相似三角形及比例線段課件

相似形全等的兩個圖形也是相似形全等形與相似形有何關(guān)系？（1）全等形是相似形的特殊情況;（2）相似形包括全等形.

把形狀相同的圖形稱為相似的圖形，簡稱相似形.（1）相似形的形狀必須同，大小不一定等;（2）當(dāng)大小相等時，相似形變成全等形.注意PA′B′C′ABC相似形的性質(zhì)∵△ABCS△A′B′C′如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例.相似圖形的性質(zhì)：

各對應(yīng)角相等，各對應(yīng)邊成比例。

這既是兩個相似的圖形的性質(zhì)，又是判定的依據(jù)。

正方形是相似的圖形嗎？等邊三角形是相似的圖形嗎？矩形是相似的圖形嗎？等腰三角形是相似的圖形嗎？直角三角形是相似的圖形嗎？等腰直角三角形是相似的圖形嗎？兩個正方形兩個等腰直角三角形兩個圖形的相似與對應(yīng)的角度有關(guān),也與對應(yīng)邊的比有關(guān).大家說

生活中存在大量的形狀相同的圖形，試舉出幾例.ABCA1B1C1例題1如圖，四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1是相似形，點A與點A1、點B與點B1、點C與點C1、點D與點D1分別是對應(yīng)頂點，若BC=3，CD=2.4，A1B1=2.2，B1C1=2，∠B=70度，∠C=110度，∠D=90度，求邊AB、C1D1的長和∠A1的度數(shù).DABCD1A1B1C1例題講解塔原高146.59米，因頂端剝落，現(xiàn)高136.5米，相當(dāng)于一座40層摩天大樓，塔底面呈正方形，占地5.29萬平方米.EABCDabcx復(fù)習(xí)引入：相似形——形狀相同，大小不一定相同的圖形叫做相似形。

圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運動

相似多邊形的性質(zhì)：

如果兩個多邊形是相似形，那么它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。比例線段在同一單位下，兩條線段的長度的比，叫做這兩條線段的比，記作a:b或。BACB1A1C1ba單位：同一順序：一致結(jié)果：正數(shù)無單位分?jǐn)?shù)要化成最簡分?jǐn)?shù)其中,線段a,b分別叫做這個線段比的前項和后項。新課講解①若a=148mm，b=220mm，求a∶b；②若a=148mm，b=22cm，求b∶a．結(jié)論：1.兩條線段的比就是長度的比，它是一個正數(shù),它沒有單位.2.兩條線段的比是有順序的;3.兩條線段比與所選的長度單位無關(guān).4.求兩條線段比時.如果單位不同.那么必須先化成同一單位.再求它們的比.5.比的性質(zhì)同分?jǐn)?shù)的性質(zhì).練習(xí):2.如果兩條線段的比與另兩條線段的比相等叫做這四條線段

，簡稱

.成比例線段比例線段如果比例的兩個內(nèi)項（或者兩個外項）相同，那么這個相同的項叫比例中項。對于四條線段a、b、c、d，如果那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡稱比例線段.那么a、b、c、d

叫做組成比例的項，其中a,d叫做比的外項,b,c叫做比的內(nèi)項,d叫做a、b、c的第四比例項.如果作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段

，即abbc

=或a：b=b：c，那么線段

b

叫做線段a和c的比例中項.BCDA5025B`C`D`A`2010AB50BC25∵==2，A`B`20B`C`10==2，ABA`B`BCB`C`∴=.因此，AB、BC、A`B`、B`C`是成比例線段.1、已知點B在線段AC上，２BC=AB。求下列線段的比值：數(shù)學(xué)操：（1）AB：BC（2）AC：AB（3）BC：AC2、已知：3、線段a、c的積是625，則a、c的比例中項是

。

4、已知3x-5y=0，則x：y=

.

兩條線段的比是它們的長度的比，也就是兩個數(shù)的比.關(guān)于成比例的數(shù)具有下面的性質(zhì).比例式是等式，因而具有等式的各個性質(zhì)，此外還有一些特殊性質(zhì)：（1）比例的基本性質(zhì)：比例的外項之積等于內(nèi)項之積特殊地：a∶b=b∶cb=ac.2如果ad=bc.則可得到或如果a：b=c：d

，那么ad=bc.a

cb

d

=即練習(xí)1—1：如果PAPCPBPD=，那么PA·PD=如果CDDFEBAD=，那么AD·CD=如果ACBDEFEA=，那么EF·BD=如果HEHFNFNK=，那么HF·NF=PB·PC；EB·DF；AC·EA；HE·NK；練習(xí)1—2：如果ADPBPBBC=，那么AD·BC=如果DEDFDFDC=，那么DE·DC=如果SBEFEFSC=，那么EF2=如果MANFNFMB=，那么NF2=PB2；DF2；SB·SC；MA·MB.練習(xí)2—1：如果AE·BF=AF·BE，AE=，那么BE=，BF=，AF=；BE=，BF=，AF=，AE=，AFBEBFBEAFBFAFAEBFAEBFAFAFBEAEAFBEAEAEBFBEBFAEBE對調(diào)內(nèi)項，比例仍成立！練習(xí)2—1：如果AE·BF=AF·BE，AE=，那么BE=，BF=，AF=；BE=，BF=，AF=，AE=，AFBEBFBEAFBFAFAEBFAEBFAFAFBEAEAFBEAEAEBFBEBFAEBE對調(diào)外項，比例也成立！說明：(1)一個等積式可以改寫成八個比例式(比值各不相同)；(2)對調(diào)比例式的內(nèi)項或外項，比例式仍然成立(比值變了).acbd

=abcd

=dcba

=.練習(xí)2—1：如果AE·BF=AF·BE，AE=，那么BE=，BF=，AF=；BE=，BF=，AF=，AE=，AFBEBFBEAFBFAFAEBFAEBFAFAFBEAEAFBEAEAEBFBEBFAEBE說明：同時對調(diào)比例式兩邊的比的前后項，比例式仍然成立(比值變了).acbd

=bdac

=.(2)合比性質(zhì)如果那么（分母不為0）練習(xí)3—1：如圖，已知ACBC=，那么ABDEBCEF=，DFEF理由：ABDEBCEF=ACDFBCEF=.AB+BCDE+EFBCEF=ABCDEF練習(xí)3—2：如圖，已知ACAB=，那么ABDEBCEF=，DFDE理由：ABDEBCEF=AB+BCDE+EFABDE=BCEFABDE=ACDFABDE=.ABCDEF練習(xí)3—3：如圖，已知BCAB=，那么ACDFBCEF=，ABCDEFEFDE理由：ACDFBCEF=AC–BCDF–EFBCEF=ABDEBC EF=BCEFABDE=.練習(xí)3—4：如圖，已知AEAB=，那么BECFEAFA=，AFAC理由：BECFEAFA=AE+BEAF+CFAEAF=ABACAEAF=AEAFABAC=.ABCEF練習(xí)3—5：如圖，已知AEAB=，那么BECFABAC=，AFAC理由：BECFABAC=ABACBECF=AE+BEAF+CFAEAF=AEAFBE CF=AB–BEAC–CFBECF=BECFAE AF=AEAFABAC=.ABACAE AF=有沒有簡單方法？有！ABCEF(3)等比性質(zhì)如果那么等比性質(zhì)可以推廣到任意有限多個相等比.等比性質(zhì)：如果,那么

.（不可逆）（2）引入比值k的表示方法：如果把表示成比值k,即,則AB=k·CD。或注意：引入比值k的方法是解決比例問題的一種重要方法,以后經(jīng)常會用到。比有前后順序,相當(dāng)于分子與分母acbd

=mn

=…==…=證明：設(shè)=k,則a=bk,c=dk,…m=nk,∴=a+c+…+mb+d+…+nbk+dk+…nkb+d+…n=(b+d+…n)kb+d+…n=k=.abacbd

=mn

a+c+…+mb+d+…+n=.ab分母之和不為零，？練習(xí)3—5：如圖，已知AEAB=，那么BECFABAC=，ABCEFAFAC理由：BECFABAC=ACCFABBE=AC–CFAB–BE=AFACAE AB=AEAFABAC=.AFAEAC AB=AC–CFACAB–BE AB=AB–BE≠0x+y5x3y4y例1、已知=，求.解：∵=，x+y53y4x+y15

y4∴=，x+y–y15–4

y4∴=，x11y4∴=.例2、已知a：b：c=2：5：6，求的值.2a+5b–c3a–2b+c解：設(shè)===k,abc256則

a=2k,b=5k,c=6k,2a+5b–c3a–2b+c∴=4k+25k–6k6k–10k+6k=232.例3、已知：如圖，==，OAOB3OCOD2求：(1);(2).OAACOA+OBOC+ODOABCD分析：(1)OAACOAOA+OCOA+OCOAOCOA=23.例3、已知：如圖，==，OAOB3OCOD2求：(1);(2).OAACOA+OBOC+OD解：(1)OCOA∴=，23OA3OC2∵=，OA+OCOA∴=，53AC5OA3即=，OA3AC5∴=；OABCD例3、已知：如圖，==，OAOB3OCOD2求：(1);(2).OAACOA+OBOC+OD解：(2)OA+OBOC+OD∴=.32OAOB3OCOD2∵==，OABCDCABDE課本例1.已知：如圖，求證：例題講解練習(xí)1.若則

，

，

.

2.

4和9兩數(shù)的比例中項是

.3.線段a和c的積是625，則a和c的比例中項是

.7.下列各組線段的長度成比例的是（）（A）2，3，4，1（B）1.5，2.5，6.5，4.5（C）1.1，2.2，3.3，4.4（D）1，2，2，4D6.若a、b、c、

d成比例，且a=2，b=3，

c=4，那么d=___.6補充練習(xí)：

如圖所示：皇帝決定把一個正方形的土地分給4個兒子，在正方形的土地中間有一片森林，有4處產(chǎn)金的地方，皇帝決定這樣劃分：每人一塊產(chǎn)金之地，森林4人公共領(lǐng)地面積和形狀完全相同，你想一想皇帝是怎樣分的？森林ABP如圖:如果點P把線段AB分割成AP和PB（AP>PB)兩段,其中AP是AB和PB的比例中項,那么稱這種分割為黃金分割,點P稱為線段AB的黃金分割點.AP與AB的比值稱為黃金分割數(shù)(簡稱黃金數(shù)).黃金分割數(shù)是一個無理數(shù),在應(yīng)用時常取它的近似值0.618即〓〓〓0.618長=全×0.618短=長×0.6183.已知線段MN的長為8厘米，點P是線段MN的黃金分割點，則較長線段MP的長是

厘米，較短線段PN的長是

厘米.4.已知線段AB的長為4厘米，點P是線段AB的黃金分割點，則線段AP的長是

厘米.

三角形一邊的平行線CABDE課本例1.已知：如圖，求證：例題講解例：如圖DE∥BC，求證：三角形一邊的平行線性質(zhì)定理：

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線（或兩邊延長線），截得的對應(yīng)線段成比例．ACDEBABCDEABCDE已知ＤＥ∥ＢＣ，ＡＢ＝１５，ＡＣ＝１０，ＢＤ＝６．求AＥ．1、如圖，已知，AB∥CD∥EF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的長.2、如圖，在⊿ABC,DG∥EC,EG∥BC,求證：=AB·AD.三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論：

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.ABCDEACDEB如圖，已知E,F是△ABC中AB,AC邊的中點，BF,CE相交于點G,求證：==1：2重心：

1、定義：三角形三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心.2、作法：兩條中線的交點.3、性質(zhì)：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到對邊中點的距離的兩倍.ABCEFG1.如圖，在△ABC中，DE∥BC，AE=2，EC=3，DE=4，求BC的長.2.如圖：BD∥AC，CE=3，CD=5，AC=5，求BD的長.3：已知，△ABC中，∠C=90°，G是三角形的重心，AB=8.求：①GC的長；②過點G的直線MN∥AB，交AC于M，BC于N，求MN的長.

動腦筋D三角形三角形一邊平行線判定定理

:如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

如果D,E分別在AB,AC的延長線上時，或在反向延長線上時，以上結(jié)論同樣成立.由，以上三個比例式中任何一個都可以推出DE∥BC

ACDEB1.已知：如圖，點D,F在邊AB上，點E在邊AC上，且DE//BC，求證：EF∥DC.判斷題:1、如圖（1），在△ABC中,點D與點E分別在AB、AC上,AD=3cm,DB=4cm,AE=1.8cm,CE=2.4cm,則DE∥BC()。圖（1）

2、如圖（2），已知:BD與EC相交于點A,AB=8,AE=6,AC=12,AD=9.則DE∥BC。()圖（2）

平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例.即：AD∥BE∥CF

=＝=注意：此性質(zhì)定理無逆定理（即無判定定理）L1∥L2∥L3

AB=BC

DE=EF

平行線等分線段定理：

兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等。即：熟悉定理的幾種變形井字型A字型X字型倒A字型畸形(O無用)O

如圖AD∥BE∥CF，AB=3，AC=8，DF=10，求EF的長.作圖題：已知線段a,b,c,求作線段x,使a：b=c：xabcBOACDMNabcx如果條件改為：或?qū)⑷绾巫鳎吭谔菪蜛BCD中，AD∥BC，EF∥BC，且AE：EB=5：3，（1）DC=16cm，求FC的長.（2）AD=6，BC=10，求EF的長.2）．如圖，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的長.相似三角形的判定相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似.ABCDEACDEB相似三角形的判定方法有：判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似.判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似.判定定理3：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似.直角三角形相似的判定定理：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似.相似三角形的性質(zhì)相似三角形定理1：

相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

相似三角形定理2：相似三角形周長比等于相似比.相似三角形定理3：相似三角形的面積比等于相似比的平方.

性質(zhì)1和2可以概括為：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比、周長比都等于相似比.一定要證相似后，才能用它的性質(zhì).△ABC∽△ACD∽△CBD

如圖：已知∠ABD=∠C，可知？△ACB∽△ABDAB2=AD·AC如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？先證明：△APN~△ABC由相似得出即求出x的值a:b=c:d，3.比例的基本性質(zhì)：比例的基本性質(zhì)ad=bcb是a、c的比例中項a:b=b:c（b2=ac）4.比例的其它性質(zhì)：合比性質(zhì)：（分母不為0）直線、射線與線段直線射線與線段，形狀相似有關(guān)聯(lián)。直線長短不確定，可向兩方無限延。射線僅有一端點，反向延長成直線。線段定長兩端點，雙向延伸變直線。兩點定線是共性，組成圖形最常見。角一點出發(fā)兩射線，組成圖形叫做角。共線反向是平角，平角之半叫直角。平角兩倍成周角，小于直角叫銳角。直平之間是鈍角，平周之間叫優(yōu)角?；ビ鄡山呛椭苯牵褪瞧浇腔パa角。一點出發(fā)兩射線，組成圖形叫做角。平角反向且共線，平角之半叫直角。平角兩倍成周角，小于直角叫銳角。鈍角界于直平間，平周之間叫優(yōu)角。和為直角叫互余，互為補角和平角。證等積或比例線段等積或比例線段，多種途徑可以證。證等積要改等比，對照圖形看特征。共點共線線相交，平行截比把題證。三點定型十分像，想法來把相似證。圖形明顯不相似，等線段比替換證。換后結(jié)論能成立，原來命題即得證。實在不行用面積，射影角分線也成。只要學(xué)習(xí)肯登攀，手腦并用無不勝解一元二次方程方程沒有一次項，直接開方最理想。如果缺少常數(shù)項，因式分解沒商量。ｂ.ｃ相等都為零，等根是零不要忘。ｂ.ｃ同時不為零，因式分解或配方，也可直接套公式，因題而異擇良方。正比例函數(shù)的鑒別判斷正比例函數(shù)，檢驗當(dāng)分兩步走。一量表示另一量,y=kx(k非0)是與否。若有還要看取值，全體實數(shù)都要有。正比例函數(shù)是否，