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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入,,則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是()A. B. C. D.2.已知為虛數(shù)單位,實(shí)數(shù)滿足,則()A.1 B. C. D.3.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,將此圖象分別作以下變換,那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有()①繞著軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn);②沿軸正方向平移;③以軸為軸作軸對(duì)稱;④以軸的某一條垂線為軸作軸對(duì)稱.A.①③ B.③④ C.②③ D.②④4.根據(jù)如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸入的值為3時(shí),輸出的值等于()A.1 B. C. D.5.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.6.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點(diǎn),則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線7.圓心為且和軸相切的圓的方程是()A. B.C. D.8.已知函數(shù),若對(duì)任意,都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.甲乙丙丁四人中,甲說:我年紀(jì)最大,乙說:我年紀(jì)最大,丙說:乙年紀(jì)最大,丁說:我不是年紀(jì)最大的,若這四人中只有一個(gè)人說的是真話,則年紀(jì)最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁10.已知集合,則全集則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.11.對(duì)于正在培育的一顆種子,它可能1天后發(fā)芽,也可能2天后發(fā)芽,….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計(jì)表,則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是()發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A.2 B.3 C.3.5 D.412.已知復(fù)數(shù),滿足,則()A.1 B. C. D.5二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是_________.①是周期函數(shù);②的對(duì)稱軸方程為,;③在區(qū)間上為增函數(shù);④方程在區(qū)間有6個(gè)根.14.已知關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.15.已知圓柱的上下底面的中心分別為,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形,則該圓柱的體積為____16.如圖,從一個(gè)邊長為的正三角形紙片的三個(gè)角上,沿圖中虛線剪出三個(gè)全等的四邊形,余下部分再以虛線為折痕折起,恰好圍成一個(gè)缺少上底的正三棱柱,而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)正三棱柱的上底,則所得正三棱柱的體積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),,且.(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的減區(qū)間;(2)求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(3)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是,試比較,與的大小,并說明理由.18.(12分)中國古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一體,給人于美的享受.如圖(1)為一花窗;圖(2)所示是一扇窗中的一格,呈長方形,長30cm,寬26cm,其內(nèi)部窗芯(不含長方形邊框)用一種條形木料做成,由兩個(gè)菱形和六根支條構(gòu)成,整個(gè)窗芯關(guān)于長方形邊框的兩條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱.設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長分別為xcm和ycm,窗芯所需條形木料的長度之和為L.(1)試用x,y表示L;(2)如果要求六根支條的長度均不小于2cm,每個(gè)菱形的面積為130cm2,那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長的條形木料(不計(jì)榫卯及其它損耗)?19.(12分)已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),與拋物線相交于、兩點(diǎn),且.(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn)),過做傾斜角互補(bǔ)的兩條直線、,交拋物線于另兩點(diǎn)、,記拋物線在點(diǎn)的切線的傾斜角為,直線的傾斜角為,求證:與互補(bǔ).20.(12分)在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達(dá)對(duì)祖國的熱愛之情,在數(shù)學(xué)中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標(biāo)方程為(),M為該曲線上的任意一點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí),求M點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)將射線OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N,求的最大值.21.(12分)已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,焦距為4,且橢圓過點(diǎn),過點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓與兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,直線交軸于點(diǎn).(1)求的周長;(2)求面積的最大值.22.(10分)如圖1,四邊形為直角梯形,,,,,,為線段上一點(diǎn),滿足,為的中點(diǎn),現(xiàn)將梯形沿折疊(如圖2),使平面平面.(1)求證:平面平面;(2)能否在線段上找到一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)使得直線與平面所成角的正弦值為?若存在,試確定點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
先明確該程序框圖的功能是計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),再利用輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計(jì)算,中的最大公約數(shù),所以,,,故當(dāng)輸入,,則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是57.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的功能,做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么,本題是一道基礎(chǔ)題.2、D【解析】,則故選D.3、D【解析】
計(jì)算得到,,故函數(shù)是周期函數(shù),軸對(duì)稱圖形,故②④正確,根據(jù)圖像知①③錯(cuò)誤,得到答案.【詳解】,,,當(dāng)沿軸正方向平移個(gè)單位時(shí),重合,故②正確;,,故,函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,故④正確;根據(jù)圖像知:①③不正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)和圖像的綜合應(yīng)用.4、C【解析】
根據(jù)程序圖,當(dāng)x<0時(shí)結(jié)束對(duì)x的計(jì)算,可得y值.【詳解】由題x=3,x=x-2=3-1,此時(shí)x>0繼續(xù)運(yùn)行,x=1-2=-1<0,程序運(yùn)行結(jié)束,得,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖,是基礎(chǔ)題.5、C【解析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應(yīng)選.6、C【解析】
充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因?yàn)?,所以平面,故A正確.因?yàn)?,所以,所以平面故B正確.因?yàn)椋云矫?,故D正確.因?yàn)榕c相交,所以與平面相交,故C錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.7、A【解析】
求出所求圓的半徑,可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓心為且和軸相切的圓的半徑為,因此,所求圓的方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解,一般求出圓的圓心和半徑,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
先將所求問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,再利用數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】由得,由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,作出函數(shù)的圖象如圖所示過原點(diǎn)作函數(shù)的切線,設(shè)切點(diǎn)為,則,解得,所以切線斜率為,所以,解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立中的應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想以及數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.9、C【解析】
分別假設(shè)甲乙丙丁說的是真話,結(jié)合其他人的說法,看是否只有一個(gè)說的是真話,即可求得年紀(jì)最大者,即可求得答案.【詳解】①假設(shè)甲說的是真話,則年紀(jì)最大的是甲,那么乙說謊,丙也說謊,而丁說的是真話,而已知只有一個(gè)人說的是真話,故甲說的不是真話,年紀(jì)最大的不是甲;②假設(shè)乙說的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,那么甲說謊,丙說真話,丁也說真話,而已知只有一個(gè)人說的是真話,故乙說謊,年紀(jì)最大的也不是乙;③假設(shè)丙說的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,所以乙說真話,甲說謊,丁說的是真話,而已知只有一個(gè)人說的是真話,故丙在說謊,年紀(jì)最大的也不是乙;④假設(shè)丁說的是真話,則年紀(jì)最大的不是丁,而已知只有一個(gè)人說的是真話,那么甲也說謊,說明甲也不是年紀(jì)最大的,同時(shí)乙也說謊,說明乙也不是年紀(jì)最大的,年紀(jì)最大的只有一人,所以只有丙才是年紀(jì)最大的,故假設(shè)成立,年紀(jì)最大的是丙.綜上所述,年紀(jì)最大的是丙故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理,解題時(shí)可從一種情形出發(fā),推理出矛盾的結(jié)論,說明這種情形不會(huì)發(fā)生,考查了分析能力和推理能力,屬于中檔題.10、D【解析】
化簡集合,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),化簡集合,按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義,逐項(xiàng)判斷,即可求出結(jié)論.【詳解】由,則,故,由知,,因此,,,,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系,求解不等式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
根據(jù)表中數(shù)據(jù),即可容易求得中位數(shù).【詳解】由圖表可知,種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.12、A【解析】
首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出,求出的模即可.【詳解】解:,,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問題,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①②④【解析】
由函數(shù),對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.【詳解】函數(shù),是周期函數(shù),最小正周期為,故①正確;當(dāng)或時(shí),有最大值或最小值,此時(shí)或,即或,即.的對(duì)稱軸方程為,,故②正確;當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在區(qū)間上不是增函數(shù),故③錯(cuò)誤;作出函數(shù)的部分圖象,如圖所示方程在區(qū)間有6個(gè)根,故④正確.故答案為:①②④.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.14、【解析】
先將不等式對(duì)于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立,設(shè),求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解:由題可知,不等式對(duì)于任意恒成立,即,又因?yàn)?,,?duì)任意恒成立,設(shè),其中,由不等式,可得:,則,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又因?yàn)樵趦?nèi)有解,,則,即:,所以實(shí)數(shù)的取值范圍:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題,利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù),通過求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.15、【解析】
由軸截面是正方形,易求底面半徑和高,則圓柱的體積易求.【詳解】解:因?yàn)檩S截面是正方形,且面積是36,所以圓柱的底面直徑和高都是6故答案為:【點(diǎn)睛】考查圓柱的軸截面和其體積的求法,是基礎(chǔ)題.16、1【解析】
由題意得正三棱柱底面邊長6,高為,由此能求出所得正三棱柱的體積.【詳解】如圖,作,交于,,由題意得正三棱柱底面邊長,高為,所得正三棱柱的體積為:.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的翻折問題、正三棱柱體積的求法、三棱柱的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意翻折前后的不變量.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)詳見解析(3)【解析】
試題分析:(1)當(dāng)時(shí),,由得減區(qū)間;(2)因?yàn)椋?,因?yàn)樗?,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(3)因?yàn)?,,所以試題解析:(1)當(dāng)時(shí),,由得減區(qū)間;(2)法1:,,,所以,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;法2:,,是開口向上的二次函數(shù),所以,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(3)因?yàn)椋?,又在和增,在減,所以.考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)減區(qū)間,二次函數(shù)與二次方程關(guān)系18、(1)(2)【解析】試題分析:(1)由條件可先求水平方向每根支條長,豎直方向每根支條長為,因此所需木料的長度之和L=(2)先確定范圍由可得,再由面積為130cm2,得,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù),令,則在上為增函數(shù),解得L有最小值.試題解析:(1)由題意,水平方向每根支條長為cm,豎直方向每根支條長為cm,菱形的邊長為cm.從而,所需木料的長度之和L=cm.(2)由題意,,即,又由可得.所以.令,其導(dǎo)函數(shù)在上恒成立,故在上單調(diào)遞減,所以可得.則=.因?yàn)楹瘮?shù)和在上均為增函數(shù),所以在上為增函數(shù),故當(dāng),即時(shí)L有最小值.答:做這樣一個(gè)窗芯至少需要cm長的條形木料.考點(diǎn):函數(shù)應(yīng)用題19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)根據(jù)題意,設(shè)直線方程為,聯(lián)立方程,根據(jù)拋物線的定義即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)題意,設(shè)的方程為,聯(lián)立方程得,同理可得,進(jìn)而得到,再利用點(diǎn)差法得直線的斜率,利用切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得直線的斜率,進(jìn)而可得與互補(bǔ).【詳解】(1)由題意設(shè)直線的方程為,令、,聯(lián)立,得,根據(jù)拋物線的定義得,又,故所求拋物線方程為.(2)依題意,設(shè),,設(shè)的方程為,與聯(lián)立消去得,,同理,直線的斜率=切線的斜率,由,即與互補(bǔ).【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,直線斜率的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,屬于中檔題.20、(1)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或(2)【解析】
(1)令,由此求得的值,進(jìn)而求得點(diǎn)的極坐標(biāo).(2)設(shè)出兩點(diǎn)的極坐標(biāo),利用勾股定理求得的表達(dá)式,利用三角函數(shù)最值的求法,求得的最大值.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)M在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo),由,得,∵∴或,所以點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或(2)由題意可設(shè),.由,得,.故時(shí),的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查極坐標(biāo)的求法,考查極坐標(biāo)下兩點(diǎn)間距離的計(jì)算以及距離最值的求法,屬于中檔題.21、(1)12(2)【解析】
(1)根據(jù)焦距得焦點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)定義;(2)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,設(shè),聯(lián)立直線和橢圓,結(jié)合韋達(dá)定理表示出面積,即可求解最大值.【詳
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