1解 的底數(shù)與an的系數(shù)相同，則兩邊除

n

a

a

a即 n 1∴{n }是首項(xiàng)為 0，公差d=的等差數(shù)a

列 ∴ 0(n1)n1

∴

n1)n2n兩邊同除以anan1后，相鄰兩項(xiàng)的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出an。n例4、已知數(shù)列{ ，an

1，

nN，求a 1 解：把原式變形得

a

兩邊同除以a

11

n

n∴1是首項(xiàng)為1，d=111n1)(1na1 n 例5（06江西理22）已知數(shù)列{ 滿(mǎn)足a3，且a

（n2nN(求數(shù)列

n解：把原式變形成2anan1(n1)an 兩邊同除以anan1n1n1

⑴構(gòu)造新數(shù)列n}q=1 3 列

n1n1

n12

滿(mǎn)足⑴式使2

∴

∴數(shù)列n1}

1

1

1

n 1 (a

(

an 3 3（06 滿(mǎn)足：a3，且2an1

a 2a

nnnN求數(shù)列n

解：把原式變形為2an1ananan1(2anan1 兩邊同除以anan1a

2an

a

an12(

an 所以新數(shù)列{aan}是首項(xiàng)為aa133 q=2的等比數(shù)列 故1a1 解關(guān)于a的方程得a1(2n1

22n29)a33 a33n六．利用公式anSnSn1(n2有些數(shù)列給出{

的前nSnan的關(guān)系式Sn

f(an)，利用該式寫(xiě)出Sn1f(an1，兩式做差，再利用an1Sn1Snan1與an的遞推式，從而求出an7.(072題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列ann項(xiàng)和為SnS1＞16Sn(a1)(a2)n∈N求{ 的通項(xiàng)公式 解：由aS1(a1)(a2)解得a=a=2，由已知

S＞1，因此a=2

S=1

2)1(a

2)

(an1an)(an1an3) ∵an＞0∴an1an從而

的通項(xiàng)為an=2+3(n3n例8.(07陜西理22)已知各項(xiàng)全不為0的數(shù)列{ 的前k項(xiàng)和為S，且S=1a

kN)其中a=，求數(shù)列{

2kk 解：當(dāng)k=時(shí)，aS=1aa及a=得a 當(dāng)k≥2時(shí) 21 aS

=1a

1

a

)=2a∵a≠0∴

k

2kk

2k1

k

k

k

k 從而a2m1=+(m- =2+(m-)2=2m(m∈N 故a (k∈ 例9.(07福建文2)數(shù)列{ 的前n項(xiàng)和為S，a=，

(n∈N),求{ 的n

解：由a=a2S=2n≥2aS

=1 a)得an1=3，因此{(lán)

n n首項(xiàng)為a=2，q=3的等比數(shù)列。故a23n2(n≥2),而a= 所以an

(n例20.(06Ⅰ理22)該數(shù)列{ 的前n項(xiàng)和

4a12n1

(n=、2、3……)nan

3

4a12n12(n=、2、3……)…①得aS=4a14 3 3 所以a 再

=4 12n

（n=2、

將①和②相減得：a=S =4(a )1(2n12n 整理得a2n 2n1)（n=23…）因而數(shù)列{a2n是首項(xiàng)為a24 的等比數(shù)列。即a2n44n14n，因而a4n2n。 有時(shí)數(shù)列

和

an與bn關(guān)于an和bn的方程組，然后解新方程組求得an和bn

2（072題

n滿(mǎn)足a=2，b=

（n2）,求數(shù)列

，{

解析：兩式相加得anbnan1bn1

則an

是首項(xiàng)為a1b13，d=2列，故anbn=3+2(n-) (而兩式相減得

b=1

1

=1

則a

是首項(xiàng)為

b=，q=

1

的等比數(shù)列，故anbn

anbn2n聯(lián)立()、(2)

由此得

n11n，

n11nab

1

(( (( (2)

例22.在數(shù)列{ { 中a=2，b=且an12an6bn（n∈N求數(shù)列{ 和{

bn1anan1與bn1做和或做差已無(wú)規(guī)律可循。不妨構(gòu)造新數(shù)列{an0

則

=

7b)=(2

+(7

=(2

76b

令76得=2或=3則ab為首項(xiàng)ab，q=+2 即=2時(shí)，a2b4，q=4的等比數(shù)列，故a2b=4×4n14n =3時(shí)，{a 是首項(xiàng)為5，q=5的等比數(shù)列，故a

=5×5n1= 聯(lián)立二式

n

解得a34n25nb5n4n

n

22解：構(gòu)造新數(shù)列anbnab=(31

+(13

+(1)=3

13

3

n1令13得=或1即=時(shí)，新數(shù)列a

b=

3

∴（anbn）(an1bn1)

新數(shù)列an

是首項(xiàng)為a1b13，d=2anbn32(n1)2n1當(dāng)1時(shí)，新數(shù)列a

是首項(xiàng)為ab=，q=1 1

∴anbn=2 anbn2n 聯(lián)立、(2)

得an11 ，bn11abab 2

22 22

例23.在數(shù)列{ 中，ab1，且an15an15bn（n∈N求{