新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)全冊(cè)書(shū)學(xué)案講義(知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)匯總及配套習(xí)題)

蘇教版必修第一冊(cè)學(xué)案第一章集合 21.1集合的概念與表示 21.2子集、全集、補(bǔ)集 161.3交集、并集 28章末復(fù)習(xí) 37第二章常用邏輯用語(yǔ) 412.1命題、定理、定義 412.2充分條件、必要條件、充要條件 492.3全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題 56章末復(fù)習(xí) 63第三章不等式 673.1不等式的基本性質(zhì) 673.2基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a，b≥0) 773.3從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式 96章末復(fù)習(xí) 123第四章指數(shù)與對(duì)數(shù) 1284.1指數(shù) 1284.2對(duì)數(shù) 136章末復(fù)習(xí) 150第五章函數(shù)概念與性質(zhì) 1555.1函數(shù)的概念和圖象 1555.2函數(shù)的表示方法 1725.3函數(shù)的單調(diào)性 1845.4函數(shù)的奇偶性 199章末復(fù)習(xí) 209第六章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 2166.1冪函數(shù) 2166.2指數(shù)函數(shù) 2256.3對(duì)數(shù)函數(shù) 243章末復(fù)習(xí) 260第七章三角函數(shù) 2667.1角與弧度 2667.2三角函數(shù)概念 2857.3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 3207.4三角函數(shù)應(yīng)用 367章末復(fù)習(xí) 376第八章函數(shù)應(yīng)用 3858.1二分法與求方程近似解 3858.2函數(shù)與數(shù)學(xué)模型 401章末復(fù)習(xí) 418第一章集合1.1集合的概念與表示第1課時(shí)集合的概念學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．通過(guò)實(shí)例了解集合的含義．(難點(diǎn))2．掌握集合中元素的三個(gè)特性．(重點(diǎn))3．體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號(hào)并會(huì)應(yīng)用．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))1．通過(guò)集合概念的學(xué)習(xí)，逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助集合中元素的互異性的應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).在生活與學(xué)習(xí)中，為了方便，我們經(jīng)常要對(duì)事物進(jìn)行分類(lèi)．例如，圖書(shū)館中的書(shū)是按照所屬學(xué)科等分類(lèi)擺放的，如圖所示，作文學(xué)習(xí)可按照文體如記敘文、議論文等進(jìn)行，整數(shù)可以分成正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零這三類(lèi)……你能說(shuō)出數(shù)學(xué)中其他分類(lèi)實(shí)例嗎？試著分析為什么要進(jìn)行分類(lèi)．知識(shí)點(diǎn)1元素與集合的概念(1)一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合．集合中的每一個(gè)對(duì)象稱(chēng)為該集合的元素，簡(jiǎn)稱(chēng)元．(2)集合中元素的特征：確定性、互異性、無(wú)序性．假如在軍訓(xùn)時(shí)教官喊“全體高個(gè)子同學(xué)集合”，你會(huì)去集合嗎？[提示]不去，不清楚自己是不是高個(gè)子．集合中的元素必須同時(shí)具備確定性、互異性、無(wú)序性．反過(guò)來(lái)一組對(duì)象若不具備這三個(gè)特性中任何一個(gè)，則這組對(duì)象不能構(gòu)成集合．集合中元素的三個(gè)特性是判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的重要依據(jù)．1.思考辨析(正確的畫(huà)√，錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)接近于－1的數(shù)可以組成集合．()(2)一個(gè)集合中可以找到兩個(gè)相同的元素．()(3)組成集合的元素一定是數(shù)．()[答案](1)×(2)×(3)×知識(shí)點(diǎn)2元素與集合1．元素與集合的表示(1)元素的表示：通常用小寫(xiě)拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．(2)集合的表示：通常用大寫(xiě)拉丁字母A，B，C，…表示集合．2．元素與集合的關(guān)系(1)屬于(符號(hào)：∈)，a是集合A中的元素，記作a∈A，讀作“a屬于A”．(2)不屬于(符號(hào)：?或eq\x\to(∈))，a不是集合A中的元素，記作a?A或aeq\x\to(∈)A，讀作“a不屬于A”．2.已知集合A中有兩個(gè)元素2和a－1且3∈A，則實(shí)數(shù)a＝________.4[由題意知a－1＝3，即a＝4.]知識(shí)點(diǎn)3常用數(shù)集及表示符號(hào)名稱(chēng)非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或N＋ZQR3.用“∈”或“?”填空．3．5________N；－4________Z；0.5________R；eq\r(2)________N*；eq\f(1,3)________Q.?∈∈?∈[因?yàn)?.5不是自然數(shù)，故3.5?N；因?yàn)椋?是整數(shù)，故－4∈Z；因?yàn)?.5是實(shí)數(shù)，故0.5∈R；因?yàn)閑q\r(2)不是正整數(shù)，故eq\r(2)?N*；因?yàn)閑q\f(1,3)是有理數(shù)，故eq\f(1,3)∈Q.]類(lèi)型1集合的概念【例1】(1)考察下列每組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是()①中國(guó)各地的美麗鄉(xiāng)村；②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)；③不小于3的自然數(shù)；④截止到2021年10月1日，參加一帶一路的國(guó)家．A．③④ B．②③④C．②③ D．②④(2)下列說(shuō)法中，正確的有________．(填序號(hào))①單詞book的所有字母組成的集合的元素共有4個(gè)；②集合M中有3個(gè)元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC不可能是等腰三角形；③將小于10的自然數(shù)按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排列分別得到不同的兩個(gè)集合．(1)B(2)②[(1)①中“美麗”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性，②③④中的元素標(biāo)準(zhǔn)明確，均可構(gòu)成集合，故選B.(2)①不正確．book的字母o有重復(fù)，共有3個(gè)不同字母，元素個(gè)數(shù)是3.②正確．集合M中有3個(gè)元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它們構(gòu)成的三角形三邊不相等，故不可能是等腰三角形．③不正確．小于10的自然數(shù)不管按哪種順序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個(gè)數(shù)，集合是相同的，和元素的排列順序無(wú)關(guān)．]一組對(duì)象能組成集合的標(biāo)準(zhǔn)是什么？[提示]判斷一組對(duì)象是否為集合的三依據(jù)：(1)確定性：負(fù)責(zé)判斷這組元素是否構(gòu)成集合．(2)互異性：負(fù)責(zé)判斷構(gòu)成集合的元素的個(gè)數(shù)．(3)無(wú)序性：表示只要一個(gè)集合的元素確定，則這個(gè)集合也隨之確定，與元素之間的排列順序無(wú)關(guān)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．判斷下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合．(1)不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)；(2)方程x2－9＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；(3)某校2020年在校的所有高個(gè)子同學(xué)；(4)eq\r(3)的近似值的全體．[解](1)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)能判斷出是不是“不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)”，所以能構(gòu)成集合．(2)能構(gòu)成集合．(3)“高個(gè)子”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)人算不算高個(gè)子無(wú)法客觀地判斷，因此不能構(gòu)成一個(gè)集合．(4)“eq\r(3)的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個(gè)數(shù)(如“2”)是不是它的近似值，所以不能構(gòu)成集合．類(lèi)型2元素與集合的關(guān)系【例2】(1)下列所給關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是()①π∈R②eq\r(3)∈R③eq\r(6)?Q④0∈N*⑤|－2|∈ZA．2 B．3C．4 D．5(2)已知集合A含有三個(gè)元素2,4,6，當(dāng)a∈A，有6－a∈A.則a的值為_(kāi)_______．(1)C(2)2或4[(1)①π是無(wú)理數(shù)∴π∈R故①正確，eq\r(3)是無(wú)理數(shù)∴eq\r(3)∈R，②正確.eq\r(6)是無(wú)理數(shù)∴eq\r(6)?Q，④0是自然數(shù)是非負(fù)整數(shù)，0∈N，故④錯(cuò)誤．|－2|＝2∈Z正確．(2)集合A含有三個(gè)元素2,4,6且當(dāng)a∈A，有6－a∈A.a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4.綜上所述，a＝2或4.]判斷元素與集合關(guān)系的2種方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．(2)推理法：對(duì)于一些沒(méi)有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿(mǎn)足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．集合A中的元素x滿(mǎn)足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．3[∵eq\f(6,3－x)∈N，∴3－x＝1或3－x＝2或3－x＝3或3－x＝6.即x＝2或1或0或－3.又x∈N.故x＝0或1或2.即集合A中的元素個(gè)數(shù)為3.]類(lèi)型3集合中元素的特性及應(yīng)用【例3】已知集合A中含有兩個(gè)元素1和a2，若a∈A，求實(shí)數(shù)a的值．若集合A中含有兩個(gè)元素a，b，則a，b滿(mǎn)足什么關(guān)系？若1∈A，則元素1與集合A中元素a，b存在怎樣的關(guān)系？[提示]a≠b，a＝1或b＝1.[解]由題意可知，a＝1或a2＝a.(1)若a＝1，則a2＝1，這與a2≠1相矛盾，故a≠1.(2)若a2＝a，則a＝0或a＝1(舍去)．又當(dāng)a＝0時(shí)，A中含有元素1和0滿(mǎn)足集合中元素的互異性，符合題意．綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為0.1．(變條件)本例若去掉條件“a∈A”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]由集合中元素的互異性可知a2≠1，即a≠±1.2．(變條件)已知集合A含有兩個(gè)元素a和a2，若1∈A，求a的值．[解]若1∈A，則a＝1或a2＝1，即a＝±1.當(dāng)a＝1時(shí)，集合A有重復(fù)元素，所以a≠1.當(dāng)a＝－1時(shí)，集合A含有兩個(gè)元素1，－1，符合集合中元素的互異性．所以a＝－1.由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知集合A含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，若－3∈A，試求實(shí)數(shù)a[解]因?yàn)椋?∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a若－3＝a－3，則a＝0.此時(shí)集合A含有兩個(gè)元素－3和－1.符合要求．若－3＝2a－1，則a＝－1，此時(shí)集合A綜上所述，a的值為0或－1.課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)1．下列給出的對(duì)象中，能組成集合的是()A．一切很大的數(shù)B．好心人C．漂亮的小女孩D．方程x2－1＝0的實(shí)數(shù)根[答案]D2．下列結(jié)論不正確的是()A．0∈N B．eq\r(2)?QC．0?Q D．8∈ZC[0是有理數(shù)，故0∈Q，所以C錯(cuò)誤．]3．若以集合A的四個(gè)元素a，b，c，d為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形可能是()A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．矩形A[由于a，b，c，d四個(gè)元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等．]4．若集合A中的元素是由方程x2－2x－3＝0的解構(gòu)成的，若集合A中的元素是a，b，則a＋b＝________.2[因?yàn)榉匠蘹2－2x－3＝0的解為3和－1，所以a＋b＝2.]5．已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三個(gè)元素，且2∈A，求m[解]由2∈A可知，若m＝2，則m2－3m＋2＝0.這與m2－3m＋2≠0相矛盾．若m2－3m＋2＝2，則m＝0或m＝3，當(dāng)m＝0時(shí)與當(dāng)m＝3時(shí)，集合中含有3個(gè)元素0,2,3.故m的值為3.回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題．1．元素與集合是怎樣定義的？它們之間是什么關(guān)系．[提示]一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合．集合中的每一個(gè)對(duì)象稱(chēng)為該集合的元素．元素與集合之間為屬于(或不屬于)關(guān)系．2．利用集合中元素的特性解題時(shí)應(yīng)注意什么？[提示]不要忽視集合中元素的互異性．第2課時(shí)集合的表示學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．掌握集合的兩種常用表示方法(列舉法和描述法)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．通過(guò)實(shí)例選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用．3．了解集合相等的概念，并能用于解決問(wèn)題．(重點(diǎn))4．了解集合的不同的分類(lèi)方法.1．通過(guò)學(xué)習(xí)描述法表示集合的方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助描述法轉(zhuǎn)化為列舉時(shí)的運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).集合是數(shù)學(xué)中最基本的語(yǔ)言，在今后的數(shù)學(xué)中，我們都要用到它，要研究集合要在集合的基礎(chǔ)上研究其他問(wèn)題，首先要表示集合，為此我們來(lái)學(xué)習(xí)集合的表示方法．當(dāng)集合中元素較少時(shí)，如何直觀地表示集合？當(dāng)集合中的元素具有一定的規(guī)律性，又該如何直觀地表示集合？當(dāng)集合中的元素具有一定的規(guī)律性，又該如何表示這類(lèi)集合？知識(shí)點(diǎn)1集合的表示方法表示方法定義一般形式列舉法將集合的元素一一列舉出來(lái)，并置于花括號(hào)“{}”內(nèi){a1，a2，…，an，…}描述法將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿(mǎn)足的條件)表示出來(lái){x|p(x)}Venn圖法用一個(gè)封閉曲線圍成的平面區(qū)域的內(nèi)部表示一個(gè)集合(1)中國(guó)的五岳組成的集合中的元素是什么？怎樣列舉出來(lái)？(2)不等式x－2<1的解集中的元素有什么共同特征？[提示](1)中的元素為泰山、華山、衡山、恒山、嵩山．(2)元素的共同特征為x∈R，且x<3.列舉法通常適用于元素個(gè)數(shù)有限的集合．若集合中的元素有無(wú)限個(gè)，但有一定的規(guī)律性也可用列舉法．描述法通常適用于元素個(gè)數(shù)較多而元素的排列又不呈現(xiàn)明顯規(guī)律的集合或者根本就不能一一列舉的集合．1.思考辨析(正確的畫(huà)√，錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)0與{0}表示的是同一個(gè)集合．()(2)方程(x－1)2·(x－2)＝0的所有解的集合可表示為{1,2}．()(3)集合A＝{x∈N|x>5}是用描述法表示的一個(gè)集合．()[答案](1)×(2)√(3)√知識(shí)點(diǎn)2集合的分類(lèi)(1)集合的分類(lèi)有限集含有有限個(gè)元素的集合無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合空集不含任何元素的集合，記作?(2)集合相等如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么稱(chēng)這兩個(gè)集合相等．2.(1)集合{1,2,3}與{3,2,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)(2)若集合{1，a}與集合{2，b}相等，則a＋b＝________.(1)是(2)3[(1)集合{1,2,3}與{3,2,1}元素完全相同，故兩集合是相等集合．(2)由于{1，a}＝{2，b}，故a＝2，b＝1，∴a＋b＝3.]類(lèi)型1用列舉法表示集合【例1】用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A.(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B.(3)方程x2－x－2＝0的實(shí)根組成的集合C.[解](1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)有0,2,4,6,8,10.所以A＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．(3)方程x2－x－2＝0的實(shí)根為2，－1，所以C＝{2，－1}．用列舉法表示集合的3個(gè)步驟(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列舉出來(lái)，且相同元素只能列舉一次；(3)用花括號(hào)括起來(lái)．提醒：二元方程組的解集，函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合都是點(diǎn)的集合，一定要寫(xiě)成實(shí)數(shù)對(duì)的形式，元素與元素之間用“，”隔開(kāi)．如{(2,3)，(5，－1)}．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．用列舉法表示下列給定的集合：(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A；(2)方程x2－9＝0的實(shí)數(shù)根組成的集合B；(3)一次函數(shù)y＝x＋2與y＝－2x＋5的圖象的交點(diǎn)組成的集合D.[解](1)因?yàn)榇笥?且小于6的整數(shù)包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．(2)方程x2－9＝0的實(shí)數(shù)根為－3,3，所以B＝{－3,3}．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,y＝－2x＋5，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))所以一次函數(shù)y＝x＋2與y＝－2x＋5的交點(diǎn)為(1,3)，所以D＝{(1,3)}．類(lèi)型2用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)正偶數(shù)集；(2)被3除余2的正整數(shù)集合；(3)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合．[解](1)偶數(shù)可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此題要求為正偶數(shù)，故限定n∈N*，所以正偶數(shù)集可表示為{x|x＝2n，n∈N*}．(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x＝3n＋2，n∈Z，但元素為正整數(shù)，故n∈N，所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)(x，y)的特點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)中至少有一個(gè)為0，即xy＝0，故平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為{(x，y)|xy＝0}．利用描述法表示集合應(yīng)關(guān)注4點(diǎn)(1)寫(xiě)清楚該集合代表元素的符號(hào)．例如，集合{x∈R|x<1}不能寫(xiě)成{x<1}．(2)所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在花括號(hào)內(nèi)．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，這種表達(dá)方式就不符合要求，需將k∈Z也寫(xiě)進(jìn)花括號(hào)內(nèi)，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母．(4)在通常情況下，集合中豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實(shí)數(shù)集時(shí)可以省略不寫(xiě)．例如，方程x2－2x＋1＝0的實(shí)數(shù)解集可表示為{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可寫(xiě)成{x|x2－2x＋1＝0}．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．用描述法表示下列集合：(1)函數(shù)y＝－2x2＋x圖象上的所有點(diǎn)組成的集合；(2)不等式2x－3<5的解組成的集合；(3)如圖中陰影部分的點(diǎn)(含邊界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍數(shù)構(gòu)成的集合．[解](1)函數(shù)y＝－2x2＋x的圖象上的所有點(diǎn)組成的集合可表示為{(x，y)|y＝－2x2＋x}．(2)不等式2x－3<5的解組成的集合可表示為{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．(3)圖中陰影部分的點(diǎn)(含邊界)的集合可表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(3,2)，0≤y≤1)))).(4)3和4的最小公倍數(shù)是12，因此3和4的所有正的公倍數(shù)構(gòu)成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．類(lèi)型3集合表示法的綜合應(yīng)用【例3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)k的值組成的集合．[解](1)當(dāng)k＝0時(shí)，方程kx2－8x＋16＝0變?yōu)椋?x＋16＝0，解得x＝2，滿(mǎn)足題意；(2)當(dāng)k≠0時(shí)，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一個(gè)元素，則方程kx2－8x＋16＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此時(shí)集合A＝{4}，滿(mǎn)足題意．綜上所述，k＝0或k＝1，故實(shí)數(shù)k的值組成的集合為{0,1}．1．本例若將條件“只有一個(gè)元素”改為“有兩個(gè)元素”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)k的值組成的集合．[解]由題意可知，方程kx2－8x＋16＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0.所以實(shí)數(shù)k組成的集合為{k|k<1，且k≠0}．2．本例若將條件“只有一個(gè)元素”改為“至少有一個(gè)元素”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．[解]由題意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根．①當(dāng)k＝0時(shí)，由－8x＋16＝0得x＝2，符合題意；②當(dāng)k≠0時(shí)，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k≠0.綜合①②可知，實(shí)數(shù)k的取值范圍為{k|k≤1}．(1)若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵，如例3集合A中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題．(2)在學(xué)習(xí)過(guò)程中要注意數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，如本例中用到了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論的思想．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．若集合A中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]集合A中有兩個(gè)元素，即關(guān)于x的方程ax2－3x＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，解得a<eq\f(9,4)且a≠0.類(lèi)型4集合相等【例4】(1)集合A＝{x|x3－x＝0，x∈N}與B＝{0,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)(2)若集合A＝{1，a＋b，a}，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))且A＝B，則a＝________，b＝________.[思路點(diǎn)撥](1)解出集合A，并判斷與B是否相等；(2)找到相等的對(duì)應(yīng)情況，解方程組即可．(1)是(2)－11[(1)x3－x＝x(x2－1)＝0，∴x＝±1或x＝0.又x∈N，∴A＝{0,1}＝B.(2)由題意知，a≠0，故a＋b＝0，∴b＝－a.∴eq\f(b,a)＝－1，∴a＝－1，b＝1.]已知集合相等求參數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)集合相等的定義，建立關(guān)于參數(shù)的方程(組)，求解時(shí)還要注意集合中元素的互異性．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求實(shí)數(shù)x的值．[解]若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝ax，,a＋2b＝ax2，))消去b，則a＋ax2－2ax＝0，∴a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1.當(dāng)a＝0時(shí)，集合B中的元素均為0，故舍去；當(dāng)x＝1時(shí)，集合B中的元素均為a，故舍去．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝ax2，,a＋2b＝ax，))消去b，則2ax2－ax－a＝0.又∵a≠0，∴2x2－x－1＝0，即(x－1)(2x＋1)＝0.又∵x≠1，∴x＝－eq\f(1,2).經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x＝－eq\f(1,2)時(shí)，A＝B成立．綜上所述，x＝－eq\f(1,2).課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)1．用列舉法表示集合{x|x2－2x－3＝0}為()A．{－1,3} B．{(－1,3)}C．{x＝1} D．{x2－2x－3＝0}A[解方程x2－2x－3＝0，得x1＝－1，x2＝3.∴集合{x|x2－2x－3＝0}中有兩個(gè)元素，用列舉法得{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，故選A.]2．(多選題)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解集可表示為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1)))))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))))))C．{1,2} D．{(1,2)}ABD[方程組的解應(yīng)為有序數(shù)對(duì)，故A、B、D正確．]3．用描述法表示不等式3x＋2>5的解集為_(kāi)_______．{x|x>1}[由不等式3x＋2>5得x>1，用描述法可表示為{x|x>1}．]4．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，則a＋b1或eq\f(3,4)[∵M(jìn)＝N，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2a，,b＝b2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b2，,b＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))∴a＋b＝1或eq\f(3,4).]5．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它們?nèi)齻€(gè)集合相等嗎？試說(shuō)明理由．[解]三個(gè)集合不相等，這三個(gè)集合都是描述法給出的，但各自的意義不一樣．集合A表示y＝x2＋3中x的范圍，x∈R，∴A＝R，集合B表示y＝x2＋3中y的范圍，B＝{y|y≥3}，集合C表示y＝x2＋3上的點(diǎn)組成的集合．回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題．1．集合常用的表示方法有哪些？各有什么特點(diǎn)？[提示]列舉法、描述法．列舉法通常適用于元素個(gè)數(shù)較少或元素有規(guī)律的集合．描述法通常適用于元素個(gè)數(shù)較多或無(wú)規(guī)律的集合．2．對(duì)集合的表示有什么要求？[提示]要根據(jù)集合元素的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯希话阋献詈?jiǎn)原則．3．通過(guò)本節(jié)課培養(yǎng)了哪些核心素養(yǎng)和思想方法？[提示]培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)．思想方法有等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類(lèi)討論的思想．1.2子集、全集、補(bǔ)集第1課時(shí)子集、真子集學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解集合間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合間是否有包含關(guān)系．(重點(diǎn))2．能通過(guò)分析元素的特點(diǎn)判斷集合間的關(guān)系．(難點(diǎn))3．能根據(jù)集合間的關(guān)系確定一些參數(shù)的取值．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1．通過(guò)對(duì)集合之間包含與相等的含義以及子集、真子集概念的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助子集和真子集的求解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).如果一個(gè)班級(jí)中，所有同學(xué)組成的集合記為S，而所有女同學(xué)組成的集合記為F，你覺(jué)得集合S和F之間有怎樣的關(guān)系？你能從集合元素的角度分析它們的關(guān)系嗎？知識(shí)點(diǎn)1子集的概念及其性質(zhì)(1)子集定義如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素(若a∈A，則a∈B)，那么集合A稱(chēng)為集合B的子集符號(hào)表示A?B(或B?A)讀法集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)圖示(2)子集的性質(zhì)①A?A，即任何一個(gè)集合是它本身的子集．②??A，即空集是任何集合的子集．③若A?B，B?C，則A?C，即子集具備傳遞性．(3)集合相等若A?B且B?A，則A＝B.1.(1)任何兩個(gè)集合之間是否一定有包含關(guān)系？(2)符號(hào)“∈”與“?”有何不同？[提示](1)不一定，如集合A＝{1,2}與B＝{3,4}這兩個(gè)集合之間沒(méi)有包含關(guān)系．(2)符號(hào)“∈”表示元素與集合間的關(guān)系；而“?”表示集合與集合之間的關(guān)系．不能把“A?B”理解為“A是B中部分元素組成的集合”因?yàn)榧螦可能是空集，也可能是集合B.1.思考辨析(正確的畫(huà)√，錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)空集中只有元素0，而無(wú)其余元素．()(2)任何一個(gè)集合都有子集．()(3)若A＝B，則A?B且B?A.()(4)若a∈A，則{a}?A.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√知識(shí)點(diǎn)2真子集的概念與性質(zhì)(1)真子集的概念如果A?B，并且A≠B，那么集合A稱(chēng)為集合B的真子集，記為AB或BA，讀作“A真包含于B”或“B真包含A”．(2)性質(zhì)①?是任一非空集合的真子集．②若AB，BC，則AC.2.{0}與?相等嗎？[提示]不相等．{0}表示一個(gè)集合，且集合中有且僅有一個(gè)元素0；而?表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠?.2.集合A＝{x|0≤x<2，x∈N}的真子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．3[集合A＝{0,1}，其真子集分別為?，{0}，{1}共3個(gè)．]類(lèi)型1確定集合的子集、真子集【例1】設(shè)A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，寫(xiě)出集合A的子集與真子集．[解]由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4，或x＝－1或x＝4，故集合A＝{－4，－1,4}．由0個(gè)元素構(gòu)成的子集為：?；由1個(gè)元素構(gòu)成的子集為：{－4}，{－1}，{4}；由2個(gè)元素構(gòu)成的子集為：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；由3個(gè)元素構(gòu)成的子集為：{－4，－1,4}；故集合A的子集為：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}共8個(gè)子集．真子集為：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}共7個(gè)．確定子集、真子集的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？有什么規(guī)律？[提示]1.有限集的子集的確定問(wèn)題，求解關(guān)鍵有三點(diǎn)：(1)確定所求集合；(2)合理分類(lèi)，按照子集所含元素的個(gè)數(shù)依次寫(xiě)出，一般按元素從少到多的順序逐個(gè)寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的集合；(3)注意兩個(gè)特殊的集合，即空集和集合本身．2．與子集、真子集個(gè)數(shù)有關(guān)的三個(gè)結(jié)論假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素，則有：(1)A的子集的個(gè)數(shù)為2n個(gè)；(2)A的真子集的個(gè)數(shù)為2n－1個(gè)；(3)A的非空真子集的個(gè)數(shù)為2n－2個(gè)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．已知集合M滿(mǎn)足{1,2}M?{1,2,3,4,5}，寫(xiě)出集合M所有的可能情況．[解]由題意可以確定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一個(gè)，因此依據(jù)集合M的元素個(gè)數(shù)分類(lèi)如下：含有3個(gè)元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4個(gè)元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5個(gè)元素：{1,2,3,4,5}．故滿(mǎn)足條件的集合M為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．類(lèi)型2集合關(guān)系的判斷【例2】指出下列各對(duì)集合之間的關(guān)系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(3)P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}；(4)A＝{x|x是等邊三角形}，B＝{x|x是三角形}；(5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．[解](1)用列舉法表示集合B＝{1}，故BA.(2)集合A的代表元素是數(shù)，集合B的代表元素是實(shí)數(shù)對(duì)，故A與B之間無(wú)包含關(guān)系．(3)∵P表示3的整數(shù)倍少1的數(shù)構(gòu)成的數(shù)集，Q表示3的整數(shù)倍多2的數(shù)構(gòu)成的數(shù)集，∴P＝Q.(4)等邊三角形是三邊相等的三角形，故AB.(5)集合B＝{x|x<5}，用數(shù)軸表示集合A，B，如圖所示，由圖可發(fā)現(xiàn)AB.判斷集合關(guān)系的方法(1)觀察法：一一列舉觀察．(2)元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系．(3)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖．提醒：若A?B和AB同時(shí)成立，則AB更能準(zhǔn)確表達(dá)集合A，B之間的關(guān)系．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．判斷下列各組中集合之間的關(guān)系：(1)A＝{x|x是12的約數(shù)}，B＝{x|x是36的約數(shù)}；(2)A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四邊形}，D＝{x|x是正方形}．[解](1)因?yàn)槿魓是12的約數(shù)，則必定是36的約數(shù)，反之不成立，所以AB.(2)由圖形的特點(diǎn)可畫(huà)出Venn圖如圖所示，從而DBAC.類(lèi)型3集合之間的包含關(guān)系【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m若BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍？集合B中的元素有何特點(diǎn)？可能為空集嗎？m滿(mǎn)足什么條件時(shí)B＝?.[提示]集合B中的元素不確定，隨m的變化而變化．B可能為空集．當(dāng)m＋1>2m－1時(shí)B＝?[解](1)當(dāng)B＝?時(shí)，由m＋1>2m－1，得m(2)當(dāng)B≠?時(shí)，如圖所示．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解這兩個(gè)不等式組，得2≤m≤3.綜上可得，m的取值范圍是{m|m≤3}．1．若本例條件“A＝{x|－2≤x≤5}”改為“A＝{x|－2<x<5}”，其他條件不變，求m的取值范圍．[解](1)當(dāng)B＝?時(shí)，由m＋1>2m－1，得m(2)當(dāng)B≠?時(shí)，如圖所示，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1<5，,m＋1≤2m－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－3，,m<3，,m≥2，))即2≤m<3，綜上可得，m的取值范圍是{m|m<3}．2．若本例條件“BA”改為“A?B”，其他條件不變，求m的取值范圍．[解]當(dāng)A?B時(shí)，如圖所示，此時(shí)B≠?.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1>m＋1，,m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>2，,m≤－3，,m≥3，))∴m不存在．即不存在實(shí)數(shù)m使A?B.1．對(duì)于用不等式給出的集合，已知集合的包含關(guān)系求相關(guān)參數(shù)的范圍(值)時(shí)，常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答．2．兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)(1)當(dāng)B?A時(shí)，應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況討論；(2)列不等關(guān)系式時(shí)，應(yīng)注意等號(hào)是否成立．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}且B?A.求實(shí)數(shù)m[解]∵B?A，∴可以分B＝?或B≠?討論．(1)當(dāng)B＝?時(shí)，m＋1≤2m－1，解得m≥(2)當(dāng)B≠?時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1<m＋1，))解得－1≤m<2.綜上可得m≥－1.課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)1．設(shè)集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，則下列關(guān)系正確的是()A．N∈M B．N?MC．N?M D．N?MD[∵1∈{1,2,3}，∴1∈M，又2?N，∴N?M.]2．(多選題)下列四個(gè)集合中，不是空集的為()A．{0} B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}ACD[滿(mǎn)足x>8且x<5的實(shí)數(shù)不存在，故{x|x>8，且x<5}＝?.]3．集合A＝{x|x(x－2)＝0}，則集合A的子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．4[由x(x－2)＝0得x＝0，或x＝2，所以A＝{0,2}．A的子集有?，{0}，{2}，{0,2}．]4．設(shè)x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1))))，則A，B的關(guān)系是________．BA[∵B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1))))＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.]5．已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x≥a}．若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．a(chǎn)≥1[結(jié)合數(shù)軸知a≥1.]回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題．1．兩個(gè)集合間的基本關(guān)系有哪些？如何判斷兩個(gè)集合間的關(guān)系？[提示]A?B或AB.從集合中元素入手，根據(jù)集合間關(guān)系的定義得出結(jié)論．2．本節(jié)課中有哪些易錯(cuò)地方？[提示](1)忽略對(duì)集合是否為空集的討論．(2)忽視是否能夠取到端點(diǎn)值．3．本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想方法．[提示]分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合．第2課時(shí)全集、補(bǔ)集學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．了解全集的意義，理解補(bǔ)集的含義．(重點(diǎn))2．能在給定全集的基礎(chǔ)上求已知集合的補(bǔ)集．(難點(diǎn))1．通過(guò)補(bǔ)集的運(yùn)算培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．借助集合思想對(duì)實(shí)際生活中的對(duì)象進(jìn)行判斷歸類(lèi)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).某學(xué)習(xí)小組學(xué)生的集合為S＝{甲，乙，丙，丁}，其中在學(xué)校應(yīng)用文寫(xiě)作比賽與數(shù)學(xué)建模大賽中獲得過(guò)金獎(jiǎng)的學(xué)生集合為A＝{甲，乙}，那么沒(méi)有獲獎(jiǎng)的學(xué)生有哪些？若用集合B表示沒(méi)有獲獎(jiǎng)的同學(xué)，則集合B與S，集合A、B和S之間有怎樣的關(guān)系？知識(shí)點(diǎn)1補(bǔ)集(1)定義：設(shè)A?S，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱(chēng)為S的子集A的補(bǔ)集，記為?SA(讀作“A在S中的補(bǔ)集”)．(2)符號(hào)表示?SA＝{x|x∈S，且x?A}．(3)圖形表示：(4)補(bǔ)集的性質(zhì)①?S?＝S，②?SS＝?，③?S(?SA)＝A.知識(shí)點(diǎn)2全集如果一個(gè)集合包含我們所研究問(wèn)題中涉及的所有元素，那么就稱(chēng)這個(gè)集合為全集，全集通常記作U.兩個(gè)不同的集合A、B在同一個(gè)全集U中的補(bǔ)集可能相等嗎？[提示]不可能相等．因?yàn)榧螦、B是兩個(gè)不同的集合．所以必定存在元素在集合A的補(bǔ)集中，但不在集合B的補(bǔ)集中．補(bǔ)集符號(hào)?SA有三層含義：(1)A是S的一個(gè)子集，即A?S；(2)?SA表示一個(gè)集合，且?SA?S；(3)?SA是S中所有不屬于A的元素構(gòu)成的集合．1.思考辨析(正確的畫(huà)√，錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)全集一定含有任何元素．()(2)集合?RA＝?QA.()(3)一個(gè)集合的補(bǔ)集一定含有元素．()(4)研究A在S中的補(bǔ)集時(shí)，A可以不是S的子集．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2.已知全集U＝{－1,0,1}，且?UA＝{0}，則A＝()A．{－1,1} B．{－1,0,1}C．{0,1} D．{－1,0}A[∵U＝{－1,0,1}，?UA＝{0}，∴A＝{－1,1}．]3.若集合A＝{x|x>1}，則?RA＝________.{x|x≤1}[∵A＝{x|x>1}，∴?RA＝{x|x≤1}．]類(lèi)型1全集與補(bǔ)集【例1】(1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，則集合B＝________.(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，則?UA＝________.(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}[(1)A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．(2)將集合U和集合A分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．由補(bǔ)集定義可得?UA＝{x|x<－3或x＝5}．]常見(jiàn)補(bǔ)集的求解方法是什么？[提示]常見(jiàn)補(bǔ)集的求解方法有：(1)列舉求解．適用于全集U和集合A可以列舉的簡(jiǎn)單集合．(2)畫(huà)數(shù)軸求解．適用于全集U和集合A是不等式的解集．(3)利用Venn圖求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，則?UA等于()A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2}C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2}(2)設(shè)全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是銳角三角形)，B＝{x|x是鈍角三角形}，則(?UA)和(?UB)共有的集合為_(kāi)_______．(1)C(2){x|x是直角三角形}[(1)∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴?UA＝{x|0<x≤2}，故選C.(2)根據(jù)三角形的分類(lèi)可知，?UA＝{x|x是直角三角形或鈍角三角形}，?UB＝{x|x是直角三角形或銳角三角形}，所以(?UA)和(?UB)共有的集合為{x|x是直角三角形}．]類(lèi)型2補(bǔ)集與子集的綜合應(yīng)用【例2】已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A??UB，求實(shí)數(shù)a[思路點(diǎn)撥]首先應(yīng)對(duì)B是否為空集進(jìn)行討論，得出?UB，然后再利用A??UB得關(guān)于a的不等式求解即可．[解]若B＝?，則a＋1>2a－1，所以a此時(shí)?UB＝R，所以A??UB；若B≠?，則a＋1≤2a－1，即a≥此時(shí)?UB＝{x|x<a＋1，或x>2a由于A??UB，如圖，則a＋1>5，所以a>4，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<2或a>4.(變條件)若將本例中的“A??UB”改為“B??UA”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]?UA＝{x|x<－2或x>5}．因?yàn)锽??UA，當(dāng)a＋1>2a－1，即a<2時(shí)，B＝?，B??UA當(dāng)a＋1≤2a－1，即a≥2時(shí)，B≠?所以2a－1<－2或a即a>4，綜上，a的取值范圍為a<2或a>4.1．解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)(1)空集作為特殊情況，不能忽略；(2)數(shù)形結(jié)合方法更加直觀易懂，盡量使用；(3)端點(diǎn)值能否取到，應(yīng)注意分析．2．U是由集合A與?UA的全體元素所構(gòu)成，對(duì)于某一個(gè)元素a，a∈A與a∈?UA中恰好只有一個(gè)成立，即集合中的元素具有確定性．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．全集U＝R，A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}．(1)求?UA，?UB；(2)若集合C＝{x|x>a}，A?C，求a的取值范圍．[解](1)因?yàn)锳＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}，所以借助于數(shù)軸知?UA＝{x|x<3，或x≥10}，?UB＝{x|x≤2，或x>7}．(2)要使A?C，只需a<3即可．所以a的取值范圍為{a|a<3}．課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)1．設(shè)全集為U，M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，則U等于()A．{0,2,4,6} B．{0,2,4}C．{6} D．?A[∵M(jìn)＝{0,2,4}，?UM＝{6}，∴U＝{0,2,4,6}，故選A.]2．(多選題)設(shè)集合S＝{x|x>－2}，集合A??RS，則集合A中的元素可能是()A．－2 B．2C．－3 D．3AC[因?yàn)镾＝{x|x>－2}，所以?RS＝{x|x≤－2}．]3．已知全集S＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x2＋y2≠0}．用列舉法表示集合?SA＝________.{(0,0)}[?SA＝{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}．]4．已知集合A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，B＝{x|4<x≤7，x∈N}，則?AB＝________.{3,4}[由題意知A＝{3,4,5,6,7}，B＝{5,6,7}，∴?AB＝{3,4}．]5．已知U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2，m}，且?UA＝{1,3,5}，則m＝________.4[由已知m∈U，且m??UA，故m＝2或4.又A＝{2，m}，由元素的互異性知m≠2，故m＝4.]回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題．1．求集合的補(bǔ)集前提是什么？同一集合在不同全集下的補(bǔ)集相同嗎？[提示]求集合的補(bǔ)集前提是必須明確全集．同一集合在不同全集下的補(bǔ)集不同．2．本節(jié)課主要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？通過(guò)內(nèi)容的學(xué)習(xí)哪些核心素養(yǎng)有所提高？[提示]補(bǔ)集和全集的概念及運(yùn)算．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算．3．本節(jié)課主要運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)方法？你認(rèn)為哪些地方易出錯(cuò)？[提示]數(shù)形結(jié)合．求補(bǔ)集時(shí)忽視全集，求參數(shù)時(shí)忽視端點(diǎn)的取舍．1.3交集、并集學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解交集與并集的概念，以及符號(hào)之間的區(qū)別與聯(lián)系．(重點(diǎn))2．掌握求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的交集與并集的方法．(重點(diǎn))3．會(huì)借助Venn圖理解集合的交、并集運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想．(難點(diǎn))1．通過(guò)學(xué)習(xí)集合的交集、并集，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)．2．借助Venn圖表示交、并運(yùn)算及區(qū)間的數(shù)軸表示，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).學(xué)校高一年級(jí)準(zhǔn)備成立一個(gè)科學(xué)興趣小組，招募成員時(shí)要求：(1)中考的物理成績(jī)不低于90分；(2)中考的數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分．如果滿(mǎn)足條件(1)的同學(xué)組成的集合記為P，滿(mǎn)足條件(2)的同學(xué)組成的集合記為M，而能成為科學(xué)興趣小組成員的同學(xué)組成的集合為S，那么這三個(gè)集合之間有什么聯(lián)系呢？知識(shí)點(diǎn)1交集1．交集的概念(1)文字語(yǔ)言：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱(chēng)為A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”)．(2)符號(hào)語(yǔ)言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)Venn圖①②③2．交集的性質(zhì)(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B?A；(3)A∩B?B；(4)A∩A＝A；(5)A∩?＝?；(6)A∩(?UA)＝?；(7)A∩U＝A(其中U為全集)．1.A∩B是把A與B的部分元素組合在一起嗎？[提示]是把公共元素組合在一起，而不是部分．2.集合M＝{直線}與集合N＝{圓}有沒(méi)有交集？[提示]有．根據(jù)交集的概念可知M∩N＝?.3.若A∩B＝C∩B，則必有A＝C嗎？[提示]若A∩B＝C∩B，則可能有A＝C，也可能不相等．(1)A∩B是一個(gè)集合，由A與B的所有公共元素組成，而非部分元素組成．(2)兩集合A與B沒(méi)有公共元素時(shí)，不能說(shuō)集合A與B沒(méi)有交集，而是A∩B＝?.1.思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)A∩B中的元素一定比A，B任何一個(gè)集合的元素都少．()(2)A∩B＝A∩C，則B＝C.()(3)兩個(gè)集合A，B沒(méi)有公共元素，記作A∩B＝?.()[答案](1)×(2)×(3)√知識(shí)點(diǎn)2并集(1)文字語(yǔ)言：一般地，由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱(chēng)為A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)．(2)符號(hào)語(yǔ)言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)Venn圖①②③(3)并集的性質(zhì)①A∪B＝B∪A；②A?A∪B；③B?A∪B；④A∪A＝A；⑤A∪?＝A；⑥A∪(?UA)＝U；⑦A∪U＝U(其中U為全集)．4.A∪B是把A和B的所有元素組合在一起嗎？[提示]不是，因?yàn)锳和B可能有公共元素，每個(gè)公共元素只能算一個(gè)元素．5.兩個(gè)集合并集中的元素個(gè)數(shù)一定比兩個(gè)集合元素個(gè)數(shù)之和大嗎？[提示]當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素時(shí)，在并集中只能算作一個(gè)．故這種說(shuō)法不正確．2.設(shè)集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，則M∪N等于________．{－1,0,1,2}[M∪N＝{－1,0,1,2}．]知識(shí)點(diǎn)3區(qū)間的概念(1)設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定：[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a<x<b}，[a，b)＝{x|a≤x<b}，(a，b]＝{x|a<x≤b}，(a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x<b}，(－∞，＋∞)＝R.[a，b]，(a，b)分別叫作閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間；[a，b)，(a，b]叫作半開(kāi)半閉區(qū)間；a，b叫作相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)．(2)區(qū)間的數(shù)軸表示區(qū)間表示數(shù)軸表示[a，b](a，b)[a，b)(a，b][a，＋∞)(a，＋∞)3.下列區(qū)間與集合{x|x<－2或x≥0}相對(duì)應(yīng)的是()A．(－2,0) B．(－∞，－2]∪[0，＋∞)C．(－∞，－2)∪[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪(0，＋∞)C[集合{x|x<－2或x≥0}可表示為：(－∞，－2)∪[0，＋∞)．]類(lèi)型1交集概念及其應(yīng)用【例1】(1)設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為()A．5 B．4C．3 D．2(1)A(2)D[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如圖，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，∴8∈A,14∈A，∴A∩B＝{8,14}，故選D.]1．求以列舉法給出的兩集合的交集時(shí)，可直接尋找其公共元素，但需注意不可遺漏．2．求以描述法給出的兩集合的交集時(shí)，可先化簡(jiǎn)集合，再確定兩集合的公共元素(區(qū)間)，有必要時(shí)可借助于數(shù)軸或Venn圖解決．3．已知集合的交集求參數(shù)問(wèn)題要利用交集中元素的特殊性(公有性)列方程或不等式(組)來(lái)解決，而且，有些題目還應(yīng)注意驗(yàn)證得出的結(jié)論是否符合集合元素的互異性和是否符合題意．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，則A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由題意知A∩B＝{0,2}．]2．設(shè)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠?，則a的取值范圍是()A．－1<a≤2 B．a(chǎn)>2C．a(chǎn)≥－1 D．a(chǎn)>－1D[因?yàn)锳∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，在數(shù)軸上表示出兩個(gè)集合，如圖所示，易知a>－1.]類(lèi)型2并集的概念及其應(yīng)用【例2】(1)若A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,6,7,8}，則A∪B＝________.(2)若A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|1<x<4}，則A∪B＝________.[思路點(diǎn)撥](1)將A，B中的元素合并，注意互異性即可．(2)借助數(shù)軸表示A，B，再求A∪B.(1){3,4,5,6,7,8}(2){x|－1≤x<4}[(1)A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．(2)用數(shù)軸表示出A，B，如圖．所以A∪B＝{x|－1≤x<4}．]求集合并集的2種基本方法(1)定義法：若集合是用列舉法表示的，可以直接利用并集的定義求解；(2)數(shù)形結(jié)合法：若集合是用描述法表示的由實(shí)數(shù)組成的數(shù)集，則可以借助數(shù)軸分析法求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，則a的值為_(kāi)_______．4[由A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.]4．滿(mǎn)足條件{1,3}∪B＝{1,3,5}的所有集合B的個(gè)數(shù)是________．4[由條件{1,3}∪B＝{1,3,5}，根據(jù)并集的定義可知5∈B，而1,3是否在集合B不確定，所以B可能為{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，故B的個(gè)數(shù)為4.]類(lèi)型3交、并、補(bǔ)集的綜合應(yīng)用【例3】已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，試寫(xiě)出?UA，?UB，A∩B，A∪B，?U(A∩B)，?U(A∪B)，(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．[思路點(diǎn)撥]采用列舉法逐一將上述各集合寫(xiě)出．[解]?UA＝{5,6,7,8}，?UB＝{1,2,7,8}，A∩B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4,5,6}．?U(A∩B)＝{1,2,5,6,7,8}，?U(A∪B)＝{7,8}．(?UA)∩(?UB)＝{7,8}，(?UA)∪(?UB)＝{1,2,5,6,7,8}．從本題解答中可以得出兩個(gè)結(jié)論：?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]5．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，求(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．[解]由題知A∩B＝{x|2≤x≤3}，A∪B＝{x|1≤x≤4}．所以?U(A∩B)＝{x|x<2或x>3}，?U(A∪B)＝{x|x<1或x>4}．所以(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{x|x<1或x>4}，(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)＝{x|x<2或x>3}．類(lèi)型4并集、交集性質(zhì)的應(yīng)用【例4】已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，試求k的取值范圍．[解](1)當(dāng)B＝?，即k＋1>2k－1時(shí)，k<2，滿(mǎn)足A∪B＝A.(2)當(dāng)B≠?時(shí)，要使A∪B＝A，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1，,4≥2k－1，,k＋1≤2k－1，))解得2≤k≤eq\f(5,2).綜合(1)(2)可知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤\f(5,2))))).1．把本例條件“A∪B＝A”改為“A∩B＝A”，試求k的取值范圍．[解]由A∩B＝A可知A?B.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≥k＋1，,2k－1≥4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤－4，,k≥\f(5,2)，))所以k∈?.所以k的取值范圍為?.2．把本例條件“A∪B＝A”改為“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值．[解]由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1≤4，,2k－1＝5，))解得k＝3.所以k的值為3.1．在進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，若條件中出現(xiàn)A∩B＝A或A∪B＝B，應(yīng)轉(zhuǎn)化為A?B，然后用集合間的關(guān)系解決問(wèn)題，并注意A＝?的情況．2．集合運(yùn)算常用的性質(zhì)①A∪B＝B?A?B；②A∩B＝A?A?B；③A∩B＝A∪B?A＝B.[跟進(jìn)訓(xùn)練]6．已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a}，若A∩B＝?，求a[解]分兩類(lèi)情況，一類(lèi)是B≠??a>0.此時(shí)，又分兩種情況：①B在A的左邊，如圖中B所示；②B在A的右邊，如圖中B′所示．集合B在圖中B或B′位置均能使A∩B＝?成立，即0<3a≤2或a≥4，解得0<a≤eq\f(2,3)或a≥4.另一類(lèi)是B＝?，即a≤0時(shí)，顯然A∩B＝?成立．綜上所述，a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(2,3)或a≥4)))).課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)1．已知集合A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，則A∪B等于()A．{1,6,5,6,8} B．{1,5,6,8}C．{0,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}B[求集合的并集時(shí)，要注意集合中元素的互異性．]2．若集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|x(x－1)＝0}，則M∩N等于()A．{－1,0,1,2} B．{0,1,2}C．{－1,0,1} D．{0,1}D[N＝{0,1}，M∩N＝{0,1}．]3．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，則圖中陰影部分所表示的集合是()A．{0,1} B．{0}C．{－1,2,3) D．{－1,0,1,2,3}D[由Venn圖，可知陰影部分所表示的集合是M∪P.因?yàn)镸＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故選D.]4．設(shè)集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3}，則(?UM)∪N＝________.{0,2,3}[由題意知，?UM＝{0,3}，所以(?UM)∪N＝{0,2,3}．]5．已知集合M＝{(x，y)|x＝0}，N＝{(x，y)|y＝x＋2}，則M∩N＝________.{(0,2)}[由題意可得M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,x＝0))))))＝{(0,2)}．]回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題．1．兩個(gè)集合間的基本運(yùn)算關(guān)系有哪些？怎樣求這些運(yùn)算？[提示]交集、補(bǔ)集、并集．直接根據(jù)定義或利用數(shù)軸求解．2．交集、并集有哪些運(yùn)算性質(zhì)？[提示]交集：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?；并集：A∪B＝A∪B，A∪A＝A，A∪?＝A.3．本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)方法？[提示]數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論．4．本節(jié)課常見(jiàn)的誤區(qū)有哪些？[提示]由交集、并集的關(guān)系求解參數(shù)時(shí)漏掉對(duì)集合為空集的討論．集合的其他運(yùn)算集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算是集合的三種常見(jiàn)運(yùn)算，它們本質(zhì)上都是根據(jù)兩個(gè)集合得出一個(gè)新的集合．實(shí)際上，根據(jù)已知的兩個(gè)集合，還可以有其他的產(chǎn)生新集合的運(yùn)算．常見(jiàn)的集合運(yùn)算還有差集、對(duì)稱(chēng)差、笛卡兒積(又稱(chēng)積集)等．1．差集的定義及運(yùn)算性質(zhì)一般地，設(shè)A，B是兩個(gè)集合，由所有屬于A而不屬于B的那些元素組成的集合，稱(chēng)為集合A與集合B的差集(或集合A與集合B之差)，記作A－B(或A/B)，即A－B＝{x|x∈A，且x?B}．差集的運(yùn)算性質(zhì)(其中U為全集)：(1)A－?＝A，A－A＝?，?－A＝?；(2)A－U＝?，U－A＝?UA；(3)(A－B)－C＝(A－C)－(B－C)；(4)(A－B)?A，A－B＝??A?B，A－B＝A－(A∩B)；(5)A∪(B－A)＝A∪B；(6)A∩(B－C)＝(A∩B)－C.2．對(duì)稱(chēng)差的定義及運(yùn)算性質(zhì)一般地，設(shè)A，B是兩個(gè)集合，當(dāng)AΔB＝(A－B)∪(B－A)時(shí)，就稱(chēng)集合AΔB是集合A，B的對(duì)稱(chēng)差．也就是兩個(gè)集合的對(duì)稱(chēng)差是只屬于其中一個(gè)集合，而不屬于另一個(gè)集合的元素組成的集合．即AΔB＝{x|x∈A，且x?B，或x∈B，且x?A}．對(duì)稱(chēng)差的運(yùn)算性質(zhì)(其中U為全集)：(1)AΔB＝?，AΔ?＝A；(2)AΔU＝?UA；(3)AΔB＝BΔA；(4)AΔB＝(A∪B)－(A∩B)；(5)(AΔB)ΔC＝AΔ(BΔC)；(6)若AΔB＝AΔC，則B＝C.3．笛卡兒積的定義及運(yùn)算性質(zhì)一般地，設(shè)A，B是兩個(gè)集合，當(dāng)a∈A，b∈B時(shí)，有序?qū)?a，b)的全體組成的集合稱(chēng)為A和B的笛卡兒積集，簡(jiǎn)稱(chēng)笛卡兒積或積集，記作A×B.即A×B＝{(a，b)|a∈A，b∈B)．當(dāng)A，B是有限集時(shí)，具體寫(xiě)出笛卡爾積集A×B的元素是不困難的．笛卡兒積的運(yùn)算性質(zhì)：(1)A×?＝?×A＝?；(2)A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)；(3)(B∪C)×A＝(B×A)∪(C×A)；(4)A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)；(5)(B∩C)×A＝(B×A)∩(C×A)．章末復(fù)習(xí)類(lèi)型1集合的含義與表示集合中元素的特征是確定性、互異性、無(wú)序性．其中互異性是考查的重點(diǎn)，常與集合的表示方法，與集合之間的關(guān)系交匯命題，?？碱}型為已知集合中的元素求參數(shù)值．解決方法為根據(jù)元素與集合的關(guān)系列出等式求解．結(jié)合元素互異性檢查求解．【例1】設(shè)集合A中含有三個(gè)元素2x－5，x2－4x,12，若－3∈A，則x的值為_(kāi)_________．[思路點(diǎn)撥]根據(jù)－3∈A可知，2x－5，x2－4x均有等于－3的可能，逐一解方程，并驗(yàn)證是否符合集合中元素的互異性．3[∵－3∈A，∴－3＝2x－5或－3＝x2－4x.①當(dāng)－3＝2x－5時(shí)，解得x＝1，此時(shí)2x－5＝x2－4x＝－3，不符合元素的互異性，故x≠1；②當(dāng)－3＝x2－4x時(shí)，解得x＝1或x＝3，由①知x≠1，且x＝3時(shí)滿(mǎn)足元素的互異性．綜上可知，x＝3.][跟進(jìn)訓(xùn)練]1．設(shè)A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，則x的可能取值組成的集合為_(kāi)_______．{0,2，－2}[∵A∩B＝B，∴B?A，∴x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或0,1，當(dāng)x＝1時(shí)，A，B均不符合互異性，∴x≠1，故x＝±2，0.]類(lèi)型2集合間的關(guān)系集合間的關(guān)系主要考查集合與集合之間、元素與集合之間的關(guān)系．解答與集合有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先認(rèn)清集合中的元素是什么，是點(diǎn)集還是數(shù)集．根據(jù)定義歸納為判斷元素與集合間的關(guān)系或利用數(shù)軸或Venn圖表示，進(jìn)行直觀判斷．在解決含參數(shù)的不等式(或方程)時(shí)，一般對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，分類(lèi)時(shí)要“不重不漏”．【例2】設(shè)集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?，B?A，求a，b的值．[思路點(diǎn)撥]由B?A討論B的各種情況，分別求解．[解]由B?A知，B中的所有元素都屬于集合A，又B≠?，故集合B有三種情形：B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}．當(dāng)B＝{－1}時(shí)，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}，故a＝－1，b＝1；當(dāng)B＝{1}時(shí)，B＝{x|x2－2x＋1＝0}，故a＝b＝1；當(dāng)B＝{－1,1}時(shí)，B＝{x|x2－1＝0}，故a＝0，b＝－1.綜上所述，a，b的值為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－1.))[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，則A與B的關(guān)系為_(kāi)_______．A＝B[A表示所有奇數(shù)組成的集合．當(dāng)k∈Z時(shí)，4k＋1表示被4除余1的數(shù)，4k－1表示被4除余3的數(shù)，故B表示被4除余1或3的數(shù)，即被2除時(shí)余數(shù)為1，∴B也表示奇數(shù)集，故A＝B.]類(lèi)型3集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算主要包括交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算，這是高考對(duì)集合部分的主要考查點(diǎn)，常與不等式、方程等知識(shí)交匯考查．若集合是列舉法給出的，在處理有關(guān)交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算時(shí)常結(jié)合Venn圖處理．若與不等式(組)組合命題時(shí)，一般要借助于數(shù)軸求解．解題時(shí)要注意各個(gè)端點(diǎn)能否取到．【例3】已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1<x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．(1)用列舉法表示集合A與B.(2)求A∩B及?U(A∪B)．[解](1)由題意知A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．(2)由題意知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}．所以?U(A∪B)＝{0,5,6}．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}．則?U(A∪B)＝________，(?UA)∩B＝________.{4}{3}[∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，?UA＝{3,4}．∴?U(A∪B)＝{4}，(?UA)∩B＝{3}．]4．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}．則A∩(?RB)＝________.{x|1≤x≤2}[∵B＝{x|x<1}，∴?RB＝{x|x≥1}．∴A∩(?RB