第四講 虛擬變量

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第四講虛擬變量主講人：李順毅

在實(shí)際建模過(guò)程中，被解釋變量不但受定量變量影響，同時(shí)還受定性變量影響。例如需要考慮性別、民族、不同歷史時(shí)期、季節(jié)差異、企業(yè)所有制性質(zhì)不同等因素的影響。由于定性變量通常表示的是某種特征的有和無(wú)，所以量化方法可采用取值為1或0。這種變量稱(chēng)作虛擬變量（dummyvariable），用D表示。虛擬變量應(yīng)用于模型中，對(duì)其回歸系數(shù)的估計(jì)與檢驗(yàn)方法和定量變量相同。注意：(1)當(dāng)定性變量含有m個(gè)類(lèi)別時(shí)，模型不能引入m個(gè)虛擬變量。最多只能引入m-1個(gè)虛擬變量，否則當(dāng)模型中存在截距項(xiàng)時(shí)就會(huì)產(chǎn)生完全多重共線性，無(wú)法估計(jì)回歸參數(shù)。比如，對(duì)于季節(jié)數(shù)據(jù)引入4個(gè)虛擬變量，數(shù)據(jù)如下表，則必然會(huì)有，截距項(xiàng)對(duì)應(yīng)的單位向量等于

(D1+D2+D3+D4)。這意味著虛擬變量之間存在完全多重共線性。

(2)把虛擬變量取值為0所對(duì)應(yīng)的類(lèi)別稱(chēng)作基礎(chǔ)類(lèi)別。那個(gè)類(lèi)別取0是任意的。(3)當(dāng)定性變量含有m個(gè)類(lèi)別時(shí)，不能把虛擬變量的值設(shè)成如下形式。這種賦值法在一般情形下與虛擬變量賦值是完全不同的兩回事。(4)回歸模型可以只用虛擬變量作解釋變量，也可以用定量變量和虛擬變量一起做解釋變量。虛擬變量

1.用虛擬變量測(cè)量截距變動(dòng)設(shè)有模型，yt=0+1xt+2D+ut,其中yt，xt為定量變量；D為定性變量。當(dāng)D=0或1時(shí)，上述模型可表達(dá)為，D=1或0表示某種特征的有無(wú)。反映在數(shù)學(xué)上是截距不同的兩個(gè)函數(shù)。若2顯著不為零，說(shuō)明截距不同；若2為零，說(shuō)明這種分類(lèi)無(wú)顯著性差異。D=1

D=000+2例1

隨機(jī)調(diào)查美國(guó)舊金山地區(qū)20個(gè)家庭的儲(chǔ)蓄情況，擬建立年儲(chǔ)蓄額Yi(千美元)對(duì)年收入Xi(千美元)的回歸模型。通過(guò)對(duì)樣本點(diǎn)的分析發(fā)現(xiàn)，居于上部的6個(gè)點(diǎn)（用小圓圈表示）都是代表自己有房子的家庭；居于下部的14個(gè)點(diǎn)（用小三角表示）都是租房住的家庭。而這兩類(lèi)家庭所對(duì)應(yīng)的觀測(cè)點(diǎn)各自都表現(xiàn)出明顯的線性關(guān)系。于是給模型加入一個(gè)定性變量“住房狀況”，用D表示。定義如下：建立回歸模型Yi

=0+1

Xi+2

Di

+ut

得估計(jì)結(jié)果如下，=-0.3204+0.0675Xt+0.8273Di

(-5.2)(16.9)(11.0)R2=0.99,DW=2.27由于回歸系數(shù)0.8273顯著地不為零，說(shuō)明對(duì)住房狀況不同的兩類(lèi)家庭來(lái)說(shuō)，回歸函數(shù)截距項(xiàng)確實(shí)明顯不同。當(dāng)模型不引入虛擬變量“住房狀況”時(shí)，得回歸方程如下，

=-0.5667+0.0963Xi

(-3.5)(11.6)R2=0.88,

DW=1.85比較回歸方程，前者的確定系數(shù)為0.99，后者的確定系數(shù)僅為0.88。說(shuō)明該回歸模型中引入虛擬變量非常必要。

把“季節(jié)”因素引入模型“季節(jié)”是在研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中常常遇到的定性因素。比如，酒，肉的銷(xiāo)量在冬季要超過(guò)其它季節(jié)，而飲料的銷(xiāo)量又以夏季為最大。當(dāng)建立這類(lèi)問(wèn)題的計(jì)量模型時(shí)，就要考慮把“季節(jié)”因素引入模型。由于一年有四個(gè)季節(jié)，所以這是一個(gè)含有四個(gè)類(lèi)別的定性變量。應(yīng)該向模型引入三個(gè)虛擬變量。

例2

市場(chǎng)用煤銷(xiāo)售量模型。由于受取暖用煤的影響，每年第四季度的銷(xiāo)售量大大高于其它季度。鑒于是季節(jié)數(shù)據(jù)可設(shè)三個(gè)季節(jié)變量如下：

以時(shí)間t為解釋變量（1982年1季度取t=1）的煤銷(xiāo)售量（Yi）模型估計(jì)結(jié)果如下：

=2431.20+49.00t+1388.09D1+201.84D2+85.00D3

(26.04)(10.81)(13.43)(1.96)(0.83)

R2=0.95,DW=1.2,F=100.4,T=28,t0.05(28-5)

=2.07由于D2，D3的系數(shù)沒(méi)有顯著性，說(shuō)明第二、三季度可以歸并入基礎(chǔ)類(lèi)別第一季度。于是只考慮加入一個(gè)虛擬變量D1，把季節(jié)因素分為第四季度和第一、二、三季度兩類(lèi)。從上式中剔除虛擬變量D2，D3，得煤銷(xiāo)售量（Yi）模型如下：

=2515.86+49.73t+1290.91D1

(32.03(10.63)(14.79)R2=0.94,DW=1.4,F=184.9,T=28,t0.05(25)=2.06這里第一、二、三季度為基礎(chǔ)類(lèi)別。R2小，擬合效果不好以上介紹了用虛擬變量測(cè)量回歸函數(shù)的截距變化。實(shí)際上，也可以用虛擬變量考察回歸函數(shù)的斜率是否發(fā)生變化。方法是在模型中加入定量變量與虛擬變量的乘積項(xiàng)。設(shè)模型如下，Yi

=0+1Xi

+2Di

+3(XiDi)+ui

按2，3是否為零，回歸函數(shù)可有如下四種形式。

E(Yi)=0+1Xi,(當(dāng)2=3=0)E(Yi)=(

0+2)+(

1+3)Xi,(當(dāng)20,30)E(Yi)=0+(1+3)Xi,(當(dāng)2=0,

30)E(Yi)=(0+2)+

1Xi,(當(dāng)

20,

3=0)截距、斜率同時(shí)發(fā)生變化的兩種情形見(jiàn)圖。2.測(cè)量斜率變動(dòng)

例3

中國(guó)進(jìn)出口貿(mào)易總額序列（1950~1984年）如圖。試檢驗(yàn)改革開(kāi)放前后該時(shí)間序列的斜率是否發(fā)生變化。定義虛擬變量D如下，

以時(shí)間time為解釋變量，進(jìn)出口貿(mào)易總額用trade表示，估計(jì)結(jié)果如下，

=0.2818+0.0746time-35.8809D+1.2559time*D(1.35)(6.2)(-8.4)(9.6)

上式說(shuō)明，改革開(kāi)放前后相比無(wú)論截距和斜率都發(fā)生了變化。進(jìn)出口貿(mào)易總額的年平均增長(zhǎng)量擴(kuò)大了近17倍。例4：香港季節(jié)GDP數(shù)據(jù)（千億港元）的擬合1990~1997年香港季度GDP呈線性增長(zhǎng)。1997年由于遭受東南亞金融危機(jī)的影響，經(jīng)濟(jì)發(fā)展處于停滯狀態(tài)，1998~2002年底GDP總量幾乎沒(méi)有增長(zhǎng)（見(jiàn)上圖）。對(duì)這樣一種先增長(zhǎng)后停滯，且含有季節(jié)性周期變化的過(guò)程簡(jiǎn)單地用一條直線去擬合顯然是不恰當(dāng)?shù)?。為區(qū)別不同季節(jié)，和不同時(shí)期，定義季節(jié)虛擬變量D2、D3、D4和區(qū)別不同時(shí)期的虛擬變量DT如下，例4：香港季節(jié)GDP數(shù)據(jù)（千億港元